12年杭州市高一统测数学(附答案)

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数学理卷·2012届浙江省杭州高中高三第二次月考试题(2011.10)

杭州高中2012届高三第二次月考数学试题（理科）注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，满分为150分，不得使用计算器； 2．答案一律做在答卷页上．第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R ，且}{|12A x x =->，{}2|680B x x x =-+<,则()uC A B ⋂=（）A ．[)1,4-B ．()2,3C ．(]2,3 Ｄ．(]1,4-2．在等比数列｛a n ｝中，3339a ,22s ==，则首项a 1=（）A ．23 B ．-23 C ．6或-23 Ｄ．6或233．已知3sin(),45x π-=则sin 2x的值为（）A ．1925B ．1625C ．1425 Ｄ．7254．=+-+++-)6tan()6tan(3)6tan()6tan(θπθπθπθπ（）A B C ． 5．定义在R 上的函数()x f 是奇函数又是以2为周期的周期函数,则()()()741f f f ++等于（）A ．– 1B ． 0C ．1 Ｄ． 46．函数x x x xe e y e e--+=-的图像大致为（）7．设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是（） A ．d ＜0 B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值8．设动直线x m =与函数3()f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M 、N ，则||MN 的最小值为（）A ．1(1ln 3)3+ B ．1ln 33C ．1(1ln 3)3-D ．ln31-9．正实数12x x 、及函数()f x 满足121()4,()()1,1()x f x f x f x f x +=+=-且则12()f x x +的最小值为（）A ．94 B ．49C ．54 Ｄ．4510．对于正实数α，记αM 为满足下述条件的函数)(x f 构成的集合：R x x ∈∀21,且12x x >，有)()()()(121212x x x f x f x x -<-<--αα．下列结论中正确的是（）A ．若2121)()(,)(,)(αααα⋅∈⋅∈∈M x g x f M x g M x f 则，ADB ．若2121)()(,0)(,)(,)(ααααM x g x f x g M x g M x f ∈≠∈∈则且’ C ．若2121)()(,)(,)(αααα+∈+∈∈M x g x f M x g M x f 则，D ．若212121)()(,,)(,)(αααααα-∈->∈∈M x g x f M x g M x f 则且．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．已知8079--=n n a n （n ∈N ＋），则在数列{a n }的前50项中最大项是第项．12．将函数111()sin sin (2π)sin (3π)442f x x x x =⋅+⋅+在区间(0,)+∞内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列｛a n ｝，则数列｛a n ｝的通项公式． 13．已知函数)3(sin 2π+=x y 与函数x a x y 2cos 2sin +=的图象是对称轴相同，则实数a 的值为．14．已知函数()f x 的导数()(1)()f x a x x a '=+-，若()f x 在x a =处取到极大值，则a 的取值范围是．15．如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等．设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则232311coscossinsin3333αααααα++-=____________ ．16．若1()1(1)f x f x +=+，当[0x ∈，1]时，()f x x =，若在区间(1-，1]内()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是．17．下列命题：①若)(x f 是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，)2,4(ππθ∈，则)(cos )(sin θθf f >；②若锐角α、β满足,sin cos βα> 则2πβα<+;③在ABC ∆中，“B A >”是“B A sin sin >”成立的充要条件;④要得到函数)42cos(π-=x y 的图象, 只需将2sin x y =的图象向左平移4π个单位．其中为真命题是．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且274sin cos 2.22B C A +-= （Ⅰ）求内角A 的度数；（Ⅱ）求cos cos B C +的范围．19．已知函数)2||,0,0)(sin()(1πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示：（Ⅰ）求此函数的解析式)(1x f（Ⅱ）若函数)(2x f 与函数)(1x f 的图象关于x =8对称，求函数)(2x f 的解析式；（Ⅲ）的单调区间求)()()(21x f x f x F +=20．已知函数3()log 3(13)f x x x =-≤≤，设)()()(22x f x f x F += （Ⅰ）求F （x ）的定义域和最大值，最小值．（Ⅱ）已知条件31:≤≤x p ，条件q p ,2)(:是且<-m x F q 的充分条件，求实数m 的取值范围．21．在数列{}n a 中，1a =0，且对任意k *N ∈，2k 12k 2k+1a ,a ,a -成等差数列，其公差为2k ．（Ⅰ）证明456a ,a ,a 成等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；yx22-（Ⅲ）nn a n a a T 2322232+++=ΛΛ记，证明：n 32n T 2n 2<-≤≥（2）．22．已知函数2()ln(1)()f x x ax a x a R =---∈ ．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）试说明是否存在实数(1)a a ≥使()y f x =的图象与5ln 28y =+无公共点．。

2012年杭州市滨江区各类高中招生考试数学模拟试卷与答案

E A2012年杭州市江干区各类高中招生模拟考试数学考生须知：1. 本试卷满分120分，考试时间100分钟；2. 答题前，在答题纸上写姓名和准考证号；3. 必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其它地方无效。

试题卷一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．我国以2011年11月1日零时为标准时点进行了第六次人口普查．根据普查数据，杭州市常住人口为870.04万人，其中870.04万人用科学记数法表示为 A. 0.87004×l07人B. 8.7004×l02人 C ，8.7004×106人D. 8.7004×107人2．A ．±(3.1-C. 3.1-D -3.13．暑假里，小红参加了为期5周的勤工俭学活动，各周的收入情况如右图所示，以下结论中与右图反映的信息不相符的是① 1～2周收入的增长率与4～5周收入的增长率相同； ② 1～4周收入的极差与1～5周收入的极差相同； ③1～5周收入众数是350元； ④1～5周收入的中位数是250元． A.①② B.②③ C ．①④ D. ③④ 4．因式分解x 3-2x 的结果是A ．x (x 2-2)B ．x (x -l)C ．(x x x+- D ．2(x x -5．将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点B 与AD 上的点B'重合，如BE=4，AB'=3，则BF 的长为 A.256B.3C. 12D. 156．将一根铁丝围成一个等腰三角形，围成的三角形的底边y 少与腰长x 之间的函数关系可能为7．菱形ABCD 中，如果AB 2=BD ×AC ，则∠ABC 的度数是 A. 60° B.30° C. 60°或120° ．D.30°或150°8．四边形ABCD 的四条边长AB= ，BC=5，CD=3，AD=2，∠D 为直角，则∠A 的外角的正切值为 A ．13B．23C.3D ．329．已知b <0<a ，则下列不等式组中一定无解的是 A .x a x b<-⎧⎨>⎩ B . x a x b<⎧⎨>-⎩ C . x a x b<-⎧⎨>-⎩ D . x a x b>-⎧⎨<-⎩10. DB 是⊙O 的切线，D 为切点，过圆上一点C 作DB 的垂线，垂足为B ，BC=3，sin ∠A=34，则⊙O 的半径为A.83B.3C. 256D.163二．认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案． 11.计算：÷+= ．（结果保留根号）12．己知1233()655x +-=，则1106x --= ．13.一枚均匀的正方体骰子，连续抛掷两次，朝上一面分别为m 、n ， A 的坐标为(m ，n ），则A 点在直线12y x=上的概率为．14．如图，⊙O 既是正△ABC 的外接圆，又是正△DEF 的内切圆，则内外两个正三角形的相似比是．15.定义[a ，b ，c ]为函数y=ax 2+ bx +c 的特征数，下面给出特征数为[2k ，1-k ，-1-k ]，对于任意负实数k ，当x <m 时，y 随x 的增大而增大，则m 的最大整数值是 . 16．直线y =a 分别与直线12y x=和双曲线1y x=交于A 、D 两点，过点A 、D 分别作x 轴的垂线段，垂足为点B ，C ．若四边形ABCD 是正方形，则a 的值为．三．全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17.（本小题满分6分）如图是一张平行四边形纸片沿对角线AC 剪去一部分后留下的一个三角形，试用两种不同的方法画出原来的平行四边形（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法），并写出所画图形是平行四边形的依据．αO18.（本小题满分8分）某校积极开展每天锻炼1小时活动，老师对本校八年级学生进行一分钟跳绳测试，并对跳绳次数进行统计，绘制了八(1)班一分钟跳绳次数的频数分布直方图和八年级其余班级．．．．一分钟跳绳次数的扇形统计图.已知在图1中，组中值为150次一组的频率为0.2.（说明: 组中值为190次的组别为 180≤次数＜200）请结合统计图完成下列问题：（1）八(1)班的人数是，组中值为110次一组的频率为；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）如果一分钟跳绳次数不低于120次的同学视为达标，八年级同学一分钟跳绳的达标率不低于90％，那么八年级同学至少有多少人？19.（本小题满分8分）二次函数的图象过点A(-2，5)、B(4，5)、C(O ，-3)．(1)求二次函数的解析式和图象的顶点坐标； (2)求此函数的图象与x 轴的交点坐标；(3)当y<0时，直接写出自变量x 的取值范围．20.（本小题满分10分）如图，一只纺锤可近似看作由两个圆锥拼合而成， AB=18，AD=9，r=3. (1)求纺锤的表面积；(2)一只蚂蚁要从C 点出发绕这只纺锤爬一圈回到原地，求蚂蚁爬过的最短路线长．21.（本小题满分10分）如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=105°，∠BOC=α．将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD. (1)试判断△COD 的形状，并说明理由．(2)△AOD 能否成为等边三角形？如能，请求出的值；如不能，请说明理由。

浙江省杭州市萧山二中12—13学年高一下学期期中考试数学试题(附答案)

2012学年第二学期期中考试题卷学科：数学满分： 100分考试时间： 90分钟命题人：陈维波审核人：瞿湖海考生须知：1、本卷共3页；2、答题前请在答题卷密封线内填好相关栏目。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 12＋a 13＝24，则a 7为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ． 92．已知{a n }是由正数组成的等比数列，S n 表示{a n }的前n 项的和，若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 5的值是( )A ．692B ．69C ．93D ．1893．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．45 D ．44＋14．sin330等于( )A B ．—12 C ．12D 5．已知sin()cos(2)()cos()tan f παπααπαα--=--，则31()3f π-的值为( )A ．12B ．13-C ．12-D ．13 6．已知函数y Asin(x )m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，两条对称轴间的最短距离为2π,直线6x π=是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是( )A ．426y sin(x )π=+B ．2226y sin(x )π=-++C ．223y sin(x )π=-++D ．223y sin(x )π=++7. 要得到函数)42cos(3π-=x y 的图象，可以将函数x y 2sin 3=的图象( )A.沿x 轴向左平移8π个单位 B.沿x 向右平移8π个单位 C.沿x 轴向左平移4π个单位 D.沿x 向右平移4π个单位8．已知cos(2)sin()4παπα-=-cos sin αα+等于( )A．-B． C ．12D ．12-9．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋a sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(a ＞0)的一条对称轴方程为x ＝π2，则a 等于( ) A ．1 B ． 3 C ．2 D ．310．在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值()A ．33 B ．36 C ．63 D ．66二、填空题：本大题有6小题, 每小题4分, 共24分．请将答案填写在答题卷中的横线上． 11．=+047sin 13sin 133cos 13cos ．12．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 2014＝________13．函数f (x )=cos 2x +sin x 的最小值是________14．函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的部分图象如下图所示，则)11()3()2()1(f f f f ++++ 的值等于15．若sin(+)=35，sin(-)=15，则tan tan αβ=________ 16．已知A 船在灯塔C 北偏东80o处，且A 船到灯塔C 的距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西40o处，A 、B 两船间的距离为3km ，则B 船到灯塔C 的距离为____________km三、解答题：本大题有4小题, 共36分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤 17．已知函数2()sincos cos 1222x x xf x =+- （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间（Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值18．设函数2()sin sin()cos 2f x x x x π=++，在△ABC 中，角A 、Ｂ、Ｃ的对边分别为a,b,c(Ⅰ)求()f x 的最大值(Ⅱ)若()1f A =,712A B π+=,b =求A 和a19．设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且1cos 2a C cb -=. (Ⅰ)求角A 的大小(Ⅱ)若1a =, ABC ∆的周长用角B 表示并求周长取值范围20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项n a 满足11n n S qa q =--（q 是常数，0q >且1q ≠）。

杭二中2012年高一下学期期末模拟数学试卷

2012学年杭州二中高一市统测模拟考试数学试题满分100分.考试时间90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合A= {}}13,04x x x B xx ->=<-⎧⎨⎩，则A I B=（）A.∅B.（3，4）C.（－2，1）D.（4+∞） 2. 要得到)32sin(π+=x y 的图象，只需把x y 2sin =的图象（）A ．向右平移3π个单位 B ．向左平移3π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位 3. 若x 为三角形的最小内角，则函数sin cos y x x =+的值域是（）A ．(1,2]B ．3(0,] C ．(1,2) D ．12(,]2 4.已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（）A.21B.20C.19D.185. 设2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+=（） A ．1318 B ．1322 C ．322 D ．166. 已知||22p =u r ，||3q =r ，,p q u r r 的夹角为4π，如图，若52AB p q =+u u u r u r r ，3AC p q =-u u u r u r r ，D 为BC 的中点，则||AD u u u r为（）A ．215B ．215C ．7D ．187. 若a >b >1, P =b a lg lg ⋅, Q =21(lg a +lg b )，R =lg 2b a +, 则（） A ．R <P <Q B ．P <Q <R C ．Q <P <R D ．P <R <Q 8. 设ABC ∆的三个内角为A,B,C ，向量()(),cos 3,cos ,sin ,sin 3A B n B A m ==若1cos()m n A B ⋅=++u r r，则C 等于（）A.6πB.3πC.23πD.56π9. R 上的单调函数，则实数a 取值范围为（） A ．（1，∞+） B ．（1，8） C ．（4，8）D ．[)8,410. 已知数列1212:,,...,(0...,3)n n A a a a a a a n ≤<<<≥具有性质P ：对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P ； ②数列0，2，4，6具有性质P ；③若数列A 具有性质P ，则10a =；④若数列123,,a a a 123(0)a a a ≤<<具有性质P ，则1322a a a +=，其中真命题有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11. sin 390o = .12. 等差数列{}n a 共有2m 项，其中奇数项之和为90，偶数项之和为72，且2133m a a -=-，则该数列的公差为__________. 13. 已知函数20133()8bf x x ax x=+--，10)2(=-f ，则(2)f = . 14. 设A 为关于x 的不等式(1)1ax x -≥的解集.若2,3A A ∉∈，则实数a 的取值范围为 .15. 如图，某城市的电视发射塔CD 建在市郊的小山上，小山的高BC 为35米，在地平面上有一点A ，测得A 、C 间的距离为91米.从A 观测电视发射塔CD 的视角（∠CAD）为45°，则电视发射塔高CD 为 .16. 函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件：① (0)0f =；②(1)()1f x f x -+=[]0,1x ∈； ③当x ∈时，()2f x x ≥恒成立.则17. 设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射V a V V f ∈→,:，记的象为)(f .若映射V V f →:满足：对所有V ∈,及任意实数,λμ都有)()()(f f f μλμλ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换.现有下列命题：①设f 是平面M 上的线性变换，则0)0(=f ②对V a ∈设a a f 2)(=，则f 是平面M 上的线性变换；③若e 是平面M 上的单位向量，对V a ∈设e a a f -=)(，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，V b a ∈,，若b a ,共线，则)(),(b f a f 也共线.其中真命题是（写出所有真命题的序号）2012学年杭州二中高一市统测模拟考试数学答卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11． 12. 13. 14.15． 16. 17.三、解答题（本大题共4小题，共42分）18.（本小题满分10分）已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)). （Ⅰ）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；（Ⅱ）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值.∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，19.（本小题满分10分）在ABC（Ⅰ）求sin B的值；∆的面积.，求ABC20.（本小题满分11分）已知数列111{}2,.(1)n n n a a a a n n +==-+满足（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2,{}nn n n b na b =⋅求数列的前n 项和n s .21.（本小题满分11分）已知函数f (x) =||2xx．（Ⅰ）判断函数f (x)在区间(0, +∞)上的单调性，并加以证明；（Ⅱ）如果关于x的方程f (x) = kx2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．。

2012年杭州市各类高中招生文化考试数学试题

2012年杭州市各类高中招生文化考试数学试题2012年杭州市各类高中招生文化考试数学试题数学参考答案一、选择题选择题解析 1、A 2、B解析：如图624cm cm cm ∴-=，则两圆关系为内含3、D4、B解析：如图：4180A A ∠+∠=，36C A ∴∠=∠=5、D解析：2363:()A p q p q -=-，232:(12)(6)2B a b c ab abc ÷=，223:3(31)31m C m m m ÷-=-6、D7、A解析：0m ===>，A m <<，B m <<C 和D 直接排除 8、C解析：如图因为在RT ABO ∆中，//OC BA ，36AOC ∠=,所以36BAO ∠=，54OBA ∠=如图做BE OC ⊥，sin sin36BO BAO AB AB =∠⋅=⋅，而s i n s i n B E B O E O B O B =∠⋅=⋅，而1AB =，sin36sin54BE ∴=，即点A 到OC 的距离。

9、C解析：如图由所给的抛物线解析式可得A ，C 为定值(1,0)A -，(0,3)C -则AC =3(,0)B k , ⑴ 0k >，则可得①AC BC ==3k =②AC AB =，则有31k +=，可得k =， ③ ABBC =，则有31k +=34k =⑵ 0k <，B 只能在A 的左侧④只有AC AB =，则有31k --=k =10、C解析：对方程组进行化简可得211x a y a =+⎧⎨=-⎩①31a -≤≤，5213a ∴-≤+≤，仅从x 的取值范围可得知①错误②当2a =-时，33x y =-⎧⎨=⎩，则,x y 的值互为相反数，则②正确③当1a =时，30x y =⎧⎨=⎩，而方程43x y a +=-=，则,x y 也是此方程的解，则③正确⑤ 1x ≤，则211a +≤，则0a ≤，而题中所给31a -≤≤，则30a -≤≤，114a ≤-≤ 则14y ≤≤，选项④正确二、填空题11、2，1； 12、43m +，1； 13、6.56； 14、22b ≤≤； 15、15，1或9； 16、(1,1),(2,3),(0,2),(2,2)-----填空题解析 11、(1)2，(2)112、(1)43m +，(2)1解析：原代数式=(4)(4)43(4)3m m m m +-+=-，代入1m =-得原式=113、6.56解析：设年利率为%x ，由题可得不等式1000(1%)1065.6x +≥，解得 6.56x ≥0> 则0a >，而要使得不等式的值小于0，则只有0a -，所以可得0a <<，可得222a --<，则22b -≤≤14、 (1)15，(2)1或9解析：由题意可知， V Sh =,代入可易得下底面积为215cm而2200cm 为总的侧面积，则每一条底边所在的侧面积为250cm ，因为高为10cm ，所以菱形底边长为5cm ，而底面积为215cm ，所以高3AE cm =① 如图，E 在菱形内部EC BC BE =-，4BE ==，所以1EC =② 如图，E 在菱形外部EC BC BE =+，9EC =解析：如图三、解答题17、解：原式=2222232()()2228m m m m m m m m m m m -++---=-⨯⋅=-观察38m -，则原式表示一个能被8整除的数18、解：k 只能-1，当1k =，函数为44y x =-+，是一次函数，一次函数无最值，当2k =，函数为243y x x =-+，为二次函数，而此函数开口向上，则无最大值当1k =-，函数为2246y x x =--+，为二次函数，此函数开口向下，有最大值，变形为22(1)8y x =-++，则当1x =-时，max 8y =19、解：（1）作图略（2）如图作外接圆由题可得，222(3)(4)(5)a a a +=， 222AB BC AC ∴+=，则ABC ∆为直角三角形，而=90ABC ∠，则AC为外接圆的直径2=62ABC AB BC S a ∆⋅=，而2225=()24AC S aππ=圆 20、解：（1）第三边长为6，(212<<边长中，任意整数边长即可)；（2）设第三边长为L ，由三角形的性质可得7575L -<<+，即212L <<，而组中最多有n 个三角形 =34567891011L ∴，，，，，，，，，则=9n ；（3）在这组三角形个数最多时，即=9n ，而要使三角形周长为偶数，且两条定边的和为12，则第三边也必须为偶数，则=46810L ，，，()49A P ∴=.21、解：（1）在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB CD =，而在正ABE ∆和正DCF ∆中，AB AE =，DC DF =且60BAE CDF ∠=∠=AE DF ∴=且EAD FDA ∠=∠且AD 公共 AF DE ∴=；（2）如图作BH AD ⊥，CK AD⊥，则有BC HK =AB∴==，同理CD==而2AEB DCF S S ∆∆==而由题得AEB DCF S S S ∆∆+=梯22、解：（1）当2k =-时，(1,2)A -A 在反比例函数图像上∴设反比例函数为ky x =，代入A 点坐标可得2k =-（2）要使得反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大，而对于二次函数2y kx kx k =+-，其对称轴为12x =-，要使二次函数满足上述条件，在0k <的情况下，则x 必须在对称轴的左边，即12x <-时，才能使得y 随着x 的增大而增大∴ 综上所述，则0k <，且12x <-（3）由(2)可得15(,)24Q k --ABQ ∆是以AB 为斜边的直角三角形A 点与B 点关于原点对称，所以原点O 平分AB又直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半作AD OC ⊥，QCOC ⊥而OA=(图为一种可能的情况)=，则k =k =23、解：（1）OB AT ⊥，且AE CE ⊥∴在CAE ∆和COB ∆中，90AEC CBO ∠=∠=而BCO ACE ∠=∠30COB A ∴∠=∠=；（2）3AE =30A ∠=连结OM在MOB ∆中，OM R =，2MNMB ==, 而在COB ∆中，BO == 又OC EC OM R +==整理得2181150R R +-=23R ∴=-(不符合题意，舍去)，或5R = 则5R =（3）在EF 同一侧，COB ∆经过平移、旋转和相思变换后这样的三角形有6个，如图，每小图2个顶点在圆上的三角形如图所示，延长EO 交O 于D ，连结DF5EF =，直径10ED =，可得30FDE∠=FD ∴=51015EFD C ∆=++=+ 由(2)可得3COB C∆=5EFD OBC C C ∆∆∴== 下面是“十个小故事大道理”不需要的朋友可以下载后编辑删除！！！谢谢！！！小故事1、《扁鹊的医术》魏文王问名医扁鹊说：“你们家兄弟三人，都精于医术，到底哪一位最好呢? 扁鹊答：“长兄最好，中兄次之，我最差。

2012年理数高考试题答案及解析-浙江

全国理数高考试题答案及解析绝密★考试结束前2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24πS R =()1213V h S S = 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积， 34π3V R =h 表示台体的高其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2) 【解析】A ＝(1，4)，B ＝(－3，1)，则A ∩(C R B )＝(1，4)．【答案】A2．已知i 是虚数单位，则3+i1i-＝ A ．1－2i B ．2－i C ．2＋i D ．1＋2i 【解析】3+i 1i -＝()()3+i 1+i 2＝2+4i2＝1＋2i ．【答案】D3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0显然平行；若直线l 1与直线l 2平行，则有：211a a =+，解之得：a ＝1 or a ＝﹣2．所以为充分不必要条件．【答案】A4．把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x —1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x —1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12π+，得：y 3＝0；观察即得答案．【答案】B5．设a ，b 是两个非零向量．A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λbD．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．【答案】C6．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种B．63种C．65种D．66种【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：225460C C=种；4个都是奇数：455C=种．∴不同的取法共有66种．【答案】D7．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误．．的是A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意的n∈N*，均有S n＞0D．若对任意的n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立．【答案】C8．如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=(a ，b ＞0)的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是 ABCD【解析】如图：|OB |＝b ，|O F 1|＝c ．∴k PQ ＝b c，k MN ＝﹣b c．直线PQ 为：y ＝b c (x ＋c )，两条渐近线为：y ＝b a x ．由()b y x c c b y x a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝，得：Q (ac c a -，bc c a -)；由()b y x c cb y xa ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝-，得：P (ac c a -+，bc c a +)．∴直线MN 为：y －bc c a +＝﹣b c(x －acc a -+)，令y ＝0得：x M ＝322c c a -．又∵|MF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴3c ＝x M ＝322c c a -，解之得：2232a c e a==，即e．【答案】B9．设a ＞0，b ＞0A ．若2223a b a b +=+，则a ＞bB ．若2223a b a b +=+，则a ＜bC ．若2223a b a b -=-，则a ＞bD ．若2223a b a b -=-，则a ＜b【解析】若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则()2ln220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．【答案】A10．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中，A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的．【答案】C2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数学（理科）非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于___________cm 3．【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 11312123⨯⨯⨯⨯=．形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于【答案】112．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是______________．【解析】T ，i 关系如下图：【答案】112013．设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }．若2232S a =+，4432S a =+，则q ＝______________．【解析】将2232S a =+，4432S a =+两个式子全部转化成用1a ，q 表示的式子．即111233111113232a a q a q a a q a q a q a q +=+⎧⎨+++=+⎩，两式作差得：2321113(1)a q a q a q q +=-，即：2230q q --=，解之得：312q or q ==-(舍去)．【答案】3214．若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝______________．【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：545543315544310100a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩．法二：对等式：()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++两边连续对x 求导三次得：2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++，再运用赋值法，令1x =-得：3606a =，即310a =．【答案】1015．在∆ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ⋅＝______________．【解析】此题最适合的方法是特例法．假设∆ABC 是以AB ＝AC 的等腰三角形，如图， AM ＝3，BC ＝10，AB ＝ACcos ∠BAC ＝3434102923434+-=⨯．AB AC ⋅＝cos 29AB AC BAC ⋅∠=【答案】2916．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________．【解析】C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l ：y ＝x的距离为：d ==C 2到直线l ：y ＝x的距离为d d r d '=-==．另一方面：曲线C 1：y ＝x 2＋a ，令20y x '==，得：12x =，曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离的点为(12，14a +)，74d a '==⇒=．【答案】7417．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝______________．【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况： (A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－，无解； (B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－，无解．因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x ＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图) 我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，1)．考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0，得M (11a -，0)，还可分析得：a ＞1；考查函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，代入得：211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，解之得：a =，舍去a =，得答案：a =【答案】a =三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分14分)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin BC ．(Ⅰ)求tan C 的值；(Ⅱ)若a∆ABC 的面积．【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。

浙江省杭州二中2012-学高一下学期期中数学试题 Word版含答案[ 高考]

杭州二中2012学年第二学期高一年级期中考试数学卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题和填空题）和第Ⅱ卷（答题卷）两部分满分100 分考试时间 100分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷．．相应空格中） 1．在ABC ∆中，三个内角分别是C B A ,,，若B A C sin cos 2sin ⋅=，则此ABC ∆一定是 A ．直角三角形 B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形2．等差数列{}n a 中，3,158,44===d S a n n , 则n 为 A ．4 B ．7C ．6D ．53.在ABC ∆中，c b a ,,分别是三内角C B A ,,的对边，且C A 22sin sin -＝()B B A sin sin sin -，则角C 等于A ．6πB ．3π C ．65π D ．32π4．设b a ,是正实数，以下不等式： (1)2>+a bb a ；(2)()b a b a +≥+222；(3)ba ab ab +≥2；(4)b b a a +-< 其中恒成立的有A ．()()21B ．()()32C ．()()43D ．()()425．等比数列}{n a 中，若，则等比数列}{n a 的前100项的和为A C D 6．若正实数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是ks5uA B C ．5 D ．67. 等差数列{}n a 中，11a =，1,n n a a +是方程则数列{}n b 前n 项和n S =B.8．数列{}n a 满足11a =，且，且)n ∈*N ，则{}n a 的通项公式为C.2n +D.(2)3nn +9．设实数满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-000232044y x y x y x ，若目标函数()0,0>>+=b a by ax z 的最大值为1，则⎪⎭⎫⎝⎛+b a 21log 2的最小值为 A.2 B.4 C.21 D. 310．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则CB B CA A tan cos sin tan cos sin ⋅+⋅+的取值范围是 A. (0,)+∞B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答卷中相应横线上） 11．等比数列{}n a 中，11211=⋅a a ，161615=⋅a a ，则1413a a ⋅等于 12．数列{}n a 的前n __ ______ 13．设0a ＞b ＞，则的最小值是 14．已知ABC ∆中，︒=∠30A ，AB ，BC 分别是中项，则ABC ∆的面积等于15. 已知点P 的坐标（x ，y ）满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-012553034x y x y x ，及A （2，0），则|OP |·cos ∠AOP （O 为坐标原点）的最大值是 16．若数列{}n a 满足k a a a a nn n n =++++112（k 为常数），则称数列{}n a 为等比和数列，k 称为x,y公比和，已知数列{}n a 是以3为公比和的等比和数列，其中11=a ，22=a ，则=2013a 17．若实数c b a ,,满足b a b a +=+222，c b a c b a ++=++2222，则c 的最大值是杭州二中2012学年第二学期高一年级期中考试数学答题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11.. 12. . 13. . 14. .15. . 16. . 17. .三、解答题（本大题共4小题，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18. (本小题满分9（1）求,m n 的值；（2）解关于x 的不等式： (21)()0a x x m --+>,其中a 是实数．19. （本小题满分9分）已知{}n a 是一个公差大于的等差数列,且满足5563=⋅a a ，1672=+a a ．数列1b ，12b b -，23b b -，…，1--n n b b 是首项为1，公比为（1）求数列{}n a 的通项公式；（2，求数列{}n c 的前n 项和n S ．20.（本小题满分9分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，角A 为锐角，已知向量，且q p // （1）若mbc b c a -=-222，求实数m 的值；（2ABC 面积的最大值．21. （本小题满分15分）设n S 为数列{}n a 的前项和，且对任意*N n ∈都有()12-=n n a S ，记()nn nS n f 23=（1）求n a ；（2）试比较()1+n f 与()n f 43的大小；（3）证明：①()()()n f k n f k f 22≥-+，其中*N k n k ∈≤且； ②()()()()()3122112<-+++≤-n f f f n f n ． ks5u杭州二中2012学年第二学期高一年级期中考试数学卷答案11． 413. 414．15. 5 16. 10062 17． 3log 22-18．解：(1) ks5u(2)原不等式为(21)(1)0a x x --->即[(21)](1)0x a x ---< （1）当211a -<即1a <时，原不等式的解为211a x -<<；（2）当211a -=即1a =时，原不等式的解为φ；（3）当211a ->即1a >时，原不等式的解为121x a <<-．19．解： (1) 解:设等差数列的公差为, 则依题知，由且得；(2) 由（1）得： 21n a n =-（n N *∈）．b 1=1，当n ≥2(n b b ++-13⎛⎫++ ⎪⎝⎭3121)3n n -++① ② ①-②得：20.解:（Ⅰ）由p ∥q 得又A 为锐角∴ 而222a c b mbc -=-可以变形为，所以1m =（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以22222bc b c a bc a =+-≥-即2bc a ≤{}n a d 0d >273616a a a a +=+=3655a a ⋅=365,11,2a a d ===3(3)221n a a n n ∴=+-⨯=-时，ABC ∆面积的最大值是21．解答:(1)当 1=n 时，211==a S ，当1>n 时，1122---=-=n n n n n a a S S a12-=∴n n a a n n a 2=∴（2）()22212121-=--=+n nn S ()()()()022112123222343222343111211211<⎪⎭⎫⎝⎛---=---=-+∴++++++++n n n n n n n n n n n f n f ()()n f n f 431<+∴ （3）()()()()()()2222123222232223212112221--⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅≥-+-=-++-++---+k n k nk n k n k n k k k k n f k f 而()()()()212222222222121222224222422222-=⋅-+≤+-+=--++-+++-+++-+n k n k n k n k n k n k ()()()()()n f k n f k f n nk n k n22212322222123221121=-⋅⎪⎭⎫⎝⎛≥--⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅≥-+∴++-+()()()()()()()()()n f f n f n f n f f n f n f f 2112,,2222,2121≥+-≥-+≥-+∴相加得()()()()()n f n n f f f 121221-≥-+++ ，当1=n 时取等号，由()()())1(431434312f n f n f n f n⎪⎭⎫⎝⎛<<-⎪⎭⎫ ⎝⎛<<+ 和43)1(=f所以()()()<-+++1221n f f f ()()())1(431431431222f f f f n -⎪⎭⎫⎝⎛<<⎪⎭⎫ ⎝⎛++343134314431212<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=--n n 原不等式成立ks5u。

浙江省杭州市2024-2025学年高一上学期10月教学质量检测数学试题含答案

杭州联谊学校2024年10月教学质量检测高一数学试题（答案在最后）一、单选题（每小题4分，共计32分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义求解即可．【详解】因为，则.故选：B.2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.故选：C.3.已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（）123230A.3B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据的图像可知，，根据表格即可求得.【详解】根据的图像可知，，根据表格可知，.故选：B4.若，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据的取值情况判断各个选项的对错即可得到答案.【详解】选项A，若，则结论错误，故选项A错误；选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误；选项C，当时，，故选项C错误；选项D，可知，，故选项D正确.故选：D5.若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围.【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意，当时，要使得不等式对一切实数都成立，则，解得，综上所述，的取值范围为.故选：D．6.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质结合条件即得.【详解】∵，∴对称轴为直线，当时，．∵时，，由二次函数的对称性可知另一个的对应的值为，∴的取值范围是．故选：．7.已知，其中，若，则正实数t取值范围（）A.或B.或C.或D.或【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可.【详解】令，解得，当时，，，即，且，解得；当时，，，即，且，解得，当时，，，而为正实数，则此种情况无解，所以正实数的取值范围为或.故选：A8.已知函数，若，对均有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将问题转化为对都恒成立，结合二次函数以及一次的性质即可求解.【详解】，对均有成立，在上单调递增，，依题意有对均有成立，即在时恒成立，∴，解得，∴实数的取值范围是．故选：B．二、多选题（每小题6分，共计18分）9.若是的必要不充分条件，则实数的值可以为（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】解方程，根据题意可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.【详解】由，可得或.对于方程，当时，方程无解，符合题意；当时，解方程，可得.由题意知，，此时应有或，解得或.综上可得，或.故选：BC.10.若正实数满足，则下列说法正确的是（）A.有最大值为B.有最小值为C.有最小值为D.有最大值为【答案】ABC【解析】【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D.【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确，对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，对于D：因为，当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，故选：ABC．11.下列说法正确的是（）A.若的定义域为，则的定义域为B.和表示同一个函数C.函数的值域为D.函数满足，则【答案】AD【解析】【分析】根据抽象函数的定义域的求法求解可判断A；利用同一函数得定义判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用方程组法求解函数解析式判断D.【详解】对于A，因为的定义域为，对于函数，则，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，定义域为，定义域为，所以和不是同一个函数，故B错误；对于C，令，则，所以，因为，所以在上单调递减，所以，所以函数的值域为，故C错误；对于D，因为，所以，两边同乘以2得，两式相加得，解得，故D正确．故选：AD．三、填空题（每小题4分，共计12分）12.若，则______.【答案】2【解析】【分析】根据元素与集合的关系，集合元素的互异性求得正确答案.【详解】依题意，当时，，此时，不符合题意.当时，（舍去）或，当时，，符合题意.综上所述，的值为.故答案为：13.已知，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据同向不等式相加不等号方向不变的性质求解即可.【详解】因为，所以，又，由不等式的可加性得，所以的取值范围是.故答案为：.14.已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】将化为，分，，三种情况讨论即可求.【详解】由可得，当时，不等式的解集为，不符合题意，舍，当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍，当时，不等式的解集为，因为有且仅有3个正整数解，故整数解为，所以，.综上，实数的取值范围是.故答案：四、解答题（共计58分）15.已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，求得集合B，再与A，利用并集运算求解.（2）将，转化为B A，再分和两种情况讨论求解.，详解】（1）当时，集合，又集合，所以；（2）因为，所以B A，当时，，解得，当时，，解得，综上：实数a取值范围【点睛】本题主要考查集合的运算以及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16.（1）已知，求函数的最大值；（2）已知，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）易知，由基本不等式计算可得的最小值为6，即可得解；（2）依题意，利用基本不等式中“1”妙用计算可得答案.详解】（1）由可得，所以，当且仅当即时取等号；所以函数的最大值为.（2）根据题意，且，则，当且仅当，时取等号，所以的最小值为．17.某公司带来了高端智能家属产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场已知该产品年固定研发成本50万元，每生产一台需另投入60元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万合的销售收入为G(x)万元，.（1）求年利润s(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润=销售收入-成本)（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）；（2）当年产量为29万台时，该公司获得的最大利润万元.【解析】【分析】(1)根据题意，每万台的销售收入是一个分段函数，分和两种情况讨论，根据生产产品的数量求出对应的解析式即可求解；(2)分段讨论函数的最值，最后比较大小得出结果.【小问1详解】当时，；当时，，所以函数解析式为.【小问2详解】当时，因为，又因为函数在上单调递增，所以当时，取最大值，；当时，(当且仅当，即时等号成立)因为，所以时，的最大值为万元.所以当年产量为29万台时，该公司获得的最大利润万元.18.已知函数.（1）若f（x）＜k的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，求实数k的值；（2）若∀x1∈[2，4]，都∃x2∈[2，4]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由f（x）＜k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，然后，利用韦达定理进行求解（2）把题目的成立条件转化为f（x）最小值≥g（x）最小值，进而分别求出，函数f（x）在区间[2，4]上的最小值和函数g（x）在区间[2，4]上的最小值即可【详解】（1）证明：由f（x）＜k得：k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，因为解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，所以k＜0，所以方程kx2﹣x+6k＝0的根是﹣3，﹣2，∴2+（﹣3），∴k；所以实数k的值是；（2）由题意可得，f（x）最小值≥g（x）最小值，∀x1∈[2，4]，f（x）在区间[2，]为增函数，[，4]为减函数，f（2），f（4），所以函数f（x）在区间[2，4]上的最小值是f（4）；函数g（x）开口向上，且对称轴x＝﹣m，①当﹣m≤2，即m≥﹣2，g（x）最小值＝g（2）＝4+4m⇒m，解得：﹣2；②当2＜﹣m＜4，即﹣4＜m＜﹣2，g（x）最小值＝g（﹣m）＝m2﹣2m2⇒m≤﹣1或m≥1，所以﹣4＜m＜﹣2；③﹣m≥4，即m≤﹣4，g（x）最小值＝g（4）＝16+8m，解得：m，所以m≤﹣4；综上所述，m的取值范围：（﹣∞，].【点睛】关键点睛：本题解题的关键有两点：分别在于：1.把题目的成立条件转化为f（x）最小值≥g（x）最小值，2.通过对进行分类讨论，求出函数g（x）在区间[2，4]上的最小值19.已知二次函数的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为.(1)求函数的解析式；(2)设函数，求在区间上的最小值【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）由f（x）的对称轴方程以及图象过点（1，13），求出b、c的值，从而写出f（x）的解析式；（2）化函数g（x）为分段函数，画出函数的图象，结合图象，求出g（x）在区间[t，2]上的最小值H （t）．【详解】（1）∵f（x）＝x2+bx+c的对称轴方程为，∴b＝1；又f（x）＝x2+bx+c的图象过点（1，13），∴1+b+c＝13，∴c＝11；∴f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+11．（2）∵函数g（x）＝[f（x）﹣x2﹣13]•|x|＝[（x2+x+11）﹣x2﹣13]•|x|＝（x﹣2）•|x|，画出函数图象，如图：令，解得或（舍）∴当1≤t＜2时，g（x）min＝t2﹣2t；当时，g（x）min＝﹣1；当时，．∴综上，H（t）．【点睛】本题考查了求函数的解析式以及求函数在某一区间上的最值情况，解题时应结合函数的图象与性质来解答，是易错题．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试理数(浙江卷)解析版

该套试题立足基本知识点，全面考查新课标、新理念、新课程、新考纲，既有基本知识、基本方法、基本思想的考查，也有综合能力、方法的考量；既有横向的综合、又有横向的综合，试题难度按层次递增.2012浙江理科数学真题解析（专版）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|0322≤--x x }, 则A ∩（C R B ）= A (1,4) B (3,4) C (1,3) D (1,2)∪（3,4）2. 已知i 是虚数单位，则31ii+-= A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i 【答案】D 【解析】3+3+(1+)2+4=12..1(1)(1+)2i i i ii D i i i ==+--（）故选【考点定位】此题主要考察复数的代数运算以及复数的概念，是复数内容的主要考点.3. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y-1=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是5.设a，b是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥bB.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λ aD.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|6.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A.60种B.63种C.65种D.66种【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：225460C C=种；4个都是奇数：455C=种．∴不同的取法共有66种．【答案】D【考点定位】该题主要考察分类组合，考察分析分体和解决问题的能力.学会分类处理是关键.7设n s 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误．．的是 A.若d ＜0，则列数﹛S n ﹜有最大项 B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*n N ∈,均有0>n SD.若对任意*n N ∈,均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列8.如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的在左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M 。

浙江省杭州市2012届高三数学第二次教学质量检测试题(文)

求实数 t 的最大值.
2 22．（本小题满分14分）已知抛物线C： x 2 py ( p 0 )，
其焦
5 2 点 F 到直线 x y 1 0 的距离为 8 .
（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若△ABC的三个顶点在抛物线C上，顶点B 的横为1，且直线BA, BC的倾斜角互为补角, 过点A、别作抛物线C 的切线，两切线相交于点D，当△ 面积等于4时，求直线BC的斜率. 坐标 C分
ADC
）
f ( x)
5．设函数
1 x x . 某程序框图如图所示，若输
2
出的结
2011 果 S 2012 ，则判断框中可以填入的关于 n 的判断
（） B． n 2012? D． n 2012 ?
条件是
A． n 2011? C． n 2011?
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ 积
.
tan 2 x0
的值为
1 1 13．若从集合{ 3 , 4 , 3, 4 }中随机抽取一个数记为 a ，从集合{-1, 1, -2, 2}中随机抽取一个
x a 0, a 1 ）的图象经过第三象限的概率是数记为b，则函数 f ( x) a b （
.
14．设实数x，y满足不等式组
x 2 y 1 0 x 3y 6 0 x y 2 0
S 4πR 2
V Sh
球的体积公式 4 V πR 3 3 其中R表示球的半径锥体的体积公式
1 V 体的高台体的体积公式 1 V h S1 S1 S 2 S 2 3

其中 S1 , S2 分别表示台体的上底、下底面积，h表示

2012年杭州市高一年级数学统测(免费)

2012年杭州市高一年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本卷满分100分，考试时间90分钟.2．答题前，在答题卷密封区内填写学校、姓名和会考号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4．考试结束，只需上交答题卷.一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合M={1, 2, 5}，则集合U ðM =( ) A ．{}3B ．{}4C ．{}3,4D ．{}3,4,52．在下列各函数中，既是奇函数，又在(0,1)上单调递增的是( ) A ．sin y x =B ．2y x =C ．1y x -=D ．cos 2y x =3．sin()tan()234ππππ++-=( ) A ．32B ．12-C ．32D ．312- 4．已知数列{}n a 的通项为110n n a -=，*()n N ∈. 设lg n n b a =，则数列{}n b 是( ) A ．公差为正的等差数列 B ．公差为负的等差数列C ．公比为正的等比数列D ．公比为负的等比数列5．在△ABC 中，22,2,135,AB BC B ==∠=则AC =( )A ．2B ．23C ．25D ．276．若把颜色分为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3个人，每人分得1个球. 记事件M 为“甲分得白球”，事件N 为“乙分得白球”，则( ) A ．M N 为必然事件 B ．M N 为不可能事件C ．M 与N 是对立事件D ．M 与N 是互斥事件7．设二次函数2()(,)f x x bx a a b R =-+∈的部分图象如图所示，则函数()ln 2g x x x b =+-的零点所在的区间是( )A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．(2,3)8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 值为( ) A ．0 B ．3C ．32 D ．32-9．若在直线l 上存在不同的三个点A 、B 、C ，使得关于x 的方程20()x OA x OB OC x R --→--→--→→++=∈ 有解 (点O 不在直线l上)，则此方程的解集为( ) A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1-D ．{}1,0-10．已知01a <<，设集合{}{}(,)(),(,)P x y y f x M x y y a x ====-. 现给出下列函数：①()x f x a =；②()log a f x x =；③()sin()f x x a =+；④2()2f x a ax =-，则能使得P M =∅ 的函数()f x 的编号是( ) A ．①②B ．①④C ．①②④D ．①②③④二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分. 请将答案填在答题卷中的横线上. 11．在等差数列{}n a 中，若2106a a +=，则该数列的前11项和等于 . 12．设函数4,110,()210,10100.x x f x x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩若()60f x =，则x = .13．已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图，则甲、乙两人得分的中位数之和是.甲乙7 8 04 6 3 1 25 36 8 2 5 4 3 8 9 3 1 6 1 67 94 4(第13题)xy O1(第7题)1sin()3n S S π=+ 开始否2011?n ≤是输出S 1n n =+结束S = 0, n = 1 (第8题)14．若满足不等式2()(2)0ax a x a --+<的整数x 仅有3个，则实数a 的取值范围是 . 15．若钝角三角形三内角的度数依次成等差数列，且最小边长与最大边长的比值为m ，则m 的取值范围是 .三、解答题：本大题有5小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．(本题满分10分)在直角坐标系xOy 中，单位圆O 与x 轴正半轴的交点为A ，点 P , Q 在单位圆上，且满足,,[0,)6AOP AOQ πααπ∠=∠=∈.(1)若3cos ,5α=，求cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)设函数()f OP OQ α--→--→=⋅，求()f α的值域.17．(本题满分10分)设非零向量向量,--→--→OA =a OB =b ，已知2=a b ，()⊥a +b b . (1)求a 与b 的夹角；(2)在如图所示的直角坐标系xOy 中，设(1,0)B ，已知153(,)26M ，1212(,)R λλλλ--→=∈OM a +b ，求12λλ+的值.18．(本题满分10分)抽样100位高一学生的化学与物理水平测试的成绩，统计如表所示，成绩分A (优秀)、B (良好)、xyOAB (第17题)xy OPA (第16题)QC (及格)三种等级，例如：表中化学成绩为B 等级的共有20 + 18 + 4 = 42人.物理物理化学ABCA 7 20 11B 9 18 11 Ca4b(1)估计高一学生物理和化学成绩均为优秀的百分率； (2)若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求,a b 的值； (3)若814,4a b ≤≤≥，求4a b -=的概率.19．(本题满分10分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*122()n n a S n N +=+∈，12a =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若在n a 与*1()n a n N +∈之间插入n 个1，构成如下的新数列：123,1,,1,1,,1,1,1,a a a 4,,a 求这个新数列的前2012项的和.20．(本题满分10分)已知函数22()(1)(1)x b f x a x =-+-，其中(0,)x ∈+∞.设x b t a x=+. (1)当1,4a b ==时，用t 表示()f x ，并求出()f x 的最小值；(2)设0k >，当22,(1)a k b k ==+时，若1()9f x ≤≤对任意[,]x a b ∈恒成立，求k 的取值范围.2012年杭州市高一年级教学质量检测数学评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题3分, 共30分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CABBCDACCA二、填空题：本大题有5小题，每题4分，共20分．11．33 12． 25 13．54 14．2 < a ≤ 3 15. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭ ．三、解答题：本大题有5小题, 共50分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 16．(本题满分10分)（1）由条件可得4sin 5α= ，6sin sin 6cos cos 6cos παπαπα+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴1043321542353+=⨯+⨯= ．5分（2） ()f OP OQ α=⋅ ()cos ,sin cos ,sin 66ππαα⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ααs i n 21c o s 23+=sin 3πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， [0,)απ∈ ， 4[,)333πππα∴+∈，3s i n 123πα⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，()αf ∴的值域是3,12⎛⎤- ⎥ ⎝⎦．5分 17．(本题满分10分)⑴ (a b + )⊥b()0a b b ∴+⋅= ，220,||a b b a b b ⋅+=∴⋅=- ,xyOPA (第16题)QxyOAB又||2||a b = ， 1cos ,2||||a b a b a b ⋅<⋅>==-⋅即a 与b 的夹角为23π． 5分（2）由已知及题(1)得(1,3)A -，因为12OM a b λλ=+ ，所以12153(,)(1,3)(1,0)26λλ=-+，解得1258,66λλ==，即12λλ+＝136． 5分18.(本题满分10分)（1）样本两课均为优秀人数是7，样本容量100，样本两课均为优秀的比例为7100，所以所求为7%。

2012年浙江省杭州市中考数学试卷-答案

浙江省杭州市2012年各类高中招生文化考试数学答案解析一、仔细选一选 1.【答案】A【解析】(23)(1)-+-1(1)=-+-2=-【提示】根据有理数的加减混合运算的法则进行计算即可得解. 【考点】有理数的加减混合运算. 2.【答案】B【解析】∵两圆的半径分别为2cm 和6cm ，圆心距为4cm.则624d =-=，∴两圆内切. 【提示】两圆的位置关系有5种：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含.若d R r >+则两圆相离，若d R r =+则两圆外切，若d R r =-则两圆内切，若R r d R r -<<+则两圆相交.本题可把半径的值代入，看符合哪一种情况. 【考点】圆与圆的位置关系. 3.【答案】D【解析】A.摸到红球是随机事件，故此选项错误；B.摸到白球是随机事件，故此选项错误；C.摸到红球比摸到白球的可能性相等，根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项错误；D.根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项正确；【提示】利用随机事件的概念，以及个数最多的就得到可能性最大分别分析即可. 【考点】可能性的大小，随机事件. 4.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴C A ∠=∠，BC AD ∥，∴180A B ∠+∠=︒，∵4B A ∠=∠， ∴36A ∠=︒，∴36C A ∠=∠=︒【提示】关键平行四边形性质求出C A ∠=∠，BC AD ∥，推出180A B ∠+∠=︒，求出A ∠的度数，即可求出C ∠【考点】平行四边形的性质，平行线的性质. 5.【答案】D【解析】A.2363()p q p q -=-，故本选项错误；B.232)(()1262a b c ab abc ÷=，故本选项错误；AB︒，AO︒，∵sin54sin36AB︒︒=︒︒，故本选项正确；sin54sin36sin54sin36：由以上可知，选项错误；【提示】根据图形得出B到AO的距离是指BO的长，过AB︒，求出sin54下底面积，又由该棱柱侧面展开图的面积为2002cm ，即可求得底面菱形的周长与BC 边上的高AE 的长，由勾股定理求得BE 的长，继而求得CE 的长.【考点】菱形的性质，认识立体图形，几何体的展开图.16.【答案】()(112),2---，，【解析】如图所示：1,12,2()()A A '''---，，故答案为：()(112),2---，，.【提示】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把A 进行移动可得到点的坐标，注意考虑全面. 【考点】利用轴对称设计图案. 三、全面答一答17.【答案】原式3(2)m =-，表示3个2m -相乘【解析】[][]2(1)(1)(1)(1)m m m m m m m m -++--+，2222()()2m m m m m m m m =-++---，38m =-，原式3(2)m =-，表示3个2m -相乘.【提示】根据单项式乘以多项式法则先计算括号里的乘法，再去括号合并同类项，即可算出结果. 【考点】整式的混合运算—化简求值.18.【答案】∵当开口向下时函数2(1)45y k x x k =--+-都有最大值 ∴10k -<解得1k <∴当1k =-时函数2(1)45y k x x k =--+-有最大值∴函数222462(1)8y x x x =--+=-++，故最大值为8.【提示】首先根据函数有最大值得到k 的取值范围，然后判断即可. 【考点】二次函数的最值. 19.【答案】（1）如图所示：)HB，AB )222a a +=，∴22a +m切O 于点E ，∴AEC OBC △∽△，又30A ∠=︒，∴30COB A ∠=∠=︒；点在圆上的三角形，如图所示：。

浙江省杭州2023-2024学年高一下学期统测适应性考试数学试卷含答案

杭州2023学年第二学期统测适应性考试试卷高一数学（答案在最后）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.设集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |1＜x ≤2}，则A ∩B ＝（）A.{1，2}B.{2}C.{0}D.{0，1，2}【答案】B 【解析】【分析】利用交集定义直接求解．【详解】解：集合{0A =，1，2}，{|12}B x x =< ，{2}A B ∴= ．故选：B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.已知复数z 在复平面内对应的点是()0,1，则1iz+=（）A.1i +B.1 i- C.1 i-+ D.1i--【答案】B 【解析】【分析】根据复数的几何意义表示出z ，再根据复数代数形式的除法运算法则计算即可.【详解】复数z 在复平面内对应的点为()0,1，则i z =，所以()()()1i i 1+i 1+i 1i1i z i i i 1+⨯--====-⨯-.故选：B ．3.密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“007-”，478密位写成“478-”．1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-.如果一个半径为3的扇形，它的面积为3π，则其圆心角用密位制表示为（）A.1000- B.2000- C.3000- D.4000-【答案】B 【解析】【分析】根据扇形面积公式即可求得圆心角，再根据密位制定义即可求解.【详解】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则2133π2α⨯=，解得2π3α=，由题意可得2π360002πn =，解得1600020003n =⨯=，因此该扇形圆心角用密位制表示为2000-．故选：B.4.已知l 、m 是不重合的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（）A.若l αβ= ，m α⊂，//l m ，则//m βB.若l ⊂α，m β⊂，//αβ，则//l mC.若l αβ= ，m α⊂，m l ⊥，则αβ⊥D.若l m ⊥，//m α，则l α⊥【答案】A 【解析】【分析】对于A ，先判断m β⊄，然后由线面平行判定定理可判断；对于BCD ，通过正方体模型举反例即可判断.【详解】对于A ，因为l αβ= ，m α⊂，所以m β⊄，又//l m ，l β⊂，所以//m β，A 正确；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，记平面ABCD 为α，平面1111D C B A 为β，AB 为l ，11A D 为m ，则l ⊂α，m β⊂，//αβ，但l 与m 不平行，B 错误；对于C ，记平面11ABC D 为α，平面ABCD 为β，AB 为l ，1AD 为m ，由正方体性质可知，AB ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以1AD AB ⊥，则l αβ= ，m α⊂，m l ⊥，但,αβ不垂直，C 错误；对于D ，记1AD 为l ，AB 为m ，平面1111D C B A 为α，则l m ⊥，//m α，但l 与α不垂直，D 错误.故选：A5.已知1a ，2a ，…，n a 是单位平面向量，若对任意的()*1N i j n n ≤<≤∈，都有12i j a a ⋅< ，则n 的最大值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C 【解析】【分析】由题意可知，单位向量,i j a a的夹角θ最小时，正整数n 有最大值，利用向量数量积的定义求出此时n 的值即可．【详解】依题意，设单位向量,i j a a的夹角为θ，因为12i j a a ⋅< ，所以1||||cos 2i j i j a a a a θ⋅=< 则1cos 2θ<，所以ππ3θ<≤，根据题意，正整数n 的最大值为2π15π3-=，故选：C6.已知ABC 的三个内角A 、B 、C 满足222sin 3sin 2sin B A C =-，当sin A 的值最大时，22sin sin BC的值为（）A.2B.1C.12D.14【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理化角为边，利用余弦定理结合基本不等式求出cos A 的最小值，再根据平方关系即可求出sin A 的值最大，结合取等号的条件即可得解.【详解】因为222sin 3sin 2sin B A C =-，由正弦定理得22232b a c =-，所以22223b c a +=，则2222222222223cos 2226363b c b c b c a b c b c A bc bc bc c b ++-+-+====≥，所以sin 3A =，当且仅当36b cc b=，即222b c =时取等号，所以当sin A 的值最大时，2222sin 1sin 2B bC c ==.故选：C.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.7.如图，在三棱锥S ABC -中，2SA SC AC AB BC =====，二面角S AC B --，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（）A .12πB.4πC.3πD.43π3【答案】A 【解析】【分析】利用二面角S AC B --的正切值求得SB ，由此判断出2BS BA BC ===，且,,BS BA BC 两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.【详解】设E 是AC 的中点，连接,EB ES ，由于,SA SC AB BC ==，所以,AC SE AC BE ⊥⊥，所以SEB ∠是二面角S AC B --的平面角，所以tan 2SEB ∠=，由22sin tan cos sin cos 1SEB SEB SEBSEB SEB ∠⎧∠=⎪∠⎨⎪∠+∠=⎩得3cos 3SEB ∠=.在SAC 中，()()22222226SE SA AE =-=-在ABE 中，()2222222BE AB AE =-=-，在SEB △中，由余弦定理得：222cos 2SB SE BE SE BE SEB ∠=+-⋅=，所以2BS BA BC ===，由于22SA SC AC ===,,BS BA BC 两两垂直.由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为23.设正方体外接球的半径为R，则3R ，所以外接球的表面积为24π212πR =，故选：A.8.已知函数22e ,0()21,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，则下列结论正确的是（）A.函数()y f x x =-有两个零点B.若函数()y f x t =-有四个零点，则[]1,2t ∈C.若关于x 的方程()f x t =有四个不等实根1234,,,x x x x ，则12341x x x x +++=D.若关于x 的方程()()230f x f x α-+=有8个不等实根，则92,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】分析函数()f x 的性质，作出函数图象，再结合图象与性质逐项判断即得.【详解】函数|2|e x y -=的图象关于直线2x =对称，函数221y x x =--+的图象开口向下，关于直线=1x -对称，当2x ≥时，2()e x f x -=单调递增，当02x <<时，()2exf x -=单调递减，当1x <-时，2()21f x x x =--+单调递增，当10x -≤≤时，2()21f x x x =--+单调递减，函数()y f x x =-的零点，即函数()y f x =的图象与直线y x =交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象与直线y x =，如图，观察图象知，函数()y f x =的图象与直线y x =有3个公共点，因此函数()y f x x =-有3个零点，A 错误；函数()y f x t =-的零点，即方程()f x t =的根，亦即函数()y f x =的图象与直线y t =交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象与直线y t =，如图，观察图象知，当12t <<时，函数()y f x =的图象与直线y t =有4个公共点，因此函数()y f x t =-有四个零点，则(1,2)t ∈，B 错误；关于x 的方程()f x t =有四个不等实根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，显然有12342,4x x x x +=-+=，因此12342x x x x +++=，C 错误；令()f x m =，由选项B 知，当且仅当(1,2)m ∈时，方程()f x m =有4个不等实根，要关于x 的方程()()230fx f x α-+=有8个不等实根，则当且仅当方程230m m α-+=在(1,2)上有2个不相等的实数根，令这两个实根为12,m m ，()12,1,2m m ∈，且123m m +=，12m m α=，则22222393(24m m m α=-=--+，由()21,2m ∈，得9(2,4α∈，而当94α=时，230m m α-+=的两根相等，不符合题意，所以α的取值范围是9(2,)4α∈，D 正确.故选：D【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若α的终边经过()5,12P k k ，0k ≠，则12sin 13α=B.()tan 2103-︒=-C.若cos 0α>，则α为第一或第四象限角D.若角α和角β的终边关于y 轴对称，则πsin cos 2αβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】根据k 的正负判断A ，根据诱导公式判断B ，根据三角函数在坐标轴上的符号判断C ，由对称及三角函数的定义判断D.【详解】当0k <时，12sin 13α==-，故A 选项错误；()tan 210tan 210tan 303-︒=-︒=-︒=-，B 正确；cos 0α>时，α的终边在第一或第四象限或x 轴非负半轴，C 错误；因为πsin cos 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，角α和角β的终边关于y 轴对称，结合三角函数定义可知cos cos αβ=-，即πsin cos 2αβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故D 选项正确．故选：BD10.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A.若A ＞B ，则cos cos A B<B.若=30=5=2A b a ，，，则ABC 有两解C.若cos cos cos 0A B C >，则ABC 为锐角三角形D.若cos cos a c B a C -⋅=⋅，则ABC 为等腰三角形或直角三角形【答案】ACD 【解析】【分析】由余弦函数的单调性即可判断A,由正弦定理即可判断B,由余弦值的性质即可判断C,由边角互化即可判断D.【详解】对于A ，π>0A B >> ，所以函数cos y x =在()0,π上单调递减，所以cos cos A B <，故A 正确；对于B ，由正弦定理可得：sin sin a b A B=，∴15sin 52sin 124b A B a ⨯===>，此时ABC 无解，故B 错误；对于C ，∵cos cos cos 0A B C >，,,A B C 为三角形的内角，∴cos 0cos 0cos 0A B C >⎧⎪>⎨⎪>⎩，可知A ，B ，C 均为锐角，故ABC 为锐角三角形，故C 正确；对于D ：∵cos cos a c B a C -⋅=⋅，所以由正弦定理可得sin sin cos sin cos A A C C B =⋅+⋅，又()sin =sin sin cos sin cos A B C B C C B +=⋅+⋅,因此sin cos sin cos =sin cos sin cos sin cos =sin cos B C C B A C C B B C A C ⋅+⋅⋅+⋅⇒⋅⋅，∴cos cos b C a C =，∴()cos 0b a C -=，b ＝a 或cos 0C =⇒90C =︒，即三角形为等腰三角形或直角三角形，故D 正确．故选：ACD ．11.如图，点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，F 是线段11A B 的中点，则（）A.若点P 满足1AP B C ⊥，则动点P的轨迹长度为4B.当点P 在棱1DD 上时，1AP PC +C.当直线AP 与AB 所成的角为45︒时，点P的轨迹长度为π+D.当P 在底面ABCD 上运动，且满足//PF 平面11B CD 时，线段PF长度最大值为【答案】ACD 【解析】【分析】利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形11ABC D，其周长为4+可得A 正确；以1DD 为轴将平面11AA D D 顺时针旋转90︒，由勾股定理可得B 错误；易知当点P 在线段1,AC AB 和弧 1B C上时，直线AP 与AB 所成的角为45︒，可知其轨迹长度为π+C 正确；根据面面平行的判定定理可求出点P 在底面ABCD 上的轨迹为三角形FNM ，易知FP 长度的最大值为FN =D 正确.【详解】对于A ，易知1B C ⊥平面11,ABC D A ∈平面11ABC D ，故动点P 的轨迹为矩形11ABC D ，动点P 的轨迹长度为矩形11ABC D 的周长，即为4+，故A 正确；对于B ，以1DD 为轴将平面11AA D D 顺时针旋转90︒，如图，则1AC ==，故B 错误；；对于C ：连接AC ，1AB ，以B 为圆心，1BB 为半径画弧 1B C，如图1所示，当点P 在线段1,AC AB 和弧 1B C上时，直线AP 与AB 所成的角为45︒，又1AC AB ======，弧 1B C长度21π2π4⨯⨯=，故点P 的轨迹长度为π+C 正确；对于D ，取1111,,,,,A D D D DC CB BB AB 的中点分别为,,,,,O R N M T H ，连接,,,,,,,,OR QF FT TM MN NR FH HN HM ，如图2所示，因为1//,FT D C FT ⊄平面111,D B C D C ⊂平面11D B C ，故//FT 平面11D B C ，1//TM B C ，TM ⊄平面111,D B C B C ⊂平面11D B C ，故//TM 平面11D B C ；又,,FT TM T FT TM ⋂=⊂平面FTM ，故平面//FTM 平面11D B C ；又//,//,//QF NM QR TM RN FT ，故平面FTMNRQ 与平面FTM 是同一个平面.则点P 的轨迹为线段MN ：在三角形FNM 中，2222442,426,2FN FH HN FM FH HM =++=++=则2228FM MN FN +==，故三角形FNM 是以FMN ∠为直角的直角三角形；故max 22FP FN ==，故FP 长度的最大值为22D 正确.故选：ACD .【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=︒，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+ （其中1e ，2e分别为x ，y 轴方向相同的单位向量），则P 的坐标为(),x y ，若P 关于斜坐标系xOy 的坐标为()2,1-，则OP =______3【解析】【分析】由斜坐标定义用1e ，2e 表示OP，然后平方转化为数量积求得模．【详解】由题意122OP e e =-，122OP e e =-===13.已知函数()sin f x A x ω=（0A >，0ω>）的图象向右平移π4个单位长度后，所得函数在5π9π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少存在两个最值点，则实数ω的取值范围是______．【答案】537,,424⎡⎤⎡⎫+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】【分析】先求得图象平移后的函数解析式，根据所得函数在区间5π9π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最值点的情况以及对ω进行分类讨论来求得ω的取值范围.【详解】将()sin f x A x ω=的图象向右平移π4个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为()s n 4πi g x A x ωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ππ2954ππ4T ω=≤-=，即2ω≥时，()g x 在5π9π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少存在两个最值点，满足题意；当02ω<≤时，[]π,ππ24x ωωωω-∈，所以πππ2π2ππ2k k ωω⎧≤-+⎪⎪⎨⎪≥+⎪⎩（Z k ∈），解得11422k k ω+≤≤-+（Z k ∈）．当1k ≤时，解集为∅，不符合题意；当2k =时，解得5342ω≤≤；当3k =时，解得7542ω≤≤．综上，实数ω的取值范围是537,,424⎡⎤⎡⎫+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故答案为：537,,424⎡⎤⎡⎫+∞⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭【点睛】三角函数图象变换，首先要看是变x 还是变y ，平移变换中：变x 是“左加右减”，变y 是“上加下减”.伸缩变换中，如：由sin y x =变换为sin 2y x =，则x 是缩小为原来的12倍；如sin y x =变为1sin2y x =，则x 是放大为原来的2倍.14.在锐角ABC 中，sin 5A =，它的面积为10，4BC BD = ，E ，F 分别在AB 、AC 上，且满足AD xAB DE -≥ ，AD y AC DF -≥ 对任意x ，R y ∈恒成立，则DE DF ⋅=___________.【答案】32-【解析】【分析】根据三角形面积求得bc =，根据两不等式恒成立，判断DE AB ⊥，DFAC ⊥，再由4BC BD =，结合三角形ABD 和三角形ACD 面积公式，推出5c DE ⨯=和15b DF ⨯=，最后根据向量数量积的定义式即可求得.【详解】因ABC 的面积为10，且sin 5A =，则有1sin 102bc A =，解得bc =由图知AD x AB -表示直线AB 上一点到点D 的向量，而AD xAB -则表示直线AB 上一点到点D 的距离，由AD xAB DE -≥ 对任意x 恒成立可知，DE的长是点D 到直线AB 上的点的最短距离，故易得，此时DE AB ⊥,同理可得DFAC ⊥.如图所示,因4BC BD =，由115242ABD ABC S c DE S =⨯== 可得：5c DE ⨯=，由1315242ACD ABC S b DF S =⨯== 可得：15b DF ⨯=，由锐角ABC 可得A 是锐角，故πEDF A ∠=-是钝角，于是5cos cos(π)cos 5EDF A A ∠=-=-=-，于是515553||||cos ())552DE DF DE DF EDF c b ⋅=⋅∠=⨯⨯-=-=- .故答案为：32-.【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式恒成立和向量数量积的计算，属于较难题.处理恒成立问题，一般可考虑分类讨论法，参变分离法，结合图形几何意义判断法等方法；对于数量积运算，可考虑定义法，基向量表示法和向量坐标法来解决.四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知向量()2cos ,1a x =r ，1cos ,32b x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）若a b∥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅ ，若对于任意12,0,2x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，而12|()()|λ-≤f x f x 恒成立，求实数λ的最小值．【答案】（1）3x π=（2）λ的最小值为32【解析】【分析】（1）根据向量平行，得到cos cos 3π⎛⎫=-+⎪⎝⎭x x ，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求解即可；（2）利用向量的数量积运算得到()f x 解析式，由12|()()|λ-≤f x f x 恒成立，再通过求解()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值，即可得到λ的最小值.【小问1详解】由a b ∥，则a b μ=，则1(2cos ,1)(cos(),)32μπ=-+x x ，2cos cos 3μπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x x ，12μ=，故2cos 2cos 3π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x x ，cos cos 3π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x x ，由于0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos cos cos 33⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫=-+=π-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x ，所以()3π=π-+x x ，则3x π=.【小问2详解】()f x a b =⋅ =()1cos ,322cos ,1π⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅x x =cos os 32c π-+⎭⋅⎛⎫ ⎪⎝x x +12，()11cos sin 222cos 2=-⋅⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭x x f x x=1sin 2cos 222x x -=sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.∵12|()()|λ-≤f x f x 恒成立，∴12max 13|()()|122λ⎛⎫≥-=--= ⎪⎝⎭f x f x ，从而32λ≥，即min 32λ=.16.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin sin sin a c A Ba b C--=+.（1）求角B ；（2）若ABC 外接圆的周长为，求ABC 周长的取值范围.【答案】（1）π3（2）(]12,18【解析】【分析】（1）根据正弦定理，进行角化边的化简处理可得222a c b ac +-=，利用余弦定理可得cos B ，结合范围(0,π)B ∈，可求B 的值.（2）由正弦定理可得b ，根据三角形任意两边和大于第三边的性质，可得a c b +>，由余弦定理，结合基本不等式可求a c +的最大值，进而可求ABC 的周长的范围.【小问1详解】因为sin sin sin a c A Ba b C--=+，所以由正弦定理得a c a ba b c--=+，化简可得222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，因为B 为三角形内角，()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC 的外接圆周长为，故外接圆直径为因为π3B =，所以由正弦定理可得362b B ===，所以由余弦定理2222cos b ac ac B =+-，可得()()2222236332a c a c ac a c ac a c +⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪⎝⎭，所以12a c +≤，当且仅当6a c ==时，等号成立.又因为6a c b +>=，所以612a c <+≤，即ABC 的周长的取值范围为(]12,18.17.已知函数222()log (1)log (1)f x x x =---．（1）证明：()f x 的定义域与值域相同．（2）若[)3,x ∞∀∈+，()0,t ∀∈+∞，()214f x m t t+->，求m 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）(,2)-∞-．【解析】【分析】（1）由具体函数的定义域可得21010x x ⎧->⎨->⎩，解不等式即可求出()f x 的定义域，再结合对数函数的单调性即可求出()f x 的值域.（2）设22141()24g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则()()min min m f x g t <+，分别求出()()min min ,f x g t ，即可得出答案.【小问1详解】证明：由21010x x ⎧->⎨->⎩，得1x >，所以()f x 的定义域为(1,)+∞．2221()log log (1)1x f x x x -==+-，因为()()2log 1f x x =+在(1,)+∞上单调递增．所以()()21log 21f x f >==，所以()f x 的值域为(1,)+∞，所以()f x 的定义域与值域相同．【小问2详解】解：由（1）知()()2log 1f x x =+在(3,)+∞上单调递增，所以当[3,)x ∈+∞时，()()min 32f x f ==．设22141()24g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，当12t=，即12t =时，()g t 取得最小值，且最小值为4-．因为[)3,x ∞∀∈+，()0,t ∀∈+∞，()214f x m t t+->，所以()()n min mi 2m f x g t <+=-，即m 的取值范围为(,2)-∞-．18.已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2AB =，1AF =，点M 在线段EF 上.（1）若M 为EF 的中点，求证：//AM 平面BDE ；（2）求二面角A DF B --的正切值；（3）证明：存在点M ，使得AM ⊥平面BDF ，并求EMEF的值.【答案】（1）证明见解析（2（3）证明见解析，34EM EF =【解析】【分析】（1）设=AC BD O ⋂，连接OE ，即可证明OAME 为平行四边形，从而得到//AM OE ，即可得证；（2）在平面AFD 中过A 作AS DF ⊥于S ，连接BS ，说明BSA ∠是二面角A DF B --的平面角，再由锐角三角函数计算可得；（3）连接OF 交AM 于点N ，由面面垂直的性质得到BD ⊥平面ACEF ，即可得到BD AM ⊥，当AM OF ⊥时可证AM ⊥平面BDF ，从而求出此时EMEF的值.【小问1详解】设=AC BD O ⋂，连接OE ，因为正方形ABCD ，所以O 为AC 中点，又矩形ACEF 中，M 为EF 的中点，所以//EM OA 且EM OA =，所以OAME 为平行四边形，所以//AM OE ，又AM ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//AM 平面BDE ；【小问2详解】在平面AFD 中，过A 作AS DF ⊥于S ，连接BS ，因为正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AF AC ⊥，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AF ⊂平面ACEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB AF ⊥，又AB AD ⊥，AD AF A = ，,AD AF ⊂平面ADF ，AB ∴⊥平面ADF ，DF ⊂平面ADF ，所以DF AB ⊥，又AS AB A = ，,AS AB ⊂平面ASB ，所以DF ⊥平面ASB ，又SB ⊂平面ASB ，所以DF SB ⊥，BSA ∴∠是二面角A DF B --的平面角，因为1AF =，2AD =，所以DF ==，所以255AF AD AS DF ⋅===，在Rt ASB △中，5AS =，2AB =，tan AB S AS A B ∴∠===∴二面角A DF B --【小问3详解】连接OF 交AM 于点N ，因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面ACEF ，AM ⊂平面ACEF ，所以BD AM ⊥，当AM OF ⊥时，OF BD O = ，,OF BD ⊂平面BDF ，所以AM ⊥平面BDF ，此时AC EF ==，OA =1AF =，则OF ==，又AOF NOA ∽，所以NO OA AO OF =，则233ON=，则3NF =，所以21ON NF =，又MNF ANO ∽，所以2OA ON MF NF ==，则122MF OA ==，所以2EM =，所以324EM EF ==.19.已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数(0)k k >，使得对D 内的任意1x ，()212x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-，则称()f x 是“k -利普希兹条件函数”.（1）判断函数21,y x y x =+=是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；（2）若函数()y f x =()R x ∈是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的()1212,x x x x ∈≠R ，均有()()121f x f x -≤.【答案】（1）21y x =+与y x =是“2-利普希兹条件函数”，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据所给定义推导()()12122f x f x x x ---的正负，即可判断；（2）首先证明对任意的[]12,0,2x x ∈()12x x ≠，都有()()121f x f x -≤，再由周期性，即可证明对定义域内任意的()1212,x x x x ∈≠R ，均有()()121f x f x -≤.【小问1详解】由题知，函数()21y f x x ==+的定义域为R ，所以()()1212121222220f x f x x x x x x x ---=---=，即()()12122f x f x x x -=-，所以函数21y x =+是“2-利普希兹条件函数”；函数()y g x x ==的定义域为R ，所以()()1212121212220g x g x x x x x x x x x ---=---=--<，()12x x ≠，所以()()12122g x g x x x -<-，所以函数y x =是“2-利普希兹条件函数”；【小问2详解】若[]12,0,2x x ∈()12x x ≠，当121x x -≤，则()()12121f x f x x x -≤-≤；若121x x ->，设12210x x <<≤≤，则()()()()()()()()()()1212120202f x f x f x f f f x f x f f f x -=-+-≤-+-1212221x x x x ≤+-=+-<，所以对任意的[]12,0,2x x ∈()12x x ≠，都有()()121f x f x -≤，因为函数()y f x =()R x ∈是周期为2的周期函数，所以对任意的()1212,x x x x ∈≠R ，都存在[]12,0,2p p ∈，使得()()11f x f p =，()()22f x f p =，所以()()()()12121f x f x f p f p -=-≤，综上可得对定义域内任意的()1212,x x x x ∈≠R ，均有()()121f x f x -≤.【点睛】关键点点睛：本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义.。

2012杭州中考数学试题含解析答案

2012年杭州市各类高中招生文化考试数学试卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出四个选项中，只有一个是正确的．注意可以用多种不同的方法来选取正确的答案．1．计算（2﹣3）+（﹣1）的结果是（）A．﹣2B．0C．1D．22．若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．外切D．外离3．一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（）A．摸到红球是必然事件B．摸到白球是不可能事件C．摸到红球比摸到白球的可能性相等D．摸到红球比摸到白球的可能性大4．已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=（）A．18°B．36°C．72°D．144°5．下列计算正确的是（）A．（﹣p2q）3=﹣p5q3B．（12a2b3c）÷（6ab2）=2abC．3m2÷（3m﹣1）=m﹣3m2D．（x2﹣4x）x﹣1=x﹣46．如图是杭州市区人口的统计图．则根据统计图得出的下列判断，正确的是（）A．其中有3个区的人口数都低于40万B．只有1个区的人口数超过百万C．上城区与下城区的人口数之和超过江干区的人口数D．杭州市区的人口数已超过600万7．已知m=，则有（）A．5＜m＜6B．4＜m＜5C．﹣5＜m＜﹣4D．﹣6＜m＜﹣5 8．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°9．已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（）A．2B．3C．4D．510．已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：①是方程组的解；②当a=﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；④若x≤1，则1≤y≤4．其中正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①③④二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整的填写答案．11．数据1，1，1，3，4的平均数是；众数是．12．化简得；当m=﹣1时，原式的值为．13．某企业向银行贷款1000万元，一年后归还银行1065.6多万元，则年利率高于%．14．已知（a﹣）＜0，若b=2﹣a，则b的取值范围是．15．已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，则这个棱柱的下底面积为cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，记底面菱形的顶点依次为A，B，C，D，AE是BC边上的高，则CE的长为cm．16．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．化简：2[（m﹣1）m+m（m+1）][（m﹣1）m﹣m（m+1）]．若m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？18．当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．19．如图，是数轴的一部分，其单位长度为a，已知△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．（1）用直尺和圆规作出△ABC（要求：使点A，C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）；，△ABC的面积为S△，试说明＞π．（2）记△ABC的外接圆的面积为S圆20．有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7．（1）请写出其中一个三角形的第三边的长；（2）设组中最多有n个三角形，求n的值；（3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．21．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．（1）求证：AF=DE；（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．22．在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．23．如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．2012年杭州市各类高中招生文化考试数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABDBDDACCC选择题解析 1、A 2、B解析：如图624cm cm cm ∴-=，则两圆关系为内含3、D4、B解析：如图：4180A A ∠+∠= ，36C A ∴∠=∠=5、D解析：2363:()A p q p q -=-，232:(12)(6)2B a b c ab abc ÷=，223:3(31)31m C m m m ÷-=-6、D7、A 解析：2213272803m ⨯===>，A 中2536m <<，B 中1625m <<，C 和D 直接排除8、C解析：如图因为在RT ABO ∆中，//OC BA ，36AOC ∠=,所以36BAO ∠=，54OBA ∠=如图做BE OC ⊥，sin sin36BO BAO AB AB =∠⋅=⋅ ，而sin sin54BE BOE OB OB =∠⋅=⋅ ，而1AB =，sin 36sin 54BE ∴= ，即点A 到OC 的距离。

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2012年杭州市高一年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本卷满分100分，考试时间90分钟.2．答题前，在答题卷密封区内填写学校、姓名和会考号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4．考试结束，只需上交答题卷.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合M={1, 2, 5}，则集合U ðM =( ) A ．{}3B ．{}4C ．{}3,4D ．{}3,4,52．在下列各函数中，既是奇函数，又在(0,1)上单调递增的是( ) A ．sin y x =B ．2y x =C ．1y x -=D ．cos 2y x =3．sin()tan()234ππππ++-=( ) A ．32B ．12-C ．32D ．312- 4．已知数列{}n a 的通项为110n n a -=，*()n N ∈. 设lg n n b a =，则数列{}n b 是( ) A ．公差为正的等差数列 B ．公差为负的等差数列C ．公比为正的等比数列D ．公比为负的等比数列5．在△ABC 中，22,2,135,AB BC B ==∠= 则AC =( )A ．2B ．23C ．25D ．276．若把颜色分为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3个人，每人分得1个球. 记事件M 为“甲分得白球”，事件N 为“乙分得白球”，则( ) A ．M N 为必然事件 B ．M N 为不可能事件C ．M 与N 是对立事件D ．M 与N 是互斥事件7．设二次函数2()(,)f x x bx a a b R =-+∈的部分图象如图所示，则函数()ln 2g x x x b =+-的零点所在的区间是( )A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．(2,3)8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 值为( ) A ．0 B ．3C ．32 D ．32-9．若在直线l 上存在不同的三个点A 、B 、C ，使得关于x 的方程)(2R 0∈=++x BC OB x OA x 有解 (点O 不在直线l 上)，则此方程的解集为( ) A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1-D ．{}1,0-10．已知01a <<，设集合{}{}(,)(),(,)P x y y f x M x y y a x ====-. 现给出下列函数：①()x f x a =；②()log a f x x =；③()sin()f x x a =+；④2()2f x a ax =-，则能使得P M =∅ 的函数()f x 的编号是( ) A ．①②B ．①④C ．①②④D ．①②③④二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分. 请将答案填在答题卷中的横线上. 11．在等差数列{}n a 中，若2106a a +=，则该数列的前11项和等于 . 12．设函数4,110,()210,10100.x x f x x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 若()60f x =，则x = .13．已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图，则甲、乙两人得分的中位数之和是.甲乙7 8 04 6 3 1 25 36 8 2 5 4 3 8 9 3 1 6 1 67 94 4(第13题)xy O1(第7题)1sin()3n S S π=+ 开始否2011?n ≤是输出S 1n n =+结束S = 0, n = 1(第8题)14．若满足不等式2()(2)0ax a x a --+<的整数x 仅有3个，则实数a 的取值范围是 . 15．若钝角三角形三内角的度数依次成等差数列，且最小边长与最大边长的比值为m ，则m 的取值范围是 .三、解答题：本大题有5小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．(本题满分10分)在直角坐标系xOy 中，单位圆O 与x 轴正半轴的交点为A ，点 P , Q 在单位圆上，且满足,,[0,)6AOP AOQ πααπ∠=∠=∈.(1)若3cos ,5α=，求cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (2)设函数()f OP OQ α--→--→=⋅，求()f α的值域.17．(本题满分10分)设非零向量向量,--→--→OA =a OB =b ，已知2=a b ，()⊥a +b b . (1)求a 与b 的夹角；(2)在如图所示的直角坐标系xOy 中，设(1,0)B ，已知153(,)26M ，1212(,)R λλλλ--→=∈OM a +b ，求12λλ+的值.18．(本题满分10分)抽样100位高一学生的化学与物理水平测试的成绩，统计如表所示，成绩分A (优秀)、B (良好)、C (及格)三种等级，例如：表中化学成绩为B 等级的共有20 + 18 + 4 = 42人.xyOAB (第17题)xyOPA (第16题)Q物理物理化学ABCA 7 20 11B 9 18 11 Ca4b(1)估计高一学生物理和化学成绩均为优秀的百分率； (2)若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求,a b 的值； (3)若814,4a b ≤≤≥，求4a b -=的概率.19．(本题满分10分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*122()n n a S n N +=+∈，12a =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若在n a 与*1()n a n N +∈之间插入n 个1，构成如下的新数列：123,1,,1,1,,1,1,1,a a a 4,,a 求这个新数列的前2012项的和.20．(本题满分10分)已知函数22()(1)(1)x b f x a x =-+-，其中(0,)x ∈+∞.设x b t a x=+. (1)当1,4a b ==时，用t 表示()f x ，并求出()f x 的最小值；(2)设0k >，当22,(1)a k b k ==+时，若1()9f x ≤≤对任意[,]x a b ∈恒成立，求k 的取值范围.2012年杭州市高一年级教学质量检测数学评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题3分, 共30分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CABBCDACCA二、填空题：本大题有5小题，每题4分，共20分．11．33 12． 25 13．54 14．2 < a ≤ 3 15. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭．三、解答题：本大题有5小题, 共50分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 16．(本题满分10分)（1）由条件可得4sin 5α= ，6sin sin 6cos cos 6cos παπαπα+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴1043321542353+=⨯+⨯= ．5分（2） ()f OP OQ α=⋅ ()cos ,sin cos ,sin 66ππαα⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ααs i n 21c o s 23+=sin 3πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， [0,)απ∈ ， 4[,)333πππα∴+∈，3s i n 123πα⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，()αf ∴的值域是3,12⎛⎤- ⎥ ⎝⎦．5分 17．(本题满分10分)⑴ (a b + )⊥b ()0a b b ∴+⋅=，220,||a b b a b b ⋅+=∴⋅=- ,又||2||a b = ， 1cos ,2||||a b a b a b ⋅<⋅>==-⋅xyOPA (第16题)QxyOAB (第17题)即a 与b 的夹角为23π． 5分（2）由已知及题(1)得(1,3)A -，因为12OM a b λλ=+ ，所以12153(,)(1,3)(1,0)26λλ=-+，解得1258,66λλ==，即12λλ+＝136． 5分18.(本题满分10分)（1）样本两课均为优秀人数是7，样本容量100，样本两课均为优秀的比例为7100，所以所求为7%。

3分（2）由3.010097=++a，得14=a ．∵10011114182097=++++++++b a ，∴6=b ． 3分（3）由题意，知20=+b a ，且148≤≤a ,4b ≥，∴满足条件的),(b a 有：(8,12), (9,11), (10,10),（11,9），（12,8），（13,7），（14,6）共7组．其中满足｜a －b ｜＝4的有2组,分别是(8,12)和（12,8）,,所以所求P ＝27. 4分19． (本题满分10分)(1) 因为a n ＋1＝2S n ＋2,所以 a n ＝2S n -1＋2, (n ≥2)，相减得 a n ＋1＝3a n , (n ≥2)，当n = 1时, a 2＝2a 1+2 = 6= 3a 1 ,∴123n n a -=⨯. 4分(2) 依题意，到n a 为止新的数列共有(1)12342n n n ++++++=项，因为当n = 62时,(1)19532n n +=，当n = 63时, (1)20162n n +=,所以到62a 为止新的数列共有1953项，故该数列的前2012项的和为：626212622(13)(201262)19503194913a a a ⨯-++++-=+=+- ． 6分注: 由条件得a n ＋1前有n 个1, 而后直接求和同样给分.20． (本题满分10分)(1) 设4(0)t x x x=+>，则4t ≥，当且仅当2x =时取等号，此时22222416844()(1)(1)211()2()6f x x x x x x x x x x x=-+-=-++-+=+-+- = 2226(1)7t t t --=--，因为4t ≥, 所以t=4,即x = 2时,min ()2f x =． 4 分(2) 设2222(1)([ (1)])x k t x k k k x +=+∈+，，则2(1)k t k+≥，当且仅当(1)x k k =+时取等号，显然22(1)[ (1)]k k k k +∈+，，且当2x k =和2(1)x k =+时，都有22(1)1k t k+=+，所以222(1)(1)[ 1]k k t k k ++∈+，, 此时2222222(1)2(1)()(1)[1](1)1x k k f x t k x k ++=-+-=--+，令()g t 2222(1)(1)1k t k +=--+,因为函数()g t 在222(1)(1)[ 1]k k k k +++，上单调递增，∴22min 222(1)2(1)2(1)2()[][1]1k k k f x g k k k k +++==--+=， 222222max 2222(1)(1)2(1)(1)()[1][]1[1]k k k k f x g k k k k++++=+=-+=- ，又1()9f x ≤≤对任意22[ (1)]x k k ∈+，恒成立，∴222221(1)[1]9kk k⎧≥⎪⎪⎨+⎪-≤⎪⎩，即22113k k k ⎧-≤≤⎪⎨≥≤-⎪⎩或，注意到0k >，∴12k ≤≤即为所求． 6分。