四边形专项训练及答案

【详解】
作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN
∴S矩形EBNP= S矩形MPFD,
又∵S△PBE= S矩形EBNP，S△PFD= S矩形MPFD，
∴S△DFP=S△PBE= ×2×8=8，
6．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为()
A．4B．8C．6D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，AO=EO，∴AE=2AO=8，故选B．
∴BC＝AD，
设AB＝2x，则BC＝x．
如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形BOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，
∴四边形BOCE是菱形．
∴OE与BC垂直平分，
∴EF＝ AD＝ x，OE∥AB，
∴四边形AOEB是平行四边形，
∴OE＝AB＝2x，
∴CF＝ OE＝x．
∴tan∠EDC＝ ＝ ＝ ．
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．
5．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接AD，根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
解：连接AD
∵AB=AC，D为BC的中点，BC=12，
∴AD⊥BC，BD=DC=6，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD= ，
∵S△ADB= ×AD×BD＝ ×AB×DE，
A．2B．4C．2 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
点P、Q的速度比为3： ，根据x＝2，y＝6 ，确定P、Q运动的速度，即可求解．
【详解】
解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC＝ a，
设P、Q同时到达的时间为T，
则点P的速度为 ，点Q的速度为 ，故点P、Q的速度比为3： ，
故设点P、Q的速度分别为：3v、 v，
∴DE= ，
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．
9．如图，把矩形 沿 对折后使两部分重合，若 ，则 =（）
A．110°B．115°C．120°D．130°
【答案】B
【解析】
【分析】
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，
∴AO＝ ，
∴AC＝16，BD＝12，
∴菱形面积＝ ＝96，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．
2．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
【详解】
A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，
B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，
C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，
D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．
在矩形ABCD中，AB＝CD，
∵AE平分∠BED，
∴AF＝AB，
∵BC＝2AB，
∴BC＝2AF，
∴∠ADF＝30°，
在△AFD与△DCE中
∵∠C=∠AFD=90°,
∠ADF=∠DEC,
AF=DC,，
∴△AFD≌△DCE（AAS），
∴△CDE的面积＝△AFD的面积＝
∵矩形ABCD的面积＝AB•BC＝2AB2，
14．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（）
A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE= ∠ADCD．∠ADE= ∠ADC
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得，
∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，
10．如图，在▱ABCD中，E为边AD上的一点，将△DEC沿CE折叠至△D′EC处，若∠B＝48°，∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（ ）
A．33°B．34°C．35°D．36°
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得∠D＝∠B，由折叠的性质可得∠D'＝∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DEC，即为∠D'EC，而∠AEC易求，进而可得∠D'EA的度数．
四边形专项训练及答案
一、选择题
1．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线相交于点O，若OB＝6，则菱形面积是（ ）
A．60B．48C．24D．96
【答案】D
【解析】
【分析】
由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
则BQ＝ x＝4 ，CQ＝BC﹣BQ＝6 ﹣4 ＝2 ，
过点P作PH⊥BC于点H，
PC＝6，则PH＝PCsinC＝6× ＝3，同理CH＝3 ，则HQ＝CH﹣CQ＝3 ﹣2 ＝ ，
PQ＝ ＝ ＝2 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
A．13B．14C．15D．16
【答案】D
【解析】
【分析】
先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°，
由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°，
∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°，
∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°.
故选：B．
【点睛】
∴S阴=8+8=16，
故选C．
【点睛】
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．
13．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为AC的中点时，PQ的长为（ ）
由图2知，当x＝2时，y＝6 ，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，
BQ＝2× v＝2 v，
y＝ AB×BQ＝ 6v×2 v＝6 ，解得：v＝1，
故点P、Q的速度分别为：3， ，AB＝6v＝6＝a，
则AC＝12，BC＝6 ，
如图当点P在AC的中点时，PC＝6，
此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，
A．540°B．720°C．900°D．1080°
【答案】A
【解析】
【详解】
解：∵多边形的每一个外角都是72°，∴多边形的边数为： ，
∴该多边形的内角和为：（5-2）×180°=540边形的边数．根据多边形的内角和公式可求得该多边形的内角和．
根据翻折的性质可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【详解】
∵矩形 沿 对折后两部分重合， ，
∴∠3=∠2= =65°，
∵矩形对边AD∥BC，
∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．
12．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10B．12C．16D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据矩形的特点，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S矩形MPFD,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF= x，CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．
【详解】
解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，
A．24B．18C．12D．9
【答案】A
【解析】
【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．
【详解】∵E是AC中点，
∵EF∥BC，交AB于点F，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长是4×6=24，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.
3．如图，已知矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在BC边上，连接DE、AE，若EA平分∠BED，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
过点A作AF⊥DE于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB，利用全等三角形的判定和性质以及矩形的性质解答即可．
【详解】
解：如图，过点A作AF⊥DE于F，
∴2△ABE的面积＝矩形ABCD的面积﹣2△CDE的面积＝（2﹣ ）AB2，
∴△ABE的面积＝ ,
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB．
4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△BOC中，由勾股定理得，
∵OH⊥BC，
∴
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于利用两种方法表示△BOC的面积列出方程．
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（ ）
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．
11．下列命题中是真命题的是（）
A．多边形的内角和为180°B．矩形的对角线平分每一组对角
C．全等三角形的对应边相等D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【答案】C
【解析】
【分析】
根据多边形内角和公式可对A进行判定；根据矩形的性质可对B进行判定；根据全等三角形的性质可对C进行判定；根据平行线的性质可对D进行判定．
【点睛】
本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．
7．如图，菱形ABCD中，对角线BD与AC交于点O，BD=8cm，AC=6cm，过点O作OH⊥CB于点H，则OH的长为( )
A．5cmB． cm
C． cmD． cm
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB、OC，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据△BOC的面积列式计算即可得解．
即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，
由①×3-②可得3x-y=0，
所以 ，即∠ADE= ∠ADC．
故答案选D．
考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．
15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）