沪科版八年级数学下册 第17章 一元二次方程 17.4 一元二次方程的根与系数的关系(课件)

x1+x2
=
b a
，
x1x2
=c a
.
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
b b2 4ac
x1 =
2a
b b2 4ac
x1 =
2a
所以 x1 + x2 = b
b2 4ac 2a
+b b2 4ac 2a
=2b = b
2a
a
x1x2 = b
b2 4ac 2a
·b b2 4ac 2a
= 4ac = c 4a2 a
韦达定理
如果 ax2+ bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x1，x2，
1 x2 2
4 x2
4 2
k7
答：方程的另一个根为 1 ，k 的值为 7.
2
想 一 想 本题还有别的解法吗？
解 将 x = –4 代入方程，得
2×（ –4 ）2 +（ –4 ）k – 4 = 0. 解得 k = 7.
将 k = 7代入方程，得 2x2 + 7x – 4 = 0，
解得
x1
1 2
x2 4
随堂演练
1. 关于 x 的方程 x2 + px + q = 0 的根为 x1
= 1+2 ，x2 = 1 2– ，则 p–2= ，–q1=
.
2. 已知方程 5x2 + kx – 6 = 0 的一根是 2，
则另一根是 3 ， k＝–7 .
5
3. 求下列方程的两根 x1，x2 的和与积： （1）x2 – 3x + 2 = 0； （2）x2 + x = 5x +
17.4 一元二次方程的根与系数的关系
沪科版·八年级数学下册
探究
新课导入
你是否注意到每个方程中的两根之间的关系？ 两根之和（x1 + x2）、两根之积（x1x2）与该方程的 各项系数之间有怎样的关系？填写下表，然后观察 根与系数的关系：
新课探究
方程
x1
x2 x1+x2 x1x2
x2 + 2x – 15 = 0 –5 3
那么
x1 +
x2
=
b a
，
x1x2
=c a
.
当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的标 准形式为 x2 + px + q = 0. 设它的两个根为 x1，x2， 这时韦达定理应是：x1 + x2 = –p，x1x2 = q.
练习
不解方程，求下列方程两根的和与积.
x2 – 3x = 15；
5x2 – 1 = 4x2 + x
(1) 1 1 x1 x2 5 5 x1 x2 x1 x2 7 7
(2) x12 x22 x12 2 x1 x2 x22 2 x1 x2 ( x1 x2 )2 2 x1 x2 52 2 (7)
39
5. 已知关于 x 的方程 x2 –（2m + 3）x + m2 = 0
例 2 方程 2x2 – 3x + 1 = 0 的两个根记
作x1，x2，不解方程，求 x1 – x2 的值.
解
由韦达定理，得
x1
+
x2
=
3 2
，
x1x2
=1 2
.
（x1 – x2）2 =（x1 + x2）2 – 4x1x2
3 2
2
4
1 2
1 4
∴
1 x1 – x2 = 2
引申：若 ax2 bx c 0（a 0 0） （1）若两根互为相反数，则 b 0； （2）若两根互为倒数，则 a c； （3）若一根为 0，则 c 0； （4）若一根为 1，则 a b c 0； （5）若一根为 1，则 a b c 0； （6）若 a、c 异号，方程一定有两个实数根.
的两根之和等于两根之积，求 m 的值.
解：设方程 x2 – （2m + 3）x + m2 = 0 的两根为 x1，x2. ∴ x1 + x2 = 2m + 3，x1x2 = m2. 根据题意得 m2 = 2m +3，解得 m1= 3，m2 = – 1. 当 m = 3 时，原方程为 x2 – 9x + 9 = 0，
b2 – 4ac = 45 > 0. 方程有实数根. 当 m = –1 时，原方程为 x2 – 4ac = – 3 < 0. 方程无实数根，此 m 值舍去. ∴ m 的值为 3.
课堂小结
韦达定理
如果 ax2+ bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x1，x2，
那么
6 解：x1 + x2 = 3 x1x2 = 2
解：化简得 x2 – 4x – 6 = 0
x1 + x2 = 4 x1x2 = – 6
4. x1，x2 是方程 x2 – 5x – 7 = 0 的两根，不 解方程求下列各式的值：
（1）1 1
x1 x2
；（2）x12 x22
.
解：∵ x1，x2 是方程 x2 – 5x – 7 = 0 的两根. 则 x1 + x2 = 5，x1x2 = – 7 .
–2 –15
1
4
1
3x2 – 4x + 1 = 0 3
1
3
3
2x2 – 5x + 1 = 0 5 17 5 17 5
1
4
4
2
2
猜想：方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的根
如果是 x1、x2，那么 x1+x2=ab_____，x1x2ac =_____.
你能证你的猜想吗？
我们知道，一元二次方 ax2+ bx + c = 0 （a ≠ 0）的两根为
解：x1 + x2 = 3 x1x2 = –15
解：化简得 x2 – x – 1 = 0 x1 + x2 = 1 x1x2 = –1
例 1 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 的 一个根是 –4，求它的另一个根及 k 的值.
解 设方程的另一个根是 x2，则
4
x2
k 2
解方程组，得