高二数学选修21圆锥曲线椭圆的性质

例2 ：在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：
x2 y2 1 25 16
x2 y2 1 25 9
例3： 求适合下列条件的椭圆的原则方程 （1）通过点P（-3，0）Q（0，2） （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，-6）； （3）长轴长为20， 离心率为0.6； （4）在x轴上的一种焦点与短轴的两个端点的连 线互相垂直，且焦距为6 例4：已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率
e=0.5，求m的值及椭圆的长轴与短轴的长，焦 点坐标、顶点坐标。
例5．已知椭圆的一种焦点将长轴分为3:2两段， 求其离心率
例6：椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a>b>0)的左焦点为
F1(-c,0)，A(-a,0)、B(0,b)是两个顶点，如果F1
到直线AB的距离为 b ,则椭圆的离心率( )
7
例7：
a
o
x
-b
说出下列椭圆的范畴:
(1) x2 y2 1 94
(2)x2 y2 1 4
(3) Ax2 By2 C( A, B, C同号)
二、椭圆的对称性
方程：x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
3、对称性：
y
o
x
从图形上看:椭圆有关x轴、y轴、原点对称。
从方程上看： (1)把x换成-x方程不变，图象有关y轴对称；
x2 设M为椭圆a2
by22上的1 一点,F1
,F2为椭圆的焦
点,如果∠MF1F2 =75°,∠MF2F1=15°,求椭圆的
离心率。
例8：设M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线
l：x 25 的距离的比是常数 4 ，求点M的轨迹。
4
5
y

椭圆的几何性质 (1)
问题导入: 1.如何画出椭圆: x2 y2 1 25 16
2.由曲线方程研究曲线的性质,普通研究曲 线的范畴,对称性等.
一、椭圆的范畴
由
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
1和
y2 b2
1
即 x a和 y b
y
b
阐明：椭圆位于直 -a 线X=±a和y=±b所 围成的矩形之中。
(2)把y换成-y方程不变，图象有关x轴对称；
(3)把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象 有关原点成中心对称。
说出下列曲线的对称性: (1) x2 y2 1 94 (2)x 4 y2
(3)x2 4 y2 5x
三、椭圆的顶点
在
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
中,令 x=0,得 y=？,阐明椭圆与 y轴的交( 0 ,±b )，
说出下列椭圆的长半轴长,短半轴长和离心率. x2 y2
(1) 1 94
(2)9x2 y2 81 (3) x2 y2 1(a b 0)
ab
y
方程： x 2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
o
x
4、单调性： 从图形上看不出单调性。 从方程上看，由于椭圆不是函数，是一对多 对应，不含有单调性。
说出下列椭圆的顶点,焦点,焦距,长轴长, 短轴长,长半轴长,短半轴长, (1) x2 y2 1
94
(2)9x2 y2 81
x2 y2 (3) 1(n m 0)
mn
四、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e
c
叫做椭圆的离心率。
ya
1、离心率的取值范畴：
由于 a > c > 0，因此1 >e >0
点对称。
对称。
顶点 离心率
A1(a, 0), A2 (a, 0),
B1 0, b, B2 0,b
e c (0 e 1) a
A1(0, a), A2(0, a),
B1 b,0, B2 b,0
e c (0 e 1) a
例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图 形．
o
x
2、离心率对椭圆形状的影响：
(1)e 越靠近 1，c 就越靠近 a，从而 b就越_____,椭圆就 越_______.
(2)e 越靠近 0，c 就越靠近 0，从而 b就越_____,椭 圆就越_______.
(3)特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重叠，椭 圆方程变为________.
方程 图形
x2 a2
y
y2 b2
1
B1(0,b)
ay22A2(ybx0,22a) 1
F1 A1(-a,0) o
F2 x A2(a,0)
F1 B2(-b,0)
x B1(b,0)
范围
B2(0,-b)
a x a,b y b
A1(0,-a)
b x b,a y a
对称性 有关x轴，y轴，原 有关x轴，y轴，原点
令 y=0,得 x=?,阐明椭圆与 x轴的交点（y ±a ，0 ）
*顶点：椭圆与它的对称 轴的四个交点，叫做椭圆
B1(0,b)
的顶点。
x
︱
*长轴、短轴：线段A1A2、 A1(-a,0)F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。
︱
o
F2
A2(a,0)
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。