九年级数学上册 二次函数单元练习(Word版 含答案)

九年级数学上册 二次函数单元练习（Word 版 含答案）
一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
1．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 2
0x +（b+1）x 0+b ﹣2
＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点． （1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；
（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂
直平分线，求实数b 的取值范围．
【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣
b ＜0． 【解析】 【分析】
（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；
（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；
（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121
a +是线段AB 的垂
直平分线，从而可以求得b 的取值范围． 【详解】
解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时， 函数y ＝2x 2﹣x ﹣4， 令x ＝2x 2﹣x ﹣4， 化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，
即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2； （2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2， 整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，
∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，
设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0， 故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0， 解得，0＜a ＜2，
即a 的取值范围是0＜a ＜2； （3）由题意可得， 点A 和点B 在直线y ＝x 上， 设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），
∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣
b a
， ∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122
x x
+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a
-）， ∵直线y ＝﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂直平分线，
∴点（2b a -，2b
a -）在直线y ＝﹣x+2121
a +上， ∴2b
a -
＝21221
b a a ++
∴﹣b ＝
2
21
a a ≤
+a
∴0＜﹣b ≤
4
，
∴﹣
4
≤b ＜0，
即b b ＜0． 【点睛】
本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．如图1，抛物线2
:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-，1C 与x 轴的正
半轴交于点1A ，且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ，此时四边形111D OB A 恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线
()2222:C y a x x b =-，2C 与x 轴的正半轴交于点2A ，且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于
点2B 、2D ，此时四边形222OB A D 也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ，请探究以下问题： （1）填空：1a = ，1b = ； （2）求出2C 与3C 的解析式；
（3）按上述类似方法，可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D （1n ≥）. ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式；
②当x 取任意不为0的实数时，试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系，并说明理由.
【答案】（1）11a =，12b =；（2）22132y x x =-，231
26
y x x =-；（3）①()22
1
2123
n n y x x n -=
-≥⨯，②20182019y y ＞. 【解析】 【分析】
（1）求与x 轴交点A 1坐标，根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值，写出D 1的坐标，代入y 1的解析式中可求得a 1的值； （2）求与x 轴交点A 2坐标，根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值，写出D 2的坐标，代入y 2的解析式中可求得a 2的值，写出抛物线C 2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式；
（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1，由B 1坐标（1，1）、B 2坐标（3，3）、B 3坐标（7，7）得B n 坐标（2n -1，2n -1），则b n =2（2n -1）=2n +1-2（n ≥1），写出抛物线C n 解析式．
②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式，用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小． 【详解】
解：（1）y 1=0时，a 1x （x -b 1）=0， x 1=0，x 2=b 1， ∴A 1（b 1，0），
由正方形OB 1A 1D 1得：OA 1=B 1D 1=b 1，
∴B 1（
12b ，12b ），D 1（12b ，12
b
-）， ∵B 1在抛物线c 上，则
12b =(12
b )2
， 解得：b 1=0（不符合题意），b 1=2， ∴D 1（1，-1），
把D 1（1，-1）代入y 1=a 1x （x -b 1）中得：-1=-a 1， ∴a 1=1， 故答案为1，2；
（2）当20y =时，有()220a x x b -=， 解得2x b =或0x =，()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ，得2222B D OA b ==，
222,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，22
2,22b
b D ⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 2B 在抛物线1C 上，2222222b b b ⎛⎫∴
=- ⎪⎝⎭
. 解得24b =或20b =（不合舍去），
()22,2D ∴-
2D 在抛物线2C 上，
()22224a ∴-=-.
解得21
2
a =
. 2C ∴的解析式是()2142y x x =
-，即221
22
y x x =-. 同理，当30y =时，有()330a x x b -=， 解得3x b =，或0x =.
()33,0A b ∴.
由正方形333OB A D ，得3333B D OA b ==，
333,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，333,2
2b
b D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.
3B 在抛物线2C 上，
2
333122222
b b b
⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭. 解得312b =或30b =（不合舍去），
()36,6D ∴-
3D 在抛物线3C 上，
()366612a ∴-=-.解得316
a =
. 3C ∴的解析式是()31126y x x =
-，即231
26
y x x =-. （3）解：①n C 的解析式是()2
2
12123
n n y x x n -=-≥⨯. ②由①可得2201820161223y x x =
-⨯，2
20192017
1223
y x x =-⨯. 当0x ≠时，2
2018201920162017
111
0233y y x ＞⎛⎫-=
-
⎪⎝⎭
， 20182019y y ∴＞.
【点睛】
本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x 轴交点坐标⇔把y =0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标；③根据规律之间得到解析式是关键．
3．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2+2x +b 经过点B ．
（1）该抛物线的函数解析式；
（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '． ①写出点M '的坐标；
②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为d 1，d 2，当d 1+d 2最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．
【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）2
1525228
S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ，258；（3）
①57,24M ⎛⎫
'
⎪⎝⎭
；②45° 【解析】 【分析】
（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出b 的值．
（2）设M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），然后根据面积关系将△ABM 的面积进行转化．
（3）①由（2）可知m ＝5
2
，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值． ②可将求d 1+d 2最大值转化为求AC 的最小值． 【详解】
（1）令x ＝0代入y ＝﹣3x+3， ∴y ＝3， ∴B （0，3），
把B （0，3）代入y ＝﹣x 2+2x+b 并解得：b ＝3， ∴二次函数解析式为：y ＝﹣x 2+2x+3． （2）令y ＝0代入y ＝﹣x 2+2x+3，
∴0＝﹣x 2+2x+3， ∴x ＝﹣1或3，
∴抛物线与x 轴的交点横坐标为-1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
令y＝0代入y＝﹣3x+3，
∴x＝1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB
＝1
2
×m×3+
1
2
×1×（-m2+2m+3）-
1
2
×1×3
＝﹣1
2
（m﹣
5
2
）2+
25
8
，
∴当m＝5
2
时，S取得最大值
25
8
．
（3）①由（2）可知：M′的坐标为（5
2
，
7
4
）．
②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，
根据题意知：d1+d2＝BF，
此时只要求出BF的最大值即可，
∵∠BFM′＝90 ，
∴点F在以BM′为直径的圆上，
设直线AM′与该圆相交于点H，
∵点C在线段BM′上，
∴F在优弧'
BM H上，
∴当F与M′重合时，
BF可取得最大值，
此时BM′⊥l1，
∵A（1，0），B（0，3），M′（5
2
，
7
4
），
∴由勾股定理可求得：AB ＝10，M′B ＝55
，M′A ＝854
， 过点M′作M′G ⊥AB 于点G ， 设BG ＝x ，
∴由勾股定理可得：M′B 2﹣BG 2＝M′A 2﹣AG 2， ∴
8516
﹣（10﹣x ）2＝125
16﹣x 2，
∴x ＝
510
， cos ∠M′BG ＝
'BG BM ＝2
2
，∠M′BG= 45︒ 此时图像如下所示，
∵l 1∥l′，F 与M′重合，BF ⊥l 1 ∴∠B M′P=∠BCA ＝90︒， 又∵∠M′BG=∠CBA= 45︒ ∴∠BAC ＝45︒． 【点睛】
本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．
4．如图，过原点的抛物线y=﹣
12
x 2
+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ． （1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；
（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；
（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，
点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2122
y x x =-
+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=
27时，抛物线向左平移． 【解析】 【分析】
（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；
（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2
m
），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；
（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离． 【详解】
解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12
-
x 2
+bx+c ． 得040c b b c =⎧
⎨-++=⎩，
∴02c b =⎧⎨=⎩
．
∴2211
2(2)222
y x x x =-
+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）．
（2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．
∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．
∵O′P=OP=m ． ∴C′D=
12O′P=1
2
m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（3
2m ，2
m ）．
当点O′在y=12
-x 2
+2x 上． 则−
12
m 2
+2m ＝m ． 解得：12m =，20m =（舍去）． ∴m=2． 当点C′在y=12
-x 2
+2x 上， 则12-
×(32
m )2+2×3
2m ＝12m ，
解得：120
9
m =，20m =（舍去）． ∴m=
209
（3）存在n=2
7
，抛物线向左平移．
当m=
209时，点C′的坐标为（103
，10
9）．
如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处．
以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″． 当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短．
∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（10
3
，
10
9
），点B（2，2）．
∴点A′（8
3
，
8
9
）．
∴点A″的坐标为（8
3
，
28
9
）．
设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：828 39
k=，
解得：k=7
6
．
∴直线OA″的解析式为y=7
6 x．
将y=2代入得：7
6
x=2，
解得：x=12
7
，
∴点B′得坐标为（12
7
，2）．
∴n=2
122 77 -=．
∴存在n=2
7
，抛物线向左平移．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性
质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（3
2
m
，
2
m
）以及点B′的
坐标是解题的关键．
5．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) y=x2﹣4x+3；(2) P1（1，0），P2（2，﹣1）；(3) F1（22，1），F2（22，1）．
【解析】
【分析】
（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；
（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：
①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；
②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P 点的坐标；
（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，
将C（0，3）代入上式，得：
3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；
∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；
（2）分两种情况：
①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；
令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；
∵点A在点B的右边，
∴B（1，0），A（3，0）；
∴P1（1，0）；
②当点A为△AP2D2的直角顶点时；
∵OA=OC ，∠AOC=90°，
∴∠OAD 2=45°；
当∠D 2AP 2=90°时，∠OAP 2=45°，
∴AO 平分∠D 2AP 2；
又∵P 2D 2∥y 轴，
∴P 2D 2⊥AO ，
∴P 2、D 2关于x 轴对称；
设直线AC 的函数关系式为y=kx+b （k≠0）．
将A （3，0），C （0，3）代入上式得：
303
k b b +=⎧⎨=⎩ ， 解得13
k b =-⎧⎨=⎩ ； ∴y=﹣x+3；
设D 2（x ，﹣x+3），P 2（x ，x 2﹣4x+3），
则有：（﹣x+3）+（x 2﹣4x+3）=0，
即x 2﹣5x+6=0；
解得x 1=2，x 2=3（舍去）；
∴当x=2时，y=x 2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1；
∴P 2的坐标为P 2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）．
∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；
（3）由（2）知，当P 点的坐标为P 1（1，0）时，不能构成平行四边形；
当点P 的坐标为P 2（2，﹣1）（即顶点Q ）时，
平移直线AP 交x 轴于点E ，交抛物线于F ；
∵P （2，﹣1），
∴可设F （x ，1）；
∴x 2﹣4x+3=1，
解得x 1=22，x 22；
∴符合条件的F 点有两个，
即F 1（22，1），F 2（2，1）．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大.
6．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为3,0，点C 的坐标为()0,3．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面积；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．
【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）
12；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】
【分析】
（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；
（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式
（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求DQ=2，可得FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解．
【详解】
解:（Ⅰ）依题意()()2
330{3
b c c --+⨯-+== 解得2{3
b c =-= 所以223y x x =--+
（Ⅱ）2223(1)4y x x x
抛物线的对称轴是直线1x =-
(,0)M x ，()2,23P x x x --+，其中31x -<<-
∵P 、Q 关于直线1x =-对称
设Q 的横坐标为a
则()11a x --=--
∴2a x =--
∴()22,23Q x x x ----+
∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--
∴周长()222
222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++
当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M -
∴2(3)1AM =---=
设直线AC 的解析式为y kx b =+ 则303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩
∴设直线AC 的解析式为3y
x 将2x =-代入3y
x ，得1y =
∴(2,1)E -，
∴11111222
AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯= （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合，
∴3OQ =
∵2223(1)4y x x x ∴()1,4D -
过D 作DK y ⊥轴于K ，
则1DK =，4OK =
∴431OK OK OQ =-=-=
∴DKQ 是等腰直角三角形，2DQ =
∴224FG DQ ==
设()
2,23F m m m --+，则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+
∴234m m +=，解得14m =-，21m =
当4m =-时，2235m m --+=-
当1m =时，2230m m --+=．
∴()4,5F --或()1,0
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ．
（1）P 的坐标 ，C 的坐标 ；
（2）直线1上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△PAC 面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q的坐标为：（9
2
，﹣5）或
（21
2
，﹣5）
【解析】
【分析】
（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；
（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（5
3
，0），设直线PQ交x轴
于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点P（3，4），
令x＝0得到y＝﹣5，
∴C（0，﹣5）．
故答案为：（3，4），（0，﹣5）；
（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，
解得：x＝1或x＝5，
∴A（1，0），B（5，0），
设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有
5
34 b
k b
=-
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
3
5 k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，
设直线交x轴于D，则D（5
3
，0），
设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，
∵AD＝2
3
，
∴BE＝4
3
，
∴E（11
3
，0）或E′（
19
3
，0），
则直线PE的解析式为：y＝﹣6x+22，
∴Q（9
2
，﹣5），
直线PE′的解析式为y＝﹣6
5
x+
38
5
，
∴Q′（21
2
，﹣5），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（9
2
，﹣5）或（
21
2
，﹣5）；
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上，边OB在y轴的负半轴上．且AO＝12，OB＝9．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在第二象限的抛物线上找一点M，连接AM，BM，AB，当△ABM面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D是线段AO上的动点，点E是线段BO上的动点，点F是射线AC上的动点，连接EF，DF，DE，BD，且EF是线段BD的垂直平分线．当CF＝1时．
①直接写出点D的坐标；
②若△DEF的面积为30，当抛物线y＝﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时，请直接写出此时的抛物线的表达式．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣51
4
x﹣9；（2）M(﹣6，31.5)；（3）①(﹣50)或(﹣3，
0)，②y＝﹣x2﹣13
3
x﹣4
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题．
（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣51
4
m﹣9），根据S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB构建二次
函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
（3）①分两种情形：如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．根据FD＝FB，构建方程求解．当点F在线段AC上时，同法可得．
②根据三角形的面积求出D，E的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．
【详解】
解：（1）由题意A（﹣12，0），B（0，﹣9），
把A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，
得到
9 144120
c
b c
=-
⎧
⎨
--+=
⎩
，
解得：
51
4
9
b
c
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣51
4
x﹣9．
（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣51
4
m﹣9），
S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB
＝1
2
×9×（m+12）+
1
2
×12×（﹣m2﹣
51
4
m﹣9+9）﹣
1
2
×12×9
＝﹣6m2﹣72m
＝﹣6（m+6）2+216，
∵﹣6＜0，
∴m＝﹣6时，△ABM的面积最大，此时M（﹣6，31.5）．
（3）①如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．
∵EF垂直平分线段BD，
∴FD＝FB，
∵F（﹣12，﹣10），B（0，﹣9），
∴102+（m+12）2＝122+12，
∴m＝﹣12﹣55
∴D（﹣50）．
当点F在线段AC上时，同法可得D（﹣3，0），
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣50）或（﹣3，0）．
故答案为（﹣50）或（﹣3，0）．
②由①可知∵△EF的面积为30，
∴D（﹣3，0），E（0，﹣4），
把D，E代入y＝﹣x2+b′x+c′，
可得'
493''0c b c =-⎧⎨--+=⎩
， 解得：13'3'4
b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，
∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣
133x ﹣4． 故答案为：y ＝﹣x 2﹣
133
x ﹣4． 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
9．如图，已知二次函数22(0)y ax ax c a 的图象与x 轴负半轴交于点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B ，顶点为P ，且OB=3OA ，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B ．
(1) 求一次函数解析式；
(2)求顶点P 的坐标；
(3)平移直线AB 使其过点P ，如果点Ｍ在平移后的直线上，且3tan 2OAM ∠=
，求点M 坐标；
(4)设抛物线的对称轴交x 轴与点E ，联结AP 交y 轴与点D ，若点Q 、N 分别为两线段PE 、PD 上的动点，联结QD 、QN ，请直接写出QD+QN 的最小值．
【答案】(1) 一次函数的解析式为：y=3x+3
(2)顶点P 的坐标为（1，4）
(3) M 点的坐标为：15,2(,39⎛⎫- ⎪⎝⎭或 23-
） （445【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的解析式即可得出B （0，3），根据OB=3OA ，可求出OA 的长，也就得出了A 点的坐标，然后将A 、B 的坐标代入直线AB 的解析式中，即可得出所求；
（2）将（1）得出的A 点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a 的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P 点的坐标；
（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M 点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M 作x 轴的垂线设垂足为E ，在构建的直角三角形AME 中，可用M 点的坐标表示出ME 和AE 的长，然后根据∠OAM 的正切值求出M 的坐标．（本题要分M 在x 轴上方和x 轴下方两种情况求解．方法一样．）
（4）作点D 关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N ⊥PD 于点N ，根据垂线段最短求出QD+QN 的最小值．
【详解】
(1)∵A （-1，0）,∴OA=1
∵OB=3OA ，∴B （0，3）
∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3
(2)∵二次函数22(0)y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交与点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B （0，3），
∴c=3,a=-1
∴二次函数的解析式为：223y x x =-++
∴抛物线223y x x =-++的顶点P （1，4）
(3)设平移后的直线的解析式为：3y x b =+
∵直线3y x b =+过P （1，4）
∴b=1
∴平移后的直线为31y x =+
∵M 在直线31y x =+，且3tan 2OAM ∠=
设M （x,3x+1）
① 当点M 在x 轴上方时，有
31312x x +=+，∴13x = ∴11,23M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
②当点M 在x 轴下方时，有31312x x +-
=+，∴59x =- ∴25(,9M - 23
-） (4)作点D 关于直线x=1的对称点D’，过点D’作D’N ⊥PD 于点N
当-x 2+2x+3=0时，解得，x=-1或x=3，
∴A （-1，0），
P 点坐标为（1，4），
则可得PD 解析式为：y=2x+2， 令x=0，可得y=2
，
∴D （0，2），
∵D 与D′关于直线x=1对称，
∴D′（2，2）．
根据ND′⊥PD ，
设ND′解析式为y=kx+b ，
则k=-12，即y=-12
x+b ， 将D′（2，2）代入，得2=-
12×2+b ，解得b=3， 可得函数解析式为y=-12
x+3， 将两函数解析式组成方程组得：13222
y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩， 解得25145x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 故N （214 ,)55
， 由两点间的距离公式：d=22214452255⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， ∴所求最小值为45
【点睛】
本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、函数图象的平移等知识点．同时考查了应用轴对称和垂线段最短解决线段和的最小值问题．
10．如图，经过原点的抛物线2
y ax x b =-+与直线2y =交于A ，C 两点，其对称轴是
直线2x =，抛物线与x 轴的另一个交点为D ，线段AC 与y 轴交于点B ．
（1）求抛物线的解析式，并写出点D 的坐标；
（2）若点E 为线段BC 上一点，且2EC EA -=，点(0,)P t 为线段OB 上不与端点重合的动点，连接PE ，过点E 作直线PE 的垂线交x 轴于点F ，连接PF ，探究在P 点运动过程中，线段PE ，PF 有何数量关系？并证明所探究的结论；
（3）设抛物线顶点为M ，求当t 为何值时，DMF ∆为等腰三角形？
【答案】（1）214y x x =
-；点D 的坐标为(4,0)；（2）5PF PE =，理由见解析；（3）51t +=
98t = 【解析】
【分析】
（1）先求出a 、b 的值，然后求出解析式，再求出点D 的坐标即可；
（2）由题意，先求出点E 的坐标，然后证明Rt Rt PBE FHE ∆∆∽，得到2EF PE =，结合勾股定理，即可得到答案；
（3）根据题意，可分为三种情况进行分析：FM FD =或DF DM =或FM MD =，分别求出三种情况的值即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线2y ax x b =-+经过原点， ∴0b =．
又抛物线的对称轴是直线2x =， ∴122a --=，解得：14
a =． ∴抛物线的解析式为：214y x x =
-． 令2104
y x x =-=， 解得：10x =，24x =．
∴点D 的坐标为(4,0)．
（2）线段PE 、PF 的数量关系为：5PF PE =．
证明：由抛物线的对称性得线段AC 的中点为(2,2)G ，
如图①，AE EG GC +=，
∴EG GC AE =-，
∴EG EG EG GC AE EC EA +=+-=-，
∵2EC EA -=，
∴1EG =，
∴(1,2)E ，
过点E 作EH x ⊥轴于H ，则2EH OB ==．
∵PE EF ⊥，∴90PEF ∠=︒，
∵BE EH ⊥，∴90BEH ∠=︒．
∴PEB HEF ∠=∠．
在Rt PBE ∆与Rt FHE ∆中，
∵PEB HEF ∠=∠，90EHF EBP ∠=∠=︒，
∴Rt Rt PBE FHE ∆∆∽，
∴12
PE BE EF HE ==， ∴2EF PE =． 在Rt PEF ∆中，由勾股定理得：222222(2)5PF PE EF PE PE PE =+=+=，
∴5PF PE =．
（3）由2211(2)144
y x x x =-=--， ∴顶点M 坐标为(2,1)-．
若DMF ∆为等腰三角形，可能有三种情形：
（I ）若FM FD =．如图②所示：
连接MG 交x 轴于点N ，则90MNF ∠=︒，
∵(4,0)D ， ∴2222125MD MN ND =+=+=．
设FM FD k ==，则2NF k =-．
在Rt MNF ∆中，由勾股定理得：222NF MN MF +=，
∴22(2)1k k -+=，
解得：54k =
， ∴54FM =，34
NF =， ∴1MN =，即点M 的纵坐标为1-；
令1y =-，则
2114
x x -=-， ∴2x =，即ON=2，
∴OF=114， ∴11,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． ∵(1,2)E ，
∴1,2BE BP t ==-，
∴221(2)PE t =+-，
∴251(2)PF t =•+-，
在Rt △OPF 中，由勾股定理，得
222OP OF PF +=,
∴22211(
)55(2)4t t +=+-， ∴98
t =． （II ）若DF DM =．如图③所示：
此时5FD DM ==
∴45OF =，
∴(4F ，
由（I ）知，PE =，PF =
在Rt △OPF 中，由勾股定理，得
222OP OF PF +=，
∴222(455(2)t t +-=+-
∴t =． （III ）若FM MD =．由抛物线对称性可知，此时点F 与原点O 重合．
∵PE EF ⊥，点P 在直线AC 上方，与点P 在线段OB 上运动相矛盾，
故此种情形不存在．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理等知识，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。