概率论与数理统计-4.5 矩
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2) 若 ( X 1 ,L, X n ) 服从 n 维正态分布， Y1 ,L, Yn 是 X j ( j = 1,L, n) 的线性函数，则 (Y1 ,L, Yn ) 也服从正态分布。
3) 若 ( X 1 ,L, X n ) 服从 n 维正态分布，则 X 1 ,L, X n 相互独 立 X 1 ,L, X n 两两不相关。
1 2π
e
x2 2
;
则 所以
X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1), EX = EY = 0, DX = DY = 1.
随机变量 X 和 Y 的相关系数
第四章
随机变量的数字特征
§5 矩
ρ=
∞ ∞
∞ ∞
∫ ∫ xyf ( x, y)dxdy
∞ ∞ ∞ ∞ 1 = ∫ ∫ xy 1 ( x, y )dxdy + ∫ ∫ xy 2 ( x, y )dxdy 2 ∞∞ ∞ ∞
§5 矩
2 σ n n +1 = Γ π 2
n 2
其 中 Γ(t) = xt1ex dx.
0
∫
∞
利用 Γ 函数的性质： Γ (r + 1) = rΓ (r ) ，得
E Xn =
( )
2 σ
n 2 n 2
n 1 n 1 2 σ n n 1 n 3 n 3 Γ Γ = 2 2 2 2 2 π π
§5 矩 例3 设二维随机变量( X , Y )的密度函数为 1 f ( x, y ) = [1 ( x, y ) + 2 ( x, y )], 2 其中1 ( x, y )和 2 ( x, y )都是二维正态密度函数，且它们对应
(1) 求随机变量 X 和 Y 的密度函数 f X (x) 和 f Y ( y )， 及 X 和 Y 的相关系数 (2)问 X 和 Y 是否独立？为什么？ 解 （1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度都 是正态密度函数，因此有
1 2 dt
y= 2 t,
1 1 2 t 2 dt
2 dy = t =2 2 n +∞ n 1 n 1 2σ n 2 EX = t 2 e t dt 2 2π 0
∫
=
n 22
σ
π
n + ∞ n +1 1 t 2 e t dt
∫
0
=
n 22
σ n n +1 Γ( ) 2 π
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第四章
随机变量的数字特征
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第四章
随机变量的数字特征
§5 矩
例2 (1) 设 X , Y 独立，X ~ N (1,4), Y ~ N ( 2,9),
求： X Y 的分布； 2
(2) ( X , Y ) ~ N (1,2;4,9;0.5)
求： X Y 的分布； 2 ( 解：1) E ( 2 X Y ) = 2 EX EY = 0 D ( 2 X Y ) = 4 DX + DY = 4 × 4 + 9 = 25 则： X Y ~ N (0,25) 2
1 1 1 = = 0. 2 3 3
（2）由题设
9 9 2 ( x 2 + xy + y 2 ) 16 ( x 2 2 xy + y 2 ) 3 3 f ( x, y ) = + e 16 3 e , 8π 2
第四章
随机变量的数字特征
9 9 2 ( x 2 + xy + y 2 ) 16 ( x 2 2 xy + y 2 ) 3 3 f ( x, y ) = + e 16 3 e , 8π 2
n
n 2
2 σ n n 1 n 3 1 1 = L Γ 2 2 2 2 π = 2 σn
n 2
π
(n 1)!! π = σ n (n 1)!!
2
n 2
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第四章
随机变量的数字特征
§5 矩
因而 (n 1)!! n为偶数 = 0 n为奇数
其中，
1 3 5 L n n为奇数 n !!= 2 4 6 L n n为偶数
( 2) D( 2 X Y ) = 4 DX + DY 2 × 2COV ( X , Y ) = 25 - 4 ρ XY 1 DX DY = 25 4 × × 2 × 3 = 13 2
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则： X Y ~ N (0,13) 2
第四章
随机变量的数字特征
1 1 的二维随机变量的相关系数分别为 和 ，它们的边缘密 3 3 度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是1.
n n n
n n Y ∞
σ
n
+∞
2π
∞
∫y e
y2 n 2
dy
⑴．当 n 为奇数时，由于被积函 数是奇函数，所以 E X n = 0．
( )
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第四章
n +∞
随机变量的数字特征
y2 n y e 2
( 2)．当 n 为偶数时，由于被积函 数是偶函数，所以
EX
n
=
2
2σ
2π
∫
0
dy
y 令： = t , 则 2
特别，若
E X
X ~ N (0， 1) , 则
( )
n
(n 1)!! n为偶数 = , n = 4时， EX 4 = 3. n为奇数 0
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第四章
随机变量的数字特征
§5 矩
2、n维正态分布的性质
1) n 维随机变量 ( X 1 ,L , X n ) 服从 n 维正态分布 X 1 ,L , X n 的任意线性组合 l1 X 1 + L + ln X n 服从一维正态分布。
1 f X ( x) f Y ( y ) = e 2π
x2 2
e
y2 2
1 = e 2π
x2 + y2 2
,
f ( x, y ) ≠ f X ( x) f Y ( y ). 所以 X 与 Y 不独立.
第四章
小
结
1 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握 它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学 期望和方差。 2 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀 分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。 3 给出了契比雪夫不等式，要会用契比雪夫不等式 作简单的概率估计。 4 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的 性质与计算。 5 要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价 性。 6 给出了矩与协方差矩阵。
第四章
∞
随机变量的数字特征
∞ ∞ 1 f X ( x) = ∫ f ( x, y )dy = ∫ 1 ( x, y )dy + ∫ 2 ( x, y )dy 2 ∞ ∞ ∞
同理，
x 1 x 1 1 2 e + e 2 = 2 2π 2π
2
2
=
1 2π
e
x2 2
;
f Y ( y) =
第四章
随机变量的数字特征
§5 矩
§5 矩 1、定义 若 EX k 存 在 ， 称 之 为 X 的 k 阶 原 点 矩 。
若 E ( X EX ) k 存 在 ，称 之 为 X 的 k 阶中 心 矩。 若 E ( X EX ) k (Y EY )l 存在，称之为 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩。
所以 EX 是一阶原点矩，DX 是二阶中心矩， 协方差 Cov(X,Y)是二阶混合中心矩。
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第四章
随机变量的数字特征
§5 矩
例1
设随机变量 X ~ N 0， σ 2 ，试求 E X n ．
(
)
( )
解：
X EX X 令：Y = = σ DX
所以，
+∞
则 Y ~ N (0， 1)．
E X
( ) = σ E (Y ) = σ ∫ y f ( y )dy =
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2) 若 ( X 1 ,L, X n ) 服从 n 维正态分布， Y1 ,L, Yn 是 X j ( j = 1,L, n) 的线性函数，则 (Y1 ,L, Yn ) 也服从正态分布。
3) 若 ( X 1 ,L, X n ) 服从 n 维正态分布，则 X 1 ,L, X n 相互独 立 X 1 ,L, X n 两两不相关。
1 2π
e
x2 2
;
则 所以
X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1), EX = EY = 0, DX = DY = 1.
随机变量 X 和 Y 的相关系数
第四章
随机变量的数字特征
§5 矩
ρ=
∞ ∞
∞ ∞
∫ ∫ xyf ( x, y)dxdy
∞ ∞ ∞ ∞ 1 = ∫ ∫ xy 1 ( x, y )dxdy + ∫ ∫ xy 2 ( x, y )dxdy 2 ∞∞ ∞ ∞
§5 矩
2 σ n n +1 = Γ π 2
n 2
其 中 Γ(t) = xt1ex dx.
0
∫
∞
利用 Γ 函数的性质： Γ (r + 1) = rΓ (r ) ，得
E Xn =
( )
2 σ
n 2 n 2
n 1 n 1 2 σ n n 1 n 3 n 3 Γ Γ = 2 2 2 2 2 π π
§5 矩 例3 设二维随机变量( X , Y )的密度函数为 1 f ( x, y ) = [1 ( x, y ) + 2 ( x, y )], 2 其中1 ( x, y )和 2 ( x, y )都是二维正态密度函数，且它们对应
(1) 求随机变量 X 和 Y 的密度函数 f X (x) 和 f Y ( y )， 及 X 和 Y 的相关系数 (2)问 X 和 Y 是否独立？为什么？ 解 （1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度都 是正态密度函数，因此有
1 2 dt
y= 2 t,
1 1 2 t 2 dt
2 dy = t =2 2 n +∞ n 1 n 1 2σ n 2 EX = t 2 e t dt 2 2π 0
∫
=
n 22
σ
π
n + ∞ n +1 1 t 2 e t dt
∫
0
=
n 22
σ n n +1 Γ( ) 2 π
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第四章
随机变量的数字特征
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第四章
随机变量的数字特征
§5 矩
例2 (1) 设 X , Y 独立，X ~ N (1,4), Y ~ N ( 2,9),
求： X Y 的分布； 2
(2) ( X , Y ) ~ N (1,2;4,9;0.5)
求： X Y 的分布； 2 ( 解：1) E ( 2 X Y ) = 2 EX EY = 0 D ( 2 X Y ) = 4 DX + DY = 4 × 4 + 9 = 25 则： X Y ~ N (0,25) 2
1 1 1 = = 0. 2 3 3
（2）由题设
9 9 2 ( x 2 + xy + y 2 ) 16 ( x 2 2 xy + y 2 ) 3 3 f ( x, y ) = + e 16 3 e , 8π 2
第四章
随机变量的数字特征
9 9 2 ( x 2 + xy + y 2 ) 16 ( x 2 2 xy + y 2 ) 3 3 f ( x, y ) = + e 16 3 e , 8π 2
n
n 2
2 σ n n 1 n 3 1 1 = L Γ 2 2 2 2 π = 2 σn
n 2
π
(n 1)!! π = σ n (n 1)!!
2
n 2
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第四章
随机变量的数字特征
§5 矩
因而 (n 1)!! n为偶数 = 0 n为奇数
其中，
1 3 5 L n n为奇数 n !!= 2 4 6 L n n为偶数
( 2) D( 2 X Y ) = 4 DX + DY 2 × 2COV ( X , Y ) = 25 - 4 ρ XY 1 DX DY = 25 4 × × 2 × 3 = 13 2
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则： X Y ~ N (0,13) 2
第四章
随机变量的数字特征
1 1 的二维随机变量的相关系数分别为 和 ，它们的边缘密 3 3 度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是1.
n n n
n n Y ∞
σ
n
+∞
2π
∞
∫y e
y2 n 2
dy
⑴．当 n 为奇数时，由于被积函 数是奇函数，所以 E X n = 0．
( )
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第四章
n +∞
随机变量的数字特征
y2 n y e 2
( 2)．当 n 为偶数时，由于被积函 数是偶函数，所以
EX
n
=
2
2σ
2π
∫
0
dy
y 令： = t , 则 2
特别，若
E X
X ~ N (0， 1) , 则
( )
n
(n 1)!! n为偶数 = , n = 4时， EX 4 = 3. n为奇数 0
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随机变量的数字特征
§5 矩
2、n维正态分布的性质
1) n 维随机变量 ( X 1 ,L , X n ) 服从 n 维正态分布 X 1 ,L , X n 的任意线性组合 l1 X 1 + L + ln X n 服从一维正态分布。
1 f X ( x) f Y ( y ) = e 2π
x2 2
e
y2 2
1 = e 2π
x2 + y2 2
,
f ( x, y ) ≠ f X ( x) f Y ( y ). 所以 X 与 Y 不独立.
第四章
小
结
1 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握 它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学 期望和方差。 2 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀 分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。 3 给出了契比雪夫不等式，要会用契比雪夫不等式 作简单的概率估计。 4 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的 性质与计算。 5 要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价 性。 6 给出了矩与协方差矩阵。
第四章
∞
随机变量的数字特征
∞ ∞ 1 f X ( x) = ∫ f ( x, y )dy = ∫ 1 ( x, y )dy + ∫ 2 ( x, y )dy 2 ∞ ∞ ∞
同理，
x 1 x 1 1 2 e + e 2 = 2 2π 2π
2
2
=
1 2π
e
x2 2
;
f Y ( y) =
第四章
随机变量的数字特征
§5 矩
§5 矩 1、定义 若 EX k 存 在 ， 称 之 为 X 的 k 阶 原 点 矩 。
若 E ( X EX ) k 存 在 ，称 之 为 X 的 k 阶中 心 矩。 若 E ( X EX ) k (Y EY )l 存在，称之为 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩。
所以 EX 是一阶原点矩，DX 是二阶中心矩， 协方差 Cov(X,Y)是二阶混合中心矩。
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第四章
随机变量的数字特征
§5 矩
例1
设随机变量 X ~ N 0， σ 2 ，试求 E X n ．
(
)
( )
解：
X EX X 令：Y = = σ DX
所以，
+∞
则 Y ~ N (0， 1)．
E X
( ) = σ E (Y ) = σ ∫ y f ( y )dy =