广东省揭阳市2016届高三数学学业水平考试试题 理

揭阳市2015-2016学年度高中三年级学业水平考试
数学(理科)
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.答案第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}
{}2
=1,2,1,0,1,2M x x N >=--，则M
N =
（A ） {}0 （B ） {}2 （C ）{}2,1,1,2-- （D ）{}2,2- 2.复数
1
12i i i -+的实部与虚部的和为 （A ）12- （B ） 1 （C ）12 （D ）3
2
3.在等差数列{}n a 中，已知35710132,9a a a a a +=++=，则此数列的公差为 （A ）
13 （B ）3 （C ）12 （D ）16
4.如果双曲线经过点p ，且它的一条渐近线方程为y x =，那么该双曲线的方程式
（A ）22
312y x -= （B ） 22122x y -= （C ）22136x y -= （D ）22
122
y x -= 5.利用计算机在区间（0,1）上产生随机数a,则不等式ln(31)0a -<成立的概率是 （A ）
13 （B ）23 （C ）12 （D ）14
6.设,a b 是两个非零向量，则“2
2
2
()a b a b +=+”是 “a b ⊥”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件
7.已知奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且()3f m =， 则(4)f m -的值为
（A ）3 （B ）0 （C ）-3 （D ）
1
3
8.函数24()cos cos f x x x =-的最大值和最小正周期分别为 （A ）
1,4π （B ）1,42π （C ）1,2π （D ）1,22
π 9.某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度 折旧，图1是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4时， 最后输出的S 的值为 （A ）9.6 （B ）7.68 （C ）6.144 （D ）4.9152
10.如图2，网格纸上小正方形是边长为1，粗线画出的是一正方 体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）54 （B ）162
（C ）54+（D ）162+
11.已知直线
0x y a -+=与圆心为
C 的圆
2270x y ++-+=相交于A ，B 两点，且4AC BC ⋅=，则实数a 的值为
（A （B
（C （D ）
12.若函数3
2
()21f x x ax =-++存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为 （A ）[0,)+∞ （B ）[0,3] （C ）(3,0]- （D ）(3,)-+∞
第Ⅱ卷
本卷包括必答题和选考题两部分，第13题～第21题为必答题，每个试题考生都必须作答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：（本大概题共4小题，每小题5分,共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上）
13已知实数x ，y 满足2403000
x y x y x y -+≥⎧⎪-+≥⎪
⎨≤⎪⎪≥⎩，则目标函数32z y x =-的最大值为
14.在2
6
1(1)()x x x
++的展开式中，3
x 的系数是
15.已知正方形1111ABCD A BC D -的一个面1111A B C D
A 、
B 、
C 、
D 四个顶点都在此半球面上，则正方体1111ABCD A BC D -的体积为 16.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1
11
1,
n n n a a S S ++=-=，则数列{}n a 的通项公式n a = 三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）
已知a,b,c 分别是△ABC 内角A ，B ，C
sin cos A a C = （Ⅰ）求C 的值
（Ⅱ）若2,c a b ==ABC 的面积 18. （本小题满分12分）
某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元。

（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n （单位：台，n N ∈）的函数解析式()f n ；
（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n （单位：台），整理得下表：
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X 表示当周的利润（单位：元），求X 的分布列及数学期望。

19. （本小题满分12分）
如图3，在三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 是边长为2的 等边三角形，D 为AB 的中点。

（Ⅰ）求证：1BC //平面1
ACD
（Ⅱ）若四边形11BCC B 是正方形，且1A D =，求直线1A D 与平面11CBBC 所成角的正弦值。

20. （本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，且短轴的长为2。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若
12,MA AF MB BF λλ==，求证：12λλ+为定值。

21. （本小题满分12分） 已知函数(1)
()ln b x f x a x x
+=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为2y = （Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）当1x >时，不等式()ln ()1
x k x
f x x ->
-恒成立，求实数k 的取值范围。

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分。

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图4，四边形ABCD 内接于
O ，过点A 作O 的切线EP
交CB 的延长线于P ，已知0
25PAB ∠=。

（Ⅰ）若BC 是O 的直径，求D ∠的大小； （Ⅱ）若0
25DAE ∠=,求证：2
DA DC BP =⋅
23. （本题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为2cos 3
24sin 3x t y t ππ⎧
=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），以
坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4ρ= （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求AOB ∠的值。

24. （本题满分10分） 选修4—5：不等式选讲
已知函数()|2|f x x =-。

（I ）解不等式：()(1)2f x f x ++≤
（II ）若0a <，求证：()()(2)f ax af x f a -≥
揭阳市2015-2016学年度高中三年级学业水平考试 数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．
一、选择题：D D A B A C C B C D C D
解析：7.由函数)(x f y =的图象关于直线2=x 对称得(2)(2)f x f x -=+，
则(4)(4)[2(2)]f m f m f m -=--=-+-[2(2)]()3f m f m =---=-=-. 8.2
2
2
1
11cos 4()cos sin (sin 2)2
42x f x x x x -===⋅1(1cos 4)8
x =-， 故max 1(),42
f x T π
=
=． 9.依题意知，设汽车x 年后的价值为S ,则15(120%)x S =-，结合程序 框图易得当4n =时，4
15(120%) 6.144S =-=． 10.依题意知该几何体如右图示：故其表面积为2
2233661622⨯+
⨯+=+11.圆2270x y ++-+=即222((x y +-=，所以
(2
3)C ，
||||22AC BC ==，由4AC BC ⋅=得41
cos 2
||||ACB AC BC ∠=
=⋅,所以圆心C 到直线
0x y a -+=的距离6d π
=
==a =12. 函数32
()21f x x ax =-++存在唯一的零点，即方程3
2
210x ax --=有唯一的实根⇔
直线y a =与函数32
21()x g x x -=的图象有唯一的交点，由332(1)
'()x g x x +=，可得()g x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以当1x =-时，()
g x x=-2
y 2=8x
y
x
O F 'Q 'F (2,0)
Q
P
有极小值，()(1)3g x g =-=-极小，故当3a >-时，直线y a =与函数32
21
()x g x x
-=的图象有唯一的交点.
[或因2()62,f x x ax '=-+由()0f x '=得0x =或3
a
x =
，若0a =显然()f x 存在唯一的零点，若0a >，()f x 在(,0)-∞和(,)3
a +∞上单调递减，在(0,)3
a 上单调递增，且(0)10,f =>故()f x 存在唯一的零点，若0a <，要使()f x 存在唯一的零点，则有()0,3
a
f >解得3a >-，综上得3a >-.]
二、填空题：13. 9；14. 20；
15.16.1,(1)1.(2)(1)n n n n -=⎧⎪
⎨≥⎪-⎩
．
解析：15．设正方体的棱长为x ，把半球补成全球，则问题为长、宽、高分别为x 、x 、2x 的
长方体内接于球，2222(2)x x x ∴++=
，解得x =
16.由
11n n n a S S ++=1111
11(1)(1)n n n
n n S S S +⇒-=-⇒=-+-⨯-=-， 1,(1)11
.(2)(1)
n n n S a n n n n -=⎧⎪
=-⇒=⎨≥⎪-⎩
. 三、解答题：
17．解：（I ）∵A 、C 为ABC ∆的内角，
sin cos A a C =知sin 0,cos 0A C ≠≠，结合正弦定理可得：
sin sin a A
c C
==
------------------------------------------------------------3分
⇒tan 3
C =
,-----------------------------------------------------------------4分
∵0C π<< ∴6
C π
=.--------------------------------------------------------5
分
（II ）解法1：∵2c a =，b =
由余弦定理得：2
2
412a a =+-----------------------------------------7分
整理得： 2
240a a +-=
解得：212
a -±==---------------------------------9分
∴1a =，由1
sin 2
ABC S ab C ∆=
得
ABC ∆的面积111)
1)222
ABC S ∆=⨯⨯=．-------------------------12
分
【解法2：由2c a =结合正弦定理得：11
sin sin 24
A C ==，--------------------------6分
∵a c <， ∴A C <, ∴cos 4
A ==,------------------------------7分
∴sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+
sin cos cos sin A C A C =+=1142=,--------------------------9
分
由正弦定理得：sin 1sin b A
a B
==，---------------------------------------------10分
∴ABC ∆的面积111sin 1)222ABC S ab C ∆==⨯⨯=．-----------12分】
18.解：（I ）当20n ≥时，()50020200(20)2006000f n n n =⨯+⨯-=+--------------2
E
B 1
C 1
A 1
D
C
B
A
分
当19n ≤时，()500100(20)6002000f n n n n =⨯-⨯-=---------------------------4
分
所以2006000(
20)()()6002000(19)n n f n n N n n +≥⎧=∈⎨-≤⎩
----------------------------------------5
分
（II ）由（1）得(18)8800,(19)9400,f f ==---------------------------------------6分
(20)10000,(21)10200,(22)10400,f f f ===-------------------------------------7
分
(8800)0.1,(9400)0.2,
P X P X ∴====(10000)0.3,(10200)0.3,(10400)0.1,P X P X P X ======-----------------------9
分
X 的分布列为
88000.194000.2100000.3102000.3104000.19860.EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=------12
分
19.（I)证法1：连结AC 1，设AC 1与A 1C 相交于点E ，连接DE ， 则E 为AC 1中点，-------------------------------2分 ∵D 为AB 的中点，∴DE ∥BC 1，------------------4分 ∵BC 1Ë平面A 1CD ，DE Ì平面A 1CD ，-------------5分 ∴BC 1∥平面A 1CD . ------------------------------6分 【证法2：取11A B 中点1D ，连结1BD 和11C D ，------1分 ∵BD 平行且等于11A D ∴四边形BD 11A D 为平行四边形
∴11//A D BD -----------------------------------------------------------------2分
∵1A D ⊂平面1ACD ，1BD ⊄平面1
ACD
1
F
H B 1
C 1A 1
D
C
B
A
D 1
B 1
C 1
A 1
D
C
B
A
∴1//BD 平面1ACD ,------------------------------3分 同理可得11//C D 平面1ACD ------------------------4分 ∵1
111BD C D D = ∴平面1
ACD //平面11BD C 又∵1BC ⊂平面11BD C
∴BC 1∥平面A 1CD. ------------------------------6分】 (II)
222115AD +A A =A D =
1,A A AD \^-------------------------------------7分
又111,//B B BC B B A A ^ 1A A BC \^， 又
AD BC B
=
1A A \^
面
ABC -------------------------------------------8分
法一：设BC 的中点为O ，11B C 的中点为1O ，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，1OO 所在的直线为y 轴，OA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.------------------9分
则1
A (02,，
D 12骣çççç桫
,0.
∴1122A D =--(,,--------------------10分
平面11CBBC 的一个法向量(0,0,1),=n
11115A D n A D n A D n ⋅<>=
=
⋅|||cos ,|.
||||
所以直线A
1D 与为.-------------------------------12分 【法二：取11B C 的中点H ，连结1A H ，则111A H BC ⊥-------------------------------7
分
∵1AA ⊥面111A B C ，故11AA A H ⊥,11BB A H ∴⊥
1111B C BB B ⋂=,1A H ∴⊥面11BCC B ------9分
延长1A D 、1B B 相交于点F ，连结FH ，
N M
H
B 1
C 1
A 1D
C
B
A
则
1A FH
∠为直线
1A D
与平面
11
BCC B 所成的角.
------------------------------------10分 因为D 为AB
的中点，故1
AF =
，又1A H
1sin A FH ∴∠=
=
即直线1A D 与平面11BCC B
所成的角的正弦值为10
.------------------------------12分】
【法三：取11B C 的中点H ，连结1A H ，则111A H BC ⊥-------------------------------7分
∵1AA ⊥面111A B C ，故11AA A H ⊥,11BB A H ∴⊥
1111B C BB B ⋂=,1A H ∴⊥平面11BCC B ------------------------------------------9
分
取11A B 中点M ，连结BM ，过点M 作1//MN A H ，则MN ⊥平面11BCC B ， 连结BN ，∵1//A D BM ,
∴MBN ∠为直线1A D 与平面11BCC B 所成的角，---10分
∵111
2sin A H
MN MBN BM A D ∠====, 即直线1A D 与平面11BCC B
.------------------------------12分】
20.解：（I ）设椭圆C 的方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，
则由题意知22, 1.b b =\=-------------------------------------------------------2分
=5= 解得2
5a =，--------------------------------------------------------------------4分
∴椭圆C 的方程为.15
22
=+y x ---------------------------------------------------5分
（II ）证法1：设A 、B 、M 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)A x y B x y M y ，
易知F 点的坐标为（2，0）. ------------------------------------------------------6分
显然直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是(2)y k x =-，-----------7分
将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得
2222(15)202050k x k x k +-+-=------------------------------------------------9
分
.51520,51202
2212221k
k x x k k x x +-=+=+∴ -------------------------------------------10分
又.2,2,,2
2
211121x x x x -=-=
==λλλλ将各点坐标代入得 22221212121222121212
22
404010
2()2151510.402052242()41515k k x x x x x x k k k k x x x x x x k k λλ--+-++∴+=+===-----++-+
++-------12分
【证法二：设点A 、B 、M 的坐标分别为).
,0(),,(),,(02211y M y x B y x A
易知F 点的坐标为（2，0）. ------------------------------------------------------6分
21,λλ).,2(),(,1110111y x y y x --=-∴=λλ ∴.1,121
0111
1λλλ+=+=
y y x ------------7分
将A 点坐标代入到椭圆方程中，得.1)1()12(
5121
02
11=+++λλλy 去分母整理得
.055102
0121=-++y λλ --------------------------------------------------------9
分
同理，由BF MB 2λ=可得0551020222=-++y λλ---------------------------------10分
即 是方程 的两个根，.1021-=+∴λλ-------------------12分】
21．解：（I ）∵2
(),a b
f x x x '=
-且直线2y =的斜率为0，又过点(1,2)， ∴(1)2,1(1),2
f f =⎧⎪⎨'=⎪⎩-------------------------------------------------------------------2
分
即1,0,b a b =⎧⎨-=⎩
解得1, 1.a b ==-----------------------------------------------------3
分
（II ）当1x >时，不等式 22()ln 11
()(1)ln ()ln (1)ln 0.1
x k x
x x f x x x x k x k x x x x
--->
⇔-+>-⇔-+>-----------------5
分
令2222
111(1)1()(1)ln ,()1x k x k x g x k x g x x x x x --+-+'=-+=++=，----------------7分
令2
()(1)1m x x k x =+-+， ①当
11,2
k
-≤即1k ≥-时，()m x 在(1,)+∞单调递增且(1)0m ≥，所以当1x >时，()0g x '>，0 5 5 10 2 0 2 = - + + y λ
λ
()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)0.g x g ∴>=即()ln ()1
x k x
f x x ->
-恒成立．------------9
分 ②当
11,2k ->即1k <-时，()m x 在上1(1,)2k -上单调递减，且(1)0m <，故当1(1,)2
k
x -∈时，()0m x <即()0,g x '< 所以函数()g x 在1(1,)2
k
-单调递减，----------------------------------------------10分 当1(1,
)2
k
x -∈时，()0,g x <与题设矛盾, 综上可得k 的取值范围为[1,).-+∞------------------------------------------------12分
22.解：（I ）EP 与⊙O 相切于点A ，025ACB PAB ∴∠=∠=，-----------------------1分
又
BC
是
⊙O
的
直
径
，
065ABC ∴∠=----------------------------------------------3分
四边形ABCD 内接一于⊙O，0180ABC D ∴∠+∠=
0115.D ∴∠=-------------------------------------------------------------------5分
（II ）
025,DAE ∠=,,ACD PAB D PBA ∴∠=∠∠=∠
.ADC
PBA ∴∆∆------------------------------------------------------------
--7分
.DA DC
BP BA
∴
=------------------------------------------------------------------8分
又
,DA BA =2.DA DC BP ∴=⋅--------------------------------------------------10分
23.解：（I ）直线l 40y +-=，------------------------------------2分
曲线C 的直角坐标系方程为2216.x y +=-------------------------------------------4分
（II ）⊙C 的圆心（0，0）到直线40l y +-=的距离
2,d =
=------------------------------------------------------------6
分 ∴121
cos ,242AOB ∠== --------------------------------------------------------8分 ∵10,22
AOB π<
∠< 1,23AOB π∴∠=故23
AOB π∠=．-----------------------------------------------10分
24.解：（I ）由题意，得()(1)|1||2|f x f x x x ++=-+-，
因此只须解不等式|1||2|2x x -+-≤ ---------------------------------------------1分
当x≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即1
12
x ≤≤；------------------------------------2分
当12x <≤时，原不式等价于1≤2，即12x <≤；-----------------------------------3分
当x>2时，原不式等价于2x-3≤2，即5
22
x <≤.-------------------------------------4分
综上,原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫
≤≤⎨⎬⎩⎭
. -----------------------------------------5 分
（II ）由题意得()()22f ax af x ax a x -=---------------------------------------6分
=2222ax a ax ax a ax -+-≥-+----------------------------------------------8
分
22(2).a f a =-=--------------------------------------------------------------9
分
所以()()(2)f ax af x f a -≥成立．------------------------------------------------10分。