两角差的余弦公式(第二课时)课件-高一下学期数学人教A版必修4

π 4
＝35×
22－45×
22＝－
2 10 .
方法总结： 在解决三角函数求值问题时，一定要
注意已知角与所求角之间的关系，恰当地 运用拆角、拼角技巧，如：
( ) ( )
1()()
2
1()()
2
练习6.已知 0, ,cos 4 , tan( ) 1 ,求cos
2
5
cos 1 sin2 1 ( 15)2 8
17
17
cos
3
cos
cos
3
sin
sin
3
8 17
1 2
15 17
3 2
15 3 8 34
4.已 知 sin2,(,3),cos3,
3
2
4
(3,2),求 cos()的 值 .
2
思路：
先求:cos 5 ,sin 7
3
4
再求cos( - )= 2 7 3 5
（3）在用公式解决问题时应注意什么？
公式可简记为C(α-β),CC+SS或同名积符号反；
2.三角函数线法和向量数量积； 从特殊到一般，数形结合，分类讨论，转化的思想.
3.在运用两角差的余弦公式时应注意： ①把非特殊角转化为特殊角、把未知角转化为已知角。 ②根据角的范围，确定已知角的正、余弦值的正、负． ③适当逆用公式，可达到化简计算的目的．
教学难点：
运用公式的逆用及变形来灵活解题
差角的余弦公式
所以 ,对任意 角 有 口诀：C C S S，号相反
c o ) c sc ( o o ss i sn in
此公式给出了任意角 ， 的正弦,余弦值与其差角
的 余弦值之间的关系. 称为差角的余弦公式 简记为： C()
由公式 co 只 、 c so 需 ss in s知 in 即 ：可 co 求 s)(
思 考 题 ？
你能利用cos (α－β)的公式继续探究α±β 的其它三角函数公式吗？如
作业布置: 课本P137 A组 第1(1)题 第4、5题
cos2 cossin2 sin
cos＝右边 ∴原式得证
[典例 1] 已知 cos α＝45，cos(α＋β)＝35，且 α，β 均为
锐角，求 cos β 的值． 解：∵α，β 均为锐角，
()c o s)[ (]
c o ) c s o s ( i s n s( in
∴0<α＋β<π，∴sin(α＋β)>0. 由 cos α＝45，cos(α＋β)＝35， 得 sin α＝35，sin(α＋β)＝45. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α
13
求 cos( )的值.
解： s in 且 (0 ,) c os 3
5
又c os5,是第三象 限 s i角 n c 2 o s12
13
13
1当 0, 时 cos 3
分类讨论
c
2
5
o ) c sc ( o o ss i sn i 3 n (5)4(1)2
63
2当 , 时 cos 3
10 10 .
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝
55×3 1010＋2 5 5×
1100＝
2 2.
又∵sin α>sin β，∴0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.
∴α－β＝π4.
练习 7.已知 cos α＝17，cos(α－β)＝1134，且 0<β<α<π2，求 β 的值．
总结（1）记清公式结构，可正用、逆用或变角用；
（2）三角恒等变换的关键是把非特殊角转化为特殊角， 未知角转化为已知角.
给角求值问题
练习4.(1) 2 cos 75 2 sin 75 ___3__ .
2
2
2
(2)co 1s 5s i1n5_6__ . __
( 3 ) 已 s i s n 知 i 2, n c o c s o 4 , 求 c s o ) _ 1s 2 .
3
c o cso (s [ ) c ] c o o s s s ( in i n (
解： 0, ,
2
22
s inc 2 os3
5
又 tan ()10
3
,0
2
cos( ) 3 3 10 0
10 10
sin( ) tan( ) cos( ) 1 10
12
y
1 .利 用 公 式 C ( )证 明 :
P(x, y)
(1)cos()=sin
x
证明：左边2＝ c o s( ) c o sc o s s in s in
2
2
2
=sin＝右边 ∴原式得证
( 2 ) c o s ( 2 ) = c o s
证明：左边＝c o s ( 2 - )
52
4
解:
cos
3，
5
2
,
sin 1 cos2 1 ( 3)2 4
55
cos
4
cos
4
cos
sin
4
sin
2 2
3 5
24 25
2 10
3 . 已 知 s i n 1 5 , (,) , 求 c o s ( ) 的 值 .
1 7 2
3
解：
sin
=
15 17
,
为第二象限角
5
解： (1)原式 c4 o c 5 7 s o s 5 s 4 i s n 5 7 i n c5 o7s5 (45) 3
2
(2)原式 2( 2co 1s5 2s i1n5 )
2
2
2 (c 4 o c 5 1 o s 5 s s4 is n 5 1 i ) n 5 6
2
(3) s i ns in sin2 sin2 2sin sin
＝17×1134＋473×3143＝12，所以 β＝π3.
已知三角函数值求角的解题步骤 (1)限定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取 在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．
总结整理、提高认识
（1）本节课你学会了什么公式？ （2）推导公式的过程中用到了哪些数学思想方法？
解：由 cos α＝17，0<α<π2，
得 sin α＝ 1－cos2α＝
1－172＝4 7 3.
由 0<β<α<π2，得 0<α－β<π2.
又因为 cos(α－β)＝1134，
所以 sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝
1
13 14
2
＝3143.
由 β＝α－(α－β)得
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
5 135 13 65
2
5
c o ) c sc ( o o ss i sn in 课本127页
3(5)4(1)2 5 135 13
33 65
2，3，4题
cos( ) 63 或 c os()33
65
65
2 . 已 知 c o s 3 , (,) , 求 c o s ( ) 的 值 .
解： s in 且 (,)
2
c os s 2 i n3
又c os5,是第三 5象限角
13
s in c 2 o s12
13
c o ) c sc ( o o ss i sn in
3(5)4(1)2 5 135 13
33 65
练习3.将上题范围改成0, .
练习3.已知sin , 0, , cos 5 , 是第三象限角,
c osc os4 cos2 cos2 2cos cos 16
+得 2 2 ( c co o ss s s in ) i 1 n
c os()1
2
给值求值问题
例2.已知sin , , , cos 5 , 是第三象限角,
2
13
求 cos( )的值. 公式：cos( ) cos cos sin sin
10 10
co cs o ( s ) []
c o cs o s s ( is n i n (
给值求角问题
[典例 2] 已知 α，β 均为锐角，且 sin α＝255，
sin β＝ 1100，则 α－β＝________.
解：∵α，β
均为锐角，∴cos
α＝
55，cos
β＝3
＝35×45＋45×35＝2245.
练习 5.已知 sinα＋π4＝－45，且54π<α<74π，求 cos α 的值．
解：∵54π<α<74π，∴32π<α＋π4<2π，
∴cosα＋π4>0，∴cosα＋π4＝
1－sin2os α＝cosα＋π4－π4
＝cosα＋π4cosπ4＋sinα＋π4sin
数学王子---高斯
给我最大快乐的， 不是已懂得知识， 而是不断的学习； 不是已有的东西， 而是不断的获取； 不是已达到的高度， 而是持续不断的攀登！
------高斯
§3.1.1两角差的余弦公式
教学目标：
1.掌握两角和与差的余弦公式。 2.能熟练运用两角和与差的余弦公式解题。
教学重点：
熟练运用两角和与差的余弦公式解题。