哈密顿原理

（二）哈密顿原理
质点系的运动是一个客观存在的事 实，力学的任务是对运动作出正确的描 述。矢量力学的理论是指出一切真实运 动所应服从的规律，并以此为依据，去 论断各个具体运动的特征。可是分析力 学并不这样。分析力学研究约束所允许 的一切可能运动，设法在可能运动所构 成的集合中把真实运动挑选出来。由此 可见，分析力学与矢量力学在思想方法
4. 变分运算的几个法则 A B A B
AB A B B A
A B A A B 2 B B d dA A dx dx
Adx
x1
x2
x2
x1
A dx
A
x
B
z
设质点在某一瞬时速度为v，则滑过ds路程的时间
dt=ds/v
没有摩擦，保守力场机械能守恒
v 2gz
曲线方程
（坐标为z时的质点速度）
z=z(x),
而曲线的元弧长：
2
ds
dz 1 dx dx
ds dt v
1 z dx , 2 gz
'2
T
xB
（一）变分法简介
变分法是研究泛函极值的一 种数学理论，它是由力学中最 速落径问题的诱导而发展起来 的。由伊凡· 贝努力提出来的最 速落径问题是这样一个问题.
1. 最速落径问题
不考虑摩擦力和空气阻力，在连 接不在同一铅直线上的任意两定点A 和B（B低于A）的所有曲线中，无 初速的质 点在重力作用下沿哪一条 曲线轨道从A滑到B所需时间最短？ 显然，下滑时间与曲线形状有 关。

欧勒方程
如果 f 不显含自变量 x , 则欧勒方程有初积分 : f f - y' 常数. y '
d 这是因为 : f dx f - y' y '
f f f d f y ' y '' y '' y ' y ' y y ' y ' dx f f f f y ' y '' y '' y ' 0 y ' y y y '
1 z ( x)
'
2
0
2 gz ( x)
dx T [ z ( x)]
注意，这里自变“量”为函数z(x). 要求t 最小，即求t 的极值,而求t的极值涉及泛函数及其变分。
2. 泛函数
自变函数：可在一定范围内变化的函数称之。 如最速落径问题，A、B固定，曲线可任意形状，亦 即可有各种函数曲线，这些函数就是自变函数。 泛函数：依赖于自变函数的可变函数称为该自变函 数的泛函数。泛函数亦即函数的函数。如t[z(x)]是函数 z(x)的函数，其中z(x)可在一定范围内变化的泛指的函数。
上有重大的差别。 1. 哈密顿作用量
定义哈密顿作用量函数： S L(q, q, t )dt
t1 t2
(适用完整保守力系)
x2 x1
( 与 T [ y ( x)]
f ( y, y',x) dx 比较 ，
x t，y q，f L ）
2. 哈密顿原理
在 t1 和 t 2 时间内,如果 q(t1 )和q(t2 ) 相同, 在约束所允许的各种可能的运动 q(t ) 中, 由动力学规律所决定的真实 运动可由作用函数取极值的条件为 :
泛函与复合函数不同：泛函数t= t[z(x)]中的z(x)不是 确定的函数，而是在一定范围内的一类函数；复合函数 3 J=J[z(x)]中的z(x)是一确定函数，如 z( x) x 5x
3. 变分问题
泛函 T [ y ( x)] 取极值的条件为 T 0. 变分算符和微分算符的运算相似， 不同处为 x 0，dx 0。 变分运算性质： ( dy ) d ( y ), dy (dy ) dx (dx) dy 2 dx dx d ( y )dx d ( x )dy d ( y ) 2 dx dx 泛函 T [ y ( x)] 的普遍形式为: T [ y ( x)]
称 S

t2
t1
Ldt 0

t2
t1
Ldt
Ldt 0
t1
t2
为作用函数或主函数
S 0
（三）、哈密顿原理的公理性
根据哈密顿原理,对于保守系
d f f 由欧勒方程 0 可得: dx y ' y d L L 0 dt q q 拉格朗日方程
1 , q 2 q s , t ) 或者直接把 L L(q1 , q2 qs , q
代入哈密顿原理可导出完整保守系的拉格
L d L 朗日方程为： 0 ( j 1,2s ) j dt q q j
用完整非保守力系的哈密顿原理 :
S [ T (q j , q j , t ) Q j q j ]dt 0，
由拉氏方程可得

t2
t1
d L L 1 dt q q
s
q dt 0
但
d L dt q
L d d L q q q dt q q dt L d L q q dt q q
dq dq dq dt 但是 2 dt dt dt d q dq d t 2 dt dt 不等时变分 d 可见 与 一般不能对易。若 t 0 dt
则
dq dt
d q dt
S L(q, q, t )dt 0 给出。
t1
t2
保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一位形 转移到另一位形的一切可能运动中，真实运动的主函数 具 有稳定值。即对于真实运动来讲，主函数的变分为零。
t 0 q P q
1
P 2
0
3.由拉氏方程推导哈密顿原理
等时变分
L q 1 q
s
t2
t1

t2
t1
L L q q q 1 q
s
dt 0
因为
q
t1 L q q q 1 q
函数可表为
f u, y f x u, y , y
定义
g f ux f f x x x x u , y
f f x x u u x u u
f f f x x vu y y x y y
S
1
S
2
A h1 x p r h
2
i D
n
1
θ
θ
n
2
S1’
θ
B
§6.2
正则方程
凡是以变分的形式表述的物理学原理都叫 做变分原理。力学中的变分原理有微分形式和 积分形式两类。虚功原理是微分式的力学变分 原理。本节要叙述的哈密顿原理是分析力学中 的一个很重要的原理。它是积分式的变分原理。 为了使读者便于理解哈密顿原理的物理内容和 数学形式，我们先简单地介绍一下变分的基本 概念。
第六章 哈密顿原理
§6.1 哈密顿原理
§6.2
§6.3 §6.4 §6.5
正则方程
泊松括号 正则变换 雅可毕方程
§6.1
哈密顿原理
Hamiltonian principle
凡是以变分的形式表述的物理学原理都叫 做变分原理。力学中的变分原理有微分形式和 积分形式两类。虚功原理是微分式的力学变分 原理。本节要叙述的哈密顿原理是分析力学中 的一个很重要的原理。它是积分式的变分原理。 为了使读者便于理解哈密顿原理的物理内容和 数学形式，我们先简单地介绍一下变分的基本 概念。
例6-1 求最速落径问题的轨迹.
解：已知 f
1 y '2 f ，因 f 不= 含 x , 有 f - y' C1. 2 gy y '
1 y '2 2y' 常 常 y ' 2 gy(1 y '2 ) 2 gy y [(1 y '2 )2 2 y '2 ] 常 y(1 y '2 ) C1 C1 C1 引入 ，使 y ' ctg y (1 cos 2 ) 2 1 ctg 2 dy sin 2 d 2sin cos d 而 dx C1 C1 2C1 sin 2 d C1 (1 cos 2 )d y' ctg ctg C1 分得: x dx C1 (1 cos 2 )d (2 sin 2 ) C2 2 C1 x 2 (2 sin 2 ) C2 所以最速落的方程: 旋方程 C1 y (1 cos 2 ) 2 1 y '2 1 y '2 即： y' 2 gy y ' 2 gy
t2 t1
d T 可导出拉格朗日方程： dt q j 或 d L dt q j L ' Q j, q j
T Qj q j ( 其中Q 'j为非有势力 )
最 小 作 用 原 理 在 几 何学 光中 称 为 费 马 原 理 (光 程 最 短 ). 例 : (1)反 射 定 律 的 证 明 ; ( 2) 折 射 定 律 的 证 明 .
x2 x1
f ( y, y',x )dx
T
x2
x2
x1
f ( y, y',x )dx f ( y, y',x )dx
x1
x2
f y x1 y x2 f y x1 y f y y '
x2
f y ' dx y ' d f d f y y dx dx y ' dx y '
哈密顿原理是力学的一条基本而重要的原理。 1834年英国W.R.Hamilton提出。 由于哈密顿原理用到变分，它归属于力学的 变分原理。
虚功原理 微分原理 达朗伯-拉格朗日原理 高斯最小约束原理 力学的变分原理 赫兹最小曲率原理 最小作用量原理 积分原理 哈密顿原理
2 光 程 : l n1 AD n2 DB n1 x 2 h12 n2 ( p x ) 2 h2

dl n1 dx
x x h
2 2 1
n2
p x ( p x) h
2 2 2
0
n1 si ni n2 si nr 0 n1 si ni n2 si nr
(一)、 勒让特变换
设
f f x, y 则 df udx vdy
f f ,v 其中 u 也是 x, y 的函数 x y u u x, y , v v x, y 若选 u, y 作独立变量 x x u, y , v v u, y
x2
x1

x1
d f f ydx 0 dx y ' y
y A y B 0, 且 y 是任意的,
d f f 0 dx y ' y 欧勒方程
d f f 0 dx y ' y