【数学】江苏省淮安市清江中学2014-2015学年高一下学期期中考试

江苏省清江中学2014---2015学年度第二学期期中考试
高一数学试卷
时间：120分钟 满分：120分 命题人：
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需要写出解答过程，请把答案直
接填写在答题纸的相应位置上．．．．．．．．．
. 1．过点(1
0)，，且与直线0102=-+y x 的斜率相同的直线方程是 ▲ ． 2．若直线x y 2=与直线03=-+ay x 互相垂直，则实数a 的值是 ▲ . 3．在等差数列中，已知，= ▲ ．
4．若经过点A (1–t ，1+t )和点B (3，2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 ▲ . 5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－2，S 4＝4S 2，则a 3的值为 ▲ ． 6．在ΔABC 中，已知a ＝2，∠A ＝30°，∠B ＝45°，则S ΔABC = ▲ ． 7．已知数列{}n a 的前n 项和为2
,n S n =某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大
角为____▲___ .
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2b cos C ，则 b c
的值为 ▲ ．
9．直线与线段AB 有公共点，其中A(－2，3)，B(3，2)，则实数m 的取值范围为
____▲___. 10
．2
2
2
,,,,)tan ,ABC A B C a b c a c b B ∆+-=在中，角的对边分别是，若（则B = ▲ .
11．己知a ，b 为正数，且直线 60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行，则
2a +3b 的最小值为 ▲ ．
12．设等比数列{}n a 的公比为q （01q <<），前n 项和为n S ，若1344a a a =，且6a 与43
4
a 的
等差中项为5a ，则6S = ▲ ． 13．如果满足∠ABC=60°，8AB =，AC k =的△ABC 有且只有两个，那么k 的取值范围是
▲ ．
14．若实数a ，b ，c 成等比数列，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋c 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题满分14分) 已知直线210x my m -++=.
（1）求证：无论m 为何实数，直线总经过第二象限； （2）为使直线不经过第四象限，求m 的取值范围．
（3）若直线交x 轴于负半轴、交y 轴于正半轴，交点分别为A 、B ，求直线与坐标轴围
成的三角形的面积的最小值，并求出此时的直线方程；
16. (本题满分14分) 等比数列{}n a 满足512543=a a a ，28543=++a a a ，公比为大于1
的数。

（1）求{}n a 通项公式； （2）设,12-=n b n 求{}n n b a +前n 项和n S
{}n a 154510,90a a ==60a 20mx y ++=
17.（本题满分15分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,,a b c 若1b =，3
B π
=
，
（1）若a c +＝2，解此三角形； （2）求ABC ∆面积的最大值.
18. (本题满分15分)已知函数3)(2++=ax x x f
（1）若()0f x >的解集为{x |x ＜1或x ＞3}，求实数a 的值． （2）若()0f x ≥对[]1x ∈,2恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若a x f ≥)(对[]3,1a ∈--恒成立，求实数x 的取值范围。

19.（本题满分16分）为考虑防洪需要，淮安市政府决定在淮河入海水道建造一条防洪堤，
其横断面为等腰梯形，腰与底边所成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 m 2，且高度不低于 3 m ．记防洪堤横断面的腰长为x (m)，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y (m)． (1)求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；
(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5 m ，则其腰长x 应在什么范围内？
(3)当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)？求此时外周长的值．
20.（本题满分16分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝x n －1．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设c n ＝a n b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ； （3）124,()
()4n n n n d H d d d n a n N *=
=+++∈+L 设,是否存在最大的整数m ，使得对
任意，均有9
n m
H >
成立？若存在，求出m ，若不存在，请说明理由。

*N n ∈
高一数学期中试卷参考答案
一、填空题：
二、解答题： 15.解：（1）直线过定点(1,2)-，故直线总经过第二象限； ………………… 4分
（2）0m >； ……………………………………………………………9分
（3）0m >Q ，12111(21)(4)2422m S m m m m +∴=+=++≥，
当且仅当1
2
m =时“=”成立，此时直线方程为24y x =+．…………………………………………………………………14分 16.解：（1）3
345443535512864,20a a a a a a a a a ==∴=∴=+=，，
⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴1644165353a a a a 或 ，又1q >Q ，∴11532,1,2,16
4-===⎩⎨⎧==n n a a q a a … ……7分 （2）122
1
-+=+-n b a n n n ，则
()()()0121222221352121n n n S n n -=+++++++++-=-+L L …………14分
17.解：（1）由正弦定理得
1sin sin sin
3
a
c
A
C
π
==
， ……………………2分
于是a A =
，c C =. …………………………………4分
所以2sin(
)]3
a c A A π
+=+-2sin()6A π=+ 2. ………………………8分
203A π<<
，所以3A π=，所以3
C π
＝， 1a b c === ………………………10分 （2）由余弦定理得2
2
12cos
3
a c ac π
=+-2ac ac ac ≥-=，即1ac ≤，当且仅当
1a c ==时等号成立. ……………………………………………………………13分
则ABC ∆面
积13
3
s i n 24
S a c =
，所以A B C ∆面积的最大值
为
4
………15分 18.解：（1）根据题意，得130
9330a a ++=⎧⎨++=⎩
……………………………………………………3分
解得4a =- ……………………………………………………………………5分 （2）由题意2
30x ax ++≥对[]1,2-∈x 恒成立， 则3
()a x x
≥-+对[]1x ∈，2恒成
立
，
3
x x
+
≥Q ，当且仅
当
x = 时“=”成
立 ……………………………………………8分
a ∴≥- …………………………………………………………………………10分 （或分类讨论求函数()y f x =的最小值）
（3）由题可得03)1(2≥++-x a x 对[]3,1a ∈--恒成立 ………………………11分 令
3
)1()(2-+-=x a x a g ，则
)(≥a g 对
[]
3,1a ∈--恒成
立 ………………………12分
则2
2
(1)(1)30(1)3(1)30
g x x g x x ⎧-=--+-≥⎪⎨=--+-≥⎪⎩ …………………………………………14分 得(][),03,x ∈-∞⋃+∞ …………… ………………………………15分
19.解：(1)93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝3
2
x ，
∴9
3＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x
2. 由⎩⎨⎧
h ＝3
2x ≥3，BC ＝18x －x
2>0，
得2≤x <6.
∴y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x
2(2≤x <6)． ………………………………………8分（无定义域扣2分）
(2)令y ＝18x ＋3x
2≤10.5，得3≤x ≤4.∵⊂． ……12分
(3)y ＝18x ＋3x 2≥218x ·3x 2＝63，当并且仅当18x ＝3x 2
，即x ＝23∈[2,6)时等号成立．∴
外周长的最小值为63 m ，此时腰长为2 3 m. …………………………………………16分
20.解：（1）a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎨⎧2，n ＝1，
2n ，n ≥2
＝2n ． （若没有交待a 1扣1分） ………5分
（2）c n
＝2nx n －1．
T n ＝2＋4x ＋6x 2＋8x 3＋……＋2nx n －1 ． ① 则xT n
＝2x ＋4x 2＋6x 3＋8x 3＋……＋2nx n ． ②
① -②，得(1－x )T n ＝2＋2x ＋2 x 2＋……＋2 x n －1－2nx n ． ……………………7分
当x ≠1时，(1－x )T n ＝2×1－x n 1－x －2nx n ．所以T n ＝2－2(n ＋1)x n ＋2nx n ＋1(1－x )2
． ……9分 当x ＝1时，T n ＝2＋4＋6＋8＋……＋2n ＝n 2＋n ． ………………………………10分
（3）由（1）可得4(24)112
n d n n n n =+=-+，则12()n n H d d d n N *
=+++∈L
(11111111111)()()()1324352212
n n n n =-+-+-+
+-=+--+++ ………13分
显然H n 为关于n 的增函数，故min 12()3n H H ==，于是欲使9
n m H n N *
>∈对恒成立，则
2
,693
m m <<则，∴存在最大的
整
数
5m =满足题
意 …………………………16分。