2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(二十)理科数学

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷（二十）
理科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，
，，则A B =（ ） A ．{}0 B ．{}1
C ．{}12，
D ．{}012，
， 2．已知复，则复数的共轭复数（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．若，，则（ ）
A ．
B ．
C
D ．
4、函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是( )
A ．（-2，-1）
B ．（-1,0）
C ．（0,1）
D ．（1,2）
5.的大小关系为，则已知c b a c b a ,,3.0,8log ,7log 2
.032===( )
A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
6．已知抛物线的焦点为F ，)2,3(M ，直线MF 交抛物线于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则p 的值为（ ） A ．3
B ．2或4
C ．4
D ．2
()
2
12i
1i z --=
+31
i 44-+13i 44-+1
1i 2--1
1i 2
-+,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin2=8θsin θ=3
5
45
34
7.在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( ) A ．31
44
AB AC - B ．
13
44
AB AC - C ．
31
44
AB AC + D ．
13
44
AB AC +
8.名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( ) A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种
9．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 10.设是同一个半径为4的球的球面上四点，
为等边三角形且其面
积为，则三棱锥体积的最大值为( ) A.
B.
C.
D.
11.设抛物线的焦点为,点
在
上,
,若以
为直径的
圆过点,则的方程为（ ）
A ．或
B ．或
C ．
或
D ．
或
12.已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =( )
A ．12-
B ．13
C ．1
2
D ．1
二填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分
b x y +
=3y =
b [1-
+[3,1
+[1,1-
+[1-2:2(0)C y px p =>
13.曲线23()e x y x x =+在点(0)0，
处的切线方程为____________． 14．焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为______． 15．已知5)1).(1(x ax +
+的展开式中2x 的系数为5，则a ＝______
16.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为
1
2和13
．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
三、解答题：共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：(共60分)
17.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，
11221,1,2a b a b =-=+=.
（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .
18．（12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，
的中点。

分别是、11110,,,30B A AC F E AC C A A A BAC ===<
（1）证明：EF BC ⊥；
y y x =
（2）求直线EF 与平面BC A 1所成角的余弦值
19.（12分）某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年
旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.
（1）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p （每次抽奖互不影响，且p 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X （元）的分布列并求其数学期望.
附：参考公式和数据：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.
附表：
20．（12分）已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，
，且122F F =． （1）求椭圆E 的方程；
（2）设椭圆的下顶点为B ，过右焦点2F 作与直线2BF 关于x 轴对称的直线l ，且直线l 与椭圆分别交于点M ，N ，O 为坐标原点，求OMN △的面积．
21.（12分）)已知函数f(x)＝xln x ，g(x)＝－x 2＋ax －2(e 为自然对数的底数，a ∈R)． (1)判断曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y ＝g(x)的公共点个数；
(2)当],1
[
e e
x ∈时，若函数y ＝f(x)－g(x)有两个零点，求a 的取值范围． （二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为34π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，直线l 的极坐标方程
为sin 04ρθπ⎛⎫
-
+= ⎪⎝⎭
． （1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；
（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．
23.（10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数a a x x f +-=2)(
（I ）当2=a 时，求不等式6)(≤x f 的解集；
（II ）设函数12)(-=x x g .当R x ∈时，3)()(≥+x g x f ，求a 的取值范围。

理科数学参考答案
一、选择题：（60分）
1． C 2．C 3．D 4、B 5、A 6．B 7.A 8.C 9．D 10.B 11. C 12.C 二、填空题 (20分)
13、30x y -=. 15 －1 16.16 , 23
三、解答题：（70分）
17.(12分) 解：设的公差为d ，的公比为q ，则,.由得
d+q=3. ①
（1） 由得 ②
联立①和②解得（舍去）， 因此的通项公式 （2） 由得. 解得 当时，由①得，则. 当时，由①得，则.
18．(12分)【解析】方法一：
（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ． 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，
平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．
又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．
（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， 所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．
连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．
不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E EG
由于O 为A 1G 的中点，故12A G EO OG ==
=
， 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠=
=⋅． 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是3
5
．
方法二：
（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．
如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –
xyz ．
不妨设AC =4，则A 1（0，0，
，B
1，0）
，1B
，3
(
,22
F ，C (0，2，0)．
因此，33
(
,2
EF =，(BC =-． 由0EF BC ⋅=得EF BC ⊥．
（2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．
由（
1）可得1=(310)=(02BC A C --，，
，，，． 设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，
， 由10
0BC A C ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩
n n ，得00
y y ⎧+=⎪⎨
=⎪⎩， 取n (11)=，故||4
sin |cos |=5
|||EF EF EF θ⋅==⋅，n n n |，
因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为3
5
．
19.(12分)【解析】（1）22⨯列联表如下：
()2
2
901220401814405 3.84130605238247
K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，
因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关. （2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201
903
p +=
=. ()3
33
1165327P X C ⎛⎫===
⎪⎝⎭，()2
23122
70339
P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()21312475339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3
032880327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
， 所以X 的分布列为
6570758075279927
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=.
20．（12分）【解析】（1）由题得，22
c a c =
=⎧⎪⎨⎪⎩
，解得1a c ⎧==⎪⎨⎪⎩，所以1b =，
所以椭圆E 的方程为2
212
x y +=．
（2）由题可知，直线l 与直线2BF 关于x 轴对称，所以20l BF k k +=．
由（1）知，椭圆E 的方程为2
212
x y +=，
所以()21,0F ，()0,1B -，所以210
101
BF k --=
=-，从而1l k =-， 所以直线l 的方程为()011y x -=-⨯-，即10x y +-=．
联立方程2
22
10
34012
x y x x x y ⎧⎪⎨⎪
+-=⇒-=+=⎩，解得0x =或43x =． 设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨取10x =，24
3
x =， 所以当10x =，11y =；当243x =，213
y =-，
所以()0,1M ，41,33N ⎛⎫- ⎪⎝⎭
．MN ==．
设原点O 到直线l 的距离为d
，则d ，
所以112
223
OMN S MN d =⨯⨯==△．
21.（12分）解 (1)f ′(x)＝ln x ＋1，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝1. 又f(1)＝0，∴曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.
由⎩⎨⎧
y ＝－x 2
＋ax －2，y ＝x －1
⇒x 2＋(1－a)x ＋1＝0.
由Δ＝(1－a)2－4＝a 2－2a －3＝(a ＋1)(a －3)可知： 当Δ＞0时，即a ＜－1或a ＞3时，有两个公共点； 当Δ＝0时，即a ＝－1或a ＝3时，有一个公共点； 当Δ＜0时，即－1＜a ＜3时，没有公共点． (2)y ＝f(x)－g(x)＝x 2－ax ＋2＋xln x ，
由y ＝0，得a ＝x ＋2
x ＋ln x.
令h(x)＝x ＋2x ＋ln x ，则h ′(x)＝(x －1)(x ＋2)
x 2. 当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1e ，e 时，由h ′(x)＝0，得x ＝1. 所以，h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1e ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增， 因此，h min (x)＝h(1)＝3.
由h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e ＋2e －1，h(e)＝e ＋2e ＋1比较可知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e ＞h(e)，所以，结合函数图象可得，当3＜a ≤e ＋2
e ＋1时，函数y ＝f(x)－g(x)有两个零点． 22（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
（1）因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫
-
+= ⎪⎝
⎭
， 即ρsin θ－ρcos θ＋4＝0．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线
C 的参数方程sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去参数a ，
得曲线C 的普通方程为2
213
x y +=．
（2）设N α，sin α），α∈[0，2π）．
点M 的极坐标（3π
4
），化为直角坐标为（－2，2）．
则11,sin 12P αα⎫-+⎪⎪⎝⎭
．
所以点P 到直线l
的距离
d =
=≤
， 所以当5π6α=
时，点M 到直线l
． 23.（10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为. ………………5分 （Ⅱ）当时，
，
当时等号成立， 所以当时，等价于. ① ……7分 当时，①等价于，无解. 当时，①等价于，解得. 所以的取值范围是. ………………10分
2a =()|22|2f x x =-+|22|26x -+≤13x -≤≤()6f x ≤{|13}x x -≤≤x R ∈()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+1
2
x =
x R ∈()()3f x g x +≥|1|3a a -+≥1a ≤13a a -+≥1a >13a a -+≥2a ≥a [2,)+∞。