第一章 集合与函数的概念(导学案)

库车县第三中学高中数学必修1导学案
主备人：姚志远 审核：宋升贇 包科领导：尹长燕
班级： 日期： 姓名： 小组 ： 课题：1.1.1 集合的含义与表示（1）
一、学习目标：
（一）知识与技能目标：
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
二、自学内容及检测：（5分钟）
讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.
集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.
三、合作学习与探究：（15分钟）
探究1：考察几组对象：
① 1～20以内所有的质数；
② 到定点的距离等于定长的所有点；
③ 所有的锐角三角形；
④ 2x , 32x +, 35y x -, 22x y +；
⑤ 东升高中高一级全体学生；
⑥ 方程2
30x x +=的所有实数根；
⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车；
⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿.
试回答：
各组对象分别是一些什么？有多少个对象？
新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.
试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？
探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？
新知2：集合元素的特征
对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三
特征.
确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，
两种情况必有一种且只有一种成立.
互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.
无序性：集合中的元素没有顺序.
只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .
探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？
新知3：集合的字母表示
集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.
如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)集合A ，记作：a ∈A ；
如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)集合A ，记作：a ∉A.
探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？
新知4：常见数集的表示
非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N ；
正整数集：所有正整数的集合，记作N*或N+；
整数集：全体整数的集合，记作Z ；
有理数集：全体有理数的集合，记作Q ；
实数集：全体实数的集合，记作R .
四、当堂达标检测题（5分钟）
1. 下列说法正确的是（ ）.
A ．某个村子里的高个子组成一个集合
B ．所有小正数组成一个集合
C ．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合
D ．
1361,0.5,,,224 2. 给出下列关系：
① 12R =；②Q ；③3N +-∉；④.Q
其中正确的个数为（ ）.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 3. 直线21y x =+与y 轴的交点所组成的集合为（ ）.
A. {0,1}
B. {(0,1)}
C. 1{,0}2-
D. 1{(,0)}2- 4. (选做）设A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：
深圳A ； 广州A. （填∈或∉）
库车县第三中学高中数学必修1导学案
主备人：姚志远 审核：宋升贇 包科领导：尹长燕
班级： 日期： 姓名： 小组 ： 课题：1.1.1 集合的含义与表示（2）
一、学习目标：
（一）知识与技能目标：
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
二、自学内容及检测：（5分钟）
复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 . 集合中的元素具备 、 、 特征.
集合与元素的关系有 、 .
复习2：集合
2{21}A x x =++的元素是 ，若1∈A ，则x= .
复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？
三、合作学习与探究：（15分钟）
思考：
① 你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？
② 你能用列举法表示不等式13x -<的解集吗？
探究：比较如下表示法
① {方程210x -=的根}；
② {1,1}-；
③
2{|10}x R x ∈-=.
新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为{|}x A P ∈，其中x 代表元素，P 是确定条件.
试试：方程2
30x -=的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 . ※ 典型例题
（1）方程
2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合； （2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.
小结：
用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，x R ∈、x Z ∈明确时可省略，例如
{|21,}x x k k Z =-∈,{|0}x x >.
例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）抛物线
21y x =-上的所有点组成的集合； （2）方程组
3222327x y x y +=⎧⎨+=⎩解集.
四、当堂达标检测题（ 5分钟）
1. 设{|16}A x N x =∈≤<，则下列正确的是（ ）.
A. 6A ∈
B. 0A ∈
C. 3A ∉
D. 3.5A ∉
2. 下列说法正确的是（ ）.
A.不等式253x -<的解集表示为{4}x <
B.所有偶数的集合表示为{|2}x x k =
C.全体自然数的集合可表示为{自然数}
D. 方程240x -=实数根的集合表示为{(2,2)}-
3. 一次函数3y x =-与2y x =-的图象的交点组成的集合是（ ）.
A. {1,2}-
B. {1,2}x y ==-
C. {(2,1)}-
D. 3{(,)|}2y x x y y x =-⎧⎨=-⎩
4.（选做）用列举法表示集合{|510}A x Z x =∈≤<为
5.（选做）集合A ＝{x|x=2n 且n ∈N}，
2{|650}B x x x =-+=，用∈或∉填空： 4A ，4B ，5 A ，5 B.
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主备人：姚志远 审核：宋升贇 包科领导：尹长燕
班级： 日期： 姓名： 小组 ： 课题：1.1.2 集合间的基本关系
一、学习目标：
（一）知识与技能目标：
1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
2. 理解子集、真子集的概念；
3. 能利用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；
4. 了解空集的含义.
二、自学内容及检测：（5分钟）
复习1：集合的表示方法有 、 、
. 请用适当的方法表示下列集合.
（1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.
复习2：用适当的符号填空.
（1） 0 N
； -1.5 R.
（2）设集合2{|(1)(3)0}A x x x =--=，{}B b =，则1 A ；b B ；{1,3} A.
思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？
三、合作学习与探究：（15分钟）
探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：
① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ⊆⊇或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含(contains)A.
当集合A 不包含于集合B 时，记作A B Ø.
② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：
()A B B A ⊆⊇或.
④ 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作：A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.
⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
反思：思考下列问题.
（1）符号“a A ∈”与“{}a A ⊆”有什么区别？试举例说明.
（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.
（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？
① 若,,a b b a a b ≥≥=且则；
② 若,,a b b c a c ≥≥≥且则
四、当堂达标检测题（ 5分钟）
1. 下列结论正确的是（ ）.
A. ∅ A
B. {0}∅∈
C. {1,2}Z ⊆
D. {0}{0,1}∈
2. 设{}{}1,A x x B x x a =>=>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）.
A. 1a <
B. 1a ≤
C. 1a >
D. 1a ≥
3. 若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则（ ）.
A. 3,2b c =-=
B. 3,2b c ==-
C. 2,3b c =-=
D. 2,3b c ==-
4. （选做）满足},,,{},{d c b a A b a ⊂⊆的集合A 有 个.
库车县第三中学高中数学必修一导学案
主备人：姚志远 审核：宋升贇 包科领导：尹长燕
班级： 日期： 姓名： 小组 ： 课题：1.1.3 集合的基本运算（1）
一、学习目标：
（一）知识与技能目标：
1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；
2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；
3. 能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
二、自学内容及检测：（5分钟）
复习1：用适当符号填空.
0 {0}； 0 ； {x|x 2
＋1＝0,x ∈R}；
{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}；
{x|x>6} {x|x<－2或x>5}.
复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S ， {x|x ∈S 且x ∉A}= .
思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？ 三、合作学习与探究：（15分钟）
探究：设集合，.
（1）试用Venn 图表示集合A 、B 后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；
（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？
例1 设，，求A ∩B 、A ∪B.
∅∅{4,5,6,8}A ={3,5,7,8}B ={|18}A x x =-<<{|45}B x x x =><-或
变式：若A ＝{x|-5≤x ≤8}，，则A ∩B= ；A ∪B= .
小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.
例2 设，，求A ∩B.
变式：
（1）若，，则
（2）若，，则
四、当堂达标检测题（5分钟）
1. 设那么等于（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
2. 已知集合M ＝｛(x, y)|x+y=2｝，N={(x, y)|x －y=4},那么集合M ∩N 为（
）
. A. x=3, y=－1 B. (3，－1)
C.｛3，－1｝
D.｛(3，－1)｝
3. 设，则等于（ ）.
A. {0,1,2,6}
B. {3,7,8,}
C. {1,3,7,8}
D. {1,3,6,7,8}
4. （选做）设，，若，求实数a 的取值范围是 .
5. （选做）设，则= .
{|45}B x x x =><-或{(,)|46}A x y x y =+={(,)|327}B x y x y =+={(,)|46}A x y x y =+={(,)|43}B x y x y =+=A B = {(,)|46}A x y x y =+={(,)|8212}B x y x y =+=A B = {}{}5,1,A x Z x B x Z x =∈≤=∈>A B {1,2,3,4,5}{2,3,4,5}{2,3,4}{}15x x <≤{}0,1,2,3,4,5,{1,3,6,9},{3,7,8}A B C ===()A B C {|}A x x a =>{|03}B x x =<<A B =∅ {}{}22230,560A x x x B x x x =--==-+=A B
库车县第三中学高中数学必修1导学案
主备人：姚志远 审核：宋升贇 包科领导：尹长燕
班级： 日期： 姓名： 小组 ： 课题：1.1.3 集合的基本运算（2）
一、学习目标：
（一）知识与技能目标：
1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
2. 能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
二、自学内容及检测：（5分钟）
复习1：集合相关概念及运算.
① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的 ，记作 .
若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的 ，记作 . 若A B B A ⊆⊆且，则 .
② 两个集合的 部分、 部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为： A B = ；
A B = .
复习2：已知A ＝{x|x ＋3>0}，B ＝{x|x ≤－3}，则A 、B 、R 有何关系？
三、合作学习与探究：（15分钟）
探究：设U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？
例1 设U ＝{x|x<13，且x ∈N}，A ＝{8的正约数}，B ＝{12的正约数}，求U C A 、U C B .
例2 设U=R ，A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{x|1<x<3}，求A ∩B 、A ∪B 、U C A 、U C B .
变式：分别求()U C A B 、()()U U C A C B .
四、当堂达标检测题（ 5分钟）
1. 设全集U=R ，集合2{|1}A x x =≠，则U C A =（ ）
A. 1
B. －1，1
C. {1}
D. {1,1}-
2. 已知集合U={|0}x x >，{|02}U C A x x =<<，那么集合A =（ ）.
A. {|02}x x x ≤≥或
B. {|02}x x x <>或
C. {|2}x x ≥
D. {|2}x x >
3. 设全集{}0,1,2,3,4I =----,集合{}0,1,2M =--,
{}0,3,4N =--，则()I M N = ð（ ）.
A ．｛０｝
B ．{}3,4--
C ．{}1,2--
D ．∅
4.（选做）已知U={x ∈N|x ≤10}，A={小于11的质数}，则U C A = .
5.（选做）定义A —B={x|x ∈A ，且x ∉B}，若M={1,2,3,4,5}，N={2,4,8}，则N —M= .
库车县第三中学高中数学必修1导学案
主备人：姚志远 审核：宋升贇包科领导：尹长燕
班级： 日期： 姓名： 小组 ： 课题： 1.2.1 函数的概念（1）
一、学习目标：
（一）知识与技能目标：
1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
2. 了解构成函数的要素；
3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.
二、自学内容及检测：（5分钟）
复习1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？
复习2：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.
三、合作学习与探究：（15分钟）
探究任务一：函数模型思想及函数概念
问题：研究下面三个实例：
A. 一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是.
B. 近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.
C. 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低.
讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？
2
1305h t t =-
归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：.
新知：函数定义.
设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数
x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：.
其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合叫值域（range ）.
探究任务二：区间及写法
新知：设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：
叫闭区间；
叫开区间；
，都叫半开半闭区间.
实数集R 用区间表示，其中“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.
四、当堂达标检测题（5分钟）
1. 已知函数，则（ ）.
A. －1
B. 0
C. 1
D. 2
2. 函数
）.
A. B.
C. D. 3. 已知函数，若，则a=（ ）.
A. －2
B. －1
C. 1
D. 2 4.（选做）函数的值域是 . 5.（选做）函数
的定义域是（ ） ，值域是 （ ） .
（用区间表示）
:f A B →()f x :f A B →(),y f x x A =∈{()|}f x x A ∈{|}[,]x a x b a b ≤≤={|}(,)x a x b a b <<={|}[,)x a x b a b ≤<={|}(,]x a x b a b <≤=(,)-∞+∞2()21
g t t =-(1)g =()f x 1[,)2+∞1(,)2+∞1(,]2-∞1(,)2-∞()23f x x =+()1f a =2,{2,1,0,1,2}
y x x =∈--2y x =-
库车县第三中学 高中数学必修1导学案
主备人：赵斌斌 审核：宋升贇 包科领导：尹长燕
班级： 日期： 姓名： 小组 ： 课题：§1.2.1 函数的概念（2）
一、学习目标：
（一）知识与技能目标：
1. 会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；
2. 掌握判别两个函数是否相同的方法.
（二）过程与方法目标：
1.初步探索客观世界中各种运动与数量间的相互依赖关系；
2.掌握求函数式值的方法.
（三）情感、态度与价值观目标：
1.懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点；
2.会全面观察问题、分析问题、研究问题.
二、自学内容及检测：（5分钟）
复习1：函数的三要素是、、.
函数2
3x y x
=与y ＝3x 是不是同一个函数？为何？
复习2：用区间表示函数y ＝kx ＋b 、y ＝ax 2＋bx ＋c 、y ＝k x
的定义域与值域，其中0k ≠，0a ≠.
新课：
1. 定义域的求法及步骤；
2. 判断同一个函数的方法；
3. 求函数值域的常用方法.
知识拓展
对于两个函数()y f u =和()u g x =，通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称它为函数
()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =. 例如y =y =与21u x =-复合.
三、合作学习与探究：（15分钟）
探究任务：函数相同的判别
讨论：函数y =x 、y 2
、y =3
2x x
、y 、y 有何关系？
试试：判断下列函数()f x 与()g x 是否表示同一个函数，说明理由？ ① ()f x = 0(1)x -；()g x = 1.
② ()f x = x ； ()g x =
. ③ ()f x = x 2；()g x = 2(1)x +.
④ ()f x = | x | ；()g x = .
小结：
① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
例1 求下列函数的定义域 （用区间表示）.
（1）23()2
x f x x -=-；
（2）()f x =
（3）1()2
f x x =-.
试试：求下列函数的定义域 （用区间表示）.
（1）2()3
x f x x -=-
（2）()f x =.
小结：
（1）定义域求法（分式、根式、组合式）；
（2）求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）.
例2 求下列函数的值域（用区间表示）：
（1）y ＝x 2－3x ＋4； （2）()f x =
（3）y ＝53x -+； （4）2()3
x f x x -=+.
变式：求函数(0)ax b y ac cx d
+=≠+的值域.
小结：
求函数值域的常用方法有：观察法、配方法、拆分法、基本函数法.
练1. 若2(1)21f x x +=+，求()f x .
练2. 一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，求()f x .
四、当堂达标检测题（5分钟）
1. 函数()1f x 的定义域是（ ）.
A. [3,1]-
B. (3,1)-
C. R
D. ∅
2. 函数2132
x y x -=+的值域是（ ）. A. 11(,)(,)33-∞--+∞ B. 22(,)(,)33
-∞+∞ C. 11(,)(,)22
-∞--+∞ D. R 3. 下列各组函数()()f x g x 与的图象相同的是（ ）
A.2(),()f x x g x ==
B.22(),()(1)f x x g x x ==+
C.0()1,()f x g x x ==
D.()||,()x f x x g x x ⎧==⎨-⎩
(0)(0)x x ≥<
4. （选做）函数f (x ) = 12x
-的定义域用区间表示是. 5. （选做）若2(1)1f x x -=-，则()f x = .
库车县第三中学高中数学必修1导学案
主备人：赵斌斌 审核：宋升贇 包科领导：尹长燕
班级： 日期： 姓名： 小组 ： 课题：§1.2.2 函数的表示法（1）
一、学习目标：
（一）知识与技能目标：
1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
（二）过程与方法目标：
1.初步体会运用函数知识解决实际问题的方法；
2.体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用，在图形的变化中感受数学的直观美.
（三）情感、态度与价值观目标：
1.培养数形结合思想和分类讨论思想；
2.激发需学习的积极性和主动性.
二、自学内容及检测：（5分钟）
复习1：
（1）函数的三要素是、、.
（2）已知函数21()1f x x =-，则(0)f =，1()f x
=，()f x 的定义域为. （3）分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式.
复习2：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.
新课：
1. 函数的三种表示方法及优点；
2. 分段函数概念；
3. 函数图象可以是一些点或线段.
知识拓展
任意画一个函数y =f (x )的图象，然后作出y =|f (x )| 和 y =f (|x |) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系.
三、合作学习与探究：（15分钟）
探究任务：函数的三种表示方法
小结：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.
例1某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数()
.
y f x
变式：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例中的函数.
反思：
例1及变式的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？
例2邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元. 每封x克（0<x≤40）重的信应付邮资数y（元）. 试写出y关于x的函数解析式，并画出函数的图象.
变式： 某水果批发店，100 kg 内单价1元／kg ，500 kg 内、100 kg 及以上0.8元／kg ，500 kg 及以上0.6元／kg ，试写出批发x 千克应付的钱数y （元）的函数解析式.
试试：画出函数f (x )=|x －1|＋|x ＋2|的图象.
小结：
分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）. 在生活实例有哪些分段函数的实例？
练1. 已知223,(,0)()21,[0,)
x x f x x x +∈-∞⎧=⎨+∈+∞⎩，求(0)f 、[(1)]f f -的值.
练2. 如图，把截面半径为10 cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的边长为x ，面积为y ，把y 表示成x 的函数.
四、当堂达标检测题（5分钟）
1. 如下图可作为函数()y f x =的图象的是（ ）
.
A. B. C. D.
2. 函数|1|y x =-的图象是（ ）
.
A. B. C. D.
3. 设22, (1)(), (12)2, (2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩
≤≥，若()3f x =，则x =（ ） A. 1
B. C. 32
D. 4.（选做）设函数f （x ）＝22(2)2(2)x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩
≥＋＜，则(1)f -＝. 5. （选做）已知二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，且图象在y 轴上的截距为0，最小值为－1，则函数()f x 的解析式为.
库车县第三中学高中数学必修1导学案
主备人：赵斌斌审核：宋升贇包科领导：尹长燕
班级：日期：姓名：小组：
课题：§1.2.2 函数的表示法（2）
一、学习目标：
（一）知识与技能目标：
1. 了解映射的概念及表示方法；
2. 结合简单的对应图示，了解一一映射的概念；
3. 能解决简单函数应用问题.
（二）过程与方法目标：
1.探究与活动，明白作图是由点到线，由局部到全体的运动变化过程；
2.会判断一个对应是不是映射.
（三）情感、态度与价值观目标：
1.培养辩证地看待事物的观念和数形结合的思想；
2.激发学习的兴趣和积极性.
二、自学内容及检测：（5分钟）
复习：举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：
①对于任何一个，数轴上都有唯一的点P和它对应；
②对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的和它对应；
③对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
④某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应.
你还能说出一些对应的例子吗？
新课：
1. 映射的概念；
2. 判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有对应，但B中元素未必要有对应；二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．
知识拓展
在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v（千米／小时）的平方与车身长s（米）的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里／小时时，车距恰好等于车身上，试写出d关于v的函数关系式（其中s为常数）.
三、合作学习与探究：（15分钟）
讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？
探究任务：映射概念
探究：先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意.
①{1,4,9}
B=---，对应法则：开平方；
A=, {3,2,1,1,2,3}
②{3,2,1,1,2,3}
B=，对应法则：平方；
A=---，{1,4,9}
③ {30,45,60}A =︒︒︒, 1{}2
B =, 对应法则：求正弦.
新知：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →” 关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .
试试：分析例1 ①～③是否映射？举例日常生活中的映射实例？
反思：
① 映射的对应情况有、，一对多是映射吗？
② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射. 例1 探究从集合A 到集合B 一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？ （1）A ={P | P 是数轴上的点}，B =R ； （2）A ={三角形}，B ={圆}；
（3）A ={ P | P 是平面直角体系中的点}，
{(,)|,}B x y x R y R =∈∈；
（4） A ={高一学生}，B = {高一班级}.
变式：如果是从B 到A 呢？
试试：下列对应是否是集合A 到集合B 的映射
（1）}}{{1,2,3,4,2,4,6,8A B ==，对应法则是“乘以2”； （2）A = R *，B =R ，对应法则是“求算术平方根”； （3）{}|0,A x x B =≠=R ，对应法则是“求倒数”.
练1. 下列对应是否是集合A 到集合B 的映射？
（2）*,{0,1}A N B ==，对应法则:f x x →除以2得的余数； （3）A N =，{0,1,2}B =，:f x x →被3除所得的余数；
（4）设111{1,2,3,4},{1,,,}234X Y ==1
:f x x
→；
（5）{|2,},A x x x N B N =>∈=，:f x →小于x 的最大质数.
练2. 已知集合}{}{,,1,0,1,A a b B ==-从集合A 到集合B 的映射，试问能构造出多少映射？
四、当堂达标检测题（5分钟）
1. 在映射:f A B →中，{(,)|,}A B x y x y R ==∈，且:(,)(,)f x
y x y x y →-+，则与A 中的元素(1,2)-对
应的B 中的元素为（ ）. A.(3,1)- B.(1,3) C.(1,3)-- D.(3,1)
2.下列对应:f A B →：
① {},0,:;A R B x R x f x x ==∈>→ ②*,,:1;A N B N f x x ==→- ③{}20,,:.A x R x B R f x x =∈>=→
不是从集合A 到B 映射的有（ ）.
A. ①②③
B. ①②
C. ②③
D. ①③
3. 已知0(0)()(0)1(0)x f x x x x π<⎧⎪
==⎨⎪+>⎩，则{[(1)]}f f f -=（ ）
A. 0
B. π
C. 1π+
D.无法求
4.（选做）若1()1x
f x x
=-，则)(x f =.
5. （选做）已知f (x )=x 2-1，g (x
1则f [g (x )] =.
库车县第三中学高中数学必修1导学案
主备人：赵斌斌 审核：宋升贇 包科领导：尹长燕
班级： 日期： 姓名： 小组 ： 课题：§1.3.1 单调性与最大（小）值（1）
一、学习目标： （一）知识与技能目标：
1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. （二）过程与方法目标：
1.从观察具体函数的图像特征入手，引导思维；
2.通过一步步的引导，能够应运数学语言形式化的建立增（减）函数的概念. （三）情感、态度与价值观目标：
1.加强判断能力、推理能力和化归转化能力；
2.会全面观察问题、分析问题、研究问题.
二、自学内容及检测：（5分钟）
引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？
复习1：观察下列各个函数的图象.
探讨下列变化规律：
① 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ② 能否看出函数的最大、最小值？ ③ 函数图象是否具有某种对称性？
复习2：画出函数()2f x x =+、2()f x x =的图象.
小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线. 新课：
1. 增函数、减函数、单调区间的定义；
2. 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）.
知识拓展：
函数()(0)a
f x x a x
=+
>的增区间有)+∞、(,-∞，减区间有、[ . 三、合作学习与探究：（15分钟）
探究任务：单调性相关概念 思考：根据()2f x x =+、2()(0)f x x x =>的图象进行讨论：随x 的增大，函数值怎样变化？当x 1>x 2时，f (x 1)与f (x 2)的大小关系怎样？
问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？
新知：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义.
新知：如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f (x )的单调区间. 反思：
① 图象如何表示单调增、单调减？
② 所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？ ③ 函数2()f x x =的单调递增区间是，单调递减区间是.
试试：如图，定义在[-5,5]上的f (x )，根据图象说出单调区间及单调性.
例1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明.
（1）()32f x x =-+； （2）1
()f x x
=.
例2 物理学中的玻意耳定律k
p V
=
（k 为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V 增大时，压强p 如何变化？试用单调性定义证明.
小结：
① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号； ② 证明函数单调性的步骤：
第一步：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2； 第二步：计算f (x 1)－f (x 2)至最简； 第三步：判断差的符号； 第四步：下结论.
练1.求证1
()f x x x
=+的(0,1)上是减函数，在[1,)+∞是增函数.
练2. 指出下列函数的单调区间及单调性. （1）()||f x x =； （2）3()f x x =.
四、当堂达标检测题（5分钟）
1. 函数2()2f x x x =-的单调增区间是（ ） A. (,1]-∞ B. [1,)+∞ C. R D.不存在
2.如果函数()f x kx b =+在R 上单调递减，则（ ） A. 0k > B. 0k < C. 0b > D. 0b <
3. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ）
A ．2y x =-
B ．2
y x =
C ．||y x =
D ．2
y x =-
4. （选做）函数31y x =-+的单调性是.
5. （选做）函数()|2|f x x =-的单调递增区间是，单调递减区间是.。