(公开课)指数函数的图像及其性质-ppt

研究
分裂
次数 1次 2次 3次 4次
x次
……
y 2x
细胞 2个 4个 8个 16个
总数 21
22
23
24
2x
问题 引入
问题2、《庄子·天下篇》中写道：“一尺 之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出 截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关 系式？
研究
截取
次数 1次 2次 3次 4次
x次
y (1)x 2ຫໍສະໝຸດ 常数a称为底数，函数的定义域是
R.
? 注意三点：
（1）底数：大于0且不等于1的常数
（2）指数：自变量x
（3）系数：1
思考2：为什么要规定a 0且a 1?
0
1
a
当a ≤ 0时，
a x不一定有意义，如
2
1 2
,
0
1 2
当a=1时, y 1x 1 常量，无研究价值
当a>0时, 对任意实数有意义
为了便于研究，规定：a>0 且a≠1
y=ax y
(a>1)
(0<a<1)
y=1
No (0,1)
(0,1)
y=1
Image 当 x > 0 时，y0> 1.
x
当 x <定0 时义，. 0<域y < :1
R
当 x < 00时，y > 1； x
当 x > 0 时， 0< y < 1。
值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
练习： 已知指数函数 f x ax ( a>0,且 a 1) 的图象经过点3, ,求 f 0, f 1, f 3的值.
解: f 3
1
即: a3 a 3 3
1
x
f x ( 3 )x 3
0
f 0 3 0 1
1
f 1 3
f
3
3 3
1
1
变式：已知f x （a2 3a 3)ax
1 1
-6
-4 -3 -2 -2 -1
2
4
12 3
6
观察图象，回答下列问题：
y y=2x
y
1 2
x
y
y=1 (0,1)
0
x
(0,1) y=1
0
x
问题一：图象分别在哪几个象限？ Ⅰ、Ⅱ
问题二：图象的上升、下降与底数a有联系吗？ 答：当底数 a>0 时函数单调增； 当底数 0<a<1 时函数单调减．
这两个函数图像的单调性是什么样的底数对函数的单调性有怎样的影底数互为倒数的底数互为倒数的两个指数函数图两个指数函数图关于关于yy轴对称轴对称经过点的图像例例11已知指数函数fx的图象经过点3解
2.1.2 指数函数及其性质
问题 引入
问题1、某种细胞分裂时，由1个分裂成 2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分 裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数 关系式是什么？
问题三：图象中有哪些特殊的点？ 均过（0,1） 问题四：函数的奇偶性？ 非奇非偶函数
在指数函数 y 2x
上，作出函数的 y
,y
3x
1 x
2
,
y
等图像的基础
1 x 图像 3
y (1)x
y (1)x 3
y=3X
Y
y = 2x
2
Y=1
O
X
指数函数
的图像及性质
图象
a>1
0<a<1
y
y=ax
1.70.3 1 0.93.1 1
从而有 1.70.3 > 0.93.1
三、图像与性质
例2. 比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5 ， 1.73 ； （2）0.8－0.1 ， 0.8 －0.2 （3）1.70.3 ， 0.93.1.
小结 ：比较指数幂大小的方法： ①、单调性法：利用函数的单调性，数的特征 是底同指不同（包括可以化为同底的）。
在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
奇偶性： 非奇非偶函数
性质
例题讲解
例1：已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的 图象经过点（2，16），求f(0),f(2)的值。
解：∵ f(x)的图象过点（2，16）， ∴ f(2)=16即a2=16, 又a>0且a≠1 ∴ a=4 ,f(x)=4x. ∴ f(0)=40=1,f(2)=42=8
例题
（口答）判断下列函数是不是指 数函数，为什么？
① y x2
⑥ y 52x2 1
√ ② y 8x
⑦ y xx
√③y (2a 1)x ( a 1 且 a 1 )
2
④ y (4)x
⑧ y 10x
√⑤ y x
设问2：得到函数的图象一般用什么方法？
列表、描点、连线作图
在同一直角坐标系画出
则 a, b, c的大小关系是____________________.
3 当k为何值时，方程 3x 1 k无解？有一解？两解？
y
2，x
y
12的x 图象，
并思考：两个函数的图象有什么关系？
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
2x
… 0.13 0.25 0.5 0.71 1 8
1.4 2
4
8…
2 x … 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
7
6
y
1
x
5
2
4
y 2x
3 2
为指数函数，求 f x 解析式。
三、图像与性质
例2. 比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5 ， 1.73 ；
解① ：利用函数单调性
考查函数 y= 1.7 x
因为1.7>1，所以函数y= 1.7 x
在R上是增函数，而2.5<3，
5
所以，
4.5
4
3.5
1.72.5 < 1.73
3
fx
=
1.7x
2.5
2
1.5
1
0.5
-2
-1
-0.5
1
2
3
4
5
6
② 0.80.1 ， 0.80.2
解② ：利用函数单调性
考查函数 y=0.8 x
因为0<0.8<1，所以函数y= 0.8 x
在R是减函数，而-0.1>-0.2， 所以，
0.80.1 < 0.80.2
③ 1.7 0.3 ， 0.93.1
解③ ：根据指数函数的性质，得
木棰 1 尺 1 尺 1 尺 1 尺
剩余 2
4
8
16
(1)x尺 2
提炼 y 2x y (1)x
2
设问1:以上两个函数有何共同特征 ? (1)均为幂的形式; (2)底数是一个正的常数; (3)自变量x在指数位置.
y ax
指数函数的定义:
一般地，函数
y ax(a 0,且a 1)
叫做指数函数，其中 x 是自变量,
的图象,则a，b，c，d与1的大
小关系是
()
A.a<b<1<c<d
B.b<a<1<d<c
C.1<a<b<c<d
D.a<b<1<d<c
练习
1.下列函数中一定是指数函数的是（ ）
A.y 2 x1
B.y x3
C.y 2x
D.y 3 2 x
2.已知 a 0.80.7 , b 0.80.9 , c 1.20.8 ,
2、指数函数的图像与性质； 3、指数式比较大小的方法：
1
y=1
ox
构造函数法：同底不同指利用函数的单调性，
底不同指不同利用中间值
◆方法指导: 数形结合思想 利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法，记
忆指数函数性质时可以联想它的图像。
思考题：右图是指数函数① y=ax，
② y=bx, ③y=cx, ④ y=dx
②、中间值法：找一个 “中间值”如“1”来过 渡, 数的特征是底不同指不同。
变式. 比较大小：
（1）3.10<.5 3.12.3
（2(）32 ) 0>.3 (
2)0.24 3
<
（3） 2.3－2.5 0.2 －0.1
课堂小结
1、指数函数概念：
函数y = ax(a 0，且a 1)叫做指数函数，其中xy是自变 量 .函数的定义域是R .