2021年辽宁省沈阳市和平区中考数学零模试卷 (含解析)

2021年辽宁省沈阳市和平区中考数学零模试卷
一、选择题（共10小题）.
1．如图，数轴上点A，B，C，D中，表示的数互为相反数的两个点是（）
A．点A与点B B．点A与点C C．点B与点C D．点B与点D 2．中国第54颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为36000000m，将数据36000000用科学记数法表示为3.6×10n，则n的值为（）
A．5B．6C．7D．8
3．如图是一个正三棱柱的三视图，则这个三棱柱摆放方式正确的是（）
A．B．
C．D．
4．一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的3个白球，x个黑球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，则x的值为（）
A．2B．3C．7D．13
5．如图，△ABC是圆O的内接正三角形，将△ABC绕圆心O顺时针旋转30°，得到△DEF，连接BF，则∠BFE的度数为（）
A．10°B．15°C．30°D．150°
6．甲乙丙丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛，那么应选（）去．
甲乙丙丁
平均分80809090
方差50425042
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．已知矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，则所得任一多边形的内角和度数不可能是（）
A．180°B．360°C．540°D．720°
8．我国快递业务逐年增加，2017年至2019年我国快递业务收入大约由5000亿元增加到7500亿元，设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则所列方程正确的是（）
A．5000（1+x）2＝7500
B．7500（1﹣x）2＝5000
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
D．5000（1+2x）＝7500
9．如图，圆O的内接正六边形的面积为24cm2，则圆O的半径为（）
A．4cm B．2cm C．2cm D．1cm
10．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④当x＞﹣2时，y随x增大而增大；
⑤abc＞0；⑥y的最小值为3．其中正确的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．不等式﹣3x+1＞7的解集为．
12．分解因式5+5x2﹣10x＝．
13．一副直角三角板如图放置，点D在边BC上，点F在AB的延长线上，AF∥DE，∠A ＝∠DFE＝90°，则∠FDB的余角的度数为度．
14．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2，则k＝．
15．如图，OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝，以OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA10的长度为．
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝32，连接BD，∠BAD＝60°，点E、点F分别是AB边、BC边上的点，AE＝BF＝8，连接DE，DF，EF，EF交BD于点G，点P、Q分别是线段DE、DF上的动点，连接PQ，QG，当GQ+PQ的值最小时，△DPQ的面积
为．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．计算：sin30°÷（）2﹣（﹣3）0+|1﹣|．
18．先化简，再求值：（3x+2y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）﹣5y（3x+y），其中x＝cos45°，y ＝tan30°．
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、F分别为OA、OC 的中点，连接BE、DF、DE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BD＝2AB，且AB＝10，CF＝6，直接写出DE的长为．
四、（每题8分，共16分）
20．某校对九年级学生进行一次测试，结果评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
等级频数（人
频率
数）
A a20%
B1640%
C12b
D410%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）表中的a＝，b＝．
（2）请直接补全条形统计图．
（3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请直接写出抽取的两名同学恰好是女生的概率为．
21．如图，旅游景区A位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线B→C→A可到达．当地政府为了发展旅游经济，修建了一条从B地到景区A的笔直公路．若∠B＝45°，tan A＝，BC＝10千米．
（1）求公路AB的长为多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路AB时，施工队使用了新的施工技术，实际每天修建的长度比原计划增加20%，结果提前25天完成了施工任务，求施工队实际每天修建多少千米？
五、（本题10分）
22．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，CE⊥AB于点E，点D是AB延长线上一点，CB平分∠ECD．
（1）判断CD与⊙O有怎样的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝2cm，sin∠BCE＝，则直接写出CD的长为．
六、（本题10分）
23．如图，在平面直角坐标系中，点A位于第一象限内，OA＝7，直线OA的函数表达式为y＝x，AB⊥y轴于点C．
（1）直接写出点A的坐标为；
（2）点E为线段OB上一点，BE＝1，连接AE，作AF⊥AE，交x轴于点F，连接EF，ED平分∠OEF交OA于点D．
①求直线EF的函数表达式；
②直接写出线段AD的长．
七、（本题12分）
24．在矩形ABCD中，点E、点F分别是AD边、BC边上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处，射线EH与射线CB相交于点P．AB＝15，BC＝CD．
（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P在线段CB延长线上时，线段HG分别与AB，BC交于M，N两点
时，EP与AB交于点Q，连接PM并延长PM交EF于点O．
①求证：直线OP是线段EF的垂直平分线；
②若AE＝6，直接写出线段EF的长为；
（3）在点E由点A移动到AD中点的过程中，直接写出点G运动的路径长为．
八、（本题12分）
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+ax+c经过点A（1，0）和点B（0，）．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点C（0，﹣2），点D为第二象限内抛物线上一点，作DE∥y轴交直线AC于点E，当DE最大时，求点D坐标；
（3）在（2）的条件下，连接CD，点F为y轴上的点，当CF＝CD时．
①在平面内找一点G，使四边形DCFG是菱形，直接写出点G的坐标为；
②点H为x轴上方抛物线上的点，当直线CH为∠DCF的对称轴时，请直接写出点H的
坐标为．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．如图，数轴上点A，B，C，D中，表示的数互为相反数的两个点是（）
A．点A与点B B．点A与点C C．点B与点C D．点B与点D
【分析】一对相反数在数轴上的位置特点：分别在原点的左右两旁，并且到原点的距离相等．
解：点B和点D分别在原点的左右两旁，到原点的距离相等，所以它们表示的两个数互为相反数．
故选：D．
2．中国第54颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为36000000m，将数据36000000用科学记数法表示为3.6×10n，则n的值为（）
A．5B．6C．7D．8
解：36000000＝3.6×107，即n＝7．
故选：C．
3．如图是一个正三棱柱的三视图，则这个三棱柱摆放方式正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】各个选项的图从正、上和左面看得到的三视图形，然后与已知三视图比较即可．
解：B选项从正面看有1个长方形，中间有1条虚棱；
从上面看有一个三角形；
从左面看有1个长方形．
故选：B．
4．一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的3个白球，x个黑球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，则x的值为（）
A．2B．3C．7D．13
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解：依题意得：＝0.3，
解得：x＝7．
故选：C．
5．如图，△ABC是圆O的内接正三角形，将△ABC绕圆心O顺时针旋转30°，得到△DEF，连接BF，则∠BFE的度数为（）
A．10°B．15°C．30°D．150°
【分析】连接OE，OB，根据旋转的性质和圆周角定理即可得到结论．
解：连接OE，OB，
∵将△ABC绕圆心O顺时针旋转30°，得到△DEF，
∴∠EOB＝30°，
∴∠BFE＝∠BOE＝30°＝15°，
故选：B．
6．甲乙丙丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛，那么应选（）去．
甲乙丙丁
平均分80809090
方差50425042
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】先找到四位同学中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人中选择方差小，即成绩稳定的，从而得出答案．
解：∵＝＞＝，
∴四位同学中丙、丁的平均成绩较好，
又∵S丙2＞S丁2，
∴丁的成绩比丙的成绩更加稳定，
∴应选丁去．
故选：D．
7．已知矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，则所得任一多边形的内角和度数不可能是（）
A．180°B．360°C．540°D．720°
【分析】根据题意画出图形，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可．
解：不同的划分方法有4种，见图：
所得任一多边形内角和度数可能是360°或540°或180°．
故选：D．
8．我国快递业务逐年增加，2017年至2019年我国快递业务收入大约由5000亿元增加到7500
亿元，设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则所列方程正确的是（）
A．5000（1+x）2＝7500
B．7500（1﹣x）2＝5000
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
D．5000（1+2x）＝7500
【分析】利用2019年我国快递业务收入金额＝2017年我国快递业务收入金额×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：5000（1+x）2＝7500．
故选：A．
9．如图，圆O的内接正六边形的面积为24cm2，则圆O的半径为（）
A．4cm B．2cm C．2cm D．1cm
【分析】根据圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，由面积公式可求出半径．解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，
设半径为r，即OA＝OB＝AB＝r，
OM＝OA•sin∠OAB＝r，
∵圆O的内接正六边形的面积为24（cm2），
∴△AOB的面积为24÷6＝4（cm2），
即AB•OM＝4，
r•r＝4，
解得r＝4，
故选：A．
10．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④当x＞﹣2时，y随x增大而增大；
⑤abc＞0；⑥y的最小值为3．其中正确的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，与y轴的交点以及二次函数与一元二次方程的关系逐项进行判断即可．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，
∴4a﹣b＝0，
因此①正确；
∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，图象与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）和点（0，0）之间，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
因此②正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），而a＜0，
∴当y＝2时，方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，
因此③正确；
由a＜0，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，即当x＞﹣2时，y随x增大而减小，因此④不正确；
由抛物线的开口方向可知a＜0，与y轴交点的位置可得c＜0，
由对称轴x＝﹣＝﹣2，可得4a＝b，所以b＜0，
所以abc＜0，
因此⑤不正确；
由顶点坐标可得，y的最大值为3，
因此⑥不正确；
综上所述，正确的结论有①②③，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．不等式﹣3x+1＞7的解集为x＜﹣2．
【分析】依次移项、合并同类项，系数化为1可得答案．
解：移项，得：﹣3x＞7﹣1，
合并同类项，得：﹣3x＞6，
系数化为1，得：x＜﹣2，
故答案为：x＜﹣2．
12．分解因式5+5x2﹣10x＝5（x﹣1）2．
【分析】直接提取公因式5，再利用公式法分解因式得出答案．
解：5+5x2﹣10x＝5（1+x2﹣2x）
＝5（x﹣1）2．
故答案为：5（x﹣1）2．
13．一副直角三角板如图放置，点D在边BC上，点F在AB的延长线上，AF∥DE，∠A ＝∠DFE＝90°，则∠FDB的余角的度数为75度．
【分析】直接利用三角板的内角度数以及平行线的性质得出∠EDF＝∠DFA＝30°，再利用三角形外角的性质得出答案．
解：∵AF∥DE，
∴∠EDF＝∠DFA＝30°，
∵∠DFA+∠FDB＝∠ABC，
∴30°+∠FDB＝45°，
解得：∠FDB＝15°，
∴∠FDB的余角的度数为75°．
故答案为：75．
14．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2，则k＝﹣4．
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．
解：∵AB⊥x轴于点B，
∴S△AOB＝|k|＝2，
∴k＝±4，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣4，
故答案为﹣4．
15．如图，OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝，以OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA10的长度为32．
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．
解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝，
∴OA2＝2＝21；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴OA3＝2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴OA4＝4＝22．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴OA5＝4，
……
∴OA10的长度为25＝32．
故答案为：32．
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝32，连接BD，∠BAD＝60°，点E、点F分别是AB边、BC边上的点，AE＝BF＝8，连接DE，DF，EF，EF交BD于点G，点P、Q分别是线段DE、DF上的动点，连接PQ，QG，当GQ+PQ的值最小时，△DPQ的面积为
26．
【分析】过点D作DN⊥BC于点N，作点G关于DF的对称点H，连接DH，HF，QH，当HP⊥DE时，GQ+PQ的值最小．结合背景图形，求出PD和PQ的值，进而求出△PDQ 的面积．
解：如图，过点D作DN⊥BC于点N，作点G关于DF的对称点H，连接DH，HF，QH，
∴GQ＝HQ，∠BDF＝∠HDF，GD＝HD，
∴QG+PQ＝HQ+PQ，
∴当H，Q，P三点共线时，且HP⊥DE时，PQ+QG为最小值．∵四边形ABCD为菱形，∠BCD＝60°，
∴∠A＝∠BCD＝60°，AD＝CD＝BC＝AB，
∴△ABD和△BCD为等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝32，∠ADB＝∠DBC＝60°，
∵AE＝BF＝8，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠BDF，
∴∠ADB＝∠EDF＝60°，
∴△EDF为等边三角形，
∴EFD＝60°，
∵DN⊥BC，△BDC是等边三角形，
∴BN＝NC＝16，∠BDN＝30°，
∴DN＝BN＝16，
∵FN＝BN﹣BF＝8，
∴DF＝8，
∵∠EFD＝∠DBC＝60°，∠BDF＝∠GDF，
∴△BDF∽△FDG，
∴＝，即，
∴DG＝26，
∴DH＝26，
∵∠DFN＝∠DBC+∠BDF＝60°+∠BDF，
∠EDH＝∠EDF+∠FDH＝60°+∠BDF，
∴∠DFN＝∠EDH，
∵∠NPD＝∠DNF，
∴△DPH∽△FND，
∴，即，
∴PH＝4，
∴QG+PQ的最小值为4，
∵PH⊥DE，DH＝26，
∴PD＝2，
∵∠EDF＝60°，
∴PQ＝PD＝2，
∴S△PDQ＝＝．
故答案为：26．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．计算：sin30°÷（）2﹣（﹣3）0+|1﹣|．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
解：原式＝÷﹣1+2﹣1
＝2﹣1+2﹣1
＝2．
18．先化简，再求值：（3x+2y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）﹣5y（3x+y），其中x＝cos45°，y ＝tan30°．
【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则计算，再结合特殊角的三角函数值代入得出答案．
解：原式＝9x2+12xy+4y2﹣（9x2﹣y2）﹣15xy﹣5y2
＝9x2+12xy+4y2﹣9x2+y2﹣15xy﹣5y2
＝﹣3xy，
∵x＝cos45°＝，y＝tan30°＝，
∴原式＝﹣3xy＝﹣3××
＝﹣．
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、F分别为OA、OC 的中点，连接BE、DF、DE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BD＝2AB，且AB＝10，CF＝6，直接写出DE的长为4．
【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到：△ABE≌△CDF；
（2）依据平行四边形的性质及BD＝2AB，即可得出等腰三角形ABO和等腰三角形CDO，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠BEF，∠DFE是直角，进而得到Rt△DEF和Rt △BEO，即可得出DE的长．
解：（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝CO，
又∵点E，F分别为OA、OC的中点，
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，AE＝CF，
∵BD＝2AB，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AB＝OB＝OD＝CD，
∵AB＝10，CF＝6，
∴AB＝OB＝OD＝CD＝10，AE＝6，
∵AB＝OB，点E、F分别为OA、OC的中点，
∴BE⊥AO，DF⊥CO，AE＝CF＝EO＝OF＝6，
∴DF＝BE＝8，EF＝12，
在Rt△DEF中，
DE ＝＝＝4．
四、（每题8分，共16分）
20．某校对九年级学生进行一次测试，结果评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
频率
等级频数（人
数）
A a20%
B1640%
C12b
D410%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）表中的a ＝8，b＝30%．
（2）请直接补全条形统计图．
（3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请直接写出抽取的两名同学恰好是女生的概率为．
【分析】（1）根据D等级的人数和所占的百分比求出总人数，用总人数乘以A等级的频率求出a，再用整体1减去其它等级的频率即可得出b；
（2）用A等级的总人数减去女生人数求出A等级的男生人数，用B等级的总人数减去男生人数求出B等级的女生人数，再补全统计图即可；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
解：（1）本次调查共抽取的学生数是：4÷10%＝40（名），
a＝16÷40%×20%＝8，m＝1﹣20%﹣40%﹣10%＝30%；
故答案为：8，30%；
（2）A等级的男生人数有8﹣2＝6（名），
B等级的女生人数有：16﹣8＝8（名），补全统计图如下：
（3）将男生分别标记为A，B，女生标记为a，b，
A B a b
A（A，B）（A，a）（A，b）
B（B，A）（B，a）（B，b）
a（a，A）（a，B）（a，b）
b（b，A）（b，B）（b，a）
∵共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是女生的有2种，
∴抽取的两名同学恰好是女生的概率为＝．
故答案为：．
21．如图，旅游景区A位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线B→C→A可到达．当地政府为了发展旅游经济，修建了一条从B地到景区A的笔直公路．若∠B＝45°，tan A＝，BC＝10千米．
（1）求公路AB的长为多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路AB时，施工队使用了新的施工技术，实际每天修建的长度比原计划增加20%，结果提前25天完成了施工任务，求施工队实际每天修建
多少千米？
【分析】（1）根据锐角三角函数，可以求得BD和AD的长，从而可以得到AB的长；
（2）根据（1）中的结果和实际每天修建的长度比原计划增加20%，结果提前25天完成了施工任务，可以列出相应的分式方程，从而可以得到施工队实际每天修建多少千米．解：（1）作CD⊥AB交AB于点D，
∵∠B＝45°，tan A＝，BC＝10千米，∠CDB＝∠CDA＝90°，
∴CD＝BC•sin45°＝10×＝10，
∴BD＝10，AD＝＝＝20，
∴BA＝BD+AD＝10+20＝30，
即公路AB的长为30千米；
（2）设原计划每天修建x千米，
则实际每天秀江x（1+20%）＝1.2x（千米），
，
解得x＝0.2，
经检验，x＝0.2是原分式方程的解，
∴1.2x＝1.2×0.2＝0.24，
答：施工队实际每天修建0.24千米．
五、（本题10分）
22．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，CE⊥AB于点E，点D是AB延长线上一点，CB平分∠ECD．
（1）判断CD与⊙O有怎样的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝2cm，sin∠BCE＝，则直接写出CD的长为1cm．
【分析】（1）根据同圆的半径相等可知：OB＝OC，所以∠OCB＝∠OBC，由垂直的定义和三角形的内角和定理可知：∠BCE+∠OBC＝90°，最后由角平分线的定义和等量代换可得OC⊥CD，从而得结论；
（2）设⊙O的半径为xcm，先根据等角的三角函数列比例式得：sin∠A＝sin∠ECB，则，得BE的长，证明△OCE∽△ODC，列比例式可得x的值，表示OD和OC的长，最后利用勾股定理计算即可．
解：（1）CD与⊙O相切，理由如下：
连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠OBC+∠BCE＝90°，
∵BC平分∠DCE，
∴∠DCB＝∠ECB，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，
∴OC⊥DC，
∴CD与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为xcm，
∴AB＝2x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠ABC+∠ECB＝90°，
∴∠A＝∠ECB，
∴sin∠A＝sin∠ECB，
∴，即，
∴BC＝，
∵＝，
∴BE＝，
Rt△CBE中，CE＝＝，
∵AD＝2，OD＝2﹣x，
∴CD＝＝＝，
∵∠EOC＝∠EOC，∠OEC＝∠OCD＝90°，
∴△OCE∽△ODC，
∴，
∴，
解得：x1＝，x2＝﹣3（舍），
∴OD＝2﹣＝，OC＝，
由勾股定理得：CD＝＝＝1（cm）．
故答案为：1cm．
六、（本题10分）
23．如图，在平面直角坐标系中，点A位于第一象限内，OA＝7，直线OA的函数表达式为y＝x，AB⊥y轴于点C．
（1）直接写出点A的坐标为（7，7）；
（2）点E为线段OB上一点，BE＝1，连接AE，作AF⊥AE，交x轴于点F，连接EF，ED平分∠OEF交OA于点D．
①求直线EF的函数表达式；
②直接写出线段AD的长5．
【分析】（1）设点A的坐标为（m，m），则m2+m2＝（7）2，即可求解；
（2）①证明△ABE≌△ACF（AAS），求出点F（8，0）、点E（0，6），进而求解；
②在Rt△CMH中，HM＝x，MF＝4，HF＝8﹣x，利用勾股定理即可求解．
解：（1）∵点A在直线y＝x①上，
故设点A的坐标为（m，m），
则m2+m2＝（7）2，解得m＝7，
故点A的坐标为（7，7），
故答案为（7，7）；
（2）①∵AF⊥AE，
∴∠EAC+∠CAF＝90°，
∵∠EAC+∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠EAB，
∵AB＝AC＝7，∠ABE＝∠ACF＝90°，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴BE＝CF＝1，
故点F的坐标为（8，0）、点E（0，6），
设直线EF的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线EF的表达式为y＝﹣x+6；
②延长ED交x轴于点H，过点H作NM⊥EF于点M，
设OH＝x，
∵ED平分∠OEF交OA，
∴∠MEH＝∠OEH，则MH＝OH＝x，则CH＝7﹣x，
∵∠MEH＝∠OEH，OH＝MH，∠EMH＝∠EOH＝90°，
∴△EHO≌△EHM（AAS），
∴OE＝EM，
由E、F的坐标得：EF＝10，
则FM＝EF﹣EM＝EF﹣OE＝10﹣6＝4，
在Rt△CMH中，HM＝x，MF＝4，HF＝8﹣x，
则（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝2，
故点H的坐标为（2，0），
由点E、H的坐标，同理可得EH的表达式为y＝﹣2x+6②，
联立①②并解得，即点D的坐标为（2，2），
由点A、D的坐标得：AD＝＝5，
故答案为5．
七、（本题12分）
24．在矩形ABCD中，点E、点F分别是AD边、BC边上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处，射线EH与射线CB相
交于点P．AB＝15，BC＝CD．
（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P在线段CB延长线上时，线段HG分别与AB，BC交于M，N两点时，EP与AB交于点Q，连接PM并延长PM交EF于点O．
①求证：直线OP是线段EF的垂直平分线；
②若AE＝6，直接写出线段EF的长为6；
（3）在点E由点A移动到AD中点的过程中，直接写出点G运动的路径长为4π．
【分析】（1）欲证明PE＝PF，只要证明∠PEF＝∠PFE．
（2）①证明：如图2中，设AB交PE于J．利用全等三角形的性质证明MH＝MB，即可解决问题．
②连接AC交EF于点O′．证明O，O′重合，连接BD交EF于O，过点O作OG⊥AD于G．解直角三角形求出OE，可得结论．
（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC．利用弧长公式，解决问题即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
由翻折变换可知，∠DEF＝∠PEF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴PE＝PF．
（2）①证明：如图2中，设AB交PE于J．∵AE∥FN，EJ∥FG，
∴∠AEJ＝∠GFN，
∵AD＝BC，AE＝CF，
∴BF＝DE，
由翻折的性质可知，DE＝EH，CF＝FG，
∴AE＝FG，
∵∠EAJ＝∠G＝90°，
∴△EAJ≌△FGN（ASA），
∴FN＝EJ，
∵EH＝DE＝FB，
∴HJ＝BN，
∵∠MHJ＝∠MBN＝90°，∠HMJ＝∠BMN，∴△MHJ≌△MBN（AAS），
∴MH＝MB，
∵MH⊥PH，MB⊥PB，
∴MH＝MB，
∴∠MPH＝∠MPB，
∵PE＝PF，
∴OE＝OF．
②如图2中，连接AC交EF于点O′．
∵∠O′AE＝∠O′CF，
∵AE＝CF，∠AO′E＝∠CO′F，
∴△AO′E≌△CO′F（AAS），
∴O′E＝O′F，
∵点O是EF的中点，
∴O，O′重合，
连接BD交EF于O，过点O作OG⊥AD于G．
∵tan∠CAD＝＝，
∴∠CAD＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∵OG⊥AD，
∴AG＝DG＝，
∴OG＝，
∵AE＝6，
∴EG＝AG＝AE＝，
∴OE＝＝＝3，
∴EF＝2OE＝6．
故答案为：6．
（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC．
∵OA＝OD＝OB＝OG＝6，∠BOC＝∠AOD＝120°，
∴点G运动的路径的长＝＝4π．
故答案为：4π．
八、（本题12分）
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+ax+c经过点A（1，0）和点B（0，）．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点C（0，﹣2），点D为第二象限内抛物线上一点，作DE∥y轴交直线AC于点E，当DE最大时，求点D坐标；
（3）在（2）的条件下，连接CD，点F为y轴上的点，当CF＝CD时．
①在平面内找一点G，使四边形DCFG是菱形，直接写出点G的坐标为（﹣3，7）或
（﹣3，﹣3）；
②点H为x轴上方抛物线上的点，当直线CH为∠DCF的对称轴时，请直接写出点H的
坐标为（1﹣2，6﹣5）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由DE＝（﹣x2﹣x+）﹣（2x﹣2）＝﹣x2﹣x+，即可求解；
（3）①通过画图，利用数形结合的方法即可求解；
②设OM＝x＝MN，则MK＝OK﹣OM＝﹣x，由sin∠AKC＝＝＝，解得x
＝，则点M的坐标为（﹣，0），进而求解．
解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+①；
（2）设直线AC的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线AC的表达式为y＝2x﹣2，
设点D的坐标为（x，﹣x2﹣x+），则点E的坐标为（x，2x﹣2），
则DE＝（﹣x2﹣x+）﹣（2x﹣2）＝﹣x2﹣x+，
∵＜0，故ED有最大值，
此时x＝﹣＝﹣3，
当x＝﹣3时，y＝﹣x2﹣x+＝2，
故点D的坐标为（﹣3，2）；
（3）①由D、C的坐标得，CD＝5＝CF，
如图1，当点F在x轴上时，菱形为CFGD，
y G＝y D+5＝2+5＝7，
故点G的坐标为（﹣3，7）；
当点F在x轴上时，菱形为CF′G′D，
同理可得，点G′的坐标为（﹣3，﹣3），
故答案为：（﹣3，7）或（﹣3，﹣3）；
②设直线CH交x轴于点M，CD交x轴于点K，
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为y＝﹣x﹣2，
令y＝﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣，故点K的坐标为（﹣，0），∵直线CH为∠DCF的对称轴，则∠MCO＝∠MCK，
过点M作MN⊥CD于点N，
设OM＝x＝MN，则MK＝OK﹣OM＝﹣x，
由直线CD的表达式知，tan∠AKC＝，
∴sin∠AKC＝＝＝，解得x＝，
故点M的坐标为（﹣，0），
由点M、C的坐标得，直线MC的表达式为y＝﹣3x﹣2②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点H的坐标为（1﹣2，6﹣5）．
故答案为（1﹣2，6﹣5）．。