微分方程式的经典解法

信号与系统
信号与系统
n阶常系数微分方程的求解法 the solution method for
constant-coefficient difference equation of Nth-order
全响应=
齐次方程通解 + 非齐次方程特解（自由响应） （受迫响应）全响应=
零输入响应 + 零状态响应（解齐次方程） （卷积法）
时域分析法（经典法）
变换域法
（第四章拉普拉斯变换法）微分方程求解
信号与系统
n 阶线性时不变系统的描述
一个线性系统，其激励信号与响应信号之间的关系，
可以用下列形式的微分方程式来描述
()
x t()
r t
阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。

-1
10
1
-1
10
1
d d
()()()
d d
d d
()()()
d d
n n
n n
n n
m m
m m
m m
a y t a y t a y t
t t
b x t b x t b x t
t t
--
--
+++
=+++
若系统为时不变的，则，均为常数，此方程为常系
数的n 阶线性常微分方程。

k
a
k
b
信号与系统
一般将激励信号加入的时刻定义为t =0 ，响应为 时的方程的解， 初始条件:
0t +≥齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
1
e
k n
t
k
k C
λ=∑注意：重根情况处理方法（修改齐次解的形式）
特 解：根据微分方程右端函数式（自由项）形式，设含待定系 数的
特解函数式，代入原方程，比较系数 定出特解。

+2+
n-1+
+
2
n-1
dy(0)d y(0)
d y(0)
y(0)dt dt
dt
,,,,经典法
k
C 完全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数线性时不变系统经典求解
齐次微分方程1
e
k n
t
k
k C
λ=∑特征方程特征根
)()()(011
-n 1n =+++--t y a t y dt
d
a t y dt d a n n n n a a a a n n n n λλ
λ++++=--11
100
齐次解形式：（和特征根有关）
λλλ12,,,n
齐次解
特征根
齐次解的形式
r
λ=rt
k k rt
rt
e
t
C te C e C 121-++
+λ12,=±a b
j bt
e C bt e C at
at
sin cos 21+bt
e t
D bt te D bt e D bt e t
C bt te C bt e C at
k k at
at
at
k k at
at
sin sin sin cos cos cos 121121--++
+++++k r
λ=对于每一个单根
k 重实根
a jb
λ=±1,2k 重复根
rt
Ce
给出一项
信号与系统
32
32
d d d
()7()16()12()()
d d d
r t r t r t r t e t
t t t
+++=
解：系统的特征方程为
32
716120
λλλ
+++=
()()
2
230
λλ
++=
()
12
2 , 3
λλ
=-=-
重根
()t
t
h
A
A
t A
t r3
3
2
2
1
e
e
)(-
-+
+
=
特征根
因而对应的齐次解为
求微分方程齐次解解：系统的齐次方程为32
32
d d d
()7()16()12()0
d d d
r t r t r t r t
t t t
+++=例
信号与系统
e sin()
a t
t ωe cos()
a t
t ω12[cos()B sin()]
at
e B ωt ωt +自由项
响应函数 r (t ) 的特解
E B p t 1
121
p p p p B t B t B t B -+++
++e
a t
e
k a t
Bt cos()t ωsin()
t ω12cos()sin()
B t B t ωω+e sin()
p a t t t ωe cos()
p a t
t t ω1
1211
121()e cos()
()e sin()
p p t
p p p
p t
p p B t B t
B t B t D t D t
D t D t ααωω-+-++++++++
++或12[cos()sin()]at
te B t B t ωω+当 a 是 k 重特征根时
当a ＋jb 不是特征根
当a ＋jb 是特征根
线性时不变系统经典求解
如果已知： 分别求两种情况下此方程的特解。

())(d )
(d 3d )(d 2d )(d 2
2
t e t
t e t r t t r t t r +=++,
e )( )2( ;)( )1(2t
t e t t e == 给定微分方程式
3
22
1p )(B t B t B t r ++=这里 为待定系数，将此式代入方程得到 3
2
1
,,B
B B ()()t
t B B B t B B t B 2322 3432
321212
1+=+++++例：
（1） ，自由项为 ， 选特解函数式为2
()e t t =22t t
+
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=+=0
3222
3413321
211B B B B B B 联解得到
27
10
,92 ,31321-
===B B B 所以，特解为
27
109231)(2p -
+=t t t r
信号与系统
t
e
31 于是，特解为t
t t t t B B B e e e 3e 2e +=++3
1
=B p ()()()
h r t r t r t =+(2)
)()(p h t r t r 求出的齐次解 和特解 相加即得方程得完全解
当 将其代入方程的右端，可求得自由项为 很明显，可选 这里，B 是待定系数。

代入方程后有：
()e t
e t =()e t p r t B =。

2e t
2
2d d
()6()5()d d t y t y t y t e t t -++=(0)'(0)0
y y ==例：求微分方程的完全解
2650
λλ++=512()t t
h y t C e C e --=+解: 齐次方程为 特征方程： 特征根： 该方程的齐次解为：1251
λλ=-=-，2
2d d
()6()5()0
d d y t y t y t t t ++= ()t p y t C t
e -=此处，自由项即为激励函数。

其中中a = -1，与微分方程的一个特
征根相同，因此特解为：
t -t -t -t -22
)(5)(d d 6)(d d e Cte Cte t Cte t =++代入原微分方程得 求得 41=C 所以特解为
t p te t y -=41)(完全解为t t
t p h te e C e C t y t y t y ---++=+=41)()()(251代入初始条件求得16
1,16121-==C C 所以有()041161161)(5>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=---t te e e t y t t t 0
)0()0(==’y y 或写为5111()()16164t t t y t e e te u t ---⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
信号与系统
完全解中的齐次解称为系统的自由响应,特解称为系统的强迫响应.特征方程根λi (i=1,2,…,n)称为系统的“固有频率”(或“自由频率”)
完全响应自由响应强迫响应
上例中完全解的分解如下:
()
041161161)(5>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=---t te e e t y t t t
信号与系统
经典法求解微分方程的流程
将元件电压电流关系、基尔霍夫定律用于给定电系统
列写微分方程
齐次解（系数A待定）
t
Aeα特解查表
完全解=齐次解 +特解（ A待定）
已定系数A的完全解—
系统的响应
给定系统
状态
求出对应
状态
-
+。