2019届浙江省十校联盟高三下学期4月高考适应性考试数学试题(解析版)

2019届浙江省十校联盟高三下学期4月高考适应性考试数学试题
一、单选题
1．已知集合{
}
{}
2
340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =I ð( ) A ．()1,3- B ．[]1,3- C ．[]1,4- D ．()1,4-
【答案】B
【解析】先由2340x x -->得4x >或1x <-，再计算R ()ðA B I 即可. 【详解】
由2340x x -->得4x >或1x <-，
()(),14,A ∴=-∞-⋃+∞，[]R 1,4ðA =-,
又{}
13B x x =-≤≤，[]R ()1,3A B ∴=-I ð. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力. 2．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A
．0x ±= B ．20x y ±= C
．0y ±= D ．20x y ±=
【答案】A
【解析】将双曲线方程化为标准方程为22
112y x -=，其渐近线方程为22
1
2
y x -=，化简整理即得渐近线方程. 【详解】
双曲线22
:21C x y -=得22
112y x -=，则其渐近线方程为22
01
2
y x -=，
整理得0x ±=.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.
3．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )
A ．15π2cm
B ．21π2cm
C ．24π2cm
D ．33π2cm
【答案】C
【解析】由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，据此可计算出答案. 【详解】
由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，
∴该几何体的表面积233524S πππ=⨯+⨯⨯=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键. 4．若复数12bi
z i
-=
+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( ) A ．3 B ．3±
C ．3-
D ．3【答案】C
【解析】利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.
()221125
b b i
bi z i --+-=
=
+，又z 的实部与虚部相等， 221b b ∴-=+，解得3b =-.
故选:C 【点睛】
本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.
5．将函数2()22cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标
不变），再向右平移
8
π
个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．3,18⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
π C ．3,08⎛⎫
-
⎪⎝⎭
π D ．3,18⎛⎫
- ⎪⎝⎭
π 【答案】D
【解析】先化简函数解析式,再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律,可得所求函
数的解析式为2
2sin 13
4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,再由正弦函数的对称性得解.
【详解】
222cos y x x =-Q
()
21cos 2x x =-+2sin 216x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭,
∴将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为
2
2sin 13
6y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,
再向右平移
8
π
个单位长度,所得函数的解析式为 22sin 1386y x ππ⎡⎤
⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
2
2sin 13
4x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,
233,3428
x k x k k Z ππ
ππ-=⇒=+∈， 0k =可得函数图象的一个对称中心为3,18⎛⎫
- ⎪⎝⎭
π，故选D.
三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．
6．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不
必要 【答案】B
【解析】根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】
对于充分性：若αβ⊥，则,m n 可以平行，相交，异面，故充分性不成立； 若//m n ，则,n n αβ⊥⊂，可得αβ⊥，必要性成立. 故选：B 【点睛】
本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论. 7．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为
X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( )
A ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】A
【解析】根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】
由题可知1P X p ==，21P X p p ==-，
()()()()232
3111P X p p p p ==-+-=-，则
()()()()()()2
1232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3
解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭
， 答案选A 【点睛】
本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功
8．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如
下结论：①()f x 在()+-∞∞，
上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④
【答案】C
【解析】分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性. 【详解】
（1）当00x y ≥≥，时，22
1x y +=-，此时不存在图象；
（2）当00，x y ≥<时，22
1-y x =，此时为实轴为y 轴的双曲线一部分； （3）当00，x y <≥时，22
1x y -=，此时为实轴为x 轴的双曲线一部分；
（4）当00，x y <<时，22
1x y +=，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分；
画出()y f x =的图象，
由图象可得：
对于①，()f x 在()+-∞∞，
上单调递减，所以①正确； 对于②，函数()y f x =与y x =-的图象没有交点，即()()F x f x x =+没有零点，所以②错误；
对于③，由函数图象的对称性可知③错误；
对于④，函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则1x x y y +=-中用x -代替x ，用y -代替y ，可得1y y x x +=，所以④正确. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.
9．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )
A ．αγβ>>
B ．αβγ=>
C ．γβα>>
D ．αβγ>=
【答案】B
【解析】利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】
如图，1111111，D C CC C E AC ==，设O 为11A C 的中点，1O 为11C E 的中点， 由图可知过1AB 且与1BC 平行的平面α为平面11AB D ，所以直线l 即为直线1AD ， 由题易知，11，D AB O CB ∠∠的补角，1D AC ∠分别为αβγ，，， 设三棱柱的棱长为2，
在1D AB ∆中，1125225，，D B AB AD ===
2
2
1
25425
55cos cos 2225
D AB α+-∠=
=
∴=⨯⨯；
在1O BC ∆中，11
1125，，O B BC OC === (2
2
1
541155cos cos 225
O CB β+-
∠=
=∴=⨯⨯； 在1D AC ∆中，114225，，CD AC AD ===
155cos cos 55
25
D AC α∠=
=
∴=
， cos cos cos ，αβγαβγ=<∴=>Q .
故选：B 【点睛】
本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.
10．已知正项数列{}{},n n a b 满足：110n n n
a a
b +=+⎧⎨，设n n a
c b =，当34c c +最小时，
5c 的值为( )
A ．2
B ．
145
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】由1110n n n
n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得119
11n n
n n a a b b ++=++，即1911n n c c +=++，所以得34339
11
c c c c +=+++，利用基本不等式求出最小值，得到32c =，再由递推公式求出5c .
【详解】
由11
10n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得
1110
109111n
n n n n n n n n n
n n
a a a
b b a a b a b b b ++++===++++，
即19
11
n n c c +=+
+， 34339
161
c c c c ∴+=++
≥+，当且仅当32c =时取得最小值， 此时45349914
141115
，c c c c =+==+=++. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.
二、双空题
11．“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第n 天所织布的尺数为n a ，则14151617+++=a a a a ______． 【答案】
16
52
【解析】设从第2天开始,每天比前一天多织d 尺布,由等差数列前n 项和公式求出
16
29
d =
,由此利用等差数列通项公式能求出14151617a a a a +++. 【详解】
设从第2天开始,每天比前一天多织d 尺布, 则303029
3053902
S d ⨯=⨯+=, 解得16
29d =
,即每天增加的数量为1629
， 14151617111113141516a a a a a d a d a d a d ∴+++=+++++++ 1458a d =+ 16
45585229=⨯+⨯
=，故答案为1629
，52. 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
12．已知8
2(0)ax a
⎛
+> ⎝
的展开式中各项系数之和为256，则a =________，展
开式中6x 的系数为________. 【答案】1 70
【解析】（1）由题知当1x =时，()8
1256a +=，解得1a =； （2）可得5162
1
8
r
r r T C x
-+=，由5
1662
r -
=得4r =，即可得展开式中6x 项的系数. 【详解】
（1）由8
2(0)ax a
⎛
> ⎝
的展开式中各项系数之和为256，
所以令1x =时，()8
1256a +=，解得1a =， （2）又5162
1
8
r
r r T
C x
-+=，由5
1662
r -
=得4r =， 所以展开式中6x 项的系数为4
870C =.
故答案为：(1). 1 (2). 70 【点睛】
运算.
13．若实数,x y 满足约束条件1010570x y x y x y -+≥⎧⎪
++≥⎨⎪+-≤⎩
，则该不等式组表示的平面区域的面积为
________，目标函数32z x y =-的最小值为
________. 【答案】6 2-
【解析】（1）由约束条件画出可行域，然后求出不等式组表示的平面区域的面积； （2）利用目标函数的几何意义，结合图形求其最小值. 【详解】
（1）由题意得，该不等式组表示的平面区域是直角三角形及其内部区域（如图中阴影部分所示），顶点分别为()()()1,01,22,3，，A B C --，且
2232，，AB AC AB AC ⊥==，所以
1
223262
ABC S ∆=⨯⨯=；
（2）又32,0
32=32,0
x y x z x y x y x -≥⎧=-⎨
--<⎩，
由图知目标函数在点()0,1处取得最小值，所以min 2z =-， 故答案为：(1). 6 (2). 2- 【点睛】
本题主要考查二元一次不等式组的平面区域的面积计算，目标函数的最值问题，考查了数形结合的思想.
r r r r
r r r r r
【答案】2 1
【解析】（1）2a b +=
r r
（2）由()b ta b ⊥+r r r 得2
()0b ta b ta b b ⋅+=⋅+=r r r ，代入解方程可得t .
【详解】
（1）22a b +=
=
=r r
；
（2）由()b ta b ⊥+r r 得2
()0b ta b ta b b ⋅+=⋅+=，所以10t -=得1t =. 故答案为：(1). 2 (2). 1 【点睛】
本题主要考查了向量模的计算，向量垂直的性质运用.
三、填空题
15．已知椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左右焦点分别为12F F 、，过2(1,0)F 且
斜率为1的直线交椭圆于A B 、，若三角形1F AB 2，则该椭圆的离心率为________.
1
【解析】由题得直线AB 的方程为1x y =+，代入椭圆方程得：
()2
22222220a
b y b y b a b +++-=，
设点()()1122,,A B x y x y ，，则有2222
1212222
2
2，b b a b y y y y a b a b
--+==++，由
1212121
2
F AB S F F y y ∆=⨯⨯-=，且221a b -=解出a ，进而求解出离心率.
【详解】
由题知，直线AB 的方程为1x y =+，代入22
221x y a b
+=消x 得：
()2
22222220a
b y b y b a b +++-=，
设点()()1122,,A B x y x y ，，则有2222
1212222
2
2，b b a b y y y y a b a b
--+==++，
12
y y
∴-===，
而
1
2
121222
112
2
22
F AB
S F F y y
a b
∆
=⨯⨯-=⨯⨯=
+
，又221
a b
-=，
解得：a=
，所以离心率
1
2
c
e
a
===
.
1
【点睛】
本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算与离心率的求解，考查了学生的运算求解能力
16．安排4名男生和4名女生参与完成3项工作，每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的安排方式共有________种（用数字作答）.
【答案】1296
【解析】先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.
【详解】
由于每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分
成三组，所以男生的排法共有23
43
36
C A=，同理女生的排法共有23
43
36
C A=，故不同的
安排共有2323
4343
1296
C A C A
⋅=种.
故答案为：1296
【点睛】
本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.
17．已知
1
()()
f x x a a R
x
=+-∈，若存在
123
1
,,,,[,2]
2
n
x x x x
⋅⋅⋅∈，使得121
()()()
n
f x f x f x
-
++⋅⋅⋅+()
n
f x
=成立的最大正整数n为6，则a的取值范围为
________.
【答案】
15191321
[)(,]
81058
⋃
，
【解析】由题意得
()()
()()
min max
min max
5
6
f x f x
f x f x
⎧≤
⎪
⎨
>
⎪⎩
，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.
【详解】
原问题等价于()()()()min max
min max
56f x f x f x f x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，
当2a <时，函数图象如图
此时()()min max 5
22
，f
x a f x a =-=
-， 则()()5522
5622a a a a
⎧
-≤-⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩
，解得：1519810a ≤<； 当9
24
a ≤<
时，函数图象如图
此时()()min max 5
02
，f x f x a ==
-， 则55025602a a
⎧⨯≤-⎪⎪⎨⎪⨯>-⎪⎩
，解得：a ∈∅；
当
95
42
a ≤<时，函数图象如图
此时()()min max 02，f x f x a ==-， 则502
602
a a ⨯≤-⎧⎨
⨯>-⎩，解得：a ∈∅；
当5
2
a ≥
时，函数图象如图
此时()()min max 522
，f x a f x a =-=-，
则5522562
2a a a a ⎧⎛⎫-≤- ⎪⎪⎪⎝
⎭⎨⎛⎫⎪->- ⎪⎪⎝
⎭⎩，解得：132158a <≤； 综上，满足条件a 的取值范围为15191321[)(,]81058
⋃，. 故答案为：15191321
[)(,]81058
⋃， 【点睛】
本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想.
四、解答题
18．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别是,,,a b c 其中2,3a c ==. （1）若角A 为锐角，且3
sin 3
C =
，求sin B 的值； （2）设2()3cos 3cos f C C C C =+，求()f C 的取值范围.
【答案】（1）
615
9
；（2）33,322⎡+⎢⎣.
【解析】（1）由正弦定理直接可求sin A ，然后运用两角和的正弦公式算出sin B ；
（2）化简()3
232
f C C π⎛
⎫=+
+ ⎪⎝
⎭，由余弦定理得22211cos 24a b c C b ab b +-⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭
，利用基本不等式求出1cos 2C ≥，确定角C 范围，
进而求出()f C 的取值范围. 【详解】
（1）由正弦定理，得：
sin sin a c
A C
=
sin 2
sin 3
a C A c ∴=
= sin sin C A ∴<，且A 为锐角
cos ,cos 33
C A ∴=
=
sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C ∴=+=+=
（2）()1cos 21323sin 2cos 222222C f C C C C ⎫+=+⨯=++⎪⎪⎭
3
232C π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
222111
cos 242
a b c C b ab b +-⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭Q
0,3C π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦
233C+πππ⎛⎤
∴∈ ⎥⎝⎦，
[]
sin 20,13C π⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭()33,22f C ⎡∴∈+⎢⎣
【点睛】
本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式的应用，三角函数的值域等，考查了学生运算求解能力.
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，
90ABC ∠=o ，1AD =，2PA AB BC ===，M 是棱PB 中点.
（1）已知点E 在棱BC 上，且平面//AME 平面PCD ，试确定点E 的位置并说明理由；
（2）设点N 是线段CD 上的动点，当点N 在何处时，直线MN 与平面PAB 所成角最大？并求最大角的正弦值.
【答案】（1）E 为BC 中点，理由见解析；（2）当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 所成角最大，最大角的正弦值
35
7
. 【解析】(1)E 为BC 中点,可利用中位线与平行四边形性质证明//ME PC ，
//AE DC ，从而证明平面//AME 平面PCD ；
（2）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 所成角最大，并可求出最大角的正弦值. 【详解】
（1）E 为BC 中点，证明如下：
Q M E 、分别为,PB BC 中点，
//ME PC ∴
又ME ⊄Q 平面,PDC PC ⊂平面PDC
//ME ∴平面PDC
又//EC AD Q ，且EC AD =∴四边形EADC 为平行四边形，
//AE DC ∴
同理，//AE 平面PDC ，又AE ME E ⋂=Q
∴平面//AME 平面PDC
（2）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐
标系
则(000),(020),(220),(100),(002)A B C D P ，
，，，，，，，，，，()011M ，， 设直线MN 与平面PAB 所成角为θ，()01DN DC λλ=≤≤u u u r u u u r
则
)(1211MN MA AD DN λλ=++=+--u u u u v u u u v u u u v u u u v
，， 取平面PAB 的法向量为(1,0,0)n =r
则
2
222(1)sin cos ,523(1)(21)1
=MN n λθλλλλ+<>=
=-+++-+u u u u r r
令[]11,2+=t λ∈，则22222(1)15
11
523523710()125t =t t t t
λλλ+=≤
-+-+-+ 所以35
sin θ≤ 当52
33
t λ=
⇔=时，等号成立 即当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 所成角最大，最大35
. 【点睛】
本题主要考查了平面与平面的平行，直线与平面所成角的求解，考查了学生的直观想象与运算求解能力.
20．若数列{}n a 前n 项和为{}n S ，且满足()21
n n t
S a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠）
（1）求数列{}n a 的通项公式：
（2）设1n n b S =-，且数列{}n b 为等比数列，令3log n n n c a b =，.求证：
1232
n c c c ++⋯+<
. 【答案】（1）2n
n a t =（2）详见解析
【解析】（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 的递推关系，从而可求其通项. （2）由{}n b 为等比数列可得1
3
t =
，从而可得{}n c 的通项，利用错位相减法可得{}n c 的前n 项和，利用不等式的性质可证1232
n c c c ++⋯+<. 【详解】
（1）由题意，得：()21
n n t
S a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠）
， 当1n =时，得()1121
t
S a t =
--，得12a t =. 由()()1
1212(2)1n n n n t S a t t S a n t --⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-≥⎪-⎩
，
故()111
n n n n n t
S S a a a t ---==
--，1(2)n n a ta n -∴=≥，故2n n a t =. （2）由()()211221111
n
n n n t t b S t t t t =-=-
-=----， 由{}n b 为等比数列可知：2
213b b b =，又
22312312,122,1222b t b t t b t t t =-=--=---，故
()()()2
223122121222t t t t t t --=----，化简得到3262t t =，
所以1
3
t =
或0t =（舍）. 所以，12,33n
n n n b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，则3212log 333n
n n n n c ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭=. 设{}n c 的前n 项和为n T .则12242333
n
n n
T =
++⋯+ 23112423333
n n n
T +=++⋯+，相减可得
12323
32232
n n n n T c c c +=+++=
-<⋅L 【点睛】
数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系
式实现{}n a 与n S 之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
21．已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，点P 在抛物线上，直线PF 与抛物线C 交于另一点A .
（1）设直线MP ，MA 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +常数；
（2）①设PMA ∆的内切圆圆心为(,)G a b 的半径为r ，试用r 表示点G 的横坐标a ； ②当PMA ∆的内切圆的面积为
1
2
π时，求直线PA 的方程. 【答案】（1）证明见解析；（2）①24r a =；②34
108
x y ±-=.
【解析】（1）设过F 的直线1x my =+交抛物线于11(,)P x y ，22(,)A x y ，联立2
4y x =，利用直线的斜率公式和韦达定理表示出12k k +，化简即可；
（2）由（1）知点G 在x 轴上，故(),0G a ，设出直线,PA PM 方程，求出交点P 坐标，因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径，列出方程组求解即可. 【详解】
（1）设过F 的直线1x my =+交抛物线于11(,)P x y ，22(,)A x y ，(1,0)M -
联立方程组214x my y x
=+⎧⎨=⎩，得：2
440y my --=.
于是，有：121244
y y m
y y +=⎧⎨
⋅=-⎩ 12122112
12121212111
y y y x y x y y k k x x x x x x +++∴+=
+=+++++， 又12211212121211
()()(4)44044
y x y x y y y y y y y y m m +++=
⋅+++=⋅-⋅+=， 120k k ∴+=；
（2）①由（1）知点G 在x 轴上，故(),0G a ，联立,PA PM 的直线方程：1
1x my x ny =+⎧⎨
=-⎩
.
2,m n P n m n m +⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭
，又点P 在抛物线24y x =上，得221n m -=，
(
)()()
()()
222222
222
11411r m a r r n m a r n a ⎧+=-⎪==⇒⇒-=⎨+=+⎪⎩， 2
4
r a ∴=；
②由题得，2
2112
28
S r r a π
π==⇒=
⇒= （解法一）
()2
2111128+m ⎛⎫
⇒=- ⎪⎝⎭
m ⇒= 所以直线PA
的方程为10x y -= （解法二）
设内切圆半径为r
，则2
r =
.设直线PM 的斜率为k ，则： 直线MP 的方程为：(1)y k x =+代入直线PA 的直线方程，
可得12(
,)11mk k
P mk mk
+--
于是有：221(
)411k mk
mk mk
+=⋅--， 得2
2
(1)1k m +=，
又由（1）可设内切圆的圆心为(,0).t
则2==，
即：2222212(1)2(1)1m t k t k ⎧+=-⎨+=+⎩
，解得：18t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以，直线PA
的方程为：10x y ±
-=. 【点睛】
本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线相关的综合问题的求解，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.
22．已知函数2()ln (0)，f x x bx a x a b R =-+>∈.
（1）设2b a =+，若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且121x x ->，求证：12()()34ln 2f x f x ->-；
（2）设()()g x xf x =，()g x 在[1,]e 不单调，且124b e a
+
≤恒成立，求a 的取值范围.（e 为自然对数的底数）. 【答案】（1）证明见解析；（2
）⎢⎥⎣⎦
. 【解析】（1）先求出()f x '，又由121x x ->可判断出()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，故()()212ln 142
a a f x f x a -=--，令22a t =>，记()22ln 1h t t t t =--， 利用导数求出()h t 的最小值即可；
（2）由()g x 在[]1,e 上不单调转化为()0g x '=在()1,e 上有解，可得
23ln 2x a x a b x
++=，令()ln 13a a x F x x x a +=++，分类讨论求()F x 的最大值，再求解()max 4F x e ≤即可.
【详解】
（1）已知22(0),()ln b a a f x x bx a x =+>=-+，
(1)(2)()2a x x a f x x b x x
--'∴=-+=， 由()0f x '=可得1212
a x x ==，， 又由121x x ->,知22
a > ()f x ∴在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减， ()()
()2121ln 1242a a a f x f x f f a ⎛⎫∴-=-=-- ⎪⎝⎭ 令22
a t =>，记()22ln 1h t t t t =--，则()22ln 2h t t t '=-- 22(1)()20t h t t t
-''∴=-=>()h t '∴在()2+∞，上单调递增； ()(2)2(1ln 2)0h t h ''∴>=->，()h t ∴在()2+∞，上单调递增；
()(2)34ln 20h t h -∴>=>，
12()()34ln 2f x f x ∴->-
（2）32()ln g x x bx ax x =-+，2()32ln g x x bx a x a '∴=-++，
()g x Q 在[]1,e 上不单调，
()g x '∴在()1,e 上有正有负，()0g x '∴=在()1,e 上有解，
23ln 2x a x a b x
++∴=，(1,)x e ∈， 124b e a
+≤Q 恒成立， 记()ln 13a a x F x x x a +=++，则()2223ln 3ln x a x x F x a x a x -⎛⎫'==- ⎪⎝⎭
， 记2ln ()x G x x =，3
12ln ()x G x x -'∴=，
()G x ∴在(上单调增，在
)e 上单调减.
max 1()2G x G e
==
于是知
（i ）当
312a e
≥即6a e ≤时，()0F x '≥恒成立，()F x 在()1,e 上单调增， ()2134a F e e e e a ∴=++≤，
22
20a e a e ∴-+≤，a ≤≤. （ii ）当6a e >时，
1
4
F e a =+>=>，故不满足题意.
综上所述，a ∈⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.。