安徽省蚌埠市第一中学2018届高三上学期期中考试数学(文)试卷及答案

蚌埠市第一中学高三上学期期中考试
数学文
考试时间120分钟 试卷分值100分 命题人徐杰
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．已知集合{N |24}A x x =∈-<<， 1
{|
24}2
x B x =≤≤，则A B ⋂=（ ） A. {|12}x x -≤≤ B. {}1,0,1,2- C. {}1,2 D. {}0,1,2 2．已知i 为虚数单位，若复数1i
1i
t z -=
+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A. []1,1- B. ()1,1- C. (),1-∞- D. ()1,+∞
3．下列函数中，与函数3
y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）
A. y =
B. tan y x =
C. 1y x x
=+
D. e e x x y -=- 4．已知双曲线1C ： 22143x y -=与双曲线2C ： 22
143
x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A. 它们的焦距相等 B. 它们的焦点在同一个圆上
C. 它们的渐近线方程相同
D. 它们的离心率相等
5.在区间[中随机取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆2
2
(3)1x y -+=相交”发生的概率为（ ） A ．
12 B ．14 C. 16 D ．18
6．若倾斜角为α的直线l 与曲线4
y x =相切于点()1,1，则2cos sin2αα-的值为（ ） A. 12-
B. 1
C. 35-
D. 717
-
7．已知命题,p q 是简单命题，则“p ⌝是假命题”是“p q ∨是真命题”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要
8．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）
A. 1009
B. -1009
C. -1007
D. 1008 .
9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
163π
+ B. 112π+ C. 1123π+ D. 143
π+ 10．已知函数()()sin (0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则函数
()()cos g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（ ）
A. 5,02⎛⎫-
⎪⎝⎭ B. 1,06⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 11,06⎛⎫
- ⎪⎝⎭
11.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162
=的准线交于,A B
两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）
()A 2()B 2()C 4()D 8
12．若函数1
()sin 2sin 3
f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是
（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3
⎡
⎤--⎢⎥
⎣
⎦
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知()1,a λ=r ， ()2,1b =r ，若向量2a b +r r 与()8,6c =r
共线，则a =r
__________．
14.设,x y 满足约束条件0021x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩
，记3z x y =+的最小值为k ，则函数()2x k
f x e +=-的图像恒
过定点．
15.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知
，2A B ＝，则cos A =．
16．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，2AB =，1BC CD ==，60BCD ∠=o ，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为______________
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()2
12f x x mx =+（0m >）
，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在()f x 图象上，且()f x 的最小值为1
8
-.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足()(
)
1
22
12
1
n
n
n a n a a b +=
--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证： 1n T <.
18．（12分）如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上， PA 垂直与圆O 所在平面， G 为AOC ∆的垂心.
（1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；
（2）若22PA AB AC ===，点Q 在线段PA 上，且2PQ QA =，求三棱锥P QGC -的体积.
19．（12分）2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为[)50,60， [)60,70，…， []90,100分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.
（1）求频率分布直方图中的x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；
（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.
20. （12分）已知点P 是圆()2
21:18F x y -+=上任意一点，点2F 与点1F 关于原点对称，线段2PF 的垂直平分线分别与1PF ，2PF 交于M ，N 两点. （1）求点M 的轨迹C 的方程； （2）过点
的动直线l 与点M 的轨迹C 交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使以AB
为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 21. （12分）已知函数()1f x x nx =． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）若
对任意的[3,5]m ∈恒成立，求实数k 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）选修4-4: 坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系．曲线C 的极坐标方程为2222
cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上． (1) 若直线l 与曲线C 交于A B 、两点，求||||FA BF ⋅的值； (2) 求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 23．（10分）选修4-5: 不等式选讲 已知函数()|21|1f x x x =+--． (1)求不等式()2f x <的解集；
(2) 若关于x 的不等式有解，求a 的取值范围．
一、选择题 1． D 2．B 3．D 4．D 5.B 6．D 7．A 8．B 9．C 10． C 11.C 12．C
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．
2
14. (2,1)-
15.
16．
三、解答题
17．已知函数()2
12f x x mx =
+（0m >）
，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在()f x 图象上，且()f x 的最小值为1
8
-.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足()(
)
1
22
12
1
n
n
n a n a a b +=
--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <.
【答案】（1）n a n =.（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）根据二次函数的最值可求得m 的值，从而可得211
22
n S n n =
+，进而可得
结果；（2）由（1）知()()
1
22121
n n n n b +==--111
2121n n +---，裂项相消法求和，放缩法即可证明. 试题解析：（1）()()22
122m f x x m =+-，
故()f x 的最小值为2128
m -=-. 又0m >，所以12m =
，即21122
n S n n =+. 所以当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=； 当1n =时，11a =也适合上式， 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =.
（2）证明：由（1）知()()
122121
n n n n b +==--111
2121n n +-
--， 所以11111113372121n n n T +=-+-++---L 1
1
121
n +=--， 所以1n T <.
18．如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心.
（1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；
（2）若22PA AB AC ===，点Q 在线段PA 上，且2PQ QA =，求三棱锥P QGC -的体积.
【答案】（1）见解析;（2）
3
27
. 【解析】试题分析：（1）延长OG 交AC 于点M ，先证明//OM BC ，再证明OM ⊥平面PAC ，即OG ⊥平面PAC ；（2）由（1）知OM ⊥平面PAC ，所以GM 就是点G 到平面PAC 的距离，
再证明133GM OM =
=，从而利用棱锥的体积公式可得结果. 试题解析：（1）如图，延长OG 交AC 于点M .
因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .
因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥. 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A ⋂=， 所以OM ⊥平面PAC ，即OG ⊥平面PAC .
又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC .
（2）解：由（1）知OM ⊥平面PAC ， 所以GM 就是点G 到平面PAC 的距离. 由已知可得，1OA OC AC ===， 所以AOC V 为正三角形， 所以3
OM =
又点G 为AOC V 的重心， 所以133GM OM =
= 故点G 到平面PQC 3
所以13P QGC G PQC PQC V V S --==
V 1233PAC GM S GM ⋅=⨯⋅V 21
2192
=⨯⨯⨯33627⨯=. 19．2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有
关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为[)50,60，[)60,70，…，[]
90,100分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.
（1）求频率分布直方图中的x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的
数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；
（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.
【答案】（1）0.02x =，平均数是74，中位数是1
733；（2）1200；（3）
1920
． 【解析】试题分析：（1）根据个矩形面积和为1可得第4组的频率为0.2，从而可得结果；（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.30.20.10.6++=，从而可得成绩不低于70分的人数；（3）根据分层抽样方法可得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1，列举出中任抽取3人的所有可能结果共20种，其中后两组中没有人被抽到的可能结果只有1种，由古典概型概率公式可得结果. （1）由频率分布直方图可得第4组的频率为10.10.30.3---0.10.2-=， 故0.02x =.
故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为
(550.01650.03⨯+⨯750.03850.02+⨯+⨯+950.01)1074⨯⨯=（分）.
由于前两组的频率之和为0.10.30.4+=，前三组的频率之和为0.10.30.30.7++=，故中位数在第3组中.
设中位数为t 分，
则有()700.030.1t -⨯=，所以1733
t =， 即所求的中位数为1733
分.
（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.30.20.10.6++=， 由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为20000.61200⨯=. （3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在[)70,80这组的3名学生分别为a ，b ，c ，成绩在[
)80,90这组的2名学生分别为d ，e ，成绩在[]
90,100这组的1名学生为f ，则从中任抽取3人的所有可能结果为(),,a b c ，(),,a b d ，
(),,a b e ，(),,a b f ，(),,a c d ，(),,a c e ，(),,a c f ，(),,a d e ，(),,a d f ，(),,a e f ，(),,b c d ，(),,b c e ，(),,b c f ，(),,b d e ，(),,b d f ，(),,b e f ，(),,c d e ，(),,c d f ，(),,c e f ，(),,d e f 共
20种.
其中后两组中没有人被抽到的可能结果为(),,a b c ，只有1种， 故后两组中至少有1人被抽到的概率为119
12020
P =-
=
. 20.已知点P 是圆()2
21:18F x y -+=上任意一点，点2F 与点1F 关于原点对称，线段2PF 的垂直平分线分别与1PF ，2PF 交于M ，N 两点. （1）求点M 的轨迹C 的方程； （2）过点
的动直线l 与点M 的轨迹C 交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使以AB
为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 20.解：(I)由题意得
∴点M 的轨迹C 为以21,F F 为焦点的椭圆
222,22,a c ==Q ∴点M 的轨迹C 的方程为
(II)直线l 的方程可设为
，设1122(,),(,),A x y B x y
联立
可得22
9(12)12160.k x kx ++-=
由求根公式化简整理得
假设在y 轴上是否存在定点),0(m Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点，则
BQ AQ ⊥∴即0.AQ BQ ⋅=u u u r u u u r
1122(,),(,),AQ x m y BQ x m y =--=--u u u r u u u r
Q
求得 1.m =-
因此，在y 轴上存在定点)1,0(-Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点.
21.已知函数()1f x x nx =．
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）若
对任意的[3,5]m ∈恒成立，求实数k 的取值范围．
21.解（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，'()11f x nx =+， 令'()0f x >，得；令'()0f x <，得
．
故当时，()f x 单调递减；当时，()f x 单调递增．
故当时，()f x 取得极小值，
且
，无极大值． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
要使对[3,5]m ∀∈恒成立， 只需对[3,5]m ∀∈恒成立，
即
，即
对[3,5]m ∀∈恒成立，
令，则，
故[3,5]m ∈时'()0g m >，所以()g m 在[3,5]上单调递增，
故
， 要使
对[3,5]m ∀∈恒成立， 只需
， 所以， 即实数k 的取值范围是．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4: 坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为2222
cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．
(1) 若直线l 与曲线C 交于A B 、两点，求||||FA BF ⋅的值；
(2) 求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．
22．(1) 曲线C 的直角坐标系方程为: ∴ ∴直线l 的参数方程为（t 为参数） 将代入得：2220t t --=
设A B 、两点所对应的参数为12,t t ，则122t t ⋅=-∴||||2FA FB ⋅=
(2) 设P 为内接矩形在第一象限的顶点 ， 则矩形的周长
∴当即()3,1P 时周长最大，最大值为16．
23．选修4-5: 不等式选讲
已知函数()|21|1f x x x =+--．
(1)求不等式()2f x <的解集；
(2) 若关于x 的不等式有解，求a 的取值范围．
23．（1）
∴不等式的解集为
（2）由（1）得()f x 在
上为减函数，在上为增函数
∴ ∴有解，只须
∴a 的取值范围为：13a -≤≤。