高考数学压轴专题人教版备战高考《平面向量》真题汇编附答案

【高中数学】数学复习题《平面向量》知识点练习
一、选择题
1．在ABC V 中，4AC AD =u u u r u u u r
，P 为BD 上一点，若14
AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，则实数λ的值
（ ）
A ．
34
B ．
320
C ．
316
D ．38
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，可得出144
λ=+u u u r u u u r u u u r
AP AB AD ，由于B ，P ，D 三点共线，根据向量共线定
理，即可求出λ. 【详解】
解：由题知：4AC AD =u u u r u u u r ，14
AP AB AC λ=+u u u
r u u u r u u u r ，
所以144
λ=+u u u r u u u r u u u r AP AB AD ，
由于B ，P ，D 三点共线，
所以1
414
λ+=， ∴316λ=
． 故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的共线定理以及平面向量基本定理的应用.
2．在ABC ∆中，已知8AB =，4BC =，6CA =，则AB BC ⋅u u u v u u u v
的值为（ ）
A ．22
B ．19
C ．-19
D ．-22
【答案】D 【解析】
由余弦定理可得22211
cos 216
AB BC AC B AB BC +-==⋅，又
()11cos 482216AB BC AB BC B π⎛⎫
⋅=⋅⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D.
【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）
222
cos 2b c a A bc
+-=
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o
o
o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
3．若向量a b r r ，的夹角为3
π
，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ）
A ．1
2
-
B ．
12
C
．
2
D
． 【答案】A 【解析】 【分析】
由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =⋅r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r
，可得20t a a b ⋅+⋅=r r r
，即可得出答案.
【详解】
由|2|||a b a b -=+r r r r
两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r .
即22b a b =⋅r r r ，也即22cos 3
b a b π
=r r r ，所以b a =r r .
又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ⋅+=r r r
，即20t a a b ⋅+⋅=r r r .
所以222
1122b
a b t a b
⋅=-=-=-r r r r r 故选：A 【点睛】
本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.
4．在平行四边形OABC 中，2OA =
，OC =
6
AOC π
∠=
，动点P 在以点B 为圆
心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则43λμ+的最大值为（ ）
A ．2+
B ．3+
C ．5+
D ．7+
【答案】D 【解析】 【分析】
先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，再求出
7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r
的最大值为.
【详解】
如图所示，由2OA =，6
AOC π
∠=
，
由余弦定理得24+3221,1AC AC =-⨯=∴=， ∴90OCA BAC ∠=∠=o , ∴圆B 与AC 相切于点A ， 又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，
∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
；
∴()
43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
；
如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6
BAD π
∠=
,
所以3,2AD DB OB ===∴==, 所以
7
cos
BOA ∠==
,
所以
27
OB OA ⋅==u u u r u u u r ，
因为BP OA ⋅u u u r u u u r
2cos0⨯=o ，
∴43λμ+的最大值是7+. 故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v
（）
A ．4
B ．6
C ．23
D ．43
【答案】B 【解析】 【分析】
根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 【详解】 如图所示，
菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，
∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，
∴|||3
302|3262
BD CD BD CD cos =⨯⨯︒=⨯=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．
6．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，2
2
20OB OA +=，若平
面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r
，则PO 的最大值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【答案】C
【解析】 【分析】
设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =u u u r u u u r
可得262m x n y
=-⎧⎨
=-⎩，再根据22
20OB OA +=可得
点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值. 【详解】
设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--u u u r ，(),2PA x y =--u u u r
. 由3PB PA =u u u r u u u r
可得363m x x n y y
-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y
=-⎧⎨
=-⎩，
因为2
2
20OB OA +=，故()2
2443420x y +-+=，
整理得到()2
234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2，
故PO 的最大值为325+=， 故选：C. 【点睛】
本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.
7．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r
满足(3)10a b c +⋅=r
r
r
，则x =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=r
r ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求
解，得到答案. 【详解】
由题意，向量(1,1)a =r
，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量
(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=r
r ，
所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r
，解得1x =，故选A.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
8．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r
（ ）
A ．3144A
B A
C -u u u
r u u u r B ．1136
AB AC -u u u r u u u r
C ．2133AB AC -u u u r u u u r
D ．3144AB AC +u u u
r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r
，化简得到答案. 【详解】 ()
11312444
MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
u u u u r r u u u r .
故选：A . 【点睛】
本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
9．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +⋅u u u
r u u u r 的最小值为
（ ） A ．1- B ．3-
C ．12
-
D ．32
-
【答案】A 【解析】 【分析】
建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解． 【详解】
建立如图所示坐标系，
设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以
(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r
，
故22
3131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭u u u r u u u r u u u r
22
3322122x y ⎛⎫⎛
⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
所以当3
2
x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-.
故选：A ． 【点睛】
本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
10．已知ABC V 为直角三角形，,6,82
C BC AC π
=
==，点P 为ABC V 所在平面内一
点，则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r
的最小值为（ ）
A ．252
-
B ．8-
C ．172
-
D ．175
8
-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据,2
C π
=以C 点建系, 设(,)P x y ,则2
2
325()=2(2)222PC PA PB x y ⎛⎫⋅+-+-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,即当
3
=2=2
x y ，时,取得最小值.
【详解】
如图建系，(0,0), (8,0), (0,6)C A B ,
设(,)P x y ，(8,)PA x y =--u u u r ，(,6)PB x y =--u u u r
， 则22()(,)(82,62)2826PC PA PB x y x y x x y y ⋅+=--⋅--=-+-u u u r u u u r u u u r
2
2
325252(2)2222x y ⎛
⎫=-+--≥- ⎪⎝
⎭.
故选:A. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的坐标表示及其应用,根据所求关系式运用几何意义是解题的关键,
11．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则λμ+=
（ ） A ．13
- B ．
13
C ．12
-
D ．
12
【答案】C 【解析】 【分析】
由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，列式分别求出λ和μ，即可求得
λμ+.
【详解】
解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点， 由向量的加减法运算， 得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，
则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩
，
则1
2
λμ+=-.
故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.
12．已知向量m =r
(1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r
，且m r ⊥n r
，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ） A ．
12
B ．2
C ．2
D ．﹣2
【解析】 【分析】
根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ2
22
26
sin cos cos sin cos θθθθθ
+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案. 【详解】
因为向量m =r (1，cosθ)，n =r
(sinθ，﹣2)，
所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r
因为m r ⊥n r ，
所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，
所以sin 2θ+6cos 2
θ2222
2626226
141
sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.
13．如图，在ABC V 中，已知D 是BC 边延长线上一点，若2B C C D =u u u v u u u v
，点E 为线段
AD 的中点，34
AE AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v
，则λ=（ ）
A ．
1
4
B ．14
-
C ．
13
D ．13
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由12AE AD =u u u r u u u r ，AD BD BA =-u u u r u u u r u u u r ，AC BC BA =-u u u
r u u u r u u u r ，32
BD BC =u u u r u u u r ，代入化简即可得出．
【详解】 13,,,22AE AD AD BD BA BD BC BC AC AB ==-==-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，带人可得
()
13132244AE AC AB AB AB AC ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，可得14λ=-，
故选B.
本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π
∠=
，若23
BD BC =u u u v u u u v ，则AD BD ⋅=
u u u v u u u v
（ ）
A ．
229
B ．229
-
C ．
169
D ．89
-
【答案】A 【解析】 【分析】
本题主要是找到两个基底向量AB u u u v ，AC u u u v ，然后用两个基底向量表示AD u u u v ，BD u u u v
，再通过
向量的运算即可得出结果． 【详解】
解：由题意，画图如下：
则：()
22223333
BD BC AC AB AB AC ==
-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u
v u u u v ， 2233AD AB BD AB AB AC =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1233
AB AC =+u u u v u u u v .
∴12223333AD BD AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22242999
AB AC AB AC =-⋅+⋅-⋅⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v
24249cos 999
AB AC BAC =-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠u u u
v u u u v
82423cos 993π=-+-⋅⋅⋅
229
=. 故选A ． 【点睛】
本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．
15．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，3CD a mb =+u u u r r r ，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（ ）
A ．23 B
．15 C ．72 D ．152
【答案】D 【解析】
【分析】 计算25AC a b =+u u u r r r ，得到()
253a b a mb λ+=+r r r r ，解得答案. 【详解】 ∵3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ，
∵A ，C ，D 三点共线，∴AC CD λ=u u u r u u u r ，即()
253a b a mb λ+=+r r r r ， ∴235m λλ=⎧⎨=⎩，解得2315
2m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 故选：D .
【点睛】
本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.
16．在ABC V 中，E 是AC 的中点，3BC BF =u u u r u u u r ，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则EF =u u u r
（ ）
A ．2136
a b -r r B ．1133a b +r r C ．1124a b +r r D ．1133
a b -r r 【答案】A
【解析】
【分析】 根据向量的运算法则计算得到答案.
【详解】
1223EF EC CF AC CB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()
12212336AC AB AC AB AC =+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2136a b =-r r . 故选：A .
【点睛】
本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.
17．已知A ，B 是圆22
4+=O: x y 上的两个动点，||2AB =u u u r ，1233OC OA OB =+u u u r u u u
r u u u r ，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值为（ ）. A ．3
B ．23
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】 判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB u u u r u u u r 为基底表示出OM u u u u r ，由此求得OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值.
【详解】 圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =u u u r ，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段
AB 的中点，所以1122
OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r .所以OC OM ⋅u u u r u u u u r 12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭u u u u u u r u u u r r u u u r 221116
23OA OA OB OB =+⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 21422cos603323
=+⨯⨯⨯+=o . 故选：D
【点睛】
本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
18．如图，向量a b -r r 等于
A ．1224e e --u r u u r
B ．1242e e --u r u u r
C ．123e e -r u u r
D ．123e e -+r u u r 【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】 由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r ，
19．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r ，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
（ ） A ．13 B ．22 C ．2D ．1
3
- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.
【详解】
//a b ∴r r
1cos tan sin 3
ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭
故选：D
【点睛】
本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.
20．在四边形ABCD 中,若12
DC AB =u u u r u u u r ,且|AD u u u r |=|BC uuu r |,则这个四边形是( ) A ．平行四边形 B ．矩形
C．等腰梯形D．菱形【答案】C
【解析】
由
1
2
DC AB
u u u r u u u r
知DC∥AB,且|DC|=
1
2
|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为|AD
u u u r
|=|BC
uuu r
|,
所以四边形ABCD是等腰梯形.选C。