正交表的构造详述
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＜b 交互作用列表的构造
通过上述＜a＞、＜b＞两个步骤,就可得到正交表的q=(2u-1)/(21)=2u-1个列,这q列即组成L２u(2q)的完备列。
任意两列的交互作用列则是q列中的某一列,这一列可用这两列的列 名相乘得到据此即可构造出交互作用列表。
下面再以L16(215)加以说明: 它的基本列数u=4,即有4个基本列,分别置于1、2、4、8列,其列
Lｔu(tq)型表是一类特殊的正交表,其中: t——表示水平数。它限定为某数(即除1和它自己以外,不能被任何 其他数整除的大于1的正整数。如2、3、5、7、11、13、…等)或系数 幂(如22、32、23、…等)。 u——表示基本数列, q—— t、u为基本参数,当t、u给定后,则试验次数为tu次,列数为
试验号
1
0 0 0+0=0 0 0+0=0 0+0=0 0+0=0
2
0 0 0+0=0 1 0+1=1 0+1=1 0+1=1
3
0 1 0+1=1 0 0+0=0 1+0=1 1+0=1
4
0 1 0+1=1 1 0+1=1 1+1=0 1+1=0
5
1 0 1+0=1 0 1+0=1 0+0=0 1+0=1
(2) 1 6 7 4 5 2 (3) 1 6 5 4 3 (4) 1 2 3 4 (5) 3 2 5 (6) 1 6 (7) 7
（2） L２u(2q)型正交表与交互作用列表的构造
根据上面的方法,可以类似地构造任意基本列数为u的二水平正交表 L２u(2q)和交互作用列表。
<a 基本列的构造
在L２u(2q)的正交表中,有u个基本列,分别置于第1列,第2列,第4列,…, 第2u-1 列上,基本列的列名分别用字母a、b、c…来表示。
其中u列为基本列,分别置第1、2、5…, (3u-1)/2+1列(共u列)。 基 本列的列号分别用字母a、b、c、d…命名。
第1列为三分列,第2列为九分列,第5列为二十七分列。第(3u-1)/2 +1 列为3u分列。
在每个基本列后(除第一个基本列外)依次安排该基本列与该列前所 有的交互作用(共两列),交互作用列的列名用乘法规则得到,这样所得 到的q=(3u-1)/2个列名,
(2) L8(27)的构造 L8(27)的参数为t=2、u=3,它有三个基本列,分别置于第1、2、4列,如表2所示。 第1列是:二分列,列名为a,这列8个试验被分成两半。 第2列的列名为b,是一个四分列。 第四列的列名为C,是8分列。 其他4
表－4 L8(27) 表的构造
列号 1 2 3 4
5
6
7
• （3）要看试验精度的要求。若要求高，则宜取实 验次数多的L表。
• （4）若试验费用很昂贵，或试验的经费很有限， 或人力和时间都比较紧张，则不宜选实验次数太多 的L表。
• （5）按原来考虑的因素、水平和交互作用去选择 正交表，若无正好适用的正交表可选，简便且可行 的办法是适当修改原定的水平数。
• （6）对某因素或某交互作用的影响是否确实存在 没有把握的情况下，选择L表时常为该选大表还是选 小表而犹豫。若条件许可，应尽量选用大表，让影 响存在的可能性较大的因素和交互作用各占适当的 列。某因素或某交互作用的影响是否真的存在，留 到方差分析进行显著性检验时再做结论。这样既可 以减少试验的工作量，又不致于漏掉重要的信息。
列名的运算规则是一种指数运算,指数的相加或相乘按加法表或乘法表给 出的规则进行。二列交互作用列为其列名相乘。
如第1,2两列的交互作用列为a·b=ab,即第三列;第1、3列的交互作用列为 a·ab=a1+1·b=a0·b=b列,即第二列。
由此可见,当给出一组完备列的列名后,二列的交互作用列可由列名运算得 到。
6
1 0 1+0=1 1 1+1=0 0+1=1 1+1=0
7Leabharlann 1 1 1+1=0 0 1+0=1 1+0=1 0+0=0
8
1 1 1+1=0 1 1+1=0 1+1=0 0+1=1
列号 1 列名 a
将列名列成表,它就是L8(27)的一组完备列名表如下: 234 5 6 7 b ab c ac bc abc
• （1）先看水平数。若各因素全是2水平，就选用 L(2＊)表；若各因素全是3水平，就选L(3＊)表。若各 因素的水平数不相同，就选择适用的混合水平表。
• （2）每一个交互作用在正交表中应占一列或二列。 要看所选的正交表是否足够大，能否容纳得下所考 虑的因素和交互作用。为了对试验结果进行方差分 析或回归分析，还必须至少留一个空白列，作为 “误差”列，在极差分析中要作为“其他因素”列 处理。
列号 试验号
1 2 3 4 列号
表-1 L4(23)表的构造
12
3
00 01 10 11 ab
0+0=1 0+1=1 1+0=1 1+1=0
ab
构造交互作用列表时,一般引进“列名”和“列名运算规则”来 进行。用a、b分别一记L4(23)的两个基本列,称a为第1列的列号,b为 第二列的列名。第3列是由第1列和第2列相加得到的,它的列名可用 第一列列名与第二列列名相乘得到的
例如第7、8列的交互列为: a2c·bc=a2bc2=(a2bc2)2=a2×2b2c2×2 =ab2c (第13列) (a2c)2bc=a2×2bc2+1=ab (第3列)
即第7、8列的交互作用列为第3、13
# 选择正交表的基本原则
• 一般都是先确定试验的因素、水平和交互作用，后 选择适用的L表。在确定因素的水平数时，主要因素 宜多安排几个水平，次要因素可少安排几个水平。
为
aba2b=a1+2·b1+1 =b2≡(b2)2=b2×2 =b (第2列)
(ab)2·a2b=a2+2·b2+1=ab0=a
(第1列)
反之,若列名最后一个字母的指数不是1,则均称为非标准化列 名,如ab2。但 是非标准化列名可以通过一定的列名运算就成与它等价的标准化列名。
在三水平的情况下,只要将非标准化列名平方一下,即可达到目的。例如:
0+0=0 0+1=1 1+1=0 ＜b 乘法法则: 0×0=0 0×1=0 1×1=1
用这种规则定义加法和乘法,是有限域理论所要求的。构造正 交表时,将用到上面加法和乘法法则。以后凡是讲到加法和乘法都 指这种有限域中的加法和乘法而言。
2. 正交表与交互作用列表的构造 (1) L4(23)的构造 L4(23)表是二水平中最小的一个表。 它的两个基本参数是t=2、u=2,列数q=(4-1)/(2-1)=3。 第一列是将4个试验分成两半,前一半是“0”水平,后一半是“1” 水平,称为二分列。 第二列是将第一列的两个“0”水平试验和两个“1”水平试验分 别再分成一个“0”水平和1个“1”水平,称为四分列。 二分列和四分列称为L4(23)的基本列 第三列是将第一列与第二列的相应水平,按“加法规则”相加所 得如表1
q=(tu-1)/(t-1)
一般常用的正交表,如L4(23)、L16(215)、L9(34)L16(45)、 L25(56)等属于此类型,其基本参数为(t=2、u=2)、(t=2、u=4)、(t=3、 u=2)、(t=2、u=4)、(t=5、u=2)。
2. 正交表的同等变换
正交表的行间置换、列间置换和同一列水平记号的置换,叫做正 交表的三种初等变换。经过初等变换所能得到的一切表称为等价 的(或同构的)。
第3列是由第1列与第2列按加法规则相加而得,其列名称为第1列的列名与第2列的列名 相乘,即ab。
第四列是将第一列的每个水平按乘法规则乘以“2”,然后与第2列相加得到的,其列名为 a2b。
L9(34)的四列a、b、ab、a2b就是一组标准化完备列名。可以验证,这四列的 任两列的交互作用列就是另外两列。例如,第3列ab与第4列a2b的交互作用列
(2) 交互作用列表的构造
L3ｕ(3q)正交表的交互作用列表构造,按照列名运算法则可得到。 下面看一下L27(313)。它是u=3的表。它的构造法和L9(34)相同,它有三个基本
列,置于第1、2、5列,列名分别记为a、b、c。 第1列a这三分列;第2列是九分列;第5列c是二十七分列。 其余各列可按下列规则得出:前一列加后列以及前一列每水平乘2加后列,列
列名 a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abcd
这是一组完备列名表,任何两列的交互列均在这15列中,可用 列名运算找出交互列,如第3列与第13列的交互列为ab·acd =a1+1 bcd=bcd即14列。
3 三水平正交表的构造
二水平正交表的构造原理,可推广到三水平的情况,所不同的只是交互作用列和列名运 算有些差别。
正交表的构造详述
引言： 正交表
• 使用正交设计方法进行试验方案的设计， 就必须用到正交表。正交表请查阅有关参 考书。
• 《1》各列水平数均相同的正交表 • 《2》混合水平正交表
1 各列水平数均相同的正交表
• 各列水平数均相同的正交表，也称单一水平正交表。这类正交表名称 的写法举例如下：
• 各 （列215水）平，均L20为（22的19）常，用L正32交（表231有）L。4（23），L8（27），L12（211）， L16 • 各列水平数均为3的常用正交表有：L9（34），L27（313）。 • 各列水平数均为4的常用正交表有：L16（45） • 各列水平数均为3的常用正交表有：L25（56）
1. 三水平运算规则
用0、1、2表示三个水平,其加法和乘法规则规定如下:
+012
0012
1120 2201
×0 1 2
2. 正交表与交互作用列表的构造
0 0 0０
1)/三(3水-1)平=4表. 的最小一个表是L9(34),它的两个基本参数是t=3,u=12,从而0得到1其列2数为q=(9-
第1列是三分列，记列名为a。第2列是称为九分列、列名记2为b0。 2 1
ab2=(ab2)2=a2·b2×2=a2b
此外,如果一组列名不仅是一组标准化列名,而且又是一组完备列名,则称它
通过对L9(34)表构造的讨论,可将L3ｕ(3q)型表和它的交互作用列表的 构造法则归纳如下:
(1) L3ｕ(3q)型正交表的构造 给出基本参数u后, L3ｕ(3q)型表的总列数, q=(3u-1)/(3-1)=(3u-1)/2
可以根据不同试验要求,把一个表变成与此等价的其他特殊型式 的表。
2二水平正交表的构造
1. 二水平运算法则
构造此类正交表要用到有限域的理论(所谓有限域,大致说就是对有限个元 素组成的集合定义了加法、乘法和除法的运算)。
我们用0和1表示二水平记号,这个有限域只有两个元素,它们的加法和乘法定 义为: ＜a 加法法则:
2 混合水平正交表
• 各列水平数不相同的正交表，叫混合水平正交 表，下面就是一个混合水平正交表名称的写法：
• 水L 8平（正41交×表24）含常有简1 个写4为水L平8（列4，×42个4）2。水此平混列合， 共有1＋4＝5列。
1 概述
1. 基本术语
不同类型的正交表的构造方法差异很大,甚至有些类型正交表的存 在和构造至今还是一个未解决的数学问题。
可以验证,L8(27)中任意二列的交互作用列是七列中的某一列,并可通过 列名运算得到。如1、7两列的交互作用a·abc=a2bc=bc列,即第6列。 因此,可根据列名运算构造交互作用表(如表3所示)供直接查用。
表-3 L8(27)交互作用表 1 2 3 4 5 6 7 列号 (1) 3 2 5 4 7 6 1
名用乘积表示。
L27(313)的列名表如下： 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 列名 a b ab a2b c ac a2c bc b2c abc a2b2c a2bc ab2c
读者可根据列名具体写出L27(313)的各列。这13个列名是一组标准化完备列 名,对于任何非标准化列名将其平方即为其等价的标准化列名,这样一来可以 直接从列名运算找到它们的交互列。
名分别为a、b、c、d。
a为二分列；b为四分列；c为八分列；d为十六分列。
第2至第4列之间的列(即第3列)为第2列加第1列,列名ab,而第4列 与第8列间的列(即第5至第7列)是第4列依次与第1、2、3列相加而 得。第9至15列(共7列)为第8列与前7列依次相加而得。
L16(215)中的15列的列名表如下： 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
通过上述＜a＞、＜b＞两个步骤,就可得到正交表的q=(2u-1)/(21)=2u-1个列,这q列即组成L２u(2q)的完备列。
任意两列的交互作用列则是q列中的某一列,这一列可用这两列的列 名相乘得到据此即可构造出交互作用列表。
下面再以L16(215)加以说明: 它的基本列数u=4,即有4个基本列,分别置于1、2、4、8列,其列
Lｔu(tq)型表是一类特殊的正交表,其中: t——表示水平数。它限定为某数(即除1和它自己以外,不能被任何 其他数整除的大于1的正整数。如2、3、5、7、11、13、…等)或系数 幂(如22、32、23、…等)。 u——表示基本数列, q—— t、u为基本参数,当t、u给定后,则试验次数为tu次,列数为
试验号
1
0 0 0+0=0 0 0+0=0 0+0=0 0+0=0
2
0 0 0+0=0 1 0+1=1 0+1=1 0+1=1
3
0 1 0+1=1 0 0+0=0 1+0=1 1+0=1
4
0 1 0+1=1 1 0+1=1 1+1=0 1+1=0
5
1 0 1+0=1 0 1+0=1 0+0=0 1+0=1
(2) 1 6 7 4 5 2 (3) 1 6 5 4 3 (4) 1 2 3 4 (5) 3 2 5 (6) 1 6 (7) 7
（2） L２u(2q)型正交表与交互作用列表的构造
根据上面的方法,可以类似地构造任意基本列数为u的二水平正交表 L２u(2q)和交互作用列表。
<a 基本列的构造
在L２u(2q)的正交表中,有u个基本列,分别置于第1列,第2列,第4列,…, 第2u-1 列上,基本列的列名分别用字母a、b、c…来表示。
其中u列为基本列,分别置第1、2、5…, (3u-1)/2+1列(共u列)。 基 本列的列号分别用字母a、b、c、d…命名。
第1列为三分列,第2列为九分列,第5列为二十七分列。第(3u-1)/2 +1 列为3u分列。
在每个基本列后(除第一个基本列外)依次安排该基本列与该列前所 有的交互作用(共两列),交互作用列的列名用乘法规则得到,这样所得 到的q=(3u-1)/2个列名,
(2) L8(27)的构造 L8(27)的参数为t=2、u=3,它有三个基本列,分别置于第1、2、4列,如表2所示。 第1列是:二分列,列名为a,这列8个试验被分成两半。 第2列的列名为b,是一个四分列。 第四列的列名为C,是8分列。 其他4
表－4 L8(27) 表的构造
列号 1 2 3 4
5
6
7
• （3）要看试验精度的要求。若要求高，则宜取实 验次数多的L表。
• （4）若试验费用很昂贵，或试验的经费很有限， 或人力和时间都比较紧张，则不宜选实验次数太多 的L表。
• （5）按原来考虑的因素、水平和交互作用去选择 正交表，若无正好适用的正交表可选，简便且可行 的办法是适当修改原定的水平数。
• （6）对某因素或某交互作用的影响是否确实存在 没有把握的情况下，选择L表时常为该选大表还是选 小表而犹豫。若条件许可，应尽量选用大表，让影 响存在的可能性较大的因素和交互作用各占适当的 列。某因素或某交互作用的影响是否真的存在，留 到方差分析进行显著性检验时再做结论。这样既可 以减少试验的工作量，又不致于漏掉重要的信息。
列名的运算规则是一种指数运算,指数的相加或相乘按加法表或乘法表给 出的规则进行。二列交互作用列为其列名相乘。
如第1,2两列的交互作用列为a·b=ab,即第三列;第1、3列的交互作用列为 a·ab=a1+1·b=a0·b=b列,即第二列。
由此可见,当给出一组完备列的列名后,二列的交互作用列可由列名运算得 到。
6
1 0 1+0=1 1 1+1=0 0+1=1 1+1=0
7Leabharlann 1 1 1+1=0 0 1+0=1 1+0=1 0+0=0
8
1 1 1+1=0 1 1+1=0 1+1=0 0+1=1
列号 1 列名 a
将列名列成表,它就是L8(27)的一组完备列名表如下: 234 5 6 7 b ab c ac bc abc
• （1）先看水平数。若各因素全是2水平，就选用 L(2＊)表；若各因素全是3水平，就选L(3＊)表。若各 因素的水平数不相同，就选择适用的混合水平表。
• （2）每一个交互作用在正交表中应占一列或二列。 要看所选的正交表是否足够大，能否容纳得下所考 虑的因素和交互作用。为了对试验结果进行方差分 析或回归分析，还必须至少留一个空白列，作为 “误差”列，在极差分析中要作为“其他因素”列 处理。
列号 试验号
1 2 3 4 列号
表-1 L4(23)表的构造
12
3
00 01 10 11 ab
0+0=1 0+1=1 1+0=1 1+1=0
ab
构造交互作用列表时,一般引进“列名”和“列名运算规则”来 进行。用a、b分别一记L4(23)的两个基本列,称a为第1列的列号,b为 第二列的列名。第3列是由第1列和第2列相加得到的,它的列名可用 第一列列名与第二列列名相乘得到的
例如第7、8列的交互列为: a2c·bc=a2bc2=(a2bc2)2=a2×2b2c2×2 =ab2c (第13列) (a2c)2bc=a2×2bc2+1=ab (第3列)
即第7、8列的交互作用列为第3、13
# 选择正交表的基本原则
• 一般都是先确定试验的因素、水平和交互作用，后 选择适用的L表。在确定因素的水平数时，主要因素 宜多安排几个水平，次要因素可少安排几个水平。
为
aba2b=a1+2·b1+1 =b2≡(b2)2=b2×2 =b (第2列)
(ab)2·a2b=a2+2·b2+1=ab0=a
(第1列)
反之,若列名最后一个字母的指数不是1,则均称为非标准化列 名,如ab2。但 是非标准化列名可以通过一定的列名运算就成与它等价的标准化列名。
在三水平的情况下,只要将非标准化列名平方一下,即可达到目的。例如:
0+0=0 0+1=1 1+1=0 ＜b 乘法法则: 0×0=0 0×1=0 1×1=1
用这种规则定义加法和乘法,是有限域理论所要求的。构造正 交表时,将用到上面加法和乘法法则。以后凡是讲到加法和乘法都 指这种有限域中的加法和乘法而言。
2. 正交表与交互作用列表的构造 (1) L4(23)的构造 L4(23)表是二水平中最小的一个表。 它的两个基本参数是t=2、u=2,列数q=(4-1)/(2-1)=3。 第一列是将4个试验分成两半,前一半是“0”水平,后一半是“1” 水平,称为二分列。 第二列是将第一列的两个“0”水平试验和两个“1”水平试验分 别再分成一个“0”水平和1个“1”水平,称为四分列。 二分列和四分列称为L4(23)的基本列 第三列是将第一列与第二列的相应水平,按“加法规则”相加所 得如表1
q=(tu-1)/(t-1)
一般常用的正交表,如L4(23)、L16(215)、L9(34)L16(45)、 L25(56)等属于此类型,其基本参数为(t=2、u=2)、(t=2、u=4)、(t=3、 u=2)、(t=2、u=4)、(t=5、u=2)。
2. 正交表的同等变换
正交表的行间置换、列间置换和同一列水平记号的置换,叫做正 交表的三种初等变换。经过初等变换所能得到的一切表称为等价 的(或同构的)。
第3列是由第1列与第2列按加法规则相加而得,其列名称为第1列的列名与第2列的列名 相乘,即ab。
第四列是将第一列的每个水平按乘法规则乘以“2”,然后与第2列相加得到的,其列名为 a2b。
L9(34)的四列a、b、ab、a2b就是一组标准化完备列名。可以验证,这四列的 任两列的交互作用列就是另外两列。例如,第3列ab与第4列a2b的交互作用列
(2) 交互作用列表的构造
L3ｕ(3q)正交表的交互作用列表构造,按照列名运算法则可得到。 下面看一下L27(313)。它是u=3的表。它的构造法和L9(34)相同,它有三个基本
列,置于第1、2、5列,列名分别记为a、b、c。 第1列a这三分列;第2列是九分列;第5列c是二十七分列。 其余各列可按下列规则得出:前一列加后列以及前一列每水平乘2加后列,列
列名 a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abcd
这是一组完备列名表,任何两列的交互列均在这15列中,可用 列名运算找出交互列,如第3列与第13列的交互列为ab·acd =a1+1 bcd=bcd即14列。
3 三水平正交表的构造
二水平正交表的构造原理,可推广到三水平的情况,所不同的只是交互作用列和列名运 算有些差别。
正交表的构造详述
引言： 正交表
• 使用正交设计方法进行试验方案的设计， 就必须用到正交表。正交表请查阅有关参 考书。
• 《1》各列水平数均相同的正交表 • 《2》混合水平正交表
1 各列水平数均相同的正交表
• 各列水平数均相同的正交表，也称单一水平正交表。这类正交表名称 的写法举例如下：
• 各 （列215水）平，均L20为（22的19）常，用L正32交（表231有）L。4（23），L8（27），L12（211）， L16 • 各列水平数均为3的常用正交表有：L9（34），L27（313）。 • 各列水平数均为4的常用正交表有：L16（45） • 各列水平数均为3的常用正交表有：L25（56）
1. 三水平运算规则
用0、1、2表示三个水平,其加法和乘法规则规定如下:
+012
0012
1120 2201
×0 1 2
2. 正交表与交互作用列表的构造
0 0 0０
1)/三(3水-1)平=4表. 的最小一个表是L9(34),它的两个基本参数是t=3,u=12,从而0得到1其列2数为q=(9-
第1列是三分列，记列名为a。第2列是称为九分列、列名记2为b0。 2 1
ab2=(ab2)2=a2·b2×2=a2b
此外,如果一组列名不仅是一组标准化列名,而且又是一组完备列名,则称它
通过对L9(34)表构造的讨论,可将L3ｕ(3q)型表和它的交互作用列表的 构造法则归纳如下:
(1) L3ｕ(3q)型正交表的构造 给出基本参数u后, L3ｕ(3q)型表的总列数, q=(3u-1)/(3-1)=(3u-1)/2
可以根据不同试验要求,把一个表变成与此等价的其他特殊型式 的表。
2二水平正交表的构造
1. 二水平运算法则
构造此类正交表要用到有限域的理论(所谓有限域,大致说就是对有限个元 素组成的集合定义了加法、乘法和除法的运算)。
我们用0和1表示二水平记号,这个有限域只有两个元素,它们的加法和乘法定 义为: ＜a 加法法则:
2 混合水平正交表
• 各列水平数不相同的正交表，叫混合水平正交 表，下面就是一个混合水平正交表名称的写法：
• 水L 8平（正41交×表24）含常有简1 个写4为水L平8（列4，×42个4）2。水此平混列合， 共有1＋4＝5列。
1 概述
1. 基本术语
不同类型的正交表的构造方法差异很大,甚至有些类型正交表的存 在和构造至今还是一个未解决的数学问题。
可以验证,L8(27)中任意二列的交互作用列是七列中的某一列,并可通过 列名运算得到。如1、7两列的交互作用a·abc=a2bc=bc列,即第6列。 因此,可根据列名运算构造交互作用表(如表3所示)供直接查用。
表-3 L8(27)交互作用表 1 2 3 4 5 6 7 列号 (1) 3 2 5 4 7 6 1
名用乘积表示。
L27(313)的列名表如下： 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 列名 a b ab a2b c ac a2c bc b2c abc a2b2c a2bc ab2c
读者可根据列名具体写出L27(313)的各列。这13个列名是一组标准化完备列 名,对于任何非标准化列名将其平方即为其等价的标准化列名,这样一来可以 直接从列名运算找到它们的交互列。
名分别为a、b、c、d。
a为二分列；b为四分列；c为八分列；d为十六分列。
第2至第4列之间的列(即第3列)为第2列加第1列,列名ab,而第4列 与第8列间的列(即第5至第7列)是第4列依次与第1、2、3列相加而 得。第9至15列(共7列)为第8列与前7列依次相加而得。
L16(215)中的15列的列名表如下： 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15