湖北省黄冈市2022届高三数学第三次模拟考试试题答案

湖北省黄冈市2022届高三数学第三次模拟考试试题答案
一、单项选择题
1. C
2. D
3. A
4.B
5. B
6. D
7. C
8. A 二、多项选择题
9. BC 10.BCD 11.BC 12.ACD 三、填空题
13.
12 14. 18
16. 32
四、解答题
17.解：（1）()sin (cos cos
sin sin )33
f x x x x π
π
=+
2
1sin cos 22x x x =+
11cos 2sin 242x x -=
11(sin 22)2224
x x =-+
1sin(2)234
x π=-+…………………………………………………4分 所以函数()f x 的最小正周期为2.2
T π
π=
=………………………………………………5分 （2
）因为1()sin(2)2342f A A π=-+=
，所以sin(2)32
A π-=， 又(0,
)2
A π
∈，所以22(,)3
33
A π
ππ
-
∈-
，所以23
3
A π
π
-
=
，即3
A π
=
.……………6分
由正弦定理得
sin sin BC AC
A B
=
，即sin sin 2AC A B BC π
⋅===，
又(0,
)2
B π
∈，所以4
B π
=
.………………………………………………………………8分
所以sin sin()sin cos cos sin 4
C A B A B A B =+=+=.………………………9分 所以△ABC
的面积为
11sin 22S AC BC C =⨯⨯⨯==.……………………10分
18.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则11
21
6157a d a d +=⎧⎨+=⎩……………1分
解得113a =，1
.3
d =…………………………………………………………2分 所以11(1).333
n n
a n =
+-⨯= ………………………………………………3分 因为11222n n b b b +++
+=-，
所以当1n =时，12b =；……………………………………………………4分
当2n ≥时，12122n n b b b -+++=-，
所以1
(2
2)(22)2n n n n b +=---=……………………………………5分
显然12b =符合2n
n b =.
综上可知2n
n b =.……………………………………………………………6分 （2）由（1）知2tan
3
n
n n c π
=⋅，…………………………………………7分 设32313n n n n d c c c --=++
，则
32313222(02n n n n d ---=⨯+=…………………………9分
所以{}n d 是以8
为公比，-10分
所以数列{}n c 的前3n
项和为38)8)
.187
n n
n T ---==-………12分
19.解：（1）在△ABD 中，由余弦定理得
222222cos301BD =+-⨯︒=，…………………………………………1分 222AD BD AB ∴+=，90ADB ∴∠=︒，即AD BD ⊥，………………………2分
又四边形ABCD 为平行四边形，所以BC BD ⊥ 在△PCD
中，PC =
PD =，2CD =，222PD CD PC ∴+=
90PDC ∴∠=︒，即PD CD ⊥，……………………………………………………………3分
又,PD BD BD
CD D ⊥=,PD BCD ∴⊥平面……………………………………4分
又BC BCD ⊂平面,.PD BC ∴⊥……………………………………………………………5分
（2）如图,以B 为坐标原点，,BC BD 所在直线分别为x 轴，y 轴，过点B 作平行于DP 的直线为z 轴建立空间直角坐标系.
则(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,3)B C D P ，…………………………6分 设(,,)E a b c ，(01)PE PC λλ=≤≤，则(,1,3)(3,1,3)a b c λ--=--
3,1,33.a b c λλλ∴==-=-(3,1,33).E λλλ∴-- (3,1,33),(0,1,0).BE BD λλλ∴=--=
设平面BDE 的法向量为(,,)m x y z =
由00
m BE m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得3(1)(33)00x y z y λλλ⎧+-+-=⎪⎨=⎪⎩
则平面BDE 的一个法向量为
(1,0,)m λλ=-……………………………………………………8分
又平面BCD 的一个法向量
(0,0,1)n =………………………………………………………………9分
2
2
cos 45|cos ,|.(1)m n m n m n
λ
λλ
⋅∴︒=<>=
=
-+…………………………10分
解得1
2
λ
=,所以点E 为PC 的中点.…………………………11分 又PD ⊥平面BCD ，所以点E 到平面BCD 的距离为1322
h PD =
=， 所以三棱锥E BCD -的体积为11131
13.33224
BCD V S h ∆=
⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=………12分 20.解：设“小李第i 关闯关成功”为事件i A (1,2,3i =)，“小李第一关闯关成功，选择继续闯关”为事件1B ，“小李第二关闯关成功，选择继续闯关”为事件2B ， （1）设“小李第一次闯关成功，但所得总奖金为零”为事件C ，
则()()()
112112233313322121
=+=+=45345352100
P C P A B A P A B A B A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯…………………4分
（2）随机变量X 的所有可能取值有0、600、1500、3000，
()()()11214623
=0=+=+=410010050
P X P A P C =………………………………………………6分
()(
)
11323
=600===4510
P X P A B ⨯……………………………………………………………7分
()()
112233239
=1500===453550
P X P A B A B ⨯⨯⨯……………………………………………8分
()()11223332213
=3000===4535250
P X P A B A B A ⨯⨯⨯⨯………………………………………9分
所以X 的分布列为
…………………10分 所以23393
()0600+1500+3000=63050105050
E X =⨯
+⨯⨯⨯.………………………………12分 21.解：（1）设椭圆E 的半焦距为c ，则2223
12a c c a a b c +=⎧⎪⎪
=⎨⎪⎪=+⎩解得
2, 1.a b c ===
所以椭圆E 的方程为22
143
x y +=.……………………………………………………3分 （2）①当直线PF 的斜率存在时，因为PFB ∠的角平分线为FN ，所以2PFB NFB ∠=∠， 所以22tan tan 1tan NFB
PFB NFB ∠∠=
-∠，即2
2.1NF PF NF
k k k =-……………………………5分 设直线AP 的的方程为(2),0.y k x k =+≠
由22(2)
143
y k x x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩ 消y 得 2222(34)1616120k x k x k +++-=
设11(,)P x y ，则 2121612
2,34k x k --=+…………………………………………………6分
所以 21268,34k x k -=+11212(2),34k y k x k =+=+所以222
6812(,)3434k k
P k k -++，……7分
所以2122
12
12434.681141
34PF
k
y k k k k x k
k +===----+ 设直线FN 的的方程为(1)y m x =-，则(2,)N m ，(2,4)M k ， 因为2
21NF PF NF k k k =
-，所以22
42141k m
k m =--，……………………………………8分 整理得(2)(21)0k m mk -+=，
因为0mk >，所以2m k =. 所以
1.42
N M y m y k == 所以点N 是线段BM 的中点.………………………………………………………10分
②当直线PF 的斜率不存在时，不妨设3(1,)2
P ， 则直线AP 的方程为1
(2)2
y x =
+，所以(2,2)M . 又直线FN 的方程为1y x =-，所以(2,1)N .
所以点N 是线段BM 的中点.
综上可知，点N 是线段BM 的中点.……………………………………………12分 22.解：（1）当0a =时，()(1)ln 1f x x e x =---，
所以()(e 2)(1)f x x ≥--，即(1)ln 1(e 2)(1)x e x x ---≥--，
亦即1ln 0x x --≥………………………………………………………………1分 令()1ln g x x x =--，则11
()1x g x x x
-'=-
=
，……………………………2分 所以，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.…………………………………………………………………………………3分 所以()g(1)0g x ≥=，即()(e 2)(1)f x x ≥--成立.…………………………4分 （2）1ln )1(ln )(2
-----=x a e x a x x f ，
)
1ln 2(1
1)1(1ln 21)(++--=---⋅-='∴a e x a x x x a e x x a x f
令()2ln 1h x x a x e a =--++，(1,e)x ∈，则22()1a x a
h x x x
-'=-=
………5分 ①当21a ≤即1
2
a ≤
时，()0h x '>，()h x ∴在(1,)e 上单调递增， 又(1)20h a e =+-<，()10h e a =->，∴存在1(1,)x e ∈，使得1()0h x =. 当11x x <<时，()0h x <，()0f x '<；当1x x e <<时，()0h x >，()0f x '>，
∴()f x 在1(1,)x 上单调递减，在1(,)x e 上单调递增，
又(1)0f =，()0f e =，故()f x 不存在零点.………………………………7分 ②当2a e ≥即2
e
a ≥
时，()0h x '<，()h x ∴在(1,)e 上单调递减，
又(1)20h a e =+->，()10h e a =-<，∴存在2(1,)x e ∈，使得2()0h x =. 当21x x <<时，()0h x >，()0f x '>；当2x x e <<时，()0h x <，()0f x '<.
∴()f x 在2(1,)x 上单调递增，在2(,)x e 上单调递减，
又(1)0f =，()0f e =，故()f x 不存在零点.…………………………………8分 ③当12a e <<即
122
e
a <<时，由()0h x '>得2x a >，()0h x '<得2x a <， ()h x ∴在(1,2)a 上单调递减，在(2)a e ，上单调递增，
又(2)32ln(2)1h a a a a e =--+，令3
()ln 12
p x x x x e =--+，(1,e)x ∈……9分
则31
()ln 1ln 22
p x x x '=
--=-，由()0p x '>得x <()0p x '<得x >
故()p x 在上单调递增，在)e 上单调递减，
max ()10p x p e ∴==<，(2)0h a ∴<，………………………10分
由于(1)0f =，()0f e =，要使函数)(x f 在),1(e 内有零点，则需要
(1)0
()0h h e >⎧⎨
>⎩
，………………………………………………………………………11分 即⎩
⎨⎧>->-+0102a e a ，解得12<<-a e .
综上，实数a 的取值范围是)1,2(-e ……………………………………………12分。