湖北省大冶市第一中学2017届高三8月月考数学(理)试题

湖北省黄石市大冶一中2016-2017学年度高三8月月考数学（理科）试题
★ 祝考试顺利 ★ 时间：120分钟 分值150分_
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1．集合{}
1|,02x
A y y x ==≤（），{|ln ||1,}
B x x x Z =<∈则下列结论正确的是
A ．
}
{2,1A B =-- B ．
()(,0)R A B =-∞ð
C ．(0,)A B =+∞
D ．
}
{()2,1R A B =--ð
2．设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．2
3a π
B ．2
6a π
C ．212a π
D ．224a π
3．若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ） A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交 B ．l 与1l ，2l 都相交
C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交
D ．l 与1l ，2l 都不相交
4．若平面α的法向量为1(3,2,1)n =，平面β的法向量为2(2,0,1)n =-，则平面α与β夹角的余弦是（ ）
D. 5．若函数
()ln f x x ax
=-在点
()
1,P b 处的切线与320x y +-=垂直,则2a b +等于( )
A ．2
B ．0
C ．-1
D ．-2
6．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 有有理根，那么c
b a ,,
中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ） A ．假设c b a ,,都是偶数 B ．假设c b a ,,都不是偶数
C ．假设c b a ,,至多有一个是偶数
D ．假设c b a ,,至多有两个是偶数
7．复数
4
1(1)i +的值是（ ） A ．4i B ．4i - C ．4 D ．－4
8．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数,当(],0x ∈-∞时,()f x 为减函数,若
()0.3
2a f =,12log 4b f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,()2log 5c f =,则a ,b ,c 的大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ．c b a >>
C ．c a b >>
D ．a c b >>
9．若经过原点的直线l 与直线1y x =+的夹角为30°，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．0°
B ．60°
C ．0°或60°
D ．60°或90°
10．若直线l ⊥平面α,直线l 的方向向量为s,平面α的法向量为n,则下列结论正确的是( )
(A)s=(1,0,1),n=(1,0,-1) (B)s=(1,1,1),n=(1,1,-2) (C)s=(2,1,1),n=(-4,-2,-2) (D)s=(1,3,1),n=(2,0,-1)
11．等比数列{}n a 中，182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则(0)f '=
A.6
2
B.9
2
C.12
2
D.15
2
12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3
222011(1)2014(1)sin
3
a a π
-+-=，
3201320132011(1)2014(1)cos
6
a a π
-+-=，则2014S =（ ）
A ．2014
B ．4028
C ．0
D ．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积为______________． 14．设f (n )＝
11n +＋12n +＋ (12)
(n ∈N *
)，那么f (n ＋1)－f (n )等于 . 15．如果椭圆42x +22a y =1与双曲线a x 2-2
2
y =1的焦点相同,那么a=____________.
16．已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且0,2
π
βα<<< 则β=
三、解答题（70分）
17．（本题12分）已知椭圆E 的两焦点分别为()()1,0,1,0-，经过点⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆E 的方程；
（2）过()2,0P -的直线l 交E 与A ，B 两点，且3PB PA =，设A ，B 两点关于x 轴的对称点分别是C ，D ，求四边形ACDB 的外接圆的方程． 18．（本小题满分14分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ，
=4,=2,=1AB AE EF ．
（Ⅰ）若点M 在线段AC 上，且满足1
4
CM CA =,求证：//EM 平面FBC ； （Ⅱ）求证：⊥AF 平面EBC ； （Ⅲ）求二面角--A FB D 的余弦值．
19．（本题12分）已知椭圆1,C 抛物线2C 的焦点均在y 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为坐
标原点,O 从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
（Ⅰ）求分别适合12,C C 的方程的点的坐标； （Ⅱ）求12,C C
的标准方程.
20．（本题12分）已知圆C 经过).2,2(),3,3(--N M 两点，且在y 轴上截得的线段长为 （Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线
MN l //,且l 与圆C 交于点A,B,且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程.
21．（本题12分）在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3sin sin b A C =. （1）若3A C π+=,求sin B 的值； （2）若3,c ABC =∆的面积为求a .
22．（本题12分）已知3
2
()()ln(1)f x x ax x a =-+-（a R ∈） （1）若方程()0f x =有3个不同的根，求实数a 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，是否存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满
E C
B
D
M
A F
足212x x =，若存在，求实数a 的值，若不存在，说明理由．
参考答案
1．D 【解析】{},1≥∈=y R y A )
1,(-∞=A C R ,又{|ln ||1,}{2,1,1,2}B x x x Z =<∈=--,
∴
{}
()21R C A B =--，，选D 。

2．B
【解析】依题意可得，该球是长方体的外接球，其直径等于长方体的体对角线
=，所以该球的表面积22
244)6S R a πππ==⋅=，故选B 3．A
【解析】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ． 考点：空间点、线、面的位置关系． 4．A 【解析】
试题分析：由cos 1414⋅=
=
=m n m n
θ，所以平面α与β考点：向量法求二面角 5．D 【解析】略 6．B 【解析】
试题分析：反证法证明时首先假设要证明的结论的反面成立，c b a ,,中至少有一个是偶数的反面是假设c b a ,,都不是偶数 考点：反证法 7．D 【解析】
考点：复数代数形式的混合运算．
分析：先化简复数，然后进行幂的运算即可． 解答：解：∵1+1i =1-i ∴(1+1i
)4=(1-i)4=4i 2
=-4 故选D ．
点评：本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题． 8．B 【解析】
试题分析：因为25log ,024log ,22
122
13
..0><-=<<,所以)2()4(log )5(log 3..02
12f f f >>,
即a b c >>,应选B ．
考点：指数对数函数的性质及运用． 9．C
【解析】因为直线1y x =
+的倾斜角为30°，那么过原点与其夹角为30°的直线的倾斜角有两种情况，分别是．0°或60°，选C 10．C
【解析】∵直线l ⊥平面α,
∴直线l 的方向向量s 与平面α的法向量n 平行, 即s ∥n.
经验证可知选项C 正确. 11．C 【解析】略 12．A 【解析】
试题分析：3
222011(1)2014(1)sin
sin(670)sin 333a a ππππ-+-==+==
320132013201177(1)2014(1)cos
cos(334)cos 6662
a a ππππ-+-==+==-，两式相加得 332220132013(1)2014(1)(1)2014(1)0a a a a -+-+-+-=，
解得201321a a ==，即数列{}n a 为
常数列，故2014S =2014 考点：等差数列的通项 13．
3712
【解析】解：令x x x y 22
3++-==0得：
函数y=-x 3+x 2
+2x 的零点： x 1=-1，x 2=0，x 3=2．…（4分）
又判断出在（-1，0）内，图形在x 轴下方， 在（0，2）内，图形在x 轴上方， 所以所求面积为：0
2
32
321
37(x x 2x)dx (x x 2x)dx 12
--+++-++=
⎰
⎰ 14．
121n +－1
22
n + 【解析】
试题分析：根据题中所给式子，求出f （n+1）和f （n ），再两者相减，即得到f （n+1）-f （n ）的结果．由于f (n )＝
11n +＋12n +＋…＋12n ，那么可知f (n+1)＝1
2
n +＋…＋12n +11+2122n n ++，那么可知f (n ＋1)－f (n )等于121n +－122n +，故答案为1
21n +－
1
22
n +。

考点：数列递推式
点评：此题主要考查数列递推式的求解，属于对课本基础知识点的考查 15．1
【解析】双曲线2
22y a x -=1的焦点坐标为(±2+a ,0),∴4-a 2
=a+2,解得a=-2(舍)或a=1. 16．
3
π
【解析】略
17．（1）2212x y +=；（2）2
211039x y ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭. 【解析】
试题分析：（1）由题意得1c =，进而可得22
a b ，即可得到椭圆的方程；（2）设:2l x my =-，代入椭圆2
212
x y +=，并整理可得()222420m y my +-+=，由韦达定理可得24m =，不妨设2m =可得圆心和半径，即可得到圆的方程.
试题解析：（1）由题意知1,2c a ==
1a b ∴===
椭圆E 的方程为2
212
x y += （2）设:2l x my =-，带入椭圆方程得()
22
2420m y my +-+=
由22
81602m m ∆=->>得 设()()1122,,,,A x y B x y
121222
42
,22
m y y y m m +=
=++则y ①② 由213,3PB PA y y ==得③ 由①②③解得2
2
4,2m m =>符合
不妨取2,m =则线段AB 的垂直平分线的方程为2
23
y x =-- 则所求圆的圆心为()1,0,0,13B ⎛⎫- ⎪⎝⎭
又
所以圆的半径r = ,所以圆的方程为2
211039x y ⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用及椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，涉及到了椭圆与圆的一些基础知识的综合应用，属于中档试题，同时着重考查了学生的运算推理能力，本题的解答中设出直线2x my =-，代入椭圆的方程，整理
得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系，得2
4m =，可求得圆心和半径，即可得到
圆的方程.
18．（1）见解析；（2）见解析；（3
【解析】第一问中利用线面平行的判定定理，先得到线线平行，根据已知条件得到 过M 作MN BC ⊥于N ，连结FN ，则则MN //AB ，又14CM AC =，所以1
4
MN AB =. 又EF //AB 且1
4
EF AB =
， 所以EF //MN ，且EF MN =， 所以四边形EFNM 为平行四边形， 所以EM //FN . 所以得到线面平行。

第二问中，通过以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-A xyz .
利用平面的法向量的夹角与二面角的大小相等或者互补的结论，借助与代数的手段求解得到二面角的大小。

证明：（Ⅰ）过M 作MN BC ⊥于N ，连结FN ，
则MN //AB ，又14CM AC =，所以1
4
MN AB =. 又EF //AB 且1
4
EF AB =
， 所以EF //MN ，且EF MN =， 所以四边形EFNM 为平行四边形， 所以EM //FN .
又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ， 所以//EM 平面FBC . ……4分 （Ⅱ）因为⊥EA 平面ABCD ，⊥AB AD ，故
E D
C
M
A
F
B
N
以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-A xyz .
由已知可得
(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),A B C D (0,0,2),(1,0,2)E F .
显然=(1,0,2),=(0,4,0),=(4,0,-2)AF BC EB . 则=0,=0⋅⋅AF BC AF EB ， 所以,⊥⊥AF BC AF EB .
即,⊥⊥AF BC AF EB ，故⊥AF 平面EBC .
（Ⅲ）因为EF//AB ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，
由已知得，=(0,4,0),=(3,0,-2)BC FB ，=(4,4,0)-BD . ……9分 因为⊥EA 平面ABCD ，所以⊥EA BC . 由已知可得⊥AB BC 且=EA
AB A ，
所以⊥BC 平面ABF ，故BC 是平面ABF 的一个法向量. 设平面DFB 的一个法向量是()n =x,y,z .
由0,0,n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩BD FB 得440,320,-+=⎧⎨-=⎩x y x z 即32=⎧⎪
⎨=⎪⎩
y x,z x, 令2=x ，则(2,2,3)n =. 所以cos <,n n n
⋅>=
=
⋅BC BC BC 由题意知二面角A-FB-D 锐角， 故二面角A-FB-D . ……14分
19．（Ⅰ）()4,1和11,16⎛
⎫- ⎪⎝⎭在抛物线2C 上，(0,-和)
2-在椭圆1C 上；（Ⅱ）12,C C 的标准方程分别为22
21,16.84
y x x y +==． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）已知椭圆1,C 抛物线2C 的焦点均在y 轴上，1C 的中心和2C
的顶点均为坐标原点O ，可设抛物线2C 的方程为2x my =，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于表中，要找出这两点，只需将这四个点都代入抛物线2C 的方程，求出的m 值相同两点在抛物线2C 上，另外两点在椭圆上；（Ⅱ）求12,C C 的标准方程，由（Ⅰ）的判断就求出抛物线2C 的方程，
只需求椭圆的方程，由于椭圆为标准位置，且过(0,-，故a =b ，又因
为椭圆过)
2-，代入椭圆的方程可求出b ，从而得椭圆的方程． 试题解析：（Ⅰ）11,16⎛⎫- ⎪⎝⎭和()4,1代入抛物线方程中得到的解相同, ()
4,1∴和11,16⎛⎫- ⎪⎝⎭在抛物线2C 上，(0,-和)
2-在椭圆1C 上． 4分 （Ⅱ）设12,C C 的标准方程分别为：222221(0),2,y x a b x py a b +=>>= 将()4,1和11,16⎛
⎫- ⎪⎝⎭
代入抛物线方程中得到的解相同，216,p ∴= 7分 (
0,-和)
2-在椭圆上，代入椭圆方程得2,a b == 10分 故12,C C 的标准方程分别为22
21,16.84
y x x y +== 12分 考点：椭圆的方程，抛物线的方程．
20．（Ⅰ）圆C 的方程为22
113x y -+=（）；
（Ⅱ）43y x y x =-+=--或. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用线段MN 的垂直平分线确定圆心(),1C a a -，根据在y 轴上截得的线段
长为a 的方程.
（Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =-+ 与圆的方程联立，应用一元二次方程根与系数的关系建立m 的方程.
试题解析：（Ⅰ）线段MN 的垂直平分线的方程是1122
y x +=-即y=x-1 ∴所以圆心(),1C a a -
又由在y 轴上截得的线段长为知2223 212a a a -++=+（）（）得：a=1
故圆C 的方程为22113x y -+=（）；
（Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =-+，1122,,,A x m x B x m x --（）（）
， 由()得⎩⎨⎧=+-+-=13
1,2y x m x y ().01222-222=-++m x m x 0>∆02522<--∴m m
∴12121,x x m x x +=+=2122
-m 则由题意可知OA⊥OB，即1=-⋅OA OB k k ∴1)()(2
211-=-⋅-x x m x x m 即221120-⋅++-=m m m m （） ∴43m m ==-或经验证符合0>∆ ∴43y x y x =-+=--或
考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系．
【名师点睛】解答此类题目，首先应利用已知条件，确定圆心、半径，以确定圆的方程.直线与圆的位置关系问题，往往要将直线方程与圆的方程联立，应用一元二次方程根与系数的关系等，得到斜率或截距的方程进一步求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，或忽视一元二次方程有实数解的条件..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力、函数方程思想等.
21．（1）3
；（2）3a a ==或
【解析】
试题分析：（1）首先利用三角形内角和定理得到角,B C 间的关系，然后利用正弦定理将已知条件等式中的边化为角，由此求得cos C 的值，从而求得sin C 的值，进而可求得sin B 的值；
（2）首先利用正弦定理将已知条件等式中的角化为边得到边,b c 间的关系，由此求得b 的值，然后利用面积公式求得sin A 的值，从而求得cos A 的值，进而利用余弦定理求得a 的值． 试题解析：（1）,3,2A B C A C B C ππ++=+=∴=,
由3sin sin b A C =2sin cos sin C C C =，解得cos C =,
sin sin sin 22sin cos 23
C B C C C ∴===∴====.
（2）由3sin sin b A C =得b c =
3,c b =∴=
ABC ∆的面积为11sin 3sin 22bc A A A =⨯⨯=∴=
则cos A =，291212a ∴=+±，
解得3a a ==或考点：1、正弦定理与余弦定理；2、倍角公式；3、同角三角形函数间的基本关系；4、面积公式．
【方法点睛】利用正弦定理与余弦定理来研究三角形问题时，正弦定理可以用来将边的比和对应角的正弦值的比互化，而余弦定理则多用来将余弦值转化为边的关系，而涉及解三角形问题，往往把三角三角恒等变换公式加以交汇与综合，利用公式的变换达到解决问题的目的．
22．（1）01a <<；（2）不存在，参考解析
【解析】
试题分析：（1）由已知32
()()ln(1)f x x ax x a =-+-（a R ∈），若方程()0f x =有3个不
同的根，则可得到1i i =+或2ln(1)0x a +-=对两个方程分别讨论即可到结论.
（2）在（1）的条件下，是否存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，通过对函数求导，判断导函数的根的情况，通过换元使得等式简洁些.要满足212x x =，由于
(,1)2a a ∈
，所以可得1x =.即可得到结论. （1）解：由1,1T i ==得：1i i =+或2ln(1)0x a +-=
可得0x =或2x a =且210x a +->
∵方程()0f x =有3个不同的根，
∴方程2x a =有两个不同的根
∴0a >
又∵210x a +->，且要保证x 能取到0∴10a -> 即1a <
∴01a <<．
（2）解：∵2222
22()()(3)ln(1)1x x a f x x a x a x a -'=-+-++- 令2x t =，设2()()(3)ln(1)()1t t a g t t a t a f x t a
-'=-+-+=+- ∴(0)ln(1)0g a a =-->
2(1)(1)(3)ln(2)2a g a a a
-=--+
- ∵01a << ∴21a -> ∴(1)0g > ()0g a = 2()2()ln(1)ln(1)22222212
a a a a a a a a g a a ⋅-=-+=---- ∵01a << ∴11122a <-<，20a -> ∴()02
a g < ∴存在1(0,)2a t ∈，使得1()0g t =，另外有(,1)2
a a ∈，使得()0g a = 假设存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =
则存在1x ∈，使得1()0f x '=
，另外有0f '=
，即2x =
∴1x =
0f '=，即3()324ln(1)034414
a a a a a ⋅---+=- 即333(1)ln(1)0442
a a a --+= （*） 设333()(1)ln(1)442
h a a a a =--+ ∴3333333()ln(1)ln(1)4442444
h a a a '=---+=--+ ∵01a << ∴3ln(1)04
a -< ∴()0h a '> ∴()h a 在(0,1)上是增函数
∴()(0)0h a h >=
∴方程（*）无解，
即不存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =
考点：1.函数与x 轴的交点与方程的根的问题.2.函数的极值.3.等价转化的思想.4.函数的最值问题.。