(全国通用版)2018-2019版高中数学 第一章 导数及其应用 习题课 导数的应用学案 新人教A版选修2-2

习题课 导数的应用
学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．
1．函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )
2.求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时，
(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． 3．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的求法 (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．
(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
类型一 构造法的应用
命题角度1 比较函数值的大小
例1 已知定义在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且sin x ·f ′(x )>cos x ·f (x )恒成立，
则( )
A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f
⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 C.6f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6>2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4 D.3f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用
答案 D
解析 由f ′(x )sin x >f (x )cos x ， 得f ′(x )sin x －f (x )cos x >0，
构造函数g (x )＝f (x )
sin x
，
则g ′(x )＝
f ′(x )sin x －f (x )cos x
sin 2
x
. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，g ′(x )>0，
即函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，
∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，∴3f
⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3， 故选D.
反思与感悟 用构造法比较函数值的大小关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性确定函数值的大小．
跟踪训练1 已知定义域为R 的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋
f (x )
x
<0，若a ＝12 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f ()－2，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c
D ．c <a <b
考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 B
解析 令g (x )＝xf (x )， 则g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )，
∴g (x )是偶函数．g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∵f ′(x )＋
f (x )
x
<0， ∴当x >0时，xf ′(x )＋f (x )<0， 当x <0时，xf ′(x )＋f (x )>0. ∴g (x )在(0，＋∞)上是减函数． ∵1
2
<ln 2<1<2， ∴g (2)<g (ln 2)<g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12. ∵g (x )是偶函数，
∴g (－2)＝g (2)，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝g (ln 2)， ∴g (－2)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12<g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，故选B. 命题角度2 求解不等式
例2 已知定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式
f (x )<2e x 的解集为( )
A ．(－∞，0)
B ．(－∞，2)
C ．(0，＋∞)
D ．(2，＋∞)
考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 C 解析 设g (x )＝
f (x )
e
x
，则g ′(x )＝
f ′(x )－f (x )
e
x
.
∵f (x )>f ′(x )，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在R 上单调递减． ∵f (0)＝2，∴g (0)＝f (0)＝2， 则不等式等价于g (x )<g (0)． ∵函数g (x )单调递减，
∴x >0，∴不等式的解集为(0，＋∞)，故选C.
反思与感悟 构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x 的取值范围．
跟踪训练2 已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且对任意的x ∈R 都有f ′(x )<1
3
，则不等式f (lg
x )>
lg x ＋2
3
的解集为________． 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 (0,10)
解析 ∵f ′(x )<13，∴f ′(x )－1
3<0，
∴f (x )－
x ＋2
3
在R 上为减函数．
设F (x )＝f (x )－x ＋2
3
，则F (x )在R 上为减函数．
∵f (1)＝1，
∴F (1)＝f (1)－1＝1－1＝0.
由f (lg x )>lg x ＋23，得f (lg x )－lg x ＋2
3
>0，。