2019高考数学(理)全程备考二轮练习：课时跟踪检测(十五)+“专题四”补短增分(综合练)+word版含解析

课时跟踪检测（十五） “专题四”补短增分（综合练）
A 组——易错清零练
1．(2018·福建龙海程溪中学期末)3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( )
A ．2
B ．9
C ．72
D ．36
解析：选C 可分两步：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A 22种排法；
第二步，对男生、女生“内部”分别进行排列，女生“内部”的排法有A 33种，
男生“内部”的排法有A 3
3种．
所以排法种数为A 22×A 33×A 3
3＝72.
2．(2018·兰州模拟)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：
根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^
＝6.5x ＋17.5，则表中m 的值为( )
A ．45
B ．50
C ．55
D ．60
解析：选D ∵x －＝2＋4＋5＋6＋8
5＝5，
y －＝30＋40＋50＋m ＋705＝190＋m 5，
∴当x －＝5时，y －
＝6.5×5＋17.5＝50， ∴190＋m 5
＝50，解得m ＝60.
3．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组数据的频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生人数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为________．
解析：前三组人数为100－62＝38，第三组人数为38－(1.1＋0.5)×0.1×100＝22，则a ＝22＋0.32×100＝54.
答案：54
4．在边长为2的正方形ABCD 内任取一点M ，满足MA ―→·MB ―→
≤0的概率为________． 解析：在边长为2的正方形ABCD 内任取一点M ，满足MA ―→·MB ―→≤0即满足90°≤∠AMB ≤180°的点M 所在的区域为如图所示的阴影部分．根据几何概型的概率计算公式，得MA ―→·MB ―→
≤0的概率为1
2×π×122×2
＝π8.
答案：π
8
5．某小区有两个相互独立的安全防范系统甲和乙，系统甲和系统乙在任意时刻发生故障的概率分别为1
8和p .若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为0.25，则p ＝
________.
解析：记“系统甲发生故障”、“系统乙发生故障”分别为事件A ，B ，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件C ，则P (C )＝P (A －)P (B )＋P (A )P (B －
)＝⎝⎛⎭⎫1－18·p ＋18·(1－p )＝0.25，解得p ＝1
6
.
答案：1
6
B 组——方法技巧练
1．点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋
b －4≤0，a >0，b >0内的任意一点，则使函数f (x )＝ax 2－2bx ＋3在区
间⎣⎡⎭
⎫1
2，＋∞上是增函数的概率为( )
A.13
B.23
C.12
D.14
解析：选A 作出不等式组表示的平面区域如图所示，可行域为△OAB
及其内部(不包括边OA ，OB )，其中A (0,4)，B (4,0)．若函数f (x )＝ax 2－2bx ＋3在区间⎣⎡⎭⎫1
2，＋∞上是增函数，则⎩⎨⎧
a >0，－－2
b 2a ≤1
2，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，
a －2
b ≥0，
则满足条件的(a ，b )所在区域为△OBC 及其内部(不包括边OB )．
由⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b －4＝0，
a －2
b ＝0，得⎩⎨⎧
a ＝8
3
，b ＝43，
∴C ⎝⎛⎭⎫83，43，∴S △OBC ＝12×4×43＝83，又S △OAB ＝12
×4×4＝8，∴所求的概率P ＝S △OBC S △OAB ＝1
3
.
2．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为( )
A ．16
B ．18
C ．32
D ．72
解析：选D 因为对空位有特殊要求，先确定空位，假设7个车位分别为1234567，先研究恰有3个连续空位的情况，若3个连续空位是123或567，另一个空位各有3种选法，
车的停放方法有A 33种，故停放方法有2×3×A 3
3＝36(种)；若3个连续空位是234或345或
456，另一个空位各有2种选法，车的停放方法依然有A 33种，因此此种情况下停放方法有
3×2×A 33＝36(种)，从而不同的停放方法共有72种．
3．(2019届高三·皖南八校联考)将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个6点”，则条件概率P (A |B )，P (B |A )分别是( )
A.6091，1
2 B.12，6091 C.518，6091
D.91216，12
解析：选A P (A |B )的含义是在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91种情况，“至少出现一个6
点，且三个点数都不相同”共有C 1
3×5×4＝60种情况，所以P (A |B )＝6091.P (B |A )的含义是在
“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”的概率，三个点数都不同，有6×5×4＝120种情况，所以P (B |A )＝1
2
.
4．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x －甲，x －乙，则x －甲＞x －
乙的概率是________．
解析：由茎叶图知x －乙＝86＋87＋91＋92＋945＝90，x －
甲＝84＋87＋85＋99＋90＋x 5＝89
＋x 5.污损处可取数字0,1,2，…，9，共10种，而x －甲＞x －
乙时，污损处对应的数字有6,7,8,9，共4种，故x －甲＞x －
乙的概率为410＝25
.
答案：2
5
C 组——创新应用练
1．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内接正方形边长为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内接正方形内的概率是( )
A.60289
B.90289
C.120289
D.240289
解析：选C 如图，设Rt △ABC 的两直角边长分别为a ，b ，其内接
正方形CEDF 的边长为x ，
则由△ADF ∽△ABC ，得AF AC ＝DF
BC ，
即a －x a ＝x b ，解得x ＝ab a ＋b
.
从而正方形CEDF 的面积为S 正方形CEDF ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫ab a ＋b 2
，
又Rt △ABC 的面积为S △ABC ＝ab
2，所以所求概率P ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫ab a ＋b 2ab 2
＝2ab
(a ＋b )2＝2×5×12(5＋12)2＝120289
，故选C.
2．(2018·广东韶关调研)我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )
A.1415
B.1315
C.29
D.79
解析：选A 从10部名著中选择2部名著的方法数为C 210＝45(种)，所选的2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为C 27＝21(种)，
只有1部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为C 17C 1
3＝21(种)，
于是事件“所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著”的概率P ＝4245＝1415
.
3．国际教育信息化会议在山东青岛开幕，为了解哪些人更关注国际教育信息化会议，某机构随机抽取了年龄在25～75岁之间的100人进行调查，经统计“青年”与“中老年”的人数之比为9∶11.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为关注国际教育信息化会议与年龄有关；
(2)现从抽取的“青年”中采用分层抽样的方法选取9人进行问卷调查，在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注国际教育信息化会议的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．
附：
K2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，其中n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)依题意可知，抽取的“青年”共有100×9
20
＝45(人)，“中老年”共有100－45
＝55(人)．
补全2×2列联表如下：
则K2的观测值k＝100×(20×15－30×35)
50×50×55×45
≈9.091.
因为9.091>6.635，
所以有99%的把握认为关注国际教育信息化会议与年龄有关．
(2)根据题意知选出的9人中关注该会议的人数为9×15
45＝3，不关注该会议的人数为9－3＝6，在这9人中再选取3人进行面对面询问，则X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝C36
C39＝
20
84＝
5
21，
P(X＝1)＝C13C26
C39＝
45
84＝
15
28，
P(X＝2)＝C23C16
C39＝
18
84＝
3
14，
P(X＝3)＝C33
C39＝
1
84.
所以X的分布列为
E(X)＝0×5
21
＋1×15
28
＋2×3
14
＋3×1
84
＝1.
4．某校倡议为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现负责老师统计了连续5天售出矿泉水的箱数和捐款箱中的收入情
况，列表如下：
20名的特困生获一等奖学金500元；综合考核21～50名的特困生获二等奖学金300元；综合考核50名以后的特困生不获得奖学金．
(1)若x 与y 成线性相关，则某天售出9箱矿泉水时，预计捐款箱中的收入为多少元？ (2)甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为25，获二等奖学金的概率均为1
3，不获得奖
学金的概率均为4
15，已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲、乙两名
学生所获得奖学金之和X 的分布列及数学期望．
附：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x －y
－
∑i ＝1
n x 2i －n x －
2
，a ^＝y －－b ^x －. 解：(1)由表得x －＝15×(7＋6＋6＋5＋6)＝6，y －＝1
5
×(165＋142＋148＋125＋150)＝146，
∑i ＝1
5
x 2i ＝49＋36＋36＋25＋36＝182，
∑i ＝1
5
x i y i ＝7×165＋6×142＋6×148＋5×125＋6×150＝4 420，
所以b ^＝
∑i ＝1
5
x i y i －5x －y
－
∑i ＝1
5x 2i
－5x －2
＝4 420－5×6×146182－5×62
＝20， a ^＝y －－b ^x －
＝146－20×6＝26，
所以线性回归方程为y ^＝20x ＋26，当x ＝9时，y ^
＝20×9＋26＝206，所以y 的估计值为206元．
(2)由题意得，X 的可能取值为0,300,500,600,800，1 000，则 P (X ＝0)＝415×415＝16
225
；
P (X ＝300)＝2×
415×13＝845
； P (X ＝500)＝2×25×415＝16
75；
P (X ＝600)＝13×13＝1
9；
P (X ＝800)＝2×25×13＝4
15；
P (X ＝1 000)＝25×25＝4
25.
则X 的分布列为
所以E (X )＝0×16225＋300×845＋500×1675＋600×19＋800×415＋1 000×4
25＝600.。