广东省广州市荔湾区2016-2017学年高二下学期期末考试数学理试题

2016-2017学年第二学期教学质量监测试卷
高二数学(理科)
本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数2
12⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．下列命题中的假命题是
A ．,lg 0x x R ∈∃>
B ．,sin 1x x ∃∈=R
C ．2,0x x ∈∀>R
D ．,20x x ∈∀>R
3．设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x =
A.2e
B.e
C.ln 22
D.ln 2
4．已知A 是B 的充分不必要条件，C 是B 是必要不充分条件，A ⌝是D 的充分不必要条件，则C 是D ⌝的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知2~(,)Z N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，
(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544．若 (),~51X N ，则(67)P X <<等于
A ．0.3413
B ．0.4772
C ．0.1359
D ．0.8185
6．在四面体OABC 中，OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，OC c =uuu r r ，点M 在OA 上，且2OM MA =,
点N 是BC 的中点，则MN =uuu r
A ．211322a b c -++r r r
B ．121232
a b c -+r r r C ．111222a b c +-r r r D ．221332
a b c +-r r r
7．直线3,,022
x x y π
π===及曲线cos y x =所围成图形的面积是 A ．2 B ．3 C ．π D ．π2
8．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有
A ．80种
B ．100种
C ．120种
D ．126种
9．抛物线22y px =的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线的准线相切（O 为坐标原点），且外接圆的面积为π9，则p =
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
10．以下命题正确的个数为
(1)存在无数个∈βα,R ，使得等式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=-成立；
(2)在ABC ∆中，“6A π
>”是“1sin 2
A >”的充要条件； (3)命题“在ABC ∆中，若sin sin A
B =,则A B =”的逆否命题是真命题；
(4)命题“若6π
α=，则21s i n =α”的否命题是“若6πα≠，则2
1s i n ≠α”．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．如图，已知椭圆2
21:110
x C y +=，双曲线22
222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于,A B 两点，且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，
则2C 的离心率为
A ．9
B ．5
C ．5
D ．3
12．已知函数)(x f 的导函数为()f x '，且()()f x f x '>对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是
A ．(1)(0)f ef <，2(2)(0)f e f <
B ．(1)(0)f ef >，2(2)(0)f e f <
C ．(1)(0)f ef <，2(2)(0)f e f >
D ．(1)(0)f ef >，2(2)(0)f e f >
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．若双曲线2221(0)3
x y a a -=>的一个焦点恰好与抛物线28y x =的焦点重合，则双曲线
的渐近
线方程为 ．
14．代数式⋅
⋅⋅+++1111
1中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式t =,则1
1t t +=，则210t t --=，
取正值得12
t =
，用类似方法可得=⋅⋅⋅+++666 ． 15．用总长为24m 的钢条制作一个长方体容器的框架,若所制作容器底面为正方形,则这个
容器体积的最大值为 ．
16．在()()642x x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(),f m n ，则()()
3,45,3f f +＝ ．(用数字作答)
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17.（本小题满分10分）
已知数列{}n a 中，1112,2(1,2,3...)n n
a a n a +==-=． （Ⅰ）求234,,a a a 的值，猜想出数列的通项公式n a ；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．
18.（本小题满分12分） 已知函数()(,)b f x ax a b x
=+∈R 的图象过点))1(,1(f P ，且在点P 处的切线方程为
38y x =-．
（Ⅰ）求b a ,的值；
（Ⅱ）求函数)(x f 的极值．
19.（本小题满分12分）
如图四边形ABCD 为边长为2的菱形，G 为AC 与BD 交点，平面BED ⊥平面ABCD
，2,BE AE ==
第19题图D A G C
E
（Ⅰ）证明：BE ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）若120ABC ∠=，求直线EG 与平面EDC 所成角的正弦值．
20.（本小题满分12分）
某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如下的频率分布直方图：
（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：
海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X ，求X 的分布列和数学期望．
21.（本小题满分12分）
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3
()1,3--M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线02:=--y x l 与椭圆C 交于,A B 两点，点P 为椭圆C 上一动点，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标及△PAB 的最大面积．
22.（本小题满分12分） 已知函数21()ln(1)2
f x a x x x =++-，其中a 为实数． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：212()0f x x ->．。