2020届 人教A版-导数及其应用单元测试

1
x2
，所以，
f
'( x)


1
3
x2
曲线
f
(x)

1
x2
在点 (a,
f
(a))
处的切
2
线斜率为

1
a

3 2
，
1
f (a) a 2
3
1
，所以，切线方程为 a 2 x 2 y a 2a 2
0 ，其纵、横截距
2
1 5
分别为 a 2a 2 , a 2 2a ，
导数及其应用
一、单选题 1．函数 f(x) = ex + ae−x与 g(x) = x2 + ax 在同一坐标系内的图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】 因为 g x = x2 + ax 的图像过原点,所以图像中过原点的抛物线是函数 g(x)的图像,在选项 C 中,上面的图像是函数 f(x)的图像, 下面的是函数 g(x)的图像,所以− a > 0,所以 a < 0,由题
15．已知球 O 的直径长为 12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，则该四棱锥的高为
________.
【答案】8
【解析】设正四棱锥底面边长为 a，则高为 6 + 62 − 1 a2，
2
所以正四棱锥的体积为 V = 1 (6 + 62 − 1 a2)a2，
3
2
由V' = 1 [ −a ⋅ a2 + (6 + 2 62 − 1 a2) ⋅ 2a] = 0 得 a = 8，
从而 |
1
(a

1
2a 2
5
)(a 2

2a)
| 18
，解得
a
64，选
A.
2
考点：导数的几何意义，直线方程，三角形面积公式.
5．若函数 f x 2x2 lnx 在其定义域内的一个子区间k 1, k 1 内不是单调函
数，则实数 k 的取值范围是（ ）
A．1, 2
B． 1, 2
考点：导数的几何意义. 8．若对于函数 f（x）＝ln（x+1）+x2 图象上任意一点处的切线 l1，在函数 g（x）
asin cos x 图象上总存在一条切线 l2，使得 l1⊥l2，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．
B． ，
C． ，
，
D． ，
【答案】A 【解析】 【分析】 求得 f（x）的导数，可得切线 l1 的斜率 k1，求得 g（x）的导数，可得切线 l2 的斜率 k2， 运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合正弦函数的值域和条件可得，∀x1，∃x2
C．
1,
3 2

D．
1,
3 2

【答案】D
【解析】解： f ' x 4x 1 4x2 1 ，
xx
结合函数的定义域可知函数 f x
在区间

0,
1 2

上单调递减，在区间

1 2
,


上单
调递增，据此可得不等式组：
0 k 1 1
3
m >− 16 ，所以− 16 < m < 1,选 D.
3
二、填空题
13．过点
的函数
图象的切线斜率为______.
【答案】
【解析】设切点为
，因为
，所以
，
则有
，解得
，所以斜率为
，故答案为 .
考点：导数的几何意义. 14．函数 f(x) = x ex − a 在(1,2)上单调递增，则实数 a 的取值范围是_________． 【答案】( − ∞,e] ∪ [3e2, + ∞)
{
2
，求解不等式组可得： 1 k 3
，
k 1 1
2
2
即实数
k
的取值范围是
1,
3 2

.
本题选择 D 选项.
6．已知定义在 R 上的函数 y=f（x）的导函数为 f′（x），满足 f′（x）＜f（x），且 f （0）=1，则不等式 f（x）＜ex 的解集为（ ） A．（﹣∞，e4） B．（e4，+∞） C．（﹣∞，0） D．（0，+∞） 【答案】D 【解析】
则
a
a ≤ ex ≤ ex + xex
在
1,2
上恒成立，
a
≤
a ≤ e1 e1 + 1 × e1
即
a
≤
e；
当ex < a 时，f x = x a − ex ,f' x = a − ex − xex，
要使 f x 在 1,2 上单调递增，
则
a
a> ≥ ex
ex + xex
在
1,2
上恒成立，
a
a > e2 ≥ e2 + 2e2
3 2 62−12a2
2
由极值唯一性可知当 a = 8 时，V 取最大值，此时高为 6 + 62 − 1 a2=8.
2
16．已知函数
，则函数
点 P（1， ）的切线与两坐标轴围成
的三角形的面积为___________.
【答案】
【解析】
试题分析：因为
f(1)
=
1,切线斜率
k
=
f'(1)
=
1 x
+
1|x=1
值范围是 （ ）
A．(
−
∞,
−
16)
∪
(
Hale Waihona Puke 1 3,+
∞)
B．[
−
16,
1 3
]
C．(
−
16,
1 3
)
D．(
1 3
,
+
∞)
【答案】C
【解析】函数 f(x) = x3 + x2 + mx + 1 在区间（﹣1，2）上不是单调函数，f'(x) = 3x2 + 2x + m,
则方程 3x2 + 2x + m = 0 在( − 1,2)上有解，即Δ = 4 − 12m > 0, m < 1 ，f'(2) = 16 + m > 0，
把 a=1，代入到 f（x）=x3+x-2 得 b=0，
所以 P0（1，0）和（-1，-4）． 故选 C．
考点：本试题主要考查了导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的
切线的斜率。
点评：解决该试题的关键是理解导数几何意义的运用，求解切线方程时要关注，切点坐
标，以及切点出的斜率，即为导数值，那么点斜式求解切线方程。是常考知识点。
10．函数 f (x) (x3 1)(x3 2) (x3 100) 在 x 1 处的导数值为（ ）
A．0
B．100!
C．3·99！
D．3·100！
【答案】C
【解析】解：因为
f (x) (x3 1)(x3 2)(x3 100)] (x3 1) f '(x) 3x2[(x3 2)(x3 100)] (x3 1)[(x3 2)(x3 100)] (x3 1)]'
则[
2x1）（ acosx2﹣1）＝﹣1，
acosx2﹣1
，
∵
2x1
2（x1+1）﹣2≥2 2
∵∀x1，∃x2 使得等式成立，
∴（ ，0）⊆[﹣1 |a|，﹣1 |a|]，
解得|a| ，
即 a 的取值范围为 a 或 a
．
故选：A．
【点睛】
本题考查导数的应用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及
2
得f'(x) = ex − ae−x,因为 a<0,所以f'(x) > 0 恒成立，所以函数 f(x)在定义域内单调递增，不 是选项 C 中的图像，故选 C.
2．设可导函数 f(x)在 R 上图像连续且存在唯一极值，若在 x＝2 处，f(x)存在极大值， 则下列判断正确的是( ) A．当 x ∈ ( − ∞,2)时,f' x > 0, 当 x ∈ 2, + ∞ 时,f' x < 0. B．当 x ∈ ( − ∞,2)时f' x > 0, 当 x ∈ 2, + ∞ 时,f' x > 0. C．当 x ∈ ( − ∞,2)时f' x < 0, 当 x ∈ 2, + ∞ 时,f' x > 0. D．当 x ∈ ( − ∞,2)时f' x < 0, 当 x ∈ 2, + ∞ 时,f' x < 0. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数极值的判定方法，极大值点左侧导函数值为正，右侧为负，即可判断。 【详解】 由题意知，x＝2 为导函数 f(x)的极大值点， 所以，当 x ∈ ( − ∞,2）时，f' x > 0；当 x ∈ 2, + ∞ 时，f' x < 0。故答案选 A。 【点睛】 本题考查函数极值的判定方法，属于基础题。
(x0,y0)到直线
y
=
x
+
2
的距离为|PQ|的最小值，因为y'
=−
2x
+
3，令−
x
2x0
+
3 x0
=
1，解得x0
=
1,y0
=−
1，则(a
−
c)2
+
(b
−
d)2的最小值为(
1+1+2 2
)2
=
8；故选
B.
点睛：本题的难点有两个：一是要正确理解(a − c)2 + (b − d)2的几何意义，即点 P(a,b)和
点 Q(c,d)的距离的平方，二是搞清 P(a,b)和点 Q(c,d)的距离何时取得最小值.
1
4．若曲线 f (x) x 2 在点 (a, f (a)) 处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为 18，则
a ( )
A．64 B．32 C．16 D．8
【答案】A
【解析】
试题分析：因为，
f
(x)
3．若点 P(a,b)在函数 y =− x2 + 31nx 的图象上,点 Q(c,d)在函数 y = x + 2 的图象上，则(a − c)2 + (b − d)2的最小值为 （ ）
A． 2 B．8 C．2 2 D．2
【答案】B 【解析】平移直线 y = x + 2，当平移后的直线与函数 y =− x2 + 3lnx 的图象相切时，切点
=
2,所以切线方程为
y
−
1
=
2(x
−
1)，
与两坐标轴的交点为 A(0, − 1),B(0, 1 ),因此围成的三角形的面积为1 × 1 × 1 = 1 .
2
2
24
考点：利用导数求切线
三、解答题 17．已知函数 f(x)＝ax－1＋ln x(a∈R)．
当 x=-1 时，可得为 3·99！ ，选 C
11．函数 y 2x tan x 的导数是( )
A y' 2 tan x
【答案】C
B y' 2x cot x
C
y'

sin 2x 2x cos2 x
【解析】略
D
y'

sin 2x 2x cos2 x
12．已知函数 f(x) = x3 + x2 + mx + 1 在区间（﹣1，2）上不是单调函数，则实数 m 的取
转化思想的运用，区间的包含关系，考查运算能力，属于中档题．
9．.曲线 A．(1,0)
B．(2,8)
在p0处的切线平行于直线
，则p0点的坐标为
C．(1,0)和( − 1, − 4) D．(2,8)和( − 1, − 4)
【答案】C
【解析】
试题分析：利用导数的几何意义可知，设切点为 P0（a，b），f'（x）=3x2+1，k=f'（a） =3a2+1=4，a=±1，把 a=-1，代入到 f（x）=x3+x-2 得 b=-4；
即
a
≥
3e2，
综上，实数 a 的取值范囿是 − ∞,e ∪ 3e2, + ∞ ，
故答案为 − ∞,e ∪ 3e2, + ∞ .
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，以及不等式恒成立问题，
属于难题. 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数 a ≥ f x 恒成立(a ≥ f x max即可) 或 a ≤ f x 恒成立（a ≤ f x min即可）；② 数形结合(y = f x 图象在 y = g x 上方即可)； ③ 讨论最值 f x min ≥ 0 或 f x max ≤ 0 恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围， 筛选出符合题意的参数范围.
=1
∴g（x）＜g（0） ∴x＞0 故选：D． 考点：导数的运算．
7．已知曲线 y f (x) 在 x 5 处的切线方程是 y x 8 ，则 f (5) 及 f ' (5) 分别为
（）
A．3,3
B．3，－1
C．－1,3
D．－1，－1
【答案】B.
【解析】
试题分析：由题意，得 f (5) 3 8 3 ， f ' (5) 1.
使得等式成立，即（ ，0）⊆[﹣1 |a|，﹣1 |a|]，解得 a 的范围即可．
【详解】 解：函数 f（x）＝1n（x+1）+x2，
∴f′（x）
2x，（ 其中 x＞﹣1），
函数 g（x） asin cos x asinx﹣x，
∴g′（x） acosx﹣1；
要使过曲线 f（x）上任意一点的切线为 l1， 总存在过曲线 g（x）＝上一点处的切线 l2，使得 l1⊥l2，
试题分析:构造函数 g（x）=
（x∈R），研究 g（x）的单调性，结合原函数的性
质和函数值，即可求解．
解：设 g（x）=
（x∈R），
则 g′（x）=
，
∵f′（x）＜f（x）， ∴f′（x）﹣f（x）＜0 ∴g′（x）＜0， ∴y=g（x）在定义域上单调递减 ∵f（x）＜ex ∴g（x）＜1
又∵g（0）=
【解析】
【分析】
分段去绝对值，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于 a 的不等式组，求解后再
取并集得结果.
【详解】
fx
= x ex − a
=
x x
ex − a a − ex
,ex ,ex
≥ <
a a
，
当ex ≥ a 时，f x = x ex − a ,f' x = ex − a + xex，
要使 f x 在 1,2 上单调递增，