3.5.2——5.3 对数函数的图像和性质(1)

3.5.2 y＝log2x的图像和性质
3.5．3 对数函数的图像和性质(1)
导入新课
问题复习以下内容：(1)对数函数的定义；(2)对数函数的反函数．
这些定义与性质有什么作用呢？这就是我们本堂课的主讲内容，教师点出课题．
推进新课
新知探究
下面研究对数函数y＝log2x的图像和性质．可以用两种不同方法画出函数y＝log2x的图像．
方法一：描点法．
图2
方法二：画出函数x＝log2y的图像，再变换为y＝log2x的图像．
由于指数函数y＝a x和对数函数x＝log a y所表示的x和y这两个变量间的关系是一样的，因而函数x＝log2y和y＝2x的图像是一样的(如图3(1))．
用x表示自变量，把x轴、y轴的位置互换，就得到y＝log2x的图像(如图3(2))．
(1) (2)
图3 图4 习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，把图3(2)翻转，使x轴在水平位置，得到通常的y＝log2x的图像(如图4)．
观察对数函数y＝log2x的图像，过点(1,0)，即x＝1时，y＝0；函数图像都在y轴右边，表示了零和负数没有对数；当x＞1时，y＝log2x的图像位于x轴上方，即x＞1时，y ＞0；函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．
对数函数y＝log a x(a＞0，a≠1)，在其底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图像和性
定义域：(0，＋∞)定义域：(0，＋∞)
值域：R值域：R
(1,0)，即x＝1时，(1,0)，即x＝1时，
＞1时，y＞0；＞1时，y＜0；
＜1时，y＞0
提出问题
根据你掌握的知识目前比较数的大小有什么方法？
判断函数的单调性有哪些方法和步骤？
判断函数的奇偶性有哪些方法和步骤？
活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．
问题(1)学生回顾数的大小的比较的方法，有些数一眼就能看出大小，有些数比较抽象，就用到某些函数的图像和性质，要分别对待，具体问题具体分析．
问题(2)学生回顾判断函数的单调性的方法和步骤，严格按步骤与规定．
问题(3)学生回顾判断函数的奇偶性的方法和步骤，严格按步骤与规定．
讨论结果：(1)比较数的大小：
①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．
②作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小．
③计算出每个数的值，再比较大小．
④是两个以上的数，有时采用中间量比较．
⑤利用图像法．
⑥利用函数的单调性．
(2)常用的方法有定义法、图像法、复合函数的单调性的判断．
利用定义证明单调性的步骤：
①在给定的区间上任取两个自变量的值x1，x2，且x1＜x2.
②作差或作商(同号数)，注意变形．
③判断差的符号，商与1的大小．
④确定增减性．
对于复合函数y＝f[g(x)]可以总结为：
当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f[g(x)]是增函数；
当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f[g(x)]是减函数．
又简称为口诀“同增异减”．
(3)有两种方法：定义法和图像法．
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系；
③作出相应结论：
若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；
若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．
图像法：
偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称．这也可以作为判断函数奇偶
性的依据．下面看它们的应用．
应用示例
例1 比较下列各组数中的两个值的大小：
(1)log 25.3，log 24.7；(2)log 0.27，log 0.29；(3)log 3π，log π3；(4)log a 3.1，log a 5.2(a ＞0，a ≠1)．
活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，并及时评价．对(1)与(2)由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成，直接利用对数函数的单调性；作出图像，利用图像法比较；计算出结果；作差利用对数函数的性质．对(4)因为底数的大小不确定，因此要分别讨论，再利用对数函数的单调性；作差利用对数函数的性质；转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小．对(3)两个对数式的底数和真数均不相同．设法找到一个具体的对数函数，根据这个函数的单调性来比较它们的大小，题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较．
解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数y ＝log 2x 的图像，如图5.
图5
在图像上，横坐标为4.7的点在横坐标为5.3的点的下方，
所以log 24.7＜log 25.3.
解法二：由函数y ＝log 2x 在R ＋上是单调增函数，且4.7＜5.3，
所以log 24.7＜log 25.3.
(2)因为0.2＜1，函数y ＝log 0.2x 是减函数，7＜9，所以log 0.27＞log 0.29.
(3)解法一：因为函数y ＝log 3x 和函数y ＝log πx 都是定义域上的增函数，
所以log π3＜log ππ＝1＝log 33＜log 3π.所以log π3＜log 3π.
解法二：直接利用对数的性质，log π3＜1，而log 3π＞1，因此log π3＜log 3π.
(4)解法一：当a ＞1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，且3.1＜5.2，所以log a 3.1＜log a 5.2.
当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，且3.1＜5.2，所以log a 3.1＞log a 5.2. 点评：对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明时，需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．同时本题采用了多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用.
变式训练
比较log 20.7与log 130.8两值的大小．
解：考查函数y ＝log 2x .
因为2＞1，所以函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数．
又0.7＜1，所以log 20.7＜log 21＝0.再考查函数y ＝log 13
x ，
因为0＜13＜1，所以函数y ＝log 13
x 在(0，＋∞)上是减函数． 又1＞0.8，所以log 130.8＞log 131＝0.所以log 20.7＜0＜log 13
0.8.
点评：题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较，这里的中间量是0.
例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝log a x2；(2)y＝log a(4－x)．
活动：学生回忆，教师提示，学生展示解题过程，教师巡导，及时评价学生．此题主要利用对数及对数函数的定义及y＝log a x的定义域(0，＋∞)求解．教师引导，学生回答，求函数定义域时应首先考虑函数解析式，这两类题既有二次根式，又有对数和指数式，且真数和指数中含有变量，因此考虑被开方数非负；零和负数没有对数等；转化为不等式来解．解：(1)要使函数有意义，则需x2＞0，即x≠0，所以定义域为{x|x≠0}；
(2)因为4－x＞0，即x＜4，所以函数定义域为{x|x＜4}．
点评：该题主要考查对数函数及其性质，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可．
课堂小结
本节课复习了对数函数及其性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的内容进行了学习，要高度重视，特别是要和高考接轨，注意题目的形式和难度．
课后作业 p97 A组3
补充：
1．求函数y＝lg x＋lg(5－2x)的定义域．
(x2－2x－3)的单调区间，并用单调定义给予证明．2．求函数y＝log
1
2
3．已知y＝log a(2－a x)在[0,1]上是x的减函数，求a的取值范围．。