双曲线的简单几何性质(含解析)

双曲线的简单几何性质
班级：____________ 姓名：__________________
一、选择题
1．已知双曲线x 22－y 2a
＝1的一条渐近线为y ＝2x ，则实数a 的值为( ) A.2 B ．2 C.3 D ．4
2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于( ) A. 6 B.233
C.10
D. 3 3．已知双曲线x 212－y 2
4
＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )
A ．(－
33，33) B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦
⎤－33，33 D ．[－3，3] 4.双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( )
A.2
B.2 2
C.4
D.4 2
5.已知双曲线方程为
x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( ) A.4条
B.3条
C.2条
D.1条
6.已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5
B.2
C. 3
D. 2
7．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上的点，F 1、F 2是其焦点，双曲线的离心率是54
，且∠F 1PF 2＝90°，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值(a ＞0，b ＞0)等于( )
A ．4
B ．7
C ．6
D ．5
8.已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )
A.355
B.62
C.32
D.55
9.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.3x ±4y ＝0
B.3x ＋5y ＝0
C.5x ±4y ＝0
D.4x ±3y ＝0 二、填空题
10．已知F 是双曲线x 24－y 212
＝1的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，若A (1，4)，则|PF |＋|PA |的最小值是________．
11．设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率的最大值为________．
12．已知直线l ：x －y ＋m ＝0与双曲线
x 2－y 22
＝1交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则m 的值是________．
13．如果双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．
三、解答题
14．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；
(3)求△F 1MF 2的面积．
x2 16＋y2
64＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率.
15.双曲线与椭圆
16.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0).
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k
的取值范围.
双曲线的简单几何性质
班级：____________ 姓名：__________________
一、选择题
1．已知双曲线x 22－y 2a
＝1的一条渐近线为y ＝2x ，则实数a 的值为( ) A.2 B ．2 C.3 D ．4
解析：由题意，得2＝
a 2，所以a ＝4. 答案：D
2．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于( )
A. 6
B.233
C.10
D. 3 答案：C
3．已知双曲线x 212－y 2
4
＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )
A ．(－
33，33) B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦
⎤－33，33 D ．[－3，3] 解析：由题意知，F (4，0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33
x ，当过F 点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知应选C.
答案：C
4.双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( ) 【导学号：37792075】
A.2
B.2 2
C.4
D.4 2
【解析】 由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得
32
c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C. 【答案】 C
5.已知双曲线方程为
x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( ) A.4条 B.3条
C.2条
D.1条 【解析】 因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.
【答案】 B
6.已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )
A. 5
B.2
C. 3
D. 2
【解析】 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，
∴M 点的坐标为()2a ， 3a .
∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2
b
2＝1，a ＝b ， ∴c ＝2a ，e ＝c a ＝ 2.故选D.
【答案】 D
7．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上的点，F 1、F 2是其焦点，双曲线的离心率是54
，且∠F 1PF 2＝90°，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值(a ＞0，b ＞0)等于( )
A ．4
B ．7
C ．6
D ．5
答案：B
8.已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )
A.355
B.62
C.32
D.55
【解析】 曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3,0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b
2＝2，
即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355
，选A. 【答案】 A
9.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.3x ±4y ＝0
B.3x ＋5y ＝0
C.5x ±4y ＝0
D.4x ±3y ＝0
【解析】 由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以
4a ＝3b ，从而b a ＝43
，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D. 【答案】 D
二、填空题
10．已知F 是双曲线x 24－y 2
12
＝1的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，若A (1，4)，则|PF |＋|P A |的最小值是________．
解析：因为A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F ′(4，0)，于是由双曲线的定义得|PF |－|PF ′|＝2a ＝4.
而|P A |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5.两式相加得|PF |＋|P A |≥9，当且仅当A ，P ，F ′三点共线时，等号成立． 由双曲线的图象可知当点A 、P 、F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小，易求得最小值为|AF 1|＝5， 故所求最小值为9.
答案：9 11．设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率的最大值为________．
解析：依据双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，
又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 1|＋|PF 2|＝10a 3
≥2c ， 所以e ＝c a ≤53，e max ＝53
. 答案：53
12．已知直线l ：x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22
＝1交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则m 的值是________．
解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1， 消去y 得x 2－2mx －m 2－2＝0.
Δ＝4m 2＋4m 2＋8＝8m 2＋8>0.
设A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．
则x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2 m ＝4 m ，
所以线段AB 的中点坐标为(m ，2 m )，
又因为点(m ，2 m )在圆x 2＋y 2＝5上，
所以5 m 2＝5，所以m ＝±1.
答案：±1
13．如果双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________． 解析：如图，
因为OA ＝AF ，F (c ，0)，
所以x A ＝c 2
，因为A 在右支上且不在顶点处， 所以c 2>a ，所以e ＝c a
>2. 答案：(2，＋∞)
三、解答题
14．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；
(3)求△F 1MF 2的面积．
解：(1)因为e ＝ 2.
所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．
因为过点(4，－10)，所以λ＝16－10＝6，
所以双曲线的方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 2
6
＝1. (2)由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，
所以c ＝2 3.
所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．
所以MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )． 所以MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2.
因为M 在双曲线上，所以9－m 2＝6，
所以－3＋m 2＝0.所以MF 1→·MF 2→＝0.
(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝12
×43×3＝6. 15.双曲线与椭圆x 216＋y 2
64
＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率. 【解】 由椭圆x 216＋y 2
64
＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ，
∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2
a
2＝1. 又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24.
∴所求双曲线的方程为y 224－x 2
24
＝1. 由a 2＝24，c 2＝48，
得e 2＝c 2
a 2
＝2， 又e >0，∴e ＝ 2.
16.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0).
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k
的取值范围.
【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2. 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1，
故双曲线C 的方程为x 23
－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23
－y 2＝1中， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，
由直线l 与双曲线交于不同的两点得：
⎩⎨⎧ 1－3k 2≠0，Δ＝－62k
2＋361－3k 2>0， 即k 2≠13且k 2<1. ①
设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，
则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－9
1－3k 2， 由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2， 而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)·－9
1－3k 2＋2k ·62k
1－3k 2＋2＝3k 2＋7
3k 2－1，
于是3k 2＋7
3k 2－1>2，
解此不等式得1
3<k 2<3. ②
由①②得1
3<k 2<1. 故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－3
3∪⎝⎛⎭⎫3
3，1.。