山东省新高考适应性考试2025届高三上学期10月质量检测数学试题

山东省新高考适应性考试2025届高三上学期10月质量检测数学
试题
一、单选题
1．已知集合{}30A x x =->，{}2
540B x x x =-+>，则A B =I （ ）
A ．(,1)-∞
B ．(3),-∞
C ．(3,)+∞
D ．(4,)+∞
2．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()21f x f x +=，若()()01,2f ∈，则()2026f 的取值范围为（ ） A ．()2,1--
B ．[]1,4
C ．1
,12
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
D ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
3．已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ） A ．sin ,cos ,tan ααα B ．sin ,tan ,cos ααα C ．22sin ,cos ,tan ααα
D ．22cos ,sin ,tan ααα
4．已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，()f x 的解析式为（ ）
A ．()π2sin 26f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
B ．()2π2sin 23f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
C ．()1
π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
D ．()1
2π2sin 2
3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：()()6f x f x =-，且当03x ≤≤时，()()()0.5log 1,01
2,13a x x f x x x x ⎧++≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩
（a 为常数），则()()20232025f f +的值为（ ）
A ．2-
B ．0
C ．1
D ．2
6．若函数()3
ln f x a x x x
=+-既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围为（ ）
A
．( B
．(
()
,-∞-⋃+∞
C
．(,-∞-
D
．()
+∞
7．设R a ∈且0a ≠，n 为正整数，集合()cos πx S x a x n ⎧
⎫
==
⎨⎬⎩
⎭
．
有以下两个命题：①对任意a ，存在n ，使得集合S 中至少有2个元素；②若存在两个n ，使得S 中只有1个元素，则2
5
a <，那么（ ）
A ．①是真命题，②是假命题
B ．①是假命题，②是真命题
C ．①、②都是假命题
D ．①、②都是真命题
8．设数列1
(1)n n a n
+-=的前n 项和为n S ，数学家墨卡托、牛顿、Gregory Saint-Vincen 曾分别
独立发现当n 足够大时，n S 会趋向于一常数ln 2，先给出以下三个数学事实：
①11
ln 222
n S =；②如果求数列前n 项和n S 时存在给其中的某些项用括号括起后得到n S '，lim n n S ∞∞'→=，则lim n n S ∞
∞→=；③
121211
(N)214n n
k n k +-=>∈-∑.基于以上数学事实我们可以推出：将数列{}n
a 的项按某
种规律重新排列（如：将第m 个偶数项排到第21m +个奇数项后）后前n 项和n S ''在n 足够大时（ ）.
A ．最终一定趋于ln 2
B ．最终一定不趋于任何一个常数
C ．最终一定趋于某一常数但不一定是ln 2
D ．以上均不正确
二、多选题
9．已知函数()22()sin cos n n n f x x x n *
=+∈N ，记()n f x 的最小值为n a ，数列{}n a 的前n 项和
为n S ，下列说法正确的是（ ） A ．212
a =
B ．43116
S =
C ．()1
ln 12n
i i a =+<∑
D ．若数列{}n b 满足21
1log n n
b a =
-，则
12
1
14
n
i i i i bb
b ++=<
∑
10．已知sin 22cos ()e x x f x +=，（参考数据ln13.4 2.6≈），则下列说法正确的是（ ）
A ．()f x 是周期为π的周期函数
B ．()f x 在(π,0)-上单调递增
C ．()f x 在(2π,2π)-内共有4个极值点
D ．设()()g x f x x =-，则()g x 在29π,6⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭上共有5个零点
11．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即
S =现有ABC V 满足sin :sin :sin A B C =，且ABC S =△，则（ ）
A ．ABC V 三个内角、、A
B
C 满足关系2A+C =B
B ．AB
C V 的周长为10+
C ．若B ∠的角平分线与AC 交于
D ，则BD D ．若O 为ABC V 的外心，则()26BO BA BC ⋅+=u u u r u u u r u u u r
三、填空题
12．已知角α的终边经过点P ⎝⎭
，则sin α=，cos α=． 13．函数[]()sin 20,πy x x x =+∈的最大值为．
14．已知1:a ζ，2a ，L ，n a 为有穷整数数列，对于给定的正整数m ，若对于任意的
{1,2,,}n m ∈L ，在ζ中存在i a ，1i a +，L ，(,0)i j a i j +≥使得12i i i i j a a a a n +++++++=L ，则
称ζ为“m ⊗同心圆数列”．若12:,,,k a a a ζL 为“2023⊗同心圆数列”，则k 的最小值为．
四、解答题
15．已知函数1
()ln f x ax x a
=-
+.
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)若()f x 存在最大值，且最大值小于0，求a 的取值范围.
16．已知集合A 是由元素x
组成的，其中x m =+m ，n ∈Z ． (1)
设1x =
2x
(231x =-，试判断12,x x ，3x 与A 之间的关系；
(2)任取12,x x A ∈，试判断12x x +，21x x 与A 之间的关系． 17．已知公差d 不为0的等差数列 a n 的前n 项和为6397,6,15
n S S a S ==. (1)求 a n 的通项公式；
(2)令212n a n b =+，记n T 为数列 b n 的前n 项和，若2024n T ≥，求n 的最小值.
18．若1x ，()221x x x >是函数ℎ x 在[]0,2π内的两个零点，则定义ℎ x 的A 型12x x →零点
旋转函数为()121cos πx x H x A x x ⎛⎫
-= ⎪-⎝⎭
，A ∈R 且0A ≠.将函数(
)sin2f x x x =-在[]0,2π内所有的零点从小到大排列后，记第n 个零点为()*
n x n ∈N ，集合(){}
0,02πP x f x x ==≤≤.
(1)请用列举法写出P .
(2)设函数()g x 是()f x 的1型13x x →零点旋转函数，函数()()()2
x g x g x t ϕ⎡⎤=--⎣⎦，π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，t ∈R . （i ）讨论φ x 的零点个数；
（ii ）若φ x 有两个零点m ，n ，证明：()cos 0m n +<.
19．拟合（Fittiong ）和插值（Imorterpolation ）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法.拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点.适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值.例如，为了得到1
cos 2
的近似值，我们对函数()πcos 2f x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
进行多项式插值.设一次函数()1L x ax b =+满足
()()()()11001110
L f L f ⎧==⎪⎨
==⎪⎩，可得()f x 在[]0,1上的一次插值多项式()11L x x =-+，由此可计算出1
cos 2
的“近似值”11111cos
10.6822πππf L ⎛⎫⎛⎫
=≈=-≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，显然这个“近似值”与真实值的误差较大.为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite ）插值多项式.已知函数()πcos 2f x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭在[]0,1上的二次埃尔米特插值
多项式()2
H x ax bx c =++满足()()()()()()001100H f H f H f ⎧='='⎪=⎨⎪⎩
(1)求()H x ，并证明当[]0,1x ∈时，()()f x H x …；
(2)若当[]0,1x ∈时，()()2
f x H x x λ-…，求实数λ的取值范围；
(3)利用()H x 计算1cos 2
的近似值，并证明其误差不超过140
. （参考数据：211
0.318,0.101ππ
≈≈；结果精确到0.001）。