江苏省如皋市2017届高三数学下学期联考试题一含附加题

江苏省如皋市2017届高三数学下学期联考试题（一）（含附加题，扫描版）
2016~2017学年度高三年级第二学期语数英学科联考（一）
数学试题参考答案 1．｛3｝ 2．()1
132z i =- 3．23
4．30 5．13
6．－5 7．16
8．(x -1)2+y 2
=4 9．32
11．()2,1- 12．3
π 13．2
a e ≤- 14．10⎡-⎣
15．(1)证明：直三棱柱111ABC A B C -，
∴1AA ABC ⊥平面，BC ABC ⊂平面，∴1AA BC ⊥，
AB BC ⊥，1
AA AB A =,11AA AB A AB ⊂，平面,
∴1BC A AB ⊥平面， ..................................
.........3分
1AN A AB ⊂平面,
∴AN BC ⊥，
1AA AB =，且 N 是1A B 的中点，
∴1AN A B ⊥，
1A B BC B =,11,A B BC A BC ⊂平面，
∴
直线AN ⊥平面
1
A B C ...........................................7分
(2)证明：
//MN 平面111A B C ，
平面111
1111=A B C BAC AC 平面，
11MN BAC ⊂平面，
∴11//MN AC ，N 是1A B 的中点， ∴
M 是
1
BC 的中
点． ...........................................14分
16．(1) cos C ＋(cos A －3sin A )cos B
＝－cos(A ＋B )＋(cos A －3sin A )cos B
＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＋cos A cos B －3sin A cos B ＝
sin A
sin B
－
3
sin A
cos B
＝
0， ...........................................3分
由sin A >0，则有 tan B ＝3，
................................
...........5分
∵B ∈(0,π)，∴
3
=
B π
． ...........................................7分
(2)令3
-
=A t π
，即+
3
=A t π
，
∴()()sin2=sin2sin2-+=-+⎡⎤⎣⎦C A B A B π
2sin 2=sin 233⎛⎫⎛
⎫=-+
+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭t t π
π
=sin 2cos
cos2sin
3
3
+t t π
π
1=sin 222t t + ...........................................10分
由A ∈(0, 23π)，则t ∈33⎛⎫
- ⎪⎝⎭，ππ
∵3
sin 5
=
t ，∴4cos 5
t ．
................................
..........12分
∴24sin 22sin cos 25==t t t ，227cos2cos sin 25
=-=t t t ；
∴sin 2=
C 241725225⨯+．
................................
..........14分
17．解法一：
(1)设∠DOE = , 因为点E 、F 分别在边OA 与BC 上， 所
以
03
≤≤
π
θ，则∠
DOF =
4
2
-
π
θ
， ...........................................2分
在Rt △DOE 中，DE =tan ρ
在Rt △DOF 中，DF =tan 42⎛⎫- ⎪⎝⎭πθsin cos sin 1sin 4222cos cos sin cos
2242⎛⎫
-- ⎪-⎝⎭===⎛⎫+- ⎪⎝⎭πθθθ
θθθπθθ， (4)
分
EF = DE +DF = tan +
1sin cos -θθ
1=
cos θ
，
...........................................5分 ∵03
<≤π
θ， ∴
当
=
3
π
θ时，[cos ]min =
12
，
EF max =2． ...........................................7分
(2) 在Rt △DOE 中，OE =
1
cos θ
， 由（1）可得
=CF DF 1sin cos θ
θ
-=
...........................................9分 S = S 矩形OABC − S 梯形OEFC
=2−
()1
12
CF OE +sin 2
22cos -=+
θθ
(03
≤≤π
θ), .........................................11分
'2
12sin
-=
S θ，令'0>S ，解得0<<π
θ，
因为S 在03⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，πθ时有且仅有一个极大值，因此这个极大值也即S 的最大值．
∴当
=
6
π
θ时，
S max =2．..................................................................................................14分
答：（1）观光道路EF 长度的最大值为2km ；
（2）草坪面积S 的最大值
为
2-
． .......................................15分 解法二：以O 为做标原点，OA 、OC 分别为x ，y 轴建立直角坐标系．
设D (x 0,y 0)，则x 02
+y 02
=1 (01
12≤≤x )，
则直线EF ：x 0x +y 0y =1， ∴E (
01
x ,0)，F (00
1-y x ,1)， (1)EF
01x (01
12≤≤x )， ∴当01
=2
x 时，EF max =2，
(2) S = S 矩形OABC − S 梯形OEFC =2−
()1
12
+CF DE 00
0001211222222⎛⎫--=--+-=+ ⎪⎝⎭y y x x x (01
12
≤≤x ) 由x 02+y 02
=1，设x 0=cos ρy 0=sin (03
≤≤π
θ)，下同法一．
18．（1）10
直线AB 、CD 有一平行于x 轴，
则
21111117
224312
+=+=+=b AB CD a a
，
...........................................2分
20
直线AB 、CD 都不平行于x 轴，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，直线AB ：y =k (x +1)，
则直线CD ：()1
1=-
+y x k
， 将直线直线AB 与椭圆方程联立()22114
3⎧=+⎪
⎨+=⎪
⎩y k x x y ，
整理，得 (3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2
−12=0，
∴x 1+x 2=22
83+4-k k ，2122412
3+4-⋅=k x x k ．
法一：
12=-AB x
()2
2
121+
34
+
k
k
，.....................................5分
同理：
()2
2
121+
34
=
+
k
CD
k
，
............................. .........6分
∴()()()
222
222
1134347(1)7
12
121121121
+++
+=+==
+++
k k k
AB CD k k k
．
综上：117
12
+=
AB CD
． ......................................8分法二：由圆锥统一定义：
22
12
+
⎛⎫⎛⎫
=+=++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
a a
AB AF BF e x e x
c c
()
()2
122
121+
1
=4
234
++=
+
k
x x
k
，下同法一．
(2)假设四边形OAPB是平行四边形，即=
OA BP，此时直线AB、CD都不平行于x轴．由(1)，得P
31
22
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
k
，则()
1122
31
,,,
22
⎛⎫
==---
⎪
⎝⎭
OA x y BP x y
k
，
∴
12
12
3
=
2
1
=
2
⎧
--
⎪⎪
⎨
⎪-
⎪⎩
x x
y y
k
，即
12
12
3
+=
2
1
=
2
⎧
-
⎪⎪
⎨
⎪+
⎪⎩
x x
y y
k
．
................................ ......12分
又x1+x2=
2
2
8
3+4
-k
k
，则y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)= k(x1+x2+2)
∴
2
2
2
2
2
2
839
=
3+424
813
2=
3+428
⎧-
-⇒=
⎪
⎪
⎨
⎛⎫
-
⎪+⇒=
⎪
⎪⎝⎭
⎩
k
k
k
k
k k
k k
，无
解． ......................................14分
∴四边形OAPB不可能是平行四边形． ......................................15分
注：若只解出2
9
4
k=或2
3
8
k=，扣3分
19．(1)当2a =时，设()()()()21ln 1
x h x f x g x x x -=-=-
+，
()()()()()()
2
2
'
222
14114
111x x x h x x x x x x x +--=-==+++， 所以()'0h x >在()1,+∞恒成立， ()h x 在()1,+∞上单调递增， 所以()()10h x h >=， 所
以
()()
f
x g
x >在()
1,+∞恒成
立． ......................................4分
(2)
()()()()()()
2
2'
222
1221112111x ax x a x a
h x x x x x x x +---+=-==+++，.................................6分 令()'0h x =，即()22110x a x --+=， ()2
4140a ∆=--=，解得02a a ==或．
① 若02a ≤≤，此时0∆≤，()'0h x ≥在()0,+∞恒成立，
所以
()
h x 在
()
0,+∞单调递增．
............................
.....7分
② 若>2a ，此时>0∆，
方程()22110x a x --+=的两根为()1,21x a =-1,20x >，
所以()h x 在(
0,1a -上单调递增，
在(11a a ---上单调递减，
在()1a -++∞上单调
递增．
...........................
......8分
③ 若0a <，此时>0∆，
方程()22110x a x --+=的两根为()1,21x a =-1,20x <， 所以()h x 在()0,+∞上单调递增． .................................9分 综上，若2a ≤，()h x 在()0,+∞单调递增
若>2a ，()h x 在(0,1a -，()
1a -++∞上单调递增，
在(11a a ---上单调递减． ........10分
(3)由(1)可知()21ln 1
x x x ->+在()1,+∞恒成立，
所
以
()()
21l n 12
x
f
x x x +=+>
+在()
0,+∞恒成
立，.................................12分
下证2
221
x
x x x e >+-，即证22220x e x x --->， 设()2222x x e x x ϕ=---，()'222x x e x ϕ=--， 设
()222
x x e x ψ=--，
()'22x x e ψ=-， .................................14分
易知()'220x x e ψ=->在()0,+∞恒成立， 所以()222x x e x ψ=--在()0,+∞单调递增， 所以()()22200x x e x ψψ=-->=，
所以()2222x x e x x ϕ=---在()0,+∞单调递增， 所以()()222200x x e x x ϕϕ=--->=，
所以2
221
x x x x e >
+-， 即
当
x >时，
()2
11
x
x f x e +>-． .................................16分
20．（1）若存在连续的三项a k ，a k +1，a k +2成等差数列，k ∈N *
， 则2a k +1=a k +a k +2，
即：()
(
)()()
1
2
122212
121k k k k k
k ++++⋅--=--+--， (1)
分
所以()
24k
k =
--
，
................................
.2分
由于()414k
--=±，所以24k =，即2k =．
所以当且仅当2k =时，a k ，a k +1，a k +2成等差数列．.............................4分 （2）若a 1，a r ，a s 成等差数列，则()(
)()22132
1r
s
r s
⋅--=+--，
所以
()
()1
221
s
r
s r +-
=--
--
． .............................
6分
因为r <s ，所以1220s r +-≥， 而()
()12130
s
r
----≤，
.............................
8分
所以1220s r +-=， 所以1s r =+，且s 为大于
等于4的偶数．
............................
.10分 （
3
）
由
于
()()()1
1121212210n n
n
n n n n n a a +++-=---+-=+-≥，.............................12分
不妨设,,,q r s t a a a a 成等差数列，其中1q r s t ≤<<<．
于是q t r s a a a a +=+，即()()()()21212121q t r s
q t r s --+--=--+--， 所以()()()()22221111q t r s
t s r q --+=-+-----．（*）
因为（*）式左边2222222222226t s r q s r q r q --+≥-+≥+≥+=，
（*）式右边()()()()11114q
t
r
s
-+-----≤，
所以（*）式无解，故在数列{a n }中不存在某4项成等差数列． (16)
分
21-B ．（1）a =b
(5分)，（2
）112N ⎡⎤
⎢⎥=⎢
⎢-⎣⋯⋯(5分). 21-C ． 24sin 40--=ρρθ⋯⋯(10分).（若写直角坐标方程扣3分）
22．解 (1)设A 表示事件“甲同学选中舞蹈”，B 表示事件“乙同学选中舞蹈”，
C 表示事件“丙同学选中舞
蹈”， ......................1分 则P (A )＝C 1
2C 23＝23，P (B )＝C 2
4C 35＝35， P (C )＝C 2
4C 35＝3
5.
∵事件A 、B 、 C 相互独立，
∴甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为:
P (A BC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝P (A )·[1－P (B )] [1－P (C )]
＝
23
×
25
×
25
＝
875
．
......................
4分
(2) ∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为
P (X ＝0)＝P (A B C )＝13×25×25＝475
， P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )
＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075
， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )
＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375
， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×3
5×35＝1875
， (8)
分
∴X 的分布列为：
∴X
的数学期望
E (X )＝0×
75＋1×75＋2×75＋3×1875＝14075
＝28
15． ......................10分
23． （1）()229f =； (2)
分
（2）
12,m A A A A =
下面按()1,2,i a i n =是否进入()1,2,j A j m =分为n 步求解：
第一步：对于每一个()1,2,j A j m =，1a 都有进入或不进入两种可能，
而且1a 至少进入其中一个()1,2,
j A j m =，
所以1a 有1221m
m m m m C C C +++=-种进入12,,
,m A A A 的不同方法； ......................
4分
第二步：同理2a 有21m -种进入12,,
,m A A A 不同方法；
第n 步：同理n a 有21m -种进入12,,,m A A A 不同方法．
根据分步计数原理，12,,
n a a a 进入12,,
,m A A A 共有()21n
m -种不同方法，
即()()21n
m n f m =-． ......................6分 （3）运用二项式定理将()21n
i -展开可得：
()()()()
()()
()1
2
2
01221212121n
n
n n n
i i i i n n n C C C ---=+-+-+
+-，其中1,2,
i m =．
所以()()()()()()()12
201211
21212121m
m
n
n n n n
i
i i i n n n i i C C C --==⎡⎤-=+-+-++-⎢⎥⎣⎦
∑∑ ()()()
()()
()1
2
2
0121
1
1
1
212121,
m m
m
m
n
n n n
i i i n
n
n
i i i i C
C C
--=====+-+-+
+-∑∑∑∑
()21,n
S m =+-其中*S N ∈，
所以当m 为奇数时，()21n S m +-为奇数；当m 为偶数时，()21n
S m +-也为偶数， 即()1m
n i f i =∑与m 同为奇数或者同为偶数． ......................10分。