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幂函数与二次函数
【选题明细表】
知识点、方法题号二次函数的解析式7、12二次函数的图象与性质2、3、4、6、8、10幂函数的图象与性质1、5、9综合问题11、12一、选择题
1.(2012山东烟台模拟)幂函数y=f(x)的图象经过点,则f的值为(　B　)
(A)1(B)2(C)3(D)4
解析:设f(x)=xα,则4α=,α=-,即f(x)=,于是f==2.故选B.
2.设abc<0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象不可能是(　D　)
解析:由abc0时,ab0,图象可能为选项B.
②当c0,
对称轴x=-<0,图象可能为选项A、C,
图象不可能为选项D.
故选D.
3.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么(　A　)
(A)f(2)<f(1)<f(4)(B)f(1)<f(2)<f(4)
(C)f(2)<f(4)<f(1)(D)f(4)<f(2)<f(1)
解析:∵f(2+t)=f(2-t),
∴f(x)关于x=2对称,又开口向上.
∴f(x)在[2,+∞)上单调递增,且f(1)=f(3).
∴f(2)<f(3)<f(4),
即f(2)<f(1)<f(4),故选A.
4.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是(　D　)
(A)[-3,0)(B)(-∞,-3]
(C)[-2,0](D)[-3,0]
解析:当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上递减,
故a=0时满足题意.
当a≠0时,要使f(x)在[-1,+∞)上是减函数,
则有
解得-3≤a1;②若0<x1x2-x1;③若0<x1<x2,则x2f(x1)<x1f(x2);④若0<x1<x2,则1时,f(x)>1,①正确;
对于②,>1,可举例(1,1),(4,2),故②错误;
对于③,<,说明图象上两点x1,x2到原点连线的斜率越来越大,由图象可知,③错误;
对于④,2,即a<-2时,
函数在区间[1,2]上为减函数,
故此时最小值为f(2)=4a+7;
当1≤-a≤2,
即-2≤a≤-1时,
函数的最小值为f(-a)=-a2+3;
当-a-1时,
函数在区间[1,2]上为增函数,
故此时最小值为f(1)=2a+4.
综上可知,当a-1时,最小值为2a+4.
11.(2012开封模拟)已知函数f(x)=xm-且f(4)=.
(1)求m的值;
(2)判定f(x)的奇偶性;
(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.
解:(1)∵f(4)=,
∴4m-=,
∴m=1.
(2)由(1)知f(x)=x-,
∴函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
又f(-x)=-x+=-=-f(x).
所以函数f(x)是奇函数.
(3)函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,证明如下:
设x1>x2>0,
则f(x1)-f(x2)=x1--=(x1-x2),
因为x1>x2>0,
所以x1-x2>0,1+>0.
所以f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.
12.(2012湖南十二校一联)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和g(x)=ax2+bx+c·ln x(abc≠0).
(1)证明:当a0对于一切x>0恒成立,
从而必有2ax2+bx+c>0对于一切x>0恒成立.
又a0对于一切x>0恒成立是不可能的.
因此当a0),
不妨设x2>x1>0,
则k===2ax0+b+.
又g'(x0)=2ax0+b+,
若g(x)为“K函数”,则必满足k=g'(x0),
即有2ax0+b+=2ax0+b+,
也即=(c≠0),
所以=.
设t=,则0<t0,
所以s(t)在t∈(0,1)上为增函数,s(t)<s(1)=0,
故ln t≠.②
①与②矛盾,因此,函数g(x)=ax2+bx+c·ln x(abc≠0)不是“K函数”.。