海淀区2023-2024学年第二学期期末高二数学试题答案

数学参考答案第1页（共6页）
海淀区2024年高二年级学业水平调研
数学参考答案
2024.07
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）B （2）B （3）C （4）B （5）A （6）B
（7）C
（8）C
（9）D
（10）D
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11）24（12）0,1；23
（13）21
n n --（14）0.7；0.22
（15）①③④
三、解答题（共4小题，共40分）（16）（共8分）
解：（Ⅰ）()f x 在(,0)-∞上单调递增，证明如下：
因为2()(1)e x f x x x =--，
所以'()e (1)e 2e 2(e 2)x x x x f x x x x x x =+--=-=-，又因为(,0)x ∈-∞，从而e 2120x -<-<，所以'()(e 2)0x f x x =->，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：'()(e 2)x f x x =-，
因为(0,)x ∈+∞，令'()0f x =，得ln 2x =．
()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：
x
ln 2(0,)
ln 2ln 2(,)
+∞'()f x -
+
()
f x ↘极小↗
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因为02(0)(01)e 010f =--=-<，
2222(2)(21)e 2e 20f =--=->，
所以由零点存在定理及()f x 单调性可知，()f x 在(0,)+∞上恰有一个零点．
（17）（共10分）
解：（Ⅰ）记A 表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足1A q >且2B q >”．
用频率估计概率，则3
()10
P A =
．所以该产品满足1A q >且2B q >的概率为
310
.（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2.
511(0)10816P X ==⨯=，51571(1)1081082
P X ==
⨯+⨯=，577(2)10816
P X ==
⨯=.所以X 的分布列为
X 012P
116
12
716
所以X 的数学期望为11711012162168
EX =⨯
+⨯+⨯=.（Ⅲ）甲生产线上的产品质量更好，
因为甲生产线上Q 值的平均值0.80
0.0810
Q ==甲，乙生产线上Q 值的平均值0.87
0.18
Q =
>乙，所以甲生产线上Q 值的平均值明显比乙小，所以甲生产线上的产品质量更好．
其它理由：计算甲生产品的Q 值小于乙的概率
744+5+5+4+3+5+2+691
810162
++=>
⨯（注：答案不唯一，理由需要支撑相应结论，只计算甲乙方差不能作为理由。

）
数学参考答案
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（18）（共11分）
解：（Ⅰ）当3,1a b =-=-时，1
()3ln f x x x x
=--，(1)0f =，所以2
31'()1f x x x =-+，所以'(1)1f =-.
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-+.
（Ⅱ）因为()ln b
f x x a x x =++
，(0,)x ∈+∞.所以222
'()1a b x ax b
f x x x x +-=+-=.
因为()f x 有两个极值点12,x x ，所以'()f x 有两个大于0的变号零点，所以方程20x ax b +-=有两个不等正根，所以212124000a b x x b x x a ⎧∆=+>⎪=->⎨⎪+=->⎩，解得2400
a b
b a ⎧>-⎪
<⎨⎪<⎩
.
又因为12()()0f x f x +=，即有112212
ln ln 0b b
x a x x a x x x ++
+++=，整理得12
121212
()ln()0x x x x a x x b x x ++++=，代入1212,x x b x x a =-+=-，可得()ln()0a
a a
b b
b
--+-+=-，解得1b =-.又因为240a b
a ⎧>-⎨<⎩
，所以可得2a <-.
经检验，符合题意.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知1b =-且2a <-，从而1
()ln f x x a x x
=+-
，因为()1f x x ≥-+在[1,)+∞上恒成立，
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令1
()()12ln 1g x f x x x a x x
=+-=+-
-，[1,)x ∈+∞.则有()0g x ≥在[1,)+∞上恒成立，易得(1)2ln1110g a =+--=，
因为222
121
'()2a x ax g x x x x ++=++=，所以'(1)3g a =+，
令2()21h x x ax =++，[1,)x ∈+∞，()13h a =+，对称轴4
a
x =-.（1）当32a -≤<-时，()130h a =+≥，344
a x =-
≤，所以()h x 在[1,)+∞单调递增，从而()(1)30h x h a ≥=+≥恒成立，所以2
()
'()0h x g x x =
≥在[1,)+∞也恒成立，所以()g x 在[1,)+∞单调递增，从而()(1)0g x g ≥=恒成立.（2）当3a <-时，()130h a =+<，
所以2210x ax ++=有两个不等实根34,x x （不妨设34x x <），所以341x x <<，且当4(1,)x x ∈时，()0h x <，从而2
()
'()0h x g x x =<，所以()g x 在4[1,]x 上单调递减，
所以4()(1)0g x g <=，与“()0g x ≥在[1,)+∞上恒成立”矛盾！综上，a 的取值范围是[3,2)--.
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（19）（共11分）
解：（Ⅰ）197m =，13b =，199m b =.
（Ⅱ）因为对任意1100i j ≤<≤，都有12112222i i i i i i a a a a +++++=+<<+，198i ≤≤，
所以12,,,m b b b 依次为
12122,
b =+13232322,22,b b =+=+14344622,,22,b b =+=+ 154571022,,22,b b =+=+ 1656111522,,22,b b =+=+ 1767162122,,22,b b =+=+
所以572022160b =+=.（Ⅲ）min 25j =.
先证明：25j ≥.方法1：
考虑从1100,,...,j j a a a -这102j -个数中任取2个求和，这些和都不小于1j j a a -+，
因为1i j j j a a a a -+≤+，所以2
102C 49502024j -+≤，从而2
102C 2926j -≤，因为2
77C 2926=，所以10276j -≤，即25j ≥．
方法2：
假设24j ≤，则23i ≤.则20252324i j b a a a a =+≤+，
因为满足2324()m k a a a a m k +<+<的必要条件是23m <（因为若23m ≥，则
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24k ≥，不等式不成立）
，所以小于2324a a +的和式至多有以下情况：
12131100,,,a a a a a a +++ ；23210023,,,a a a a a a +++ ；
……
2223222422100,,,a a a a a a +++ ；
共99+98+ (78)
()997822
194720242
+⨯=<，不合题意.
其次，证明存在符合要求的数列.构造：令1
112k k a -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
，1,2,,99k = ，1001a =.
显然满足12100a a a <<< ，且1
1
100
1211122222k k k k k k a a a a -+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-<--=+ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
，1,2,,98k = .
此时，20252425b a a =+，故min 25j =.
（注：n a 构造方法不唯一）。