【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式

二次函数一般式、顶点式、交点式
这节课我们学什么
1. 会用待定系数法求二次函数的解析式；
2. 会平移二次函数2(0)y ax a =≠的图象得到二次函数2()y a x h k =-+的图象；
了解特殊与一般相互联系和转化的思想；
3. 根据交点求解解析式．
知识点梳理
1、顶点式：()2y a x h k =-+的图像与性质
2、交点式：12()()y a x x x x =--的图像与性质
1x 、2x 分别是二次函数与x 轴的两个交点坐标，如果二次函数与x 轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()y a x x x x =--，然后再根据条件求出a 即可；
3、一般式2y ax bx c =++的性质
对于一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？
将一般式配方成顶点式：
2y ax bx c =++=2
()b c a x x a a ++=22222()44b b b c a x x a a a a ++-+ =222(())()22b b c b a x x a a a a
+++- =222424b b ac a x a a -⎛⎫+= ⎪⎝
⎭ 所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2b x a =-；顶点坐标为2424b ac b a
a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 1． 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为直线2
b x a
=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a
>-时，y 随x 的增大而增大； 2． 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a
a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2
b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a
>-时，y 随x 的增大而减小；
典型例题分析
1、 二次函数一般式；
例1、抛物线1422
-+-=x x y 的对称轴是直线 ．
【答案：1x =】
例2、抛物线2243y x x =-+的顶点坐标是 ．
【答案：(1,1)】
例3、二次函数223y x x =--，当0y <时，自变量x 的取值范围是 ． 【答案：根据一般式，画出图像，求出与x 轴的两个交点，位于x 轴下方的部分就是0y <；∴13x -<<】
例4、已知二次函数2
y ax bx c =++的图象如图，则a 、b 、c 的正负性分别是 ．
【答案：0a <；0b <；0c >】
例5、如果)21y A ，（-，)12y B ，（-为二次函数2
41y x x =-+的图像上的两点，试判断1y 与2y 的大小为 ．
【答案：21y y <】
例6、若二次函数()3212
2--++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值为 ． 【答案：3】
例7、二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么2
,4,2,abc b ac a b a b c -+++值为正数的有 个．
【答案：2】
例8、已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(2,0)-、1(,0)x 且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(0,2)的下方．下列结论：
①420a b c -+=；②0a b c -+>；③0a b c ++<；④0a b <<．
其中正确结论的是 ．
【答案：①正确，将2x =-即可；②正确，将1x =-代入得：0a b c -+>； ③错误，将1x =代入得：0a b c ++>；
④正确，将2x =-代入得：420a b c -+=，将1x =代入得：0a b c ++>，所以(42)()0a b c a b c -+-++<，整理得：330a b -<】
例9、已知二次函数2
231y x x =++的顶点是A ，与x 轴的两个交点为B 、C （B 点在C 点的左侧）与y 轴的交点为D ，求四边形ABCD 的面积．
【答案：31(,)48A --；(1,0)B -；1(,0)2C -；(0,1)D ；面积为932
】
2、 二次函数顶点式；
例10、把二次函数22
1x y =的图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得图像的解析式为： ． 【答案：21(1)32y x =
++或21722
y x x =++】
例11、如果抛物线23y x mx m =-++的顶点在x 轴上，那么m = ． 【答案：6m =或2m =-】
例12、抛物线21y ax =-上有一点(2,2)P ，平移该抛物线，使其顶点落在点
(1,1)A (1,1)A 处，这时，点P 落在点Q 处，则点Q 的坐标为 ．
【答案：(3,4)Q ，原函数顶点坐标是(0,1)-】
例13、将函数2287y x x =-+-写成()2
y a x m k =++的形式为_______________． 【答案：22(2)1y x =--+】
例14、已知函数()422-++=m m
x m y 是关于x 的二次函数，求：
（1）满足条件的m 的值；
（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，当x 为何值时，y 随x 的增
大而增大；
（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大
而减小？
【答案：（1）3m =-或2m =；
（2）2m =，(0,0)；当0x =时，y 有最小值为0，当0x >，y 随x 的增大而增大（3）3m =-，(0,0)；当0x =时，y 有最大值为0，当0x >，y 随x 的增大而减小】
例15、（1）若抛物线m mx x y 22
++=的顶点在y 轴右侧，求m 的取值范围； （2）已知抛物线22(1)16y x k x =-++的顶点在x 轴上，求k 的值； （3）若抛物线22(1)16y x k x =-++的顶点在y 轴，求k 的值．
【答案：（1）0m <；（2）3k =或5k =-；（3）1k =-】
3、 二次函数交点式；
例16、抛物线c bx x y ++=2经过点(0,3)-和)0,1(-，那么抛物线的解析式是 ． 【答案：223y x x =--】
例17、二次函数的图像经过点(1,0)-，(3,0)，且最大值是3，求二次函数的解析式．
【答案：2339424
y x x =-
++】
例18、已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的两交点的横坐标分别是1-和3，与y 轴交点的纵坐标是32
-；（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．
【答案：（1）21322
y x x =
--；（2）开口向上；对称轴：直线1x =；顶点坐标(1,2)】
课后练习
练1． 抛物线265y x x -=+的顶点坐标为 ．
【答案：(3,4)-】
练2． 已知一元二次方程230x bx -=+的一根为3-，在二次函数23y x bx +=-的图象上有三点14(,)5y -、25(,)4y -、31(,)6
y -，1y 、2y 、3y 的大小关系是 ． 【答案：123y y y <<】
练3． 已知函数21()32y k x x +=+－的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 ． 【答案：4k ≤】
练4． 若二次函数232y x x c =-
+图象的顶点在x 轴上，则c = ． 【答案：916
c =
】
练5． 抛物线2y ax bx c =++在点(3,1)处达到最高点，抛物线与y 轴交点的纵坐标为8-，则它的解析式为 ．
【答案：2
68y x x =-+-】
练6． 已知抛物线2y ax bx c =++经过(1,2)、(3,0)两点，它在x 轴上截得线段的长为6．求此抛物线的函数解析式．
【答案：21327828y x x =
-+或21944
y x =-+】
练7． 已知抛物线22y x mx =-+-与直线2y x b =-+相交于M N 、两点，点M 、点N 的横坐标分别是7和－2．
求：（1）M N 、两点的坐标；
（2）直线和抛物线的解析式；
（3）若坐标原点是O ，求MON ∆的面积．
【答案：（1）(7,30)M -，(2,12)N --；（2）232y x x =-+-；216y x =--；
（3）72MON S ∆=】
练8． 抛物线2
y ax bx c =++过点()0,1-与点()3,2，顶点在直线33y x =-上，0a <，求此二次函数的解析式．
【答案：142-+-=x x y 】
练9． 已知二次函数图象与x 轴交于(2,0)A -，(3,0)B 两点，且函数有最大值是2． （1） 求二次函数的图象的解析式；
（2） 设次二次函数的顶点为P ，求ABP ∆的面积．
【答案：（1）25
482582582++-
=x x y ；（2）5ABP S ∆=】
练10． 已知抛物线22y x mx m =-+-． （1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；
（2）若m 是整数，抛物线22y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值； （3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为.B 若M 为坐标轴上一点，且MA MB =，求点M 的坐标．
【答案：（1）240b ac ∆=->；
（2）2m =；（3）(1
)0，或(0,1)】
课后小测验
1. 将抛物线23
1x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ，再向右平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ，并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 ．
【答案：2123y x =
-；21(3)23
y x =--；(0,2)-；(3,2)-】
2. 抛物线1662--=x x y 的顶点坐标为_________．
【答案：(3,25)-】
3. 二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于________． 【答案：－6，6】
4. 已知抛物线的顶点坐标为(1,1)，且抛物线过原点，则抛物线的关系式是 ．
【答案：2
2y x x =-+】
5. 抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，ABC ∆的面积为1，则b 的值为______．
【答案：3-】
本章小结
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