(江苏专用)2021高考数学二轮复习 综合仿真练(三)

综合仿真练(三)
1．已知向量m ＝(3cos x ，－1)，n ＝(sin x ，cos 2
x )． (1)当x ＝π
3
时，求m ·n 的值；
(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且m ·n ＝33－12，求cos 2x 的值．
解：(1)当x ＝π3时，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，14，
所以m ·n ＝34－14＝1
2
.
(2)m ·n ＝3cos x sin x －cos 2
x ＝32sin 2x －12cos 2x －12＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6－12， 若m ·n ＝
33－12，则sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝33－12，
即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33，
因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以－π6≤2x －π6≤π3， 所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63， 则cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6×cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6sin π6＝63×32－
33×12＝32－3
6
. 2.如图，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 1的中点． (1)求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；
(2)若CC 1＝CB 1，CA ＝CB ，平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，求证：AB ⊥平面
CMN .
证明：(1)法一：
取A 1C 1的中点P ，连结AP ，NP . 因为C 1N ＝NB 1，C 1P ＝PA 1， 所以NP ∥A 1B 1，NP ＝1
2
A 1
B 1.
在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB . 所以NP ∥AB ，且NP ＝1
2
AB .
因为M 为AB 的中点，所以AM ＝1
2AB .
所以NP ＝AM ，且NP ∥AM ，
所以四边形AMNP 为平行四边形，所以MN ∥AP . 因为AP ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ， 所以MN ∥平面AA 1C 1C.
法二： 取BC 的中点Q ，连结NQ ，MQ . 由三棱柱可得，四边形BCC 1B 1为平行四边形． 又Q ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点， 所以CQ ∥C 1N ，CQ ＝C 1N ， 所以四边形CQNC 1为平行四边形． 所以NQ ∥CC 1.
因为NQ ⊂平面MNQ ，CC 1⊄平面MNQ ， 所以CC 1∥平面MNQ .
因为AM ＝MB ，CQ ＝QB ，所以MQ ∥AC . 同理可得AC ∥平面MNQ .
因为AC ⊂平面AA 1C 1C ，CC 1⊂平面AA 1C 1C ，AC ∩CC 1＝C ，所以平面MNQ ∥平面AA 1C 1C. 因为MN ⊂平面MNQ ，所以MN ∥平面AA 1C 1C. (2)因为CA ＝CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥A B. 因为CC 1＝CB 1，N 为B 1C 1的中点，所以CN ⊥B 1C 1. 在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，BC ∥B 1C 1，所以CN ⊥BC .
因为平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，平面CC 1B 1B ∩平面ABC ＝BC ，CN ⊂平面CC 1B 1B ，所以CN ⊥平面AB C.
因为AB ⊂平面ABC ，所以CN ⊥A B.
因为CM ⊂平面CMN ，CN ⊂平面CMN ，CM ∩CN ＝C ， 所以AB ⊥平面CMN .
3.(2020-2021·海门中学模拟)某城市有一矩形街心广场ABCD ，其中
AB ＝4百米，BC ＝3百米，在其中心P 处(AC 中点)有一观景亭．现将挖掘
一个三角形水池PMN 种植荷花，其中M 点在BC 边上，N 点在AB 边上，满足∠MPN ＝45°.设∠PMC ＝θ.
(1)将PM 表示为角θ的函数，并求出cos θ的取值范围； (2)求水池△PMN 面积的最小值．
解：(1)∵矩形ABCD ，AB ＝4百米，BC ＝3百米， ∴AC ＝5百米，
∵P 为AC 中点，∴AP ＝CP ＝5
2
百米．
设∠ACB ＝α，则α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且sin α＝45，cos α＝35
在△CPM 中，PM sin α＝CP sin θ，即PM
45
＝5
2sin θ
∴ PM ＝2sin θ，当点M 在B 处时，θ即为∠PBC ＝∠PCB ＝α，则cos θ＝3
5，当点N
在B 处时，θ＝∠PBC ＋π4＝α＋π4，cos θ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35×22－45×22＝－210
∴cos θ的取值范围为⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤
－
210，35(0<θ<π). (2)在△APN 中，PN sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝AP sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ，即PN
35＝52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ，∴PN ＝
32sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4
S △PMN ＝1
2×PM ×PN ×sin π4
＝
24·2sin θ·32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝31＋2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2θ－π4 ∴当2θ－π4＝π2，即θ＝3π8∈(0，π)时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4max ＝1，则(S △PMN )min ＝
31＋2＝3(2－1)
此时cos θ＝
2－24<3
5
符合条件． 答：水池△PMN 面积的最小值为(32－3)百米2
.
4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2
b
2
＝1经过点(b,2e )，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1,0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求
AT ·BT
MN 2
的值；
(3)记直线l 与y 轴的交点为P .若AP ―→＝25
TB ―→
，求直线l 的斜率k .
解：(1)因为椭圆C ：x 28＋y 2
b 2＝1经过点(b,2e )，
所以b 28＋4e 2
b
2＝1.
因为e 2
＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 2
2b
2＝1，
又a 2
＝b 2
＋c 2
，b 28＋8－b 2
2b
2＝1，
解得b 2＝4或b 2
＝8(舍去)． 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 2
4＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
因为T (1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．
联立直线l 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x －1，x 28＋y
2
4
＝1，消去y ，
得(2k 2
＋1)x 2
－4k 2
x ＋2k 2
－8＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 2
2k 2＋1，x 1x 2＝2k 2
－8
2k 2＋1
.
因为MN ∥l ，所以直线MN 的方程为y ＝kx ，
联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，x 28＋y
2
4
＝1，消去y 得(2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2
＝82k 2＋1
.
因为MN ∥l ，所以
AT ·BT MN 2＝1－x 1·x 2－1
x M －x N 2
， 因为(1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2
＝322k 2＋1
.
所以AT ·BT MN 2＝72k 2＋1×2k 2
＋132＝732
.
(3)在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )， 从而AP ―→＝(－x 1，－k －y 1)，TB ―→
＝(x 2－1，y 2)， ∵AP ―→＝25TB ―→
，∴－x 1＝25(x 2－1)，
即x 1＋25x 2＝2
5
，①
由(2)知x 1＋x 2＝4k
2
2k 2＋1
，②
联立①②得x 1＝－4k 2
＋232k 2＋1，x 2＝16k 2
－2
32k 2
＋1. 又x 1x 2＝2k 2
－8
2k 2＋1，
∴50k 4
－83k 2－34＝0， 解得k 2＝2或k 2
＝－1750(舍去)．
又因为k ＞0，所以k ＝ 2.
5．数列{a n }中，对任意给定的正整数n ，存在不相等的正整数i ，j (i <j )，使得a n ＝a i a j ，且i ≠n ，j ≠n ，则称数列{a n }具有性质P .
(1)若仅有3项的数列1，a ，b 具有性质P ，求a ＋b 的值； (2)求证：数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
n
n ＋2 019具有性质P ；
(3)正项数列{b n }是公比不为1的等比数列．若{b n }具有性质P ，则数列{b n }至少有多少项？请说明理由．
解：(1)∵数列1，a ，b 具有性质P ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
ab ＝1，
a ＝
b .
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝－1.
∴a ＋b ＝2或a ＋b ＝－2；
(2)证明：假设存在不相等的正整数i ，j (i <j )使得a n ＝a i a j ，即n n ＋2 019
＝
i
i ＋2 019·j
j ＋2 019
(*)
解得：j ＝i ＋2 019n
i －n ，取i －n ＝1，则存在⎩
⎪⎨
⎪⎧
i ＝n ＋1，j ＝n ＋2 020n ，使得(*)成立
∴数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
n
n ＋2 019具有性质P;
(3)设正项等比数列{b n }的公比为q ，q >0且q ≠1，则b n ＝b 1·q n －1
.
∵数列{b n }具有性质P
∴存在不相等的正整数i ，j (i <j )，i ≠n ，j ≠n ，使得b 1＝b 1·q i －1
·b 1·q
j －1
，即b 1＝
1
q
i ＋j －2
，
且m ≥3
∵j >i ≥1，且i ，j ∈N *
，∴i ＋j －2≥1
若i ＋j －2＝1，即b 1＝1
q
，∴b 2＝1，b 3＝q
要使b 1＝1q ＝b i b j ，则1q 2必为{b n }中的项，与b 1＝1
q
矛盾；∴i ＋j －2≠1
若i ＋j －2＝2，即b 1＝1q 2，∴b 2＝1
q
，b 3＝1，b 4＝q ，
要使b 1＝1q 2＝b i b j ，则1q 3必为{b n }中的项，与b 1＝1
q
2矛盾；∴i ＋j －2≠2
若i ＋j －2＝3，即b 1＝1q 3，∴b 2＝1q 2，b 3＝1q
，b 4＝1，b 5＝q ，b 6＝q 2，b 7＝q 3,
这时对于n ＝1,2，…，7，都存在b n ＝b i b j ，其中i <j ，i ≠n ，j ≠n .∴数列{b n }至少有7项．
6．已知函数f (x )＝m
x
＋x ln x (m >0)，g (x )＝ln x －2. (1)当m ＝1时，求函数f (x )的单调增区间；
(2)设函数h (x )＝f (x )－xg (x )－2，x >0.若函数y ＝h (h (x ))的最小值是32
2，求m 的
值；
(3)若函数f (x )，g (x )的定义域都是[1，e]，对于函数f (x )的图象上的任意一点A ，在函数g (x )的图象上都存在一点B ，使得OA ⊥OB ，其中e 是自然对数的底数，O 为坐标原点．求
m 的取值范围．
解：(1)当m ＝1时，f (x )＝1x ＋x ln x ，f ′(x )＝－1
x
2＋ln x ＋1.
因为f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ′(1)＝0， 所以当x >1时，f ′(x )>0；当0<x <1时，f ′(x )<0. 所以函数f (x )的单调增区间是(1，＋∞)．
(2)h (x )＝m x ＋2x －2，则h ′(x )＝2－m x 2＝2x 2－m
x
2，令h ′(x )＝0，得x ＝
m
2
，
当0<x < m
2
时，h ′(x )<0，函数h (x )在⎝
⎛
⎭⎪⎫
0，
m 2上单调递减； 当x >
m
2时，h ′(x )>0，函数h (x )在⎝
⎛⎭
⎪⎫m
2
，＋∞上单调递增．
所以h (x )min ＝h ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
m 2＝22m － 2.
①当2(2m －1)≥
m
2，即m ≥4
9
时， 函数y ＝h (h (x ))的最小值h (22m －2)
＝2⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤m 22m －1＋22m －1－1＝322，
即17m －26m ＋9＝0，
解得m ＝1或m ＝9
17(舍去)，所以m ＝1.
②当0<2(2m －1)<
m
2，即14<m <4
9
时， 函数y ＝h (h (x ))的最小值h ⎝
⎛⎭
⎪⎫
m 2＝2(2m －1)＝322，解得m ＝5
4(舍去)． 综上所述，m 的值为1.
(3)由题意知，k OA ＝m x
2＋ln x ，k OB ＝ln x －2
x
.
考虑函数y ＝ln x －2x
，
因为y ′＝3－ln x x
2
>0在[1，e]上恒成立， 所以函数y ＝ln x －2x
在[1，e]上单调递增，
故k OB ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－2，－1e ，
所以k OA ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，e ， 即12≤m
x
2＋ln x ≤e 在[1，e]上恒成立， 即x 2
2－x 2ln x ≤m ≤x 2
(e －ln x )在[1，e]上恒成立． 设p (x )＝x 2
2
－x 2
ln x ，
则p ′(x )＝－2x ln x ≤0在[1，e]上恒成立， 所以p (x )在[1，e]上单调递减，所以m ≥p (1)＝1
2.
设q (x )＝x 2
(e －ln x )，
则q ′(x )＝x (2e －1－2ln x )≥x (2e －1－2ln e)>0在[1，e]上恒成立， 所以q (x )在[1，e]上单调递增， 所以m ≤q (1)＝e.
综上所述，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，e .。