中考数学总复习讲义课件：核心素养专题三 阅读理解型问题

由此得出一个关于n－1 1，n＋1 1，n2之间数量关系的命题：
图3 若 n＞1，则___n_－_1_1_＋__n_＋_1_1_＞__n2_____；
(2)证明命题： 小东认为可以通过“若 a－b≥0，则 a≥b”的思路证明上述命题． 小晴认为可以通过“若 a＞0，b＞0，且 a÷b≥1，则 a≥b”的思路证明上述命题． 请你选择一种方法证明(1)中的命题． 解：(1)∵AE＋BG＝2CF，CF＞DF，AE＝n－1 1，BG＝n＋1 1，DF＝n1，∴n－1 1＋n＋1 1 ＞n2；
解：(1)证明：∵AB＝AC，AD 是△ABC 的角平分线， ∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＋∠DBA＝90°，
跟踪训练 1 答图 即∠FAB 与∠EBA 互余， ∴四边形 ABEF 是邻余四边形；
(2)如答图所示(答案不唯一)， 四边形 AFEB 为所求； (3)∵AB＝AC，AD 是△ ABC 的角平分线， ∴BD＝CD， ∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE， ∴CE＝CD＋DE＝5BE， ∵∠EDF＝90°，点 M 是 EF 的中点，
核心素养专题三 阅读理解型问题
这类问题一般由“阅读材料”和“提出问题”两个部分组成．通常是 先给出一段阅读材料(如某一问题的解答过程，对某知识点的讲解，对 特征 某一操作过程的描述等)，然后提出一个或几个相关问题，利用材料中 的思想方法来解答后面的问题 (1)方法模拟型；(2)新知识学习型； 类型 (3)信息处理型；(4)阅读操作型 阅读理解型试题没有固定的解题模式，只有系统掌握基础知识，注重 解题策 阅读过程，善于总结解题的方法规律，把握各种数学思想方法，遇到 略 这类问题时，才能针对问题的特点，灵活地加以处置
(3)联系拓广：如图③，在(2)的条件下，分别延长 ED，FD，交 AB 于点 M，N， 求 MN，AM，BN 的数量关系．
图5
解：(1)∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝ 2AC， ∵四边形 DECF 是正方形， ∴DE＝DF＝CE＝CF，∠DFC＝∠DEC＝90°， ∴∠A＝∠ADF＝45°，∴AF＝DF＝CE， ∴AF＋BE＝BC＝AC， ∴AB＝ 2(AF＋BE)；
∴n－1 1＋n＋1 1＞n2.
跟踪训练 1.[2019·盐城]【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜， 乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
第一次：
菜价 3 元/千克
质量(kg) 金额(元)
甲1
3
乙1
ห้องสมุดไป่ตู้
3
第二次：
菜价 2 元/千克
质量(kg) 金额(元)
甲1
2
乙 1.5
(4)t1＜t2.理由： t1＝2vs，t2＝v＋s p＋v－s p＝v22－svp2， ∴t1－t2＝2vs－v22－svp2＝v（－v22－spp22）， ∵0＜p＜v，∴t1－t2＜0， ∴t1＜t2.
2．[2019·株洲]已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)． (1)若 a＝1，b＝－2，c＝－1， ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②定义：对于二次函数 y＝px2＋qx＋r(p≠0)，满足方程 y＝x 的 x 的值叫做该二次 函数的“不动点”．求证：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有两个不同的“不动点”．
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16a4＋8， ∴AB＝x2－x1＝ 16a4＋8＝2 4a4＋2， ∵∠AFC＝∠ABC，∠P＝∠P，∴△PFC∽△PBA，
∴ACBF＝PPAC＝ 5a25＋1，
∴2 2
41a＋4＋4a22＝
5a25＋1，解得 a1＝1，a2＝－1(舍去)，
∴c＝－2a＝－2，b＝12c3＝－4， ∴二次函数的表达式为 y＝x2－4x－2.
跟踪训练 [2019·宁波]定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两 个角的夹边称为邻余线．
图2 (1)如图 2①，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是△ABC 的角平分线，E，F 分别是 BD， AD 上的点．求证：四边形 ABEF 是邻余四边形；
(2)如图②，在 5×4 的方格纸中，A，B 在格点上，请画出一个符合条件的邻余四 边形 ABEF，使 AB 是邻余线，E，F 在格点上； (3)如图③，在(1)的条件下，取 EF 中点 M，连结 DM 并延长交 AB 于点 Q，延长 EF 交 AC 于点 N.若 N 为 AC 的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线 AB 的长．
图1
解：(1)x＝13×(－1＋7)＝2，y＝13×(5＋7)＝4， 故点 C 是点 A，B 的融合点． (2)①由题意得 x＝13(t＋3)， y＝13(2t＋3)，∴t＝3x－3， 则 y＝13(6x－6＋3)＝2x－1； ②当∠DHT＝90°时，如答图①所示， 设 T(m，2m－1)，则 E(m，2m＋3)，
展开得 1＋c2＝x2－1－x1x2＋x1， 即 1＋c2＝－2ca3－1－ac， c3＋2ac2＋2c＋4a＝0， c2(c＋2a)＋2(c＋2a)＝0， (c2＋2)(c＋2a)＝0， ∵c2＋2＞0，∴c＋2a＝0，即 c＝－2a， ∴x1＋x2＝－－28aa3＝4a2，x1x2＝－a2a＝－2， CF＝2 1＋c2＝2 1＋4a2，
∴CE＝ 1＋c2，AE＝1－x1，BE＝x2－1， ∵DF⊥y 轴，OC＝OD，∴DF∥x 轴， ∴ECFE＝OODC＝1， ∴EF＝CE＝ 1＋c2，CF＝2 1＋c2. ∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠CEB， ∴△AEF∽△CEB， ∴CAEE＝BEEF，即 AE·BE＝CE·EF， ∴(1－x1)(x2－1)＝1＋c2，
类型一 新定义型问题 典例 [2019·衢州]定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点 A(a，b)，B(c，d)， 若点 T(x，y)满足 x＝a＋3 c，y＝b＋3 d，那么称点 T 是点 A，B 的融合点．例如： A(－1，8)，B(4，－2)，当点 T(x，y)满足 x＝－13＋4＝1，y＝8＋（3－2）＝2 时， 则点 T(1，2)是点 A，B 的融合点．
同理可得∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC， ∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBA＝90°， ∴∠DAB＋∠ABD＝12(∠CAB＋∠CBA)＝45°， ∴∠ADB＝180°－(∠DAB＋∠ABD)＝135°；
(3)∵四边形 DECF 是正方形，∴DE∥AC，DF∥BC， ∴∠CAD＝∠ADM，∠CBD＝∠NDB，∠MDN＝∠AFD＝90°， ∵∠DAC＝∠DAB，∠ABD＝∠CBD， ∴∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD， ∴AM＝MD，DN＝NB， 在 Rt△DMN 中，MN2＝MD2＋DN2， ∴MN2＝AM2＋NB2.
(2)把 b＝12c3 代入二次函数，得 y＝ax2＋12c3x＋c， ∵二次函数与 x 轴交于点 A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜0，x2＞0)， 即 x1，x2 为方程 ax2＋12c3x＋c＝0 的两个不相等实数根， ∴x1＋x2＝－12ac3＝－2ca3 ，x1x2＝ac. ∵当 x＝0 时，y＝ax2＋12c3x＋c＝c， ∴C(0，c)，∵E(1，0)，
图4
解：(1)①∵a＝1，b＝－2，c＝－1， ∴y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2， ∴该二次函数图象的顶点坐标为(1，－2)； ②证明：当 y＝x 时，x2－2x－1＝x， 整理得 x2－3x－1＝0， ∴Δ＝(－3)2－4×1×(－1)＝13＞0， ∴方程 x2－3x－1＝0 有两个不相等的实数根， 即二次函数 y＝x2－2x－1 有两个不同的“不动点”．
(1)已知点 A(－1，5)，B(7，7)，C(2，4)，请说明其中一个点是另外两个点的融合 点． (2)如图 1，D(3，0)，点 E(t，2t＋3)是直线 l 上任意一点，点 T(x，y)是点 D，E 的 融合点． ①试确定 y 与 x 的关系式； ②若直线 ET 交 x 轴于点 H，当△DTH 为 直角三角形时，求点 E 的坐标．
3
(1)完成上表；
(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．(均价＝总金额÷总质量)
【数学思考】(3)设甲每次买质量为 m kg 的菜，乙每次买金额为 n 元的菜，两次的 单价分别是 a 元/千克，b 元/千克，用含有 m，n，a，b 的式子，分别表示出甲、 乙两次买菜的均价x－甲、x－乙，比较x－甲、x－乙的大小，并说明理由． 【知识迁移】(4)某船在相距为 s 的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时， 船的速度为 v，所需时间为 t1；如果水流速度为 p 时(p＜v)，船顺水航行速度为(v ＋p)，逆水航行速度为(v－p)，所需时间为 t2.请借鉴上面的研究经验，比较 t1，t2 的大小，并说明理由．
(2)证明：[方法一]： ∵n－1 1＋n＋1 1－n2＝nn2＋（nn＋－n12）－（n－n＋2n12）＋2 ＝n（n－1）2（n＋1）， ∵n＞1，∴n(n－1)(n＋1)＞0， ∴n－1 1＋n＋1 1－n2＞0，∴n－1 1＋n＋1 1＞n2.
[方法二]：∵n－1 1＋2 n＋1 1＝n2n－2 1＞1， n
解：(1)2×1＝2(元)，3÷2＝1.5(元/千克)； (2)甲两次买菜的均价为(3＋2)÷2＝2.5(元/千克)， 乙两次买菜的均价为(3＋3)÷(1＋1.5)＝2.4(元/千克)． (3)x－甲＝ma2＋mmb＝a＋2 b，x－乙＝na2＋nnb＝a2＋abb， ∴x－甲－x－乙＝a＋2 b－a2＋abb＝2（（aa－＋bb））2≥0， ∴x－甲≥x－乙．
(2)如答图，延长 AC，使 FM＝BE，连结 DM，
∵四边形 DECF 是正方形，
典例答图
∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC＝90°， ∵BE＝FM，∠DFC＝∠DEB＝90°，DF＝ED， ∴△DFM≌△DEB(SAS)， ∴DM＝DB， ∵AB＝AF＋BE，AM＝AF＋FM，FM＝BE， ∴AM＝AB，且 DM＝DB，AD＝AD， ∴△ADM≌△ADB(SSS)， ∴∠DAC＝∠DAB＝12∠CAB，
类型三 方法模拟型问题 典例 [2019·贵阳](1)数学理解：如图 5①，△ABC 是等腰直角三角形，过斜边 AB 的中点 D 作正方形 DECF，分别交 BC，AC 于点 E，F，求 AB，BE，AF 之间的 数量关系； (2)问题解决：如图②，在任意直角三角形 ABC 内，找一点 D，过点 D 作正方形 DECF，分别交 BC，AC 于点 E，F，若 AB＝BE＋AF，求∠ADB 的度数；
∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN， ∴QNBC＝BCDE＝35，∵QB＝3，∴NC＝5， ∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10， ∴AB＝AC＝10.
类型二 新知识学习型问题 典例 [2019·威海](1)阅读理解： 如图 3，点 A，B 在反比例函数 y＝1x的图象上，连结 AB，取线段 AB 的中点 C.分 别过点 A，C，B 作 x 轴的垂线，垂足为 E，F，G，CF 交反比例函数 y＝1x的图象 于点 D.点 E，F，G 的横坐标分别为 n－1，n，n＋1(n＞1)． 小红通过观察反比例函数 y＝1x的图象，并运用几何知识得出结论： AE＋BG＝2CF，CF＞DF.
(2)设 b＝12c3，如图 4，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象 与 x 轴分别相交于不同的两点 A(x1，0)，B(x2，0)，其中 x1＜0，x2＞0，与 y 轴相 交于点 C，连结 BC，点 D 在 y 轴的正半轴上，且 OC＝OD，又点 E 的坐标为(1， 0)，过点 D 作垂直于 y 轴的直线与直线 CE 相交于点 F，满足∠AFC＝∠ABC.FA 的延长线与 BC 的延长线相交于点 P，若PPAC＝ 5a25＋1，求二次函数的表达式．
由点 T 是点 D，E 的融合点，得 m＝m＋3 3或 2m－1＝2m＋33＋0， 解得 m＝32，即 E32，6；
①
②
典例答图
当∠TDH＝90°时，如答图②所示，则点 T(3，5)， 由点 T 是点 D，E 的融合点，得 E(6，15)； 当∠HTD＝90°时，该情况不存在． 故点 E 的坐标为32，6或(6，15)．