四川省成都市高三数学3月二诊模拟考试试题 理(扫描版)新人教A版
成都市高考数学二诊试卷（理科）含答案解析
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如表：
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A，B是圆（x+c）2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．若对∀m，n∈R，有g（m+n）=g（m）+g（n）﹣3，求 的最大值与最小值之和是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
A．﹣16 B．﹣6 C． D．6
7．定义运算a*b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则 的值为（ ）
A． B． C．4 D．6
8．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：
①EP⊥AC；
②EP∥BD；
③EP∥面SBD；
④EP⊥面SAC，
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围．
22．直角坐标系中曲线C的参数方程为 （θ为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）经过点M（0，1）作直线l交曲线C于A，B两点（A在B上方），且满足|BM|=2|AM|，求直线l的方程．
四川省成都市龙泉驿区第一中学校2020届高三数学3月二诊模拟考试试题 理(含解析)
成都龙泉中学2020级高三下学期“二诊”模拟考试试题数学（理工类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则的子集的个数是：（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】因为单调递增，且图象恒过点，且点在椭圆的内部，所以曲线与椭圆有两个公共点，即的子集的个数是4.故选A.2. 已知为单位向量，且与垂直，则的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设的夹角为，因为与垂直，所以，即，即，即，又因为，所以.故选C.3. 若等差数列满足，则的前2020项之和（）A. 1506B. 1508C. 1510D. 1512【答案】D【解析】由题意，得，即，则等差数列的前2020项和.故选D.【点睛】本题考查等差数列的性质和前项和公式的应用.在处理等差数列的有关运算时，利用一些性质（如：等差数列中，若，则）进行处理，可减少运算量，提高解题速度.4. 给出下列四个命题：①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；②“平面向量,的夹角是钝角”的充分不必要条件是③若命题，则；④命题“，使得”的否定是：“均有”.其中不正确．．．的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】对于命题①，由于使得，但不是函数的极值点，故命题不正确；对于命题②，由于取，虽有，但成平角，故不充分，则命题②不正确；对于命题③，由于，则其否定显然不正确，故命题③也不正确；故应选答案C。
5. 如图，已知平行四边形中，，，为线段的中点，，则（）A. B. 2 C. D. 1【答案】D【解析】由题意，得，设，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则,，，则.故选D.【点睛】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算.解决本题的技巧是合理利用和等腰直角三角形建立平面直角坐标系，大大减少了平面向量的线性运算，巧妙地避开了干扰信息.6. 设，则对任意实数a、b，若a+b≥0则（）A. f（a）+f（b）≤0B. f（a）+f（b）≥0C. f（a）﹣f（b）≤0D. f（a）﹣f（b）≥0【答案】B【解析】易知函数为奇函数，且在上单调递增，因为，所以，则，即.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用.解决本题的关键在于联想到要判定函数的单调性和奇偶性，进而利用性质进行比较大小，这是一种常见题型，要多总结，多积累.7. 定义矩阵，若，则（）A. 图象关于中心对称B. 图象关于直线对称C. 在区间上单调递增D. 周期为的奇函数【答案】C【解析】当时，故函数在区间上的最大值为1.故选C.8. 如图所示的流程图,若输出的结果是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为（）A. 17B. 16C. 15D. 14【答案】B【解析】由程序框图，得，即判断框中的横线上可以填入的最大整数为16.故选B.9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意女子每天织布数成等差数列，且，由于，且。
四川省成都市龙泉驿区第二中学校高三3月市“二诊”模拟考试数学(理)试题
四川省成都市龙泉驿区第二中学校高三3月市“二诊”模拟考试数学（理）试题第Ι卷（选择题部分，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则集合等于（）A. B. C. D.2. 复数，则复数的虚部是（）A. B. C. D. -13. 在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（）A. B. C. D.4. 下列命题中真命题的个数是（）①函数，其导函数是偶函数；②“若，则”的逆否命题为真命题；③“”是“”成立的充要条件；④命题：“，”，则命题的否定为：“，”．A. 0B. 1C. 2D. 35. 偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为( )A. B. 3 C. 4 D.7. 规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”．如图，若输入的，则输出的为（）A. 2B. 3C. 4D. 58. 若一个四位数的各位数字相加和为，则称该数为“完美四位数”，如数字“”.试问用数字组成的无重复数字且大于的“完美四位数”有（）个A. B. C. D.9. 设变量y满足约束条件则z＝|x－3y|的最大值为( )A. 8B. 4C. 2D.10. 已知正三棱锥的外接球半径，分别是上的点，且满足，，则该正三棱锥的高为（）A. B. C. D.11. 已知函数（＞0且≠1）的图像恒过定点A，若直线（）也经过点A，则3m+n的最小值为（）A. 16B. 8C. 12D. 1412. 已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，则弦的中点到轴的距离为（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分13. 已知向量，，若向量与的夹角为，则实数的值为__________．14. 若，满足约束条件则的最小值为__________．15. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20,60)元的样本，其16. 已知在平面四边形中，，，，，则四边形面积的最大值为__________．三、解答题:（本题包括6小题，共70分。
2023届四川省成都市高三三诊数学(理)试题【含答案】
2023届四川省成都市高三三诊数学（理）试题一、单选题1．设集合，，则（ ）{}2A x x =∈≤N {}2,4B =A B ⋃=A ．B ．C ．D ．{0,2}{2,1,0,1,2,4}--{0,1,2,4}{1,2,4}【答案】C【分析】根据题意，将集合化简，然后结合并集的运算，即可得到结果.A 【详解】因为，且，{}{}20,1,2A x x =∈≤=N {}2,4B =则，{0,1,2,4}A B ⋃=故选：C2．命题“”的否定是（ ）2,10x x x ∀∈+-≤R A ．B ．2000,10x x x ∃∈+-≤R 2000,10x x x ∃∈+->R C ．D ．2,10x x x ∀∈+->R 2000,10x x x ∃∈+-≥R 【答案】B【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题即可得到结果.【详解】由题意可得，“”的否定是，2,10x x x ∀∈+-≤R 2000,10x x x ∃∈+->R 故选：B3．已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程C ()4,22212x y -=C 为（ ）A ．B ．C ．D ．22184x y -=22163x y -=22142x y -=2211212x y -=【答案】A【分析】首先利用共渐近线方程的设法设出双曲线的方程，再代入点，即可求解.C 【详解】由题意设双曲线的标准方程为，代入点，C 222x y λ-=()4,2得，得，1642λ-=4λ=所以双曲线的标准方程为.C 22184x y -=故选：A4．如图是某三棱锥的三视图，已知网格纸的小正方形边长是1，则这个三棱锥中最长棱的长为（ ）A ．5BCD ．7【答案】C【分析】根据三视图得到几何体的直观图，求出棱长，即可判断.【详解】由三视图可得几何体的直观图如下所示：其中，，，且平面，，4SA =3AB =5AC =SA ⊥ABC AB AC ⊥所以，BC ==SC ==5SB ==所以三棱锥中最长棱为.SC =故选：C5．函数的图象大致为（ ）||2e ()3xf x x =-A ．B ．C．D．【答案】A【分析】根据函数的定义域，单调性以及特殊值，结合选项得出答案．【详解】函数的定义域为，排除选项D ，||2e ()3x f x x =-{x x ≠又，所以排除选项C ，()1003f =-<当，且，x >2e ()3xf x x =-()()()()()22222e 3e 2e 31()33x x x x xx x f x xx--⋅-+'==--令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，()0f x '=3x =()f x )()3,+∞排除选项B ，故选：A6．一次数学考试后，某班级平均分为110分，方差为．现发现有两名同学的成绩计算有误，甲21s 同学成绩被误判为113分，实际得分为118分；乙同学成绩误判为120分，实际得分为115分．更正后重新计算，得到方差为，则与的大小关系为（ ）22s 21s 22s A ．B ．C ．D ．不能确定2212s s =2212s s >2212s s <【答案】B【分析】根据已知平均分不变，根据方差公式计算更正前后的方差，比较大小可得结论．【详解】设班级人数为，因为，所以更正前后平均分不变，n 113120118115+=+且，2222(113110)(120110)(118110)(115110)-+->-+-所以.2212s s >故选：B7．已知是两个非零向量，设．给出定义：经过的起点和终点，分别作,a b ,AB a CD b == ABA B 所在直线的垂线，垂足分别为，则称向量，为在上的投影向量．已知CD 11,A B 11A B a b，则在上的投影向量为（）(1,0),a b == a bA ．B ．C ．D．12⎛ ⎝⎛ ⎝32⎛ ⎝34⎛ ⎝【答案】D【分析】先求向量的单位向量，再利用投影向量的求法求解即可.b【详解】设与的夹角为，由，a bθb = 可得与方向相同的单位向量为，b12b e b ⎫===⎪⎪⎭ 所以在上的投影向量为：a b，13cos 24a b a b a e a e e a b b θ⎫⎛⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅==⎪ ⎪ ⋅⎭⎝故选：D.8．世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日至8月8日在成都召开．为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲、乙等6名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每个地方安排两人且每人只能在一个场馆工作．若每位志愿者被分到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．115231513【答案】C【分析】先将特殊元素进行选择，然后再排其它元素得到甲，乙两人被安排在同一个场馆的种数，根据先分组再排列的原则可以计算出每个地方安排两人且每人只能在一个场馆工作的种数，即可求得所要求的概率.【详解】将6个志愿者分成三组，每组两个人，然后安排到三个地方工作，共有，222364233390C C C A A =甲，乙两人被安排在同一个场馆工作，其它随机安排，共有，123418C C =则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为，181905P ==故选：C.9．设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ）n S {}n a n 20232023S =4202014a a +A ．B ．C ．D ．525992【答案】D【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得且，12023420202a a a a +=+=420200,0a a >>化简，结合基本不等式，即可求解.20204420204242020204200204141141()()[5()]22a a a a a a a a a a +=++⋅+=⋅+【详解】由等差数列的前项和公式，可得，可得，n 2023120232023(20223)a a S +==120232a a +=又由且，12023420202a a a a +=+=420200,0a a >>所以，当且仅2420020442020420204202020414114119()()[5()](52222a a a a a a a a a a +=⋅+=⋅++≥⋅+=+当时，即时，等号成立，2020442020a aa a =42020a a =所以的最小值为.4202014a a +92故选：D.10．已知函数，当时，的最小值为．若将函π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()()122f x f x -=12x x -π2数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后再将得到的图像向右平移个()f x π3单位长度，得到函数的图像，则不等式的解集为（ ）()g x 1()2g x ≥A ．B ．)π,(63πππk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 22,2()33k k ππππk ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．D ．)ππ5,(12π12πk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z )π52,2(6π6ππk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】D【分析】根据题意，由条件可得，再由图像变化可得解析式，即可得到结果.2ω=()g x 【详解】因为，，π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()()min max 1,1f x f x =-=当时，则一个为最大值，一个为最小值，()()122f x f x -=()()12,f x f x且的最小值为，即，所以，12x x -π2ππ22T T =⇒=2π2πω==即，将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，则π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x ，然后再将得到的图像向右平移个单位长度，则，πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π3()sin g x x =所以，即，解得，1()2g x ≥1sin 2x ≥π5π2π2π,66+≤≤+∈k x k k Z即解集为，)π52,2(6π6ππk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 故选：D11．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭2222:1(0)x y C a b a b +=>>12(,0),(,0)F c F c -(0)y kx k =≠圆相交于两点．有下列结论：C ,A B ①四边形为平行四边形；12AF BF ②若轴，垂足为，则直线的斜率为；AE x ⊥E BE 12k③若（为坐标原点），则四边形的面积为；||OA c =O 12AF BF 2b ④若，则椭圆的离心率可以是．122AF AF =23其中错误结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】A【分析】根据椭圆的对称性，得到为的中点，也是的中点，可判定①正确；设，O 12F F AB 11(,)A x y 则，不妨设，联立方程组，求得的坐标，结合斜率公式，可判定②正确；由11(,)B x y --1>0x ,B E ，得到，结合勾股定理和椭圆的定义，得到，求得12OA OF OF c===12AF AF ⊥2122AF AF b =，可判定③错误；求得，，得到，求得122AF F S b = 11AF a ex =+21AF a ex =-112()a ex a ex +≥-，即可求解.113e ≤<【详解】解：对于①中，如图（1）所示，根据椭圆的对称性，可得为的中点，且也是O 12F F O 的中点，所以与互相平分，四边形为平行四边形，所以①正确；AB 12F F AB 12AF BF对于②中，如图（2）所示，设，则，不妨设，11(,)A x y 11(,)B x y --1>0x 联立方程组，可得，则22221y kx x y a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩222222a b x b k a =+12x x==可得11y kx -=-=-(E B -所以直线的斜率为，所以②正确；BE 22102BE y k k x x -==-对于③中，如图（3）所示，不妨设点位于第一象限，A 因为，所以三点共圆，所以，12OA OF OF c===12,,A F F 12AF AF ⊥可得，222212124AF AF F F c +==又由椭圆的定义得，所以，122AF AF a+=222112224AF AF AF AF a ++=可得，22212222AF AF ac b =-=所以的面积为，12AF F △1221212AF F S AF AF b == 所以的面积为，所以③错误；12AF BF 22b对于④中，设，可得，可得，11(,)A x y 2211221x y a b +=2222112()b a x y a -=又由，2222222221111122()()()()b a x cx a AF x c y x c a a -+=++=++=可得，同理可得，2111cx a AF a ex a +==+21AF a ex =-要使得，则满足，即，122AF AF =112()a ex a ex +≥-13a x e ≥因为，所以，解得，1x a ≤3aa e ≤13e ≥又因为，所以，所以离心率可能为，所以④正确.01e <<113e ≤<23故选：A.12．已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（ ）1()ln f x x m x x =--123,,x x x m ∈R 123mx x x A ．B ．C ．D ．(1,)+∞(2,)+∞(e,)+∞(3,)+∞【答案】B【分析】根据解析式得，由，得，设，则，从而()10f =()0f t =1()0f t =123x x x <<1321,1x x x ⋅==可得，求解导函数，分类讨论与两种情况下函数的单调性，123m mx x x =221()x mx f x x -+'=2m ≤m>2从而可得答案.【详解】定义域为，显然，()0,∞+()111ln110f m =--=若是零点，则，t 1()ln 0t f t t m t =--=，1111()ln ln 0f t m t m t t t t t ⎛⎫=--=---= ⎪⎝⎭所以也是零点，函数有三个零点，1t 1()ln f x x m xx =--123,,x x x 不妨设，则，123x x x <<1321,1x x x ⋅==所以，，123m mx x x =22211()1m x mx f x x x x -+'=+-=当时，结合定义域和判别式易知恒成立，2m ≤()0f x '>即函数在上单调递增，不符合题意；()f x ()0,∞+当时，设的两根分别为，m>2210x mx -+=45,x x易知，所以函数在上单调递增，4501x x <<<()f x ()40,x在上单调递减，在上单调递增，()45,x x ()5,x +∞当时，，，0x →()f x →-∞()()410f x f >=，当，，()()510f x f <=x →+∞()f x →+∞所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意.综上，的取值范围是123mx x x (2,)+∞故选：B【点睛】求解本题的关键是根据函数解析式得若是零点，也是零点，从而得1()ln f x x m x x =--t 1t ，所以求的取值范围即求的取值范围，然后求解导函数，利用导数分类讨1321,1x x x ⋅==123mx x x m 论函数的单调性即可.二、填空题13．已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数的值为_______．(i)(2i)z a =++i a 【答案】/120.5【分析】根据题意，由复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果.【详解】因为复数为纯虚数，()()(i)(2i)212iz a a a =++=-++所以，所以.21020a a -=⎧⎨+≠⎩12a =故答案为：.1214．在等比数列中，若，则的值为_______．{}n a 263,27a a ==8a 【答案】81【分析】根据题意，由条件可求得，从而得到结果.2q 【详解】因为数列为等比数列，设其公比为，且，{}n a q 263,27a a ==则，所以，则，4622793a q a ===23q =28627381a a q =⋅=⨯=故答案为:8115．如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，圆柱AB O C π,23AOC OA ∠==的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为D BC AD ⊥D _______．【答案】10【分析】先推出平面，设过的母线与上底面的交点为，过的母线与上底面的交点BC ⊥ACD A E C 为，连，推出平面，从而可得点的轨迹是矩形，计算这个矩形F ,,EF CF AC BC ⊥ACE D AEFC 的面积即可得解.【详解】因为是圆柱下底面圆的直径，所以，AB O BC AC ⊥又，，平面，所以平面，BC AD ⊥AC AD A = ,AC AD ⊂ACD BC ⊥ACD 设过的母线与上底面的交点为，过的母线与上底面的交点为，连，A E C F ,,EF CF AC因为平面，平面，所以，⊥AE ABC BC ⊂ABC AE BC ⊥因为，平面，所以平面，AE AC A = ,AE AC ⊂ACE BC ⊥ACE 所以点在平面内，又点在圆柱的表面，所以点的轨迹是矩形，D ACE D D AEFC 依题意得，，，所以，5AE =2OA OC ==π3AOC ∠=2AC =所以矩形的面积为.AEFC 5210⨯=故点的轨迹所围成图形的面积为.D 10故答案为：.1016．在平面直角坐标系中，射线与直线，圆分别相交于两点，若xOy OT :9l x =22:9O x y +=,A B 线段上存在点（不含端点），使得对于圆上任意一点都满足，则OB (,)M m n O P ||||||||PM BM PA BA =的最大值为_______．mn【分析】根据题意转化为，得到，求得，BA BABM B M'='99x xx m m x -+=-+x =B 代入圆的方程，得到，设，利用导数求得函数的单调性与222(1)k mn km k ==+()22,0(1)k f k k k =>+最值，即可求解.【详解】设，则，(,),(,),(9,9)M m km B x kx A k (,)B x kx '--因为，根据阿氏圆的性质和相似，可得,||||||||PM BM PA BA =BA B A BM B M '='则，整理得，99x xx m m x -+=-+22(9)9(9)9xm x m x mx m -+-+=+--可得，即29x m =x =所以，代入圆的方程，可得，B 229x y +=2(1)1m k +=所以，设，222221(1)(1)k mn km k k k ==⨯=++()22,0(1)kf k k k =>+可得，()()()()()()()222224332221411413111k k k k kk kk f k kkk+-⋅++-⋅-===+++'当时，，单调递增；x ∈()0f k '>()f k 当时，，单调递减，)x ∈+∞()0f k '<()f k 所以.max max()()mn f k f ====.【点睛】关键点点睛：利用阿氏圆模型得到，转化为相关点坐标值的数量关系，进而BA B ABM B M'='得到关于参数的函数.mn 三、解答题17．某旅游公司针对旅游复苏设计了一款文创产品来提高收益．该公司统计了今年以来这款文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示：x y 产品定价（单位：元）x 99.51010.511销量（单位：万件）y 1110865(1)依据表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说y x 明（计算结果精确到0.01）；(2)建立关于的回归方程，预测当产品定价为8.5元时，销量可达到多少万件．y x 参考公式：．()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y r bay bxx x ==--===--∑∑．8.06≈【答案】(1)，说明与的线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合与的关系0.99r ≈-y x y x (2)12.8万件【分析】（1）先计算出、的平均值，再结合相关性系数的参考公式计算即可，根据数值得到相x y 关性强弱，（2）根据公式，计算出关于的回归方程，将代入回归方程即可得到结果.y x 8.5x =【详解】（1）由题条件得，1(99.51010.511)105x =++++=．1(1110865)85y =++++=()()51(910)(118)(9.510)(108)(1010)(88)iii x x y y =--=--+--+--∑，(10.510)(68)(1110)(58)8+--+--=-，()52222221(910)(9.510)(1010)(10.510)(1110) 2.5ii x x =-=-+-+-+-+-=∑()52222221(118)(108)(88)(68)(58)26i i y y =-=-+-+-+-+-=∑．0.99r ∴==≈-与的相关系数近似为，说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合y x 0.99-y x 与的关系．y x （2），()()()515218ˆˆ3.2, 3.2402.5iii ii x x y y b ay x x x ==---===-=+=-∑∑ 关于的线性回归方程为．y ∴x 3.240ˆyx =-+当时，．8.5x =ˆ12.8y=∴当产品定价为8.5元时，预测销量可达到12.8万件．18．如图，在多面体中，已知是正方形，，平面ABCDEFG ADGC //,//GD EF GF BC FG ⊥分别是的中点，且．,,ADGC M N ,AC BF 1122BC EF CG FG===(1)求证：平面；//MN AFG(2)求直线与平面所成角的正弦值．MN BEF 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据题意，由面面平行的判定定理可得平面平面，再由其性质定理即可PMN ∥AGF 得到证明；（2）根据题意，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间G ,,GD GF GCx y z 直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果.【详解】（1）如图，设是的中点，连接．P CG ,PM PN 为的中点，．M AC PM AG ∴∥又平面平面，PM ⊂/,AGF AG ⊂AGF 平面．PM ∴∥AGF 同理可得，平面．PN ∥AGF 平面，,,PM PN P PM PN ⋂=⊂ PMN ∴平面平面．PMN ∥AGF 又平面，平面．MN ⊂PMN MN ∴∥AGF （2）平面平面，FG ⊥ ,,ADGC CG DG ⊂ADGC ．,FG CG FG DG ∴⊥⊥以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐G ,,GD GF GCx y z 标系．不妨设，则，，Gxyz 1BC =(0,0,0),(1,0,2)G M 30,,1,(0,1,2),(1,2,0),(0,2,0)2N B E F ⎛⎫⎪⎝⎭，31,,1,(1,1,2),(0,1,2)2MN BE BF ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭设平面的一个法向量为．BEF (,,)n x y z =由得0,0n BE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20,20.x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令，得，1z =(0,2,1)n = 设与平面所成角为，MN BEF θ则．||sin |cos ,|||||n MN n MN n MN θ⋅=<>===∴直线与平面MN BEF 19．在中，角的对边分别为．ABC ,,A B C ,,a b c cos cos a b C c B +=-(1)求角的大小；B (2)若是边上一点，且，求．D AC 13BD CD b==cos BDA ∠【答案】(1)5π6(2)1314【分析】（1）利用正弦定理即两角和的正弦公式即可；（2）利用余弦定理结合已知条件即可解决问题.【详解】（1），cos cos a b C c B +=-由正弦定理有：，sin sin cos sin cos C A B C C B +=-，sin sin()=+ A B C ． sin cos sin cos sin cos sin cos CB C C B B C C B ++=-．2sin cos 0C B C ∴+=又．(0,π),sin 0C C ∈∴≠cos B ∴=又．5π(0,π),6B B ∈∴=（2）在中，由余弦定理得：BCD △．22222229cos 22BD CD BC b a BDC BD CD b +--∠==⋅在中，由余弦定理得：ABD △．22222259cos 24BD AD AB b c BDA AD BD b +--∠==⋅．180,cos cos BDC BDA BDC BDA ∠+∠=︒∴∠=-∠即，222222295924b a b c b b --=-整理得．2222b c a -=在中，由余弦定理得:ABC．222cos 2a c b B ac +-==则．222a a acc-=-=a ∴=，即．2226bc c ∴-==b 2225913cos .414b c BDA b -∴∠==20与抛物线相交于两点．l 2:4C y x =,P Q (1)求线段中点纵坐标的值；PQ (2)已知点，直线分别与抛物线相交于两点（异于）．求证：直线恒过T ,TP TQ ,M N ,PQ MN 定点，并求出该定点的坐标．【答案】(2)证明见解析，定点的坐标为(0,3)-【分析】（1）设，其中，利用点差法化简求出线段中点纵坐标的值；()()1122,,,P x y Q x y 12x x ≠PQ （2）设，由直线过点，化简可得222231241234,,,,,,,4444y y y y P y Q y M y N y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭PMT化简，可得定点的坐标．13y y =-24y y =-MN 【详解】（1）设，其中，()()1122,,,P x y Q x y 12x x ≠由，得，化简得，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩22121244y y x x -=-1212124y y x x y y -=-+，即124y y =+122y y +=线段∴PQ （2）证明：设，222231241234,,,,,,,4444y y y y P y Q y M y N y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13223113444PM y y k y y y y -∴==+-直线的方程为，化简可得，∴PM 2111344y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭()131340y y y x y y +--=在直线上，解得TPM 13y y =-同理，可得24y y=-，12344PQ k y y ∴===+，()34343y y y y ∴=-+又直线的方程为，即，MN ()343440y y y x y y +--=()34(3)40y y y x ++-=直线恒过定点．∴MN (0,3)-【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查定点定值问题，考查点差法的应用，关于定点定值问题的思路，一般有以下两种：1.先猜再证，通过特殊位置或者特殊点得出要求的定点或者定值，再用一般方法证明，对任意符合条件的直线都成立；2.边猜边做，直接联立直线与曲线方程，写出韦达定理，将已知条件转化为等式，找出直线所过的定点或者所求的定值．21．已知函数，其中．43()sin f x x ax x =-a ∈R (1)当时，求曲线在点处的切线方程；1a =()y f x =()4π,π(2)若是函数的极小值点，求的取值范围．0x =() f x a 【答案】(1)345π4π0x y --=(2)(,1]-∞【分析】（1）根据题意，求导得，即可得到切线方程；()f x '（2）根据题意，设，分与讨论函数的单调性，结合是函数()sin g x x a x =-1a ≤1a >()g x 0x =的极小值点，即可得到结果.() f x【详解】（1）当时，函数．1a =43()sin f x x x x =-．．()323()43sin cos f x x x x x x '∴=-+3()5πf π'∴=∴曲线在点处的切线方程为．()y f x =()4π,π345π4π0x y --=（2）由题知，不妨设．3()(sin )f x x x a x =-()sin g x x a x =-．()1cos g x a x '∴=-（i ）当时，不妨设．1a ≤ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭在上恒成立．cos (0,1),()0x g x '∈∴> ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在上单调递增． ()g x ∴ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭又，(0)0g =∴当时，；当时，． π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()(0)0g x g <=π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()(0)0g x g >=，3()()f x x g x = ．23()3()()f x x g x x g x ''∴=+∴当时，，即在上单调递减；π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x '<()f x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，即在上单调递增．π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数的极小值点．0x ∴=()f x （ii ）当时，不妨设．1a >π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得，且．02π0,x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭()00g x '=()00,,()0x x g x '∈<在上单调递减．()g x ∴()00,x ∴当时，．()00,x x ∈()(0)0g x g <=∴当时，．()00,x x ∈23()3()()0f x x g x x g x ''=+<在上单调递减．()f x ∴()00,x x ∈不是函数的极小值点．0x ∴=()f x 综上所述，当是函数的极小值点时，的取值范围为．0x =()f x a (,1]-∞22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为xOy l 1223x t t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩t O 极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．x C 22413sin ρθ=+(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；l C (2)若是曲线上一点，是直线上一点，求的最小值．P C Q l ||PQ 【答案】(1)直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为l 2380x y +-=C 2214x y +=【分析】（1）根据题意，由普通方程与参数方程以及极坐标方程的互化，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，由点到直线的距离公式结合辅助角公式即可得到结果.【详解】（1）由直线的参数方程，得直线的普通方程为．l l 2380x y +-=将代入曲线的极坐标方程，222,sin x y y ρρθ=+=C 化简得曲线的直角坐标方程为．C 2214x y +=（2）由（1），设点，(2cos ,sin )P αα由题知的最小值为点到直线的距离的最小值．||PQ P l 又点到直线的距离． P ld ==4tan3ϕ=当时，π2π()2k k αϕ+=+∈Z d ||PQ ∴23．已知函数，且不等式的解集为．()||f x x m =-()3f x <(1,)n (1)求实数的值；,m n (2)若正实数满足，证明：．,,a b c 222a b c m ++=44422211114a b c b c a ++≥+++【答案】(1)，1m =52n =(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，可得，然后列出方程求解，即可得到结果；(1)3,()3f f n ==（2）根据题意，结合基本不等式代入计算即可得到证明.【详解】（1），且，(1)3,()3f f n == 1n >，解得．3|1|3m ∴+-=1m =． ()3|2||1|f x x x ∴=-+-．3|2||1|3n n ∴-+-=（i ）当时，由，解得（不合题意，舍去）；12n <≤3(2)(1)523n n n -+-=-=1n =（ii ）当时，由，解得，经检验满足题意．2n >3(2)(1)473n n n -+-=-=52n =综上所述，．51,2m n ==（2）由（1）得．．1m =2221a b c ∴++=，()()4442222222222111111a b c a b c a b c b c a ⎛⎫+++++++≥++ ⎪+++⎝⎭．当且仅当，即44422211111134a b c b c a ∴++≥=++++()()()444222222111a b c b c a ==+++a b c ===成立．．44422211114a b c b c a ∴++≥+++。
四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三数学3月“二诊”模拟考试试题理
高三数学3月“二诊”模拟考试试题理（考试用时：120分全卷满分：150分）注意事项：1. 答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5. 考试结束后，请将答题卡上交；第I卷（选择题部分，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2 21. 设集合^{ x, y | —- 1} , B={（x,y）|y=3x},则B 的子集的个数是：（）4 16A. 4 B . 3 C . 2 D . 12. 已知e1, e2为单位向量，且e1与e1- 2e2垂直，则e1,e2的夹角为（）A. 30 'B. 60 'C. 120'D. 150'3.若等差数列玄{满足ai a2 a20i5 ' a2°i6 = 3，则^a^1的前2016项之和S2016二（）A. 1506 B . 1508 C . 1510 D . 15124. 给出下列四个命题：①"若x0为y=f x的极值点，则f x0 =0 ”的逆命题为真命题；②"平面向量a , b的夹角是钝角”的充分不必要条件是a・b ：：： 01 1③若命题p : 0 ,则—p : 0；x—1 x—1④命题“ x • R，使得x2x ■ V： 0 ”的否定是：“一x • R均有X2• x • 1 - 0 ”.其中不正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 如图，已知平行四边形.i/.'i./：中，庶二；，为线段，.的中点，:苛丄L ；,则《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织,B. 2若a+b > 0则（ A. f (a ) +f (b )< 0 B. f (a ) +f(b )> 0C. f (a ) — f (b )< 01卄cosx-si nx 431=a 〔 a 4 — a ?a 3，右 f (x)=it 」 icos$ + 2x) cosx + sin x .2 7 _f(x)A.图象关于7,0中心对称B. 图象关于直线x 对称 2C. 在区间［,0］上单调递增6D.周期为二的奇函数8.如图所示的流程图，若输出的结果是 则判断框中的横线上可以填入的最大整数为.15 .149. 日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”.■|/： - -（ ）甘C.6.设-■- -■--二i ，则对任意实数a 、b ,.f (a ) — f (b )>D，则 I a*ia 27•定义2 2矩阵 1 2 |l_a3 a 4)其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二 天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织 5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少10.已知函数f(x) =e |x| cosx ，若f(2x-1)_f(x)，则x 的取值范围为()A (-二丄][1,B .1,11C.(一匚儿］1D.[—，二)3 _32211.已知a 「「-2,0,1,3?,b ",2?, 则曲线2 , 2ax by = 1为椭圆的概率是()八3m4 1D.3A. —B.C.772812.已知定义在 -：：,4 ］上的函数 f X 与其导函数 f x 满足(x —1 X X-4〔 " f ( x) ]f (，若 f (x0 y | I +10— f X 世 I +| | 吃 0 ，则点(x, y )所在区域的面积为( )A. 12B. 6C. 18D. 9第n 卷(非选择题部分，共 90分)本卷包括必考题和选考题两部分。
2023_2024学年四川省成都市高三下册二诊模拟数学理科(三)试题(附答案)
2023_2024学年四川省成都市高三下册二诊模拟数学理科（三）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共12小题。
一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x |x 2＋2x －3≤0}，B ＝{x |y ＝ln(x ＋2)}，则A ∩B ＝( )A.(－2，－1]B.(－2，3]C.(－2，1]D.[－2，1]2.若复数(b ∈R )的实部与虚部相等，则b 的值为( )1－b i2＋i A.－6B.－3C.3D.63.“m <0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知sin α＝，α∈，则cos的值为( )1010A.eq B.eq C.eqD.eq5.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a tan B ＝，b sin A ＝4，则a 的值为( )203A.6B.5C.4D.36.已知函数f (x )＝cos－cos ωx (0<ω<3)的图象过点P，若要得到一个偶函数的图象，3则需将函数f (x )的图象( )A.向左平移个单位长度2π3B.向右平移个单位长度2π3C.向左平移个单位长度π3D.向右平移个单位长度π37.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，||＝2，＝＋，若M 是线1323段AB 的中点，则·的值为( )A.eqB.2C.2D.338.如图为某几何体的三视图(图中网格纸上每个小正方形边长为1)，则该几何体的体积等于( )A.π＋12B.π＋4C.eq π＋12D.eq π＋19.点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为( )A.7πB.14πC.eq πD.eq10.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＋f (x )＝0，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则下列不等式正确的是( )A.f(log 27)<f (－5)<f (6)B.f(log 27)<f (6)<f (－5)C.f(－5)<f (log 27)<f (6)D.f(－5)<f (6)<f (log 27)11.已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足|PA |＝m |PB |，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A.eq B.eq C.eq ＋1D.eq －112.已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”.若f (x )＝2x －2－1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A.eq B.eq C.eqD.eq第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
2023_2024学年四川省成都市高三三诊模拟数学(理)试题(附答案)
2023_2024学年四川省成都市高三三诊模拟数学（理）试题一、单选题（每小题仅有一个正确选项，选对得5分，共60分）1. 已知集合，，则（）1A y y x x ⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭{}2B x =∈<()RA B ⋂=ðA.B.C.D.{}02x x ≤<{}0,1{}24x x ≤<{}2,3【正确答案】B【分析】根据函数的值域可得，易知，即可求得1y x x =+{}R 22A y y =-<<ð{}0,1B =.(){}R0,1B A ⋂=ð【详解】由函数的值域为可知，或1y x x =+[)(]2,,2+∞⋃-∞-{2A y y =≥}2y ≤-所以；{}R 22A y y =-<<ð由可得；{}2B x =∈<{}0,1,2,3B =所以可得.(){}R0,1B A ⋂=ð故选：B2. 若复数满足，则（ ）z 12,z z z +==z = D. 1【正确答案】C【分析】根据题意设出复数，结合复数运算的性质，即可求解.【详解】设，，因为，所以，，i z a b =+,R a b ∈2z z +=22a =1a =所以，又，2111i 1i 1b z b b -==++1z ==解得，所以21b ===z 故选：C.3. 如图，一组数据，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据123910,,,,,x x x x x ⋅⋅⋅21s 9x 10x后，平均数为，方差为，则（）x 22sA. ，B. ，C. ，D. ，5x >2212s s >5x <2212s s <5x =2212s s <5x =2212s s >【正确答案】D【分析】根据题中数据结合平均数的定义运算求解，并根据方差的意义理解判断.【详解】由题意可得：，则，10910115,1,910i i x x x ====∑10150i i x ==∑故，()8109101111150195888i i i i x x x x x ==⎛⎫==--=--= ⎪⎝⎭∑∑∵是波幅最大的两个点的值，则去除，这两个数据后，整体波动性减小，故910,x x 9x 10x .2212s s >故选：D.4. 已知单位向量，满足，若向量，则（ ）a b 0a b ⋅=c a = cos ,a c =B.D. 1214【正确答案】B【分析】根据向量的数量积运算以及夹角的余弦公式，可得答案.【详解】由单位向量，则，即，,a b1,1a b == ()222234c a a b b ==+⋅+=，2c = ()21a c a a ab ⋅=⋅=+⋅= .1cos ,2a c a c a c ⋅==⋅故选：B.5. 世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（）A. B. C. D. 14271325【正确答案】B【分析】求出基本事件总数， 再求出和为奇数事件所包含的基本事件个数，根据古典概型求解.【详解】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，随机选取两个不同的数，基本事件总数，27C 21n ==其和为奇数包含的基本事件有：，共6个，(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17)所以.62217P ==故选：B6. 函数在上的图像大致为（ ）()3sin xf x xx =-[]π,π-A. B.C.D.【正确答案】B【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答.【详解】函数定义域为，3sin ()xf x x x =-(,0)(0,)-∞+∞ 而，且，33sin()sin ()()()x xf x x x f x x x --=--=--≠-()()f x f x -≠-即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD ；()f x 而当时，，排除选项A ，选项B 符合要求.πx =()(π)πf x f ==故选：B7. 如图，网格纸上绘制的是一个几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. B. 1C. D. 42343【正确答案】C【分析】首先在正方体中还原几何体，然后利用锥体的体积公式计算其体积即可.【详解】如图所示，题中三视图对应的几何体为图中棱长为2的正方体中的三棱锥，C ABD -其体积.114222323V =⨯⨯⨯⨯=故选：C.8. 将函数图像上各点横坐标缩短到原来的，再向左平移个单()πsin 22y x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭12π6位得到曲线C ．若曲线C 的图像关于轴对称，则的值为（）y ϕA. B. C. D. π3-π6-π12-π3【正确答案】B【分析】先根据图像变化得到曲线C 为：，由图像关于轴对称得2πsin 43y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭y ，进而可求得答案.()21π2π,Z 32k k ϕ++=∈【详解】由题意得变化后的曲线C 为：，2πsin 43y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭曲线C 的图像关于轴对称，故，又，y 2πππ,Z 32k k ϕ+=+∈π2ϕ<即当，π0,6k ϕ==-故选：B.9. 两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究圆锥曲线，他用平行于圆锥的轴的平面截取圆锥得到的曲线叫做“超曲线”，即双曲线的一支，已知圆锥PQ 的轴截面为等边三角形，平面，平面截圆锥侧面所得曲线记为C，则曲线C 所在双曲线的PQ α∥α离心率为（）D. 2【正确答案】A【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，得到点的坐标，从而得到双曲线方程，然后结E 合离心率公式，即可得到结果.【详解】如图，设平面，平面与圆锥侧面的交线为，过垂直于的母线与PQ α∥αC P EF 曲线交于，不妨延长至，使.C M PM A PM MA =过垂直于的截面交曲线为，A PQ C ,E F 设在平面内的投影为点，以为原点，投影为轴建立平面直角坐标系，易知点P αO O PQ x 为双曲线顶点.设，则可求点坐标为，代入方程：，知M OM a =E ()2,a a 22221x y a b -=，故双曲线离心率为2213b a =e =故选:.A 10. 函数，定义域为，有唯一极值点，则实数a 的取值范()21cos 2f x x ax =-π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 围为（）A. B. C.D.21,π⎛⎫-- ⎪⎝⎭11,2π⎛⎫-- ⎪⎝⎭11,22π⎛⎫-- ⎪⎝⎭π11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】由已知，根据题意，分别从，和三种情况借助导数研究函0a ≥1a ≤-0a -1＜＜数的单调性，并判断是否满足题意，然后对应列式求解即可.()f x 【详解】由已知，，所以，()21cos 2f x x ax =-()'sin f x x ax =--当时，因为，所以，所以，因此在区间上0a ≥π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin 0x -＜()'0f x ≤()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，不符合题意；，所以，()sin x axh x -=-()cos h x x a'=--当时，，所以在区间上单调递增，而，1a ≤-()0h x '≥()h x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()sin 0000h -=-=所以，所以在区间上单调递增，不符合题意；()(0)0h x h ≥=()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，要使得有唯一极值点，即满足，解得，0a -1＜＜()f x 0'ππ221f a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭＞π2a -＜所以实数a 的取值范围为.21,π⎛⎫-- ⎪⎝⎭故选：A.11. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，-P ABC O 4PB PC AB AC ====，则球的表面积为（ ）2PA BC ==O A.B. C. D.316π1579π15158π579π5【正确答案】A【分析】根据给定条件，证明平面，再确定球心O 的位置，求出球半径作答.PA ⊥ABC 【详解】在三棱锥中，如图，，则，同理-P ABC 22220AB PA PB +==PA AB ⊥，PA AC ⊥而平面，因此平面，,,AB AC A AB AC =⊂ ABC PA ⊥ABC 在等腰中，，则，ABC 4,2AB AC BC ===112cos 4BCABC AB ∠==，sin ABC ∠==令的外接圆圆心为，则平面，，ABC 1O 1OO ⊥ABC 112sin AC O A ABC =⋅=∠有，取中点D ，连接OD ，则有，又平面，即1//OO PA PA OD PA ⊥1⊂O A ABC ，1O A PA⊥从而，四边形为平行四边形，，又，1//O A OD 1ODAO 11OO AD ==11OO O A ⊥因此球O 的半径，2222221179115R OA O A O O ==+=+=所以球的表面积.O 23164ππ15S R ==故选：A12. 已知数列，，，，，{}n a {}n b 12a =21a =-()()11211n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，是数列的前项和，则（ ）()11nn b =+-n S {}n n a b n 1000S =A. 656B. 660C. 672D. 674【正确答案】D【分析】由题意，利用穷举法，一一列举寻找规律，利用周期思想可得答案.【详解】由题意知数列是一个周期为的数列.穷举法找规律，{}n b 2n1234567n a 21-34132nb 02022n na b 02-08060n8910111213Ln a 1111nb 20220n na b 20002易发现从第项开始，每项重复出现，故只需要分段计算即可.{}n n a b 86，共个分段，每段的和为，8899997997,,,a b a b a b 1654，，，，所以9989991a a ==10000a =99810002b b ==9990b =，998998999999100010002a b a b a b ++=故.()100028616542674S =-+++⨯+=故选：D.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 若，满足，则的最小值是________．x y 10010x y xy x -+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩2y x -【正确答案】1【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域，其中点，10010x y x y x -+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩(1,1)A ，(1,2)B令，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，2y x z -=122z y x =+122z画直线：，平移直线到直线，当直线过点A 时，直线的纵截距最小，最0l 12y x=0l 1l 1l 1l z 小，，min 2111z =⨯-=所以的最小值是1.2y x -故114. 已知，则的展开式中项的系数为_________.11a xdx-=⎰5(21)x a +-3x 【正确答案】80【分析】根据微积分基本定理求出，再利用二项展开式通项即可得到答案.0a =【详解】，1121112a xdx x --===⎰故 ,55(21)(21)x a x +-=-根据二项展开式通项为，555155C (2)(1)C 2(1),05,N r r r r r r rr T x x r r ---+=⋅⋅-⋅⋅=≤≤⋅∈-令，求得，可得展开式中的系数为，53r -=2r =3x 235C 280⋅=故80.15. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，设抛物线的准线与轴的交点为28y x =,M N x ，当时，___________.A MA NA ⊥||MN =【正确答案】8【分析】令过焦点直线为并联立抛物线，应用韦达定理得且2x ky =+16M N y y =-，根据求得，根据抛物线定义求.4M N x x =122N MM N y y x x ⋅=-++4M N x x +=||MN 【详解】令过焦点直线为，代入得：，2x ky =+28y x =28160y ky --=所以，则，16M N y y =-2(16)464M N x x -==由，则，MA NA ⊥1222()4N M N MM N M N M N y y y y x x x x x x ⋅==-+++++所以，即，82()16M N x x ++=4M N x x +=由抛物线定义知.||48M N MN x x =++=故816. 已知函数，定义域均为，且，()f x ()g x R ()()()112f x f x g x +=-，，，则()()()112g x g x f x +=-()()5f x f x =-()365g =_______.()20231k f k ==∑【正确答案】2【分析】根据已知条件及函数值的定义，结合函数的周期性即可求解.【详解】由，得，()()()112f x f x g x +=-+()()()1g x f x f x =++①所以.()()()121g x f x f x +=++②将代入，并整理得，①②()()()112g x g x f x +=--()()()21f x f x f x +=-+-所以，()()()()321f x f x f x f x +=-+-+=所以是以为周期的周期函数.()f x 3由可知，也是以为周期的周期函数，①()g x 3所以.()()2365g g ==由①()()()322f f g +==又因为，()()5f x f x =-所以，解得，()()()3532f f f =-=()()321f f ==-所以.()()()()14322f f f f ==--=所以.()()()()()()()()20231674123167421122k f k f f f f ==+++=⨯+-+-+=⎡⎤⎣⎦∑故答案为.2关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件求出函数，的周期，利用函数的周期()f x ()g x 性即可.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题，第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答，共60分.17. 在锐角三角形中，角的对边分别为，为在方向上的投影ABC ,,A B C ,,a b c CD CA CB向量，且满足2sin c B =（1）求的值；cos C（2）若，求的周长.3cos b a c B ==ABC 【正确答案】（1）23（2）【分析】（1）依题意可得，即可得到，利用正弦定理将边cos CD b C=2sin cos c B C =化角，即可得到，再由平方关系计算可得；2sin C C =（2）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及（1）的结论得到，sin B B =从而求出、，再由正弦定理求出，即可求出，从而得解.sin B cos B c a 【小问1详解】由为在方向上的投影向量，则，CD CA CB cos CD b C =又，2sin c B =2sin cos c B C =根据正弦定理，，2sin sin cos C B B C =在锐角中，，则，即，ABC π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0B >2sin C C =由，则，整理可得，解得（负π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22cos sin 1C C +=225cos cos 14C C +=2cos 3C =值舍去）.【小问2详解】由，根据正弦定理，可得，3cos a c B =sin 3sin cos A C B =在中，，则，ABC πA B C ++=()sin 3sin cos B C C B+=所以，所以，sin cos cos sin 3sin cos B C B C C B +=sin cos 2sin cos B C C B =由（1）可知，则，2cos ,sin 3C C ===sin B B =由，则，解得（负值舍去），22sin cos 1B B +=225cos cos 1B B +=cos sin B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩根据正弦定理，可得，则，sin sin b c B C =sinsin Cc b B==a ==故的周长ABC ABC C a b c =++= 18. 某农科所对冬季大棚内的昼夜温差与某反季节大豆新品种发芽率之间的关系进行分析研究，记录了2023年1月1日至1月12日大棚内的昼夜温差与每天每100颗种子的发芽数，得到如下资料：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日11日12日温差/℃x 101113128109111310129发芽数/y 颗212428281522172230182718；；；121128ii x==∑121270ii y==∑1212965i ii x y==∑12211394ii x==∑已知发芽数与温差之间线性相关，该农科所确定的研究方案是：先从这12组数据中选取y x 2组，用剩下的10组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天的数据的概率；（2）若选取的是1日与6日的两组数据，试根据除这两日之外的其他数据，求出关于的y x 线性回归方程；（精确到1）y bx a =+$$$（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2颗，则认为求得的线性回归方程是可靠的，试问：（2）中所得的线性回归方程是否可靠.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为y bx a =+$$$，.()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx ====---==--∑∑∑∑ a y bx =-$$【正确答案】（1）16（2） 310y x =-$（3）是可靠的【分析】（1）利用组合及组合数公式，结合古典概型的概率的计算公式即可求解；（2）根据已知条件及参考数据，求出，进而即可求出回归方程；,b a （3）利用（2）的回归方程求出时的预报值，结合已知条件即可求解.10x =【小问1详解】从组数据中任选组，选法数为;122212C 选取的组数据恰好是相邻的天，选法数为；2211所以所求概率为.21211111C 666P ===【小问2详解】设剩下的组数据分别为.10()()()11221010,,,,,,u v u v u v ;1012111021102229654302535i ii ii i u v x y ===-⨯-⨯=-=∑∑，1212111110.8,22.710102043i i i i v y u x ==⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎭-⎝-∑∑101010.822.72451.6uv =⨯⨯=；，；10122221121013942001194i ii i u x===-⨯=-=∑∑22101010.81166.4u =⨯=所以11012211025352451.63.0.11941166.4i i i i i u v uvbu nu==--==≈--∑∑ 所以.22.7310.89.710a v bu =-=-⨯=-≈-$$所以所求回归方程为.310y x =-$【小问3详解】当时，.10x =3101020y =⨯-=$因为，212012;22202-=<-=所以根据所给的研究方案，可以判断（2）中所得的线性回归方程是可靠的.19. 如图，在四边形ABCP 中，△ABC 为边长为CP ＝CA ，将△ACP 沿AC 翻折，使点P 到达的位置，若平面平面ABC ，且．P 'P BC '⊥BC P A '⊥（1）求线段的长；P A '（2）设M 在线段上，且满足，求二面角的余弦值．P C '2MC P M '=P ABM '--【正确答案】（1）AP '=（2．【分析】（1）取BC 中点O ，连接，，根据题意得到，结合题意，利用AO P O 'AO BC ⊥线面垂直的判定得到平面，进而得到，再结合面面垂直的性质得到BC ⊥AP O 'BC AP '⊥线面垂直，进而得证；（2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出平面和平面PAB 的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解.ABM 【小问1详解】取BC 中点O ，连接，，因为△ABC 为等边三角形，O 为BC 的中点，则AO P O '，又，，平面，AO BC ⊥BC P A '⊥AO AP A '⋂=AO AP '⊂，AP O '∴平面，∴．BC⊥AP O 'BC OP ⊥'所以，即为等边三角形，所以，BP CP ''==P BC '3OP '=又平面平面，，所以平面，所以，P BC '⊥ABC AO BC ⊥AO ⊥P BC 'AO P O '⊥又，所以3AO =AP =='【小问2详解】因为平面，，以点O 为坐标原点，、、所在直线分别为P O '⊥ABC AO BC ⊥OA OB OP 'x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、，()3,0,0A ()B ()0,0,3P '0,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，设平面的法向量为，()AB =- ()3,0,3AP '=-u u u r P AB '()111,,m xy z = 则，取，则，111130330m AB x m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩11x =()m =，设平面的法向量为，0,2BM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ABM ()222,,x n y z = 则，取，则，22223020n AB x n BM y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 21x=()2n = 由已知可得．cos ,m n m n m n⋅===⋅综上，二面角．PAB M '--20. 已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有2222:1(0)x y E a b a b +=>>(1,1)--P xE 一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆P y E （1）求椭圆的标准方程；E （2）设过点的动直线与椭圆交于两点，为轴上的一点，设直线和的P E ,M N T y MT NT 斜率分别为和，若为定值，求点的坐标.1k 2k 1211k k +T 【正确答案】（1）2214x y +=（2）()0,1-【分析】（1）根据题意得到椭圆的下顶点为和椭圆过点求解；()0,1-1,⎛- ⎝（2）设点坐标为，当直线斜率存在时，设其方程为，与T ()0,t MN ()11y k x =+-联立，由，结合韦达定理求解；当直线斜率不存在2214x y +=12121211x x k k y t y t +=+--MN 时验证即可.【小问1详解】解：由题意，椭圆的下顶点为，故.()0,1-1b =由对称性，椭圆过点，代入椭圆方程有，1,⎛- ⎝21314a +=解得.2a =故椭圆的标准方程为.E 2214x y +=【小问2详解】设点坐标为.T ()0,t 当直线斜率存在时，设其方程为，与联立得：MN ()11y k x =+-2214x y +=.()()()224181420kx k k x k k ++-+-=设，则.()()1122,,,M x y N x y ()()1212228142,4141k k k k x x x x k k ---+==++，12121212121111x x x x k k y t y t kx k t kx k t +=+=+--+--+--，()()()()1212221212211(1)kx x k t x x k x x k k t x x k t +--+=+--++--，()()()()()()()232228281142811(1)41k k k k k t k k k k k t k t k -----=-----+--+()()()2222881.4321(1)tk t ktk t k t -+=--+++为定值，即与无关，则，此时.1211k k +k 2(1)0,1t t +==-12118k k +=-经检验，当直线斜率不存在时也满足，故点坐标为.MN 12118k k +=-T ()0,1-21.已知函数．()2e x x ax af x ++=（1）讨论的单调性；()f x （2）当时，恒成立，求的取值范围；0x ≥()2f x ≤a （3）设，，证明：．()12e 1n g n =-*n ∈N ()()()3124g g g n ++⋅⋅⋅+<【正确答案】（1）答案见解析 （2） 2a ≤（3）证明见解析【分析】（1）对函数求导，分，和讨论导函数的正负，进而判断函数的单调2a =2a >2a <性；（2）将不等式等价转化为，构造函数（），利用导数判22e 1x x a x -≤+()22e 1x x h x x -=+0x ≥断函数的单调性，进而求解即可；（3）结合前面的解析，取时，则，利用不等式的放缩即可证明.2a =()2112e 11x x ≤-+【小问1详解】由题意可知的定义域为，()f x R ()()()()()()()22222e e 2e 2e e e x xxxx x x a x ax a x ax x x x a f x +-++-'-+-+-===令，则，()0f x '=10x =22x a =-①当时，，在上恒成立，在上单调递减．2a =120x x ==()0f x '≤R ()f x R ②当时，， 时，，2a >12x x >(),2x a ∈-∞-()0f x '<时，，时，，()2,0x a ∈-()0f x ¢>()0,x ∈+∞()0f x '<故在单调递减，在单调递增，在单调递减．()f x (),2a -∞-()2,0a -()0,∞+③当时，，时，，2a <12x x <(),0x ∈-∞()0f x '<时，，时，，()0,2x a ∈-()0f x ¢>()2,x a ∈-+∞()0f x '<故在单调递减，在单调递增，在单调递减．()f x (),0∞-()0,2a -()2,a -+∞【小问2详解】当时，恒成立，0x ≥()2f x ≤故，所以，即，22e x x ax a++≤22e x x ax a ++≤()212e x a x x +≤-由得，令（），10x +>22e 1x x a x -≤+()22e 1x x h x x -=+0x ≥则，()()()()()()()2222e 212e 2e 211xx x x x x x x h x x x '-+----==++令，则，()2e 2x t x x =--()2e 1x t x =-'在单调递增，则，()t x '[)0,∞+()()01t x t '≥='即在恒成立，故在单调递增．()0t x '>()0,∞+()t x [)0,∞+所以，故在恒成立．()()00t x t ≥=()0h x '≥[)0,∞+由在单调递增，而，，故．()h x [)0,∞+()02h =()2h x ≥2a ≤【小问3详解】取时，，则，2a =2222e xx x ++≤2212e 1xx x ++≤-所以，()2112e 11x x ≤-+因此，()()2111112e 1111n n n n n n ≤<=--+++则.()()()()21111111313122334141411g g g n n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪++⎝⎭+利用导数证明不等式的基本步骤：1.作差或变形；2.构造新的函数；()h x 3.利用导数研究函数的单调性及最值；()h x 4. 根据单调性及最值，得到所证不等式.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆的方程为，曲线的参数方程为1C 222(0)x y r r +=>2C （为参数），已知圆与曲线相切，以O 为极点，x 轴的正半轴为极3cos 233sin 22x y ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ϕ1C 2C 轴建立极坐标系．（1）求圆的半径r 和曲线的极坐标方程；1C 2C （2）已知在极坐标系中，圆与极轴交点为D ，射线与曲线、分别1C (0π)θαα=<<1C 2C 相交于点A 、B （异于极点），求面积的最大值．ABD △【正确答案】（1）3，极坐标方程为2C 3sin ρθ=（2）98【分析】（1）消去参数，求出曲线的普通方程，确定其圆心与半径，结合圆的圆心，2C 1C 确定两圆内切，求出圆的半径；（2）在极坐标下求出弦长AB ，进而求出点D 到直线AB 1C 的距离为，表达出面积，利用基本不等式求出最大值.sin 3sin d OD αα==【小问1详解】由曲线参数方程为（为参数）得：，故曲线是2C 3cos ,233sin 22x y ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ϕ223924x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2C圆心为，半径为的圆，而圆的圆心为，故圆与圆内切，故，曲30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭321C ()0,01C 2C 3r =线极坐标方程为．2C 3sin ρθ=【小问2详解】因为射线与圆、曲线分别相交于点A 、B （异于极点），设(0π,0)θααρ<<>=1C 2C ，，由题意得，，所以(,)A A ρα(,)B B ρα3sin B ρα=3A ρ=．33sin A B AB ρρα=-=-因为点D 到直线AB 的距离为，sin 3sin d OD αα==所以()()()2sin 1sin 1199933sin 3sin sin 1sin 222248ABDS AB d αααααα+-=⋅=-⋅=-≤=△，当且仅当时等号成立，故面积的最大值为．1sin 2α=ABD △98[选修4-5：不等式选讲]23. 设a ，b ，c 均为正数，且．1a b c ++=（1）求的最小值；14a b c ++（2++【正确答案】（1）9（2）证明见解析【分析】（1）依题意可得，则，再利用乘“1”法及基本不10b c a +=->14141a b c a a +=++-等式计算可得；（2）利用柯西不等式证明即可；【小问1详解】解：，，都是正数，且，，a b c 1a b c ++=∴10b c a +=->∴()141414141559111a a a a a b c a a a a a a -⎛⎫+=+=+-+=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦+---⎝⎭当且仅当即时等号，141a a aa -=-13a =即的最小值为；14a b c ++9【小问2详解】证明：由柯西不等式得()()()()2111111a b c -+-+-++≥+⎡⎤⎣⎦即，26≥+成立，。
四川省成都市2013届高三数学二诊模拟考试试题 理 新人教A版
新津中学2013届高三二诊模拟考试数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共50分。
每小题有唯一正确答案）1、设集合A={1，2}，则满足{1,2,3}A B = 的集合B 的个数是（ ）A ．1B ． 3C ． 4D ． 82、已知a 是实数，ii a -+1是纯虚数，则a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．6、在ABC ∆中，60=∠BAC °，2,1,AB AC E F ==、为边BC 的三等分点，则AF AE ⋅等于（ ）A.35 B.45 C.910 D.8157、若直线y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则,k b 的值分别为（ ）A. 1,42k b ==- B.1,42k b =-= C. 1,42k b == D. 1,42k b =-=-8、数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9、将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有（ ）种. A ．150 B ． 114 C ． 100 D ．7210.定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．)22,0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0(第II 卷15、定义在R 上的函数()f x ,如果存在函数()(,g x kx b k b =+为常数),使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立,则称()g x 为函数()f x 的一个“承托函数”. 现有如下命题：①()2g x x =为函数()2x f x =的一个承托函数； ②若()1g x kx =+为函数ln()()x f x x-=的一个承托函数，则实数k 的取值范围是1[,)2+∞；③定义域和值域都是R 的函数()f x 不存在承托函数；④对给定的函数()f x ,其承托函数可能不存在,也可能有无数个. 其中正确的命题是 ；三、解答题（共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18、为推进成都市教育均衡发展，石室中学需进一步壮大教师队伍，拟准备招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师范生素质进行测试。
2023届四川省成都市高三下学期三诊模拟考试数学(理)试题【含答案】
2023届四川省成都市高三下学期三诊模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}32A x x =-<102x B x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭A B ⋃=A ．B ．C ．D ．(]1,2()1,2[]1,5-[)1,5-【答案】D【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合.A B A B ⋃【详解】因为，{}{}{}3223215A x x x x x x =-<=-<-<=<<由可得且，解得，则，102x x +≤-()()120x x +-≤20x -≠12x -≤<{}12B x x =-≤<因此，.[)1,5A B =- 故选：D.2．已知复数z 满足（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于（ ）(23i)1i z +=+A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据复数的除法运算求出，据此可得解.z 【详解】由，可得，(23i)1i z +=+1i (1i)(23i)5i 51i 23i (23i)(23i)131313z ++--====-++-故复数对应的点位于第四象限，z 51,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：D3．命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）A ．任意一个奇数是素数B ．任意一个偶数都不是素数C ．存在一个奇数不是素数D ．存在一个偶数不是素数【答案】B【分析】根据存在量词命题，否定为，即可解得正确结果.:,()p x M p x ∃∈:,()p x M p x ⌝∀∈⌝【详解】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有一个偶数是素:,()p x M p x ∃∈:,()p x M p x ⌝∀∈⌝数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.故选：B4．三棱锥的底面为直角三角形，的外接圆为圆底面，在圆-P ABC ABC ABC ,O PQ ⊥ABC Q 上或内部，现将三棱锥的底面放置在水平面上，则三棱锥的俯视图不可能是O ABC -P ABC （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据题目信息可画出三棱锥的直观图，改变点位置，即可对所有可能的俯视图-P ABC Q 做出判断，得出答案.【详解】由三棱锥的结构特征，底面为直角三角形，不妨设，则-P ABC ABC 90ABC ∠=的外接圆圆心即为的中点；ABC O AC 又在圆上或内部，Q O 当点与点重合时，三棱锥如下图所示，Q C由底面可知，此时三棱锥的俯视图为A 选项；PQ ⊥ABC -P ABC 当点满足为外接圆直径时，三棱锥如下图所示，Q BQ由底面可知，此时三棱锥的俯视图为B 选项PQ ⊥ABC -P ABC当点与圆心重合时，三棱锥如下图所示，QO 由底面可知，此时三棱锥的俯视图为C 选项；PQ ⊥ABC -P ABC 因此，选项ABC 均有可能，俯视图不可能为选项D.故选：D.5．已知函数，则 （ ）2(1),0()34,0f x x f x x x x +≤⎧=⎨-->⎩()()4f f -=A ．-6B ．0C ．4D ．6【答案】A【分析】由分段函数解析式，利用周期性求得，进而求目标函数值.()()416f f -==-【详解】由分段函数知：当时，周期，0x ≤1T =所以，()()()44511346f f f -=-+==--=-所以．()()()()()466716f f f f f -=-=-+==-故选：A6．已知实数x ，y 满足约束条件，则的最大值是（ ）2202201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩x yx +A ．2B ．C ．3D ．483【答案】C【分析】作出可行域，根据的几何意义，即可求得答案.x yx +【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示（阴影部分），解方程组 ，得，故，220220x y x y +-=⎧⎨--=⎩6525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩62,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭解，可得，故，2201x y y +-=⎧⎨=⎩121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩1,12C ⎛⎫⎪⎝⎭表示的是可行域内的点与原点连线的斜率，,yx ()0,0O 1,23OA OC k k =-=根据的几何意义可知的最大值为2，y x yx 的最大值为.1x y yx x +=+123+=故选：C.......许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列.现有一个“堆垛”，共50层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，...，按此规律，则第50层小球的个数为（ ）A ．2400B ．2401C ．2500D ．2501【答案】D【分析】依据等差数列的定义与求和公式，累加法计算即可.【详解】不妨设第层小球个数为，由题意，， ……，即各层小球之差成n n a 213a a -=325a a -=以3为首项，2为公差的等差数列.所以.()()*1322212,N n n a a n n n n --=+-=-≥∈故有，累加可得：，50494948219997..3a a a a a a ⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩()5014939922499a a -=⨯+÷=故.50249922501a =+=故选:D8．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（x ∈R ，i 为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中i e cos isin x x x =+的天桥”．根据此公式，下面四个结果中不成立的是（ ）A ．B ．i πe 10+=2022112⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭C ．D ．i i e e 2x x -+≤i i 2e e 2x x--≤-≤【答案】D【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．【详解】对于A ，当时，因为，所以，故选项A 正确；πx =πi e πcos i πsin 1=+=-i e 10π+=对于B ，，202220222022πi 674πi 31ππcos isin e e cos 674πisin 674π1233⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+===+= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选项B 正确；对于C ，由，，i e cos isin x x x =+()()i n ecos isi cos isin xx x x x-=-+-=-所以,得出，故选项C 正确；i i e e2cos x xx -+=i -i e e 2cos 2x x x +=≤对于D ，由C 的分析得，推不出，故选项D 错误．i i e e 2isin x xx -=-i -i 2e e 2x x -≤-≤故选：D ．9．已知函数的定义域为D ，若对任意的，都存在，使得，则()f x x D ∈0x D ∈()01x f x +=“存在零点”是“”的（ ）()f x 1D ∈A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据题意寻找条件说明充分性与必要性是否成立即可.【详解】若存在零点，不妨令，，即，()f x ()132f x x =-10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦10,2D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由，得，则存在零点，()1302f x x =-=16x =()f x 16任意的，取且，10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦001111,,2332x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦()011231312x f x x x ⎡⎤+=⎝+-=⎢⎛⎫- ⎥⎣⎦⎪⎭但，即，故充分性不成立；110,2⎡⎤∉⎢⎥⎣⎦1D ∉若，则存在，使得，则，即存在零点，故必要性成立，1D ∈0x D ∈()011f x +=()00f x =()f x 0x 所以，“存在零点”是“”的必要不充分条件．()f x 1D ∈故选：B ．10．已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线交于()2222:10,0x y C a b a b -=>>1F ()0y kx k =>C 两点，且，，则当取得最小值时，双曲线的离心率为,P Q 12π3PF Q ∠=114PF F Q ⋅=22212b a a +C （ ）A ．BC ．D 32【答案】D【分析】根据对称关系可知，，利用双曲线定义和向量数量积的定义可构造21PF F Q = 12π3F PF ∠=方程求得，由此化简，根据基本不等式取等条件可知，由双曲线离心率2b 22212b a a +22a =.e =【详解】不妨设位于第一象限，双曲线的右焦点为，连接，，P C 2F 2PF 2F Q为中点，四边形为平行四边形，，；O 12,PQ F F ∴12PFQF 21PF F Q ∴= 12π3F PF ∠=设，，则1PF m=()2,0PF n m n =>2m n a-=由得：，解得：；114PF F Q ⋅= 12π1cos 432PF PF mn mn ⋅=== 8mn =在中，，12PF F △()22222212π2cos4843F F m n mn m n mn a c =+-=-+=+=，2222b c a ∴=-=（当且仅当时取等号），2222212222b a a a a ∴+=+≥=22a =当取得最小值时，双曲线的离心率∴22212b a a +C e ==故选：D.11．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将沿直线DE 翻折成2AB AD ==ADE .在翻折过程中，直线与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（ ）1A DE△1A CA B C D 【答案】A【解析】分别取DE ，DC 的中点O ，F ，点A 的轨迹是以AF 为直径的圆，以为轴，过,OA OE ,x y与平面垂直的直线为轴建立坐标系，利用向量法求出正弦值为，换元O AOE z sin θ=后利用基本不等式可得答案.【详解】分别取DE ，DC 的中点O ，F ，则点A 的轨迹是以AF 为直径的圆，以为轴，过与平面垂直的直线为轴建立坐标系，,OA OE ,x y O AOE z则，平面ABCD 的其中一个法向量为= (0,0.1)，()2,1,0C -n由，设，则，11A O =()1cos ,0,sin A αα()1cos 2,1,sin CA αα=+-记直线与平面ABCD 所成角为，1A C θ则11sin||CA nCA nθ⋅===⋅设315cos,,sin222tαθ⎡⎤=+∈=≤=⎢⎥⎣⎦所以直线与平面ABCD，1A C故选：A.【点睛】本题主要考查利用向量法求线面角，考查了三角函数的恒的变换以及基本不等式的应用，考查了空间想象能力与计算能力，属于综合题.12．函数与其导函数为，满足，其中；若，()g x()g x'()()2111x g x g xx x⎛⎫⎛⎫'+⋅<-⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x>tanmθ=，其中，则下列不等式一定成立的有（）个sin cosnθθ=+π4θ<<①()()10g g m-<②()()()2110g n g m-->③()()()sin22120g ng nθ+->④()()()4120n g m ng n--<A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】根据导数法则及题中条件构造函数，利用导数研究单调性，再根据三角函数()()1g xf xxx=+知识比较m、n与1的大小，从而得到，对式子变形，结合三角恒等变换即可判()(1)()f m f f n>>断.【详解】设，则，()()1g xf xxx=+()()22111()01()g x x g xx xf xxx⎛⎫⎛⎫⋅+-⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭=<+'所以在上单调递减，因为，所以，()f x(0,)+∞π4θ<<tan(0,1)mθ=∈，因为，所以，πsin cos4nθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭π4θ<<πππ442θ<+<所以，即，所以，π14θ⎛⎫<+<⎪⎝⎭n∈()(1)()f m f f n>>由得，虽说，但、的符号不确定，则①不正确；()(1)f m f >()(1)12g m g m m >+12m m +>()g m (1)g 由得，()(1)12g m g m m >+22()(1)1m g m g m >+又，所以，所以，tan m θ=22tan ()(1)tan 1g m g θθ>+sin 2()(1)g m g θ>又，所以，所以②不正确；22ππ2sin 1cos 21sin 242n θθθ⎛⎫⎛⎫=+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2(1)()(1)n g m g ->由得，所以，(1)()f f n >(1)()12g g n n n >+2(1)(1)2()n g ng n +>即，所以，所以③正确；2(1)(1)2()0n g ng n +->(sin 22)(1)2()0g ng n θ+->由得，即，所以()()f m f n >()()11g m g n m n m n >++22()()11m n g m g n m n >++，2tan sin cos ()()tan 12sin 2g m g n θθθθθ+>++所以，2(sin cos )sin 2()()2sin 2g m g n θθθθ+>+所以，sin 2(2sin 2)()(2sin 2cos )()0g m g n θθθθ+-+>所以，即，所以④不正确.22(1)(1)()2()0n n g m ng n -+->()()()4120n g m ng n -->故选：A【点睛】关键点点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.二、填空题13．已知，，则在方向上的投影为________．()4,2a = ()1,1b =- a b 【答案】【分析】利用在方向上的投影的定义求解.a b【详解】因为，，()4,2a =()1,1b =-所以在方向上的投影为，a ba b b ⋅==故答案为：14．2023年五一节到来之前，某市物价部门对本市5家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场这种商品的售价x （单位：元）与销售量y （单位：件）之间的一组数据如下表所示：价格x 89.5m 10.512销售量y1610865经分析知，销售量y 件与价格x 元之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为，3.544y x =-+则________．m =【答案】10【分析】计算变量的平均值，根据变量y 与x 之间有较强的线性关系，结合回归直线的性质即,x y 可求得的值.m 【详解】变量的平均值为，变量的平均值为x 89.510.512855m mx ++++==+y ，161086595y ++++==又销售量y 件与价格x 元之间有较强的线性关系，所以其线性回归直线方程经过点3.544y x =-+，(),x y 所以，解得.9 3.58445m ⎛⎫=-⨯++ ⎪⎝⎭10m =故答案为：.1015．在数列中，，且递增，则___________．{}n a ()2211112n n n n n n a a a a a a +++++=++{}11,n a a =n a =【答案】2n，故可求数列的通项，也可以利1=+用特值方程法求出数列的通项.【详解】解法一 根据题意，有，()()221121210n n n n n a a a a a ++-++-+=于是，()11n n a a +=+考虑到，11n n a a +>≥1=()11n n=⨯-=进而．2,n a n n *=∈N解法二 根据题意，有，()2211112n n n n n n a a a a a a +++++=++，()2221212112n n n n n n a a a a a a ++++++++=++两式相减，得，()()()()2212222n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++++-=-+-因为数列单调递增，所以，，{}n a 2122n n n a a a +++=+31222n n n a a a ++++=+两式相减，得．321330n n n n a a a a +++-+-=解上式对应的特征方程,3(1)0x -=得，因此．1231x x x ===()2121n n a An Bn C An Bn C -=++⋅=++将代入上式，得1231,4,9a a a ===()2n a n n *=∈N 16．抛物线的焦点为F ，直线l 的方程为：，l 交抛物线于M ，N 两点，且24y x =7x ty =+，抛物线在M ，N 处的切线交于点P ，则的面积为________．0MF NF ⋅=PMN【答案】【分析】根据题意设点，，利用导数的几何意义求出抛物线在M ，N 处的切线方11(,)M x y 22(,)N x y 程，然后联立切线方程求出点的坐标，再利用弦长公式和点到直线的距离公式分别求出和点P MN到直线的距离，进而求出面积即可.P l 【详解】由题意知，焦点，设点，，不妨设，(10)F ，11(,)M x y 22(,)N x y 120,0y y ><将直线的方程代入抛物线方程可得，l 24280y ty --=则，，124y y t+=1228y y =-当时，抛物线方程可化为0y >y=y =y '=所以直线的方程为①PM 11)y y xx -=-当时，抛物线方程可化为，对求导可得，0y <y =-y =-y '=所以直线的方程为②PM 22)y y x x -=-联立方程①②，得，2112))y y x x x x-=--，x-=-则，7x====-所以点，(7,2)P t-又因为，，，MF NF⋅=11(1,)MF x y=--22(1,)NF x y=--则，解得，1212(1)(1)0x x y y--+=212t==点到直线的距离，Pld=所以的面积为PMN1122S MN d=⨯⨯=⨯=故答案为：三、解答题17．如图，是边长为2的正三角形，P在平面上且满足，记．ABCCP CA=θ∠=CAP (1)若，求PB的长；π3θ=(2)用表示，并求的取值范围．θPABS PABS【答案】(1)(2)(0,2⎤⎦【分析】（1）先根据题意求得，，再利用余弦定理求解即可；2π3PAB∠=2PA=（2）先根据题意得到，则，再利用正弦定理得到，再结合三CPA θ∠=π2PCA θ∠=-4cos AP θ=角形的面积公式得到，再结合正π2sin 23PAB S θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ π02θ<<弦函数的性质求解即可．【详解】（1）由，且是边长为2的正三角形，π3θ=ABC 则，且，2π3PAB ∠=2PA CP CA ===所以在中，PAB 由余弦定理得，22212cos 448122PB PA AB PA AB PAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭所以．PB =（2）由，则，则，CP CA =CAP CPA θ∠=∠=π2PCA θ∠=-在中，由正弦定理有，得，PAC △()2sin π2sin sin AP BC θθθ==-4cos AP θ=所以1ππsin 4cos sin 233PAB S PA AB θθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π2sin cos 2sin 22sin 23θθθθθθ⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭又，且，0πθ<<0π2πθ<-<则，则，π02θ<<ππ4π2333θ<+<所以，则，πsin 23θ⎛⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦(π2sin 20,23θ⎛⎫++ ⎪⎝⎭故的取值范围为．PAB S (0,2⎤⎦18．是边长为2的正三角形，P 在平面上满足，将沿AC 翻折，使点P 到达ABC CP CA=ACP △的位置，若平面平面ABC ，且．P 'P BC '⊥BC P A '⊥(1)作平面，使得，且，说明作图方法并证明；αAP α'⊂BC α⊥(2)点M 满足，求二面角的余弦值．2MC P M '=P AB M '--【答案】(1)作图及证明见解析；【分析】（1）记BC 中点为O ，连接AO ，，平面即为平面，根据正三角形的性质结合P O 'AP O 'α已知证明即可；（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由向量法O P AB 'ABM 求二面角的余弦值.【详解】（1）记BC 中点为O ，连接AO ，，平面即为平面，P O 'AP O 'α证明如下：因为为正三角形，O 为BC 中点，所以，ABC AO BC ⊥又，平面，平面，BC P A '⊥AO ⊂AP O 'AP '⊂AP O 'AO AP A '⋂=所以平面BC ⊥AP O'（2）由(1)可知,因为平面,以点为坐标原点，所在直线分别为P O '⊥,ABC AO BC ⊥O ,,OA OB OP '轴建立如下图所示的空间直角坐标系.,,x yz则1(0,1,0)0,3A B P M ⎛'- ⎝，， 设平面的法向量为，()(,,AB AP '==P AB '()111,,m x y z =则,取,则,111100m AB y m AP ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩'+ 11x=m =,设平面的法向最为,40,3BM ⎛=- ⎝ ABM ()222,,x n y z = 则，取，则，22220403n AB y n BM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 21x＝()2n = 由已知可得|||cos ,|m n m n m n ⋅===⋅由图可知二面角为锐角，故二面角.P AB M '--P AB M '--19．今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就．某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照，，，分组，得到如下所示的样本频[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；(2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用表示这10()P X k =名学生中恰有k 名学生的成绩在上的概率，求取最大值时对应的k 的值；[]90,100()P X k =(3)从测试成绩在的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道[]90,100题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望．ξξ【答案】(1)82.5(2)2k =(3)分布列见解析；()45E ξ=【分析】（1）根据题意，由中位数的意义列出方程，即可得到结果；（2）根据题意可得，当取最大值时，则，()P X k =()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩然后求解，即可得到结果；（3）由题意可得，甲乙分别进入复赛的概率，然后求得的概率，即可得到分布列与期()0,1,2P ξ=望.【详解】（1）因为前两个矩形的面积之和为，前三个矩形面积为()0.010.03100.40.5+⨯=<，()0.010.030.04100.80.5++⨯=>所以中位数在之间，设中位数为，()80,90x 则，解得，故中位数为.()()100.010.03800.040.5x ⨯++-⨯=82.5x =82.5（2）由题意可得，成绩在上的概率为，则不在的概率为，[]90,1000.2[]90,1000.8所以，即有，，()10,0.2X B ()()()1010C 0.20.8kkk P X k -==⋅0,1,2,,10k = 当取最大值时，则，()P X k =()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩即，()()()()()()()()1019110101011111010C 0.20.8C 0.20.8C 0.20.8C 0.20.8k k k k k k k k k k k k -+-+----⎧⋅≥⎪⎨⋅≥⎪⎩解得，即，()()1010.211010.2k +⨯-≤≤+⨯ 1.2 2.2k ≤≤且，所以.k ∈N 2k =（3）由题意可知，从6道题中选4题共有，46C 15=因为甲能答对6道题中的4道题，故甲能进复赛的情况共有，314424C C C 9+=所以甲能进复赛的概率为，则甲不能进复赛的概率为；93155=32155-=因为乙能答对6道题中的3道题，故乙能进复赛的情况共有,3133C C 3=所以乙能进复赛的概率为，则乙不能进复赛的概率为；31155=14155-=依题可得，的可能取值为，ξ0,1,2所以，，，()24805525P ξ==⨯=()3421141555525P ξ==⨯+⨯=()31325525P ξ==⨯=则分布列为:ξ12P8251425325则.()814340122525255E ξ=⨯+⨯+⨯=20．已知椭圆，，为C 的左右焦点.点为椭圆上一点，且()2222:10x y C a b a b +=>>1F2F 31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.过P 作两直线与椭圆C 相交于相异的两点A ，B ，直线PA 、PB 的倾斜角互补，直124PF PF +=线AB 与x ，y 轴正半轴相交.(1)求椭圆C 的方程；(2)点M 满足，求M 的轨迹方程.AM MB =【答案】(1)22143x y +=(2)32y x=(01)x <<【分析】（1）利用椭圆的定义，将点P 代入椭圆方程计算即可；（2）设直线AB ，联立椭圆方程结合直线、的倾斜角互补(即斜率之和为零)，利用韦达定理PA PB 计算出直线AB 的斜率，再利用消参法求出动点M 的轨迹方程.【详解】（1）因为，所以，即，124PF PF +=24a =2a =把代入，得，所以，31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭22221x y a b +=219144b +=23b =故椭圆C 的方程为；22143x y +=（2）由题意，直线AB 斜率存在，不妨设其方程为，y kx m =+设点，()()1122,,A x y B x y 、联立椭圆方程，得，2234120y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩()2224384120k x kmx m +++-=其中，则，()()()()22222Δ844341248430km k m k m =-+-=⨯-+>2243m k <+所以，21212228412,4343km m x x x x k k --+=⋅=++因为直线、的倾斜角互补，所以，PA PB 0PA PB k k +=所以，化简得，12123322011y y x x +++=--()()122112123302x y x y x x y y +++-+-=即，()1212322302kx x m k x x m ⎛⎫+-++--= ⎪⎝⎭所以，若，此时直线AB 过点P ，不合题意舍去；()()212230k k m +++=2230k m ++=故，所以，所以直线AB 方程为 ，210k +=12k =-12y x m=-+设，因为，所以M 为AB 的中点，()00,M x y AM MB =所以，则，12024224342x x km m mx k +-====+00113244y x m m m m =-+=-+=消去m 得，又，且，所以，0032y x =22434m k <+=0m >02m <<所以，所以点M 的轨迹方程为.001x <<32y x=(01)x <<21．已知函数，．()212cos x a f x x =+-a R ∈(1)若是函数唯一的极小值点，求实数a 的取值范围；0x =()f x (2)．2+< 【答案】(1)[)1,+∞(2)见解析【分析】（1）首先求导得，分和讨论即可得出的单调性，即可()sin f x x ax'=-+1a <1a ≥()f x 得出答案；（2）由（1）证明可知，当且时，，，利用累加1a =0x >0x >sin x x >x <法、等比数列前n 项和及错位相减法即可证明原不等式.【详解】（1），且，令，则，()sin f x x ax'=-+()00f '=()()g x f x '=()cos g x x a'=-+①当时，，则单调递增，1a ≥()0g x '≥()g x 当时，，0x >()()()00g x f x g >'==当时，，0x <()()()00g x f x g <'==即当时，单调递增，当时，单调递减，即可证得是函数唯一的极小值0x >()f x 0x <()f x 0()f x 点；②当时，，1a <()010g a =-'+<所以存在使得，在单调递减，即当时，0δ>()0,x δ∈()()g x f x '=()0,δ()0,x δ∈，所以在单调递减，与是函数唯一的极小值矛盾，()()00f x f ''<=()f x ()0,δ0()f x 综上：，从而实数a 的取值范围为.1a ≥[)1,+∞（2）由（1）证明可知，当且时，即，，1a =0x >sin 0x x -+>0x >sin x x >当时，，0x >32sin 1x x <⋅x <，202312320232482+<++++ 令，202312320232482S =++++ ，202411232023248162S =++++ 两式相减可得：，20232024111112023224822S =++++- 化简可得：.202320241202321222S ⎡⎤⎛⎫=--<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.2+< 【点睛】关键点睛：第二问的关键是在于利用不等式，最后sin x x >x <由累加法、等比数列前n项和及错位相减法即可证明.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（α为参数），以坐标2222sin 1,cos sin x y ααα⎧=+⎪⎪-⎨⎪=⎪⎩原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为l ()πR .6θρ=∈(1)求的普通方程与的直角坐标方程；C l (2)求与交点的极坐标.l C 【答案】(1)C 的普通方程为，的直角坐标方程为；2221x y -=l y x =(2)，.π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭7π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）结合三角函数恒等变换消去参数可得的普通方程，利用将极C cos ,sin x y ρθρθ==坐标方程转化为普通方程；（2）联立方程组求交点的直角坐标，再将其转化为极坐标.【详解】（1）因为2222sin 1,cos sin x y ααα⎧=+⎪⎪-⎨⎪=⎪⎩所以1,cos22,x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②得..222-⨯①②222221sin 221,cos 2cos 2x y ααα-=-=由，得，π6θ=sin tan cos θθθθθ===所以，所以sin cos ρθθ=,y =所以C 的普通方程为，l 的直角坐标方程为.2221x y -=y =（2）联立得或，2221x y y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩1x y ⎧⎪⎨=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩所以l 与C 交点的直角坐标分别为，，)()1-设点的极坐标为，，，)()11,ρθ10ρ≥[)10,2πθ∈则，，12ρ=111cos 2θθ==所以，，12ρ=1π6θ=所以点的极坐标为，)π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭同理可得点的极坐标为，()1-7π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭故与交点的极坐标为，.l C π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭7π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭23．已知函数.()()13f x x a a R =-∈（1）当时，解不等式；2a =()113x f x -+≥（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.()13x f x x -+≤M 11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦a 【答案】（1）或；（2）.{0x x ≤}1x ≥14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）分别在、和三种情况下，去除绝对值符号后解不等式求得结果；13x ≤123x <<2x ≥（2）将问题转化为在上恒成立，得到，从而确定，313x x a x -+-≤11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x a -≤11a x a -≤≤+可得，解不等式组求得结果.113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩【详解】（1）当时，原不等式可化为.2a =3123x x -+-≥①当时，，解得：，；13x ≤132343x x x -+-=-≥0x ≤0x ∴≤②当时，，解得：，；123x <<312213x x x -+-=+≥1x ≥12x ≤<∴③当时，，解得：，；2x ≥312433x x x -+-=-≥32x ≥2x ∴≥综上所述：不等式的解集为或.()113x f x -+≥{0x x ≤}1x ≥（2）由知：，()13x f x x -+≤313x x a x -+-≤，在上恒成立，11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦ 313x x a x +∴--≤11,32⎡⎤⎢⎣⎦，即，，解得：，313x x a x ∴-+-≤1x a -≤11x a ∴-≤-≤11a x a -≤≤+，解得：，即实数的取值范围为.113112a a ⎧-≤⎪⎪∴⎨⎪+≥⎪⎩1423a -≤≤a 14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键是能够根据将问题转化为恒成立问题的求11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦解，从而将问题转化为参数与的最值之间大小关系的问题.x。
四川省成都市2019届高三下学期3月第二次诊断性检测数学理试题及答案
四川省成都市2019届高三下学期3月第二次诊断性检测数学理试题（word 版）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I 卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题），满分100分，考试时问120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时．必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题}规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效， 5．考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷（选择题，共1o 分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，1．设复数z=3十i （i 为虚数单位）在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，刚，点B 在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2．执行如图所示的程序铤圈，若输人x 的值为7，则输出x 的值为 A ．14B ． 213ogC ．2D ．33．（x －1）10的展开式中第6项的系数足 A ．510C - B ．510CC ．610C -D ．610C [:4．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组12010y x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域上一动点，则直线0P 斜率的最大值为 A ．2B ．13C ．12D ．15．已知,αβ是两个不同的平面．则“平面α∥平面β”成立的一个充分条件是 （A ）存在一条直线,,l l l αβ⊂ （B ）存在一个平面,,γγαγβ⊥⊥ （C ）存在一条直线,,l l l αβ⊥⊥ （D ）存在一个平面,,γγαγβ⊥6．设命题00000:,.cos()cos cos n R ωβαβαβ∃∈--+：命题:,q x y R ∀∈，EG ,,22x k y k k Zππππ≠+≠+∈若tan,tan x y x y >>则A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝7．已知P 是圆22(1)1x y -+=上异于坐标原点O 的任意一点．直线OP 的倾斜角为θ若|OP|=d ，则函数()d f θ=的大致图象是8．已知过定点（2，0）的直线与抛物线x 2=y 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，x 1，x 2是方程2sin cos 0x x a a +-=的两个不相等实数根，则tana 的值是A ．12B ．－12C ．2D ．－29．某市环保部门准备对分布在该市的A ，B ，C ，D ，E,．F ，G ，H 等8个不同监测点的环境监测设备进行检测维护，要求在一周内的星期一至星期五检测维护完所有监测点的设备，且每天至少去一个监测点进行检测维护，其中A ，B 两个监测点分别安排在星期一和星期二，C ，D ，F 三个监测点必须安排在同一天．F 监测点不能安排在星期五，则不同的安排方法种数为 A ．36 B ．40 C ．48 D ．60[: 10．已知定义在[o ，+∞）上的函数()f x 当[0,1]x ∈时，1()242f x x =--；当x>l 时()(1),,f x af x a R a =-∈为常数．有下列关于函数()f x 的描述： ①当a=2时．3()42f =②当1a <时，函数()f x 的值域为[－2，2]；③当a>0时，不等式122()2f x a -≤在区间[0，+∞）上恒成立；④当一l< a<0时，函数()f x 的图象与直线1*2()n y a n N -=∈内的交点个数为1(1)2nn +--其中描述正确的个数有 A ．4 B ．3C ．2D ．11第Ⅱ卷（菲选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分。
四川省成都市双流区高三数学二诊模拟(3月月考)试题理(扫描版)
四川省成都市双流区22017届高三数学二诊模拟（3月月考)试题理（扫
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高三数学3月二诊模拟考试试题理A试题
卜人入州八九几市潮王学校七中2021届高三数学3月二诊模拟考试试题理〔扫描〕教A七中高2021级高三数学测试题〔理科〕参考答案一、CCDBCBDDCA二、15;15;−36x 7;;12−12013!三、16.〔1〕证明：2sin (A −B )=sin(A +B)正弦和差角公式翻开即得〔2〕117.〔1〕〔2〕Eξ=30;Dξ=803 18．解〔1〕分别以CA 、CB 、CC1为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系所以)1,0,(),0,21,22(),21,1,0(x P Q M由0=⋅PQ CM 得CM PQ ⊥〔2〕取面B AA 1的法向量)0,2,1(1=n ，取面B CA 1的法向量)2,0,1(2-=n ，19．解〔1〕由题意得2,1,3===a c b 椭圆方程为13422=+y x〔2〕1,1222111--=-=x x x x λλ所以1)()(21121212121221121++-+-=-+-=-x x x x x x x x x x x x λλ 联立01248)43(1243)1(222222=-+-+⇒⎩⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y所以2221222143124,438kkxxkkxx+-=+=+得3821= -λλ20．解〔1〕21)1(1+=++nnaa，取对数得)1(log2)1(log313+=++nnaa所以1312-=-nna〔2〕43211111=++=aab，且>nb，所以43≥nS先证明不等式)11(212111nnnnaaaa-<++-，令)3(,322≥=-ntn那么只需证明11111212222---<++-tttt只需证明141212222>+-⇐--<+ttttt当4>t时显然成立所以18079218014039)1821801(2140943<<-+<-+++<nnn aaS〔3〕∑=-=nk kk n TT S113221．解〔1〕)1()(22/≤--=xxxf所以)(xf在),0(+∞上单调递减〔2〕又)1(= f所以当1>x时，211lnln21ln2122<-<⇒<-⇒<--xxxxxxxxx当10<<x时，211lnln21ln2122<-<⇒>-⇒>--xxxxxxxxx所以211ln2<-<xxx〔3〕右端不等式只需证明ln21ln21≤--⇐-≤nnnnnn当1≥n时成立左端不等式只需证明n nln11-≥令xn=1，只需证明xx ln1≥-显然成立。
成都市高考数学三模试卷(理科)A卷(模拟)
成都市高考数学三模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知集合P={x|﹣1≤x≤1}，M={a}．若M⊆P，则a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1]B . [1，+∞）C . [﹣1，1]D . （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2. （2分） (2016高二下·衡水期中) 设复数w=（） 2 ，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为（）A . ﹣B . ﹣C .D .4. （2分） (2016高二上·临漳期中) 下列说法不正确的是（）A . 若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B . 命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C . 设A，B是两个集合，则“A⊆B”是“A∩B=A”的充分不必要条件D . 当a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减5. （2分）已知实数满足，则目标函数的最大值为（）A . 2B . 0C . 9D . 86. （2分）已知f（x）=2x ，下列运算不正确的是（）A . f（x）•f（y）=f（x+y）B . f（x）÷f（y）=f（x﹣y）C . f（x）•f（y）=f（x•y）D . f（log23）=38. （2分） (2015高二下·营口期中) 5位老师去听同时上的4节课，每位老师可以任选其中的一节课，不同的听法有（）A . 54B . 5×4×3×2C . 45D . 4×3×2×19. （2分）如图，设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则•=（）A . 8B . 10C . 11D . 1210. （2分）函数(e为自然对数的底数）的值域是实数集R，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D . [0，1]二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分）已知实数x∈[2，30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是________12. （2分） (2016高二上·杭州期中) 如下图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是________，若D1E⊥EC，则直线A1D与平面D1DE所成的角为________13. （1分） (2018高一上·扬州月考) 函数的最小值为________．14. （1分） (2016高二上·昌吉期中) 椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为 m，则m=________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2018·山东模拟) 《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行。
四川省成都市第七中学2023届高三下学期三诊模拟考试理科数学试题(2)
一、单选题1. 如图，网格纸上的小正方形的长边1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．2.在底面边长为的正四棱锥中，异面直线与所成角的正切值为，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．3.在递增的数列中，，若，且前项和，则（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64. 已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．5. 某班会课上，班主任拟安排甲、乙、丙、丁、戊五名同学以新冠疫情为主题分享体会，要求甲不能排前3位，且乙必须排在丙、丁的前面，则安排方法种数为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．246. 下列关于函数的命题正确的是A ．函数在区间上单调递增B．函数的对称轴方程是（）C．函数的对称中心是（）（）D ．函数以由函数向右平移个单位得到7. 的展开式中，的系数等于（ ）A．B．C ．10D ．458. 如图为国家统计局年月日发布的年各季度社会消费品零售总额及增速，则下列说法：四川省成都市第七中学2023届高三下学期三诊模拟考试理科数学试题(2)四川省成都市第七中学2023届高三下学期三诊模拟考试理科数学试题(2)二、多选题三、填空题①各季度社会消费品零售总额增速最快的是季度；②各季度社会消费品零售总额增速最快的是季度；③各季度社会消费品零售总额增量最大的是季度；④各季度社会消费品零售总额增量最大的是季度.其中所有正确说法的序号为（ ）A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④9. 在矩形ABCD 中，以AB 为母线长，2为半径作圆锥M ，以AD 为母线长，8为半径作圆锥N ，若圆锥M 与圆锥N 的侧面积之和等于矩形ABCD 的面积，则（ ）A ．矩形ABCD的周长的最小值为B ．矩形ABCD的面积的最小值为C ．当矩形ABCD的面积取得最小值时，D ．当矩形ABCD的周长取得最小值时，10. 已知函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．B．C ．若，则D．的图像向右平移个单位长度后关于轴对称11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，，若为等腰三角形，则直线的斜率可能为（ ）A．B．C．D．12. 已知实数a ，b ，c满足，且，则下列结论中正确的是（ ）A．B．C．D．13.设等差数列的前n 项和为，已知，，则_______．14. 在正方体中，，点，分是棱，的中点，有下列命题：①平面平面；②平面截正方体所得截面的面积为；③直线与平面所成角的正弦值为；④若点是线段上的一个动点，则三棱锥的体积为定值.其中正确的选项是___________.15. 已知数列中，对任意的若满足（为常数），则称该数列为阶等和数列，其中为阶公和；若满足（为常数），则称该数列为阶等积数列，其中为阶公积.已知数列为首项为的阶等和数列，且满足四、解答题；数列为公积为的阶等积数列，且，设为数列的前项和，则__________．16. 记的内角的对边分别为，面积为，且．(1)求的外接圆的半径；(2)若，且，求边上的高．17. 已知函数.(1)求的单调区间；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：.18.设函数.（1）若在时有极值，求实数的值和的极大值； （2）若在定义域上是增函数,求实数的取值范围．19.在钝角中，分别是角的对边，，且.（1）求角的大小；（2）求函数的值域．20. 已知函数.(1)比较与0的大小；(2)证明：对任意的，恒成立.21. 只要骑车，都应该戴头盔．骑行头盔是骑行中生命坚实的保护屏障．骑行过程中的摔倒会对头部造成很大的损害，即使骑行者是以较低的车速沿着坡度平稳的自行车道骑行，也同样不可忽视安全问题．佩戴头盔的原因很简单也很重要——保护头部，减少伤害．相关数据表明，在每年超过500例的骑车死亡事故中，有75%的死亡原因是头部受到致命伤害造成的，医学研究发现，骑车佩戴头盔可防止85%的头部受伤，并且大大减小了损伤程度和事故死亡率．某市对此不断进行安全教育，下表是该市某主干路口连续5年监控设备抓拍到通过该路口的骑电动车不戴头盔的人数的统计数据：年份20192020202120222023年份序号12345不戴头盔人数1450130012001100950(1)求不戴头盔人数与年份序号之间的线性回归方程；(2)预测该路口2024年不戴头盔的人数．参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为．。
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四川省成都七中2013届高三数学3月二诊模拟考试试题理（扫描版）
新人教A版
成都七中高2013级高三数学测试题（理科）参考答案
一、C C D B C B D D C A
二、15 ; 15 ;
; ; 三、16.（1）证明：
正弦和差角公式打开即得 （2）1
20 25 30 35 40 P
（2） 18．解（1）分别以CA 、CB 、CC1为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系
所以)1,0,(),0,21,22(),21,1,0(x P Q M
由0=⋅PQ CM 得CM PQ ⊥
（2）取面B AA 1的法向量)0,2,1(1=n ，取面B CA 1的法向量)2,0,1(2-=n ， 31
331
,cos 21=⨯>=<n n
19．解（1）由题意得2,1,3===
a c
b 椭圆方程为1342
2=+y x
（2）1,1222111--=-=
x x x x λλ
所以
1)()(21121212121221121++-+-=-+-=
-x x x x x x x x x x x x λλ 联立01248)43(1243)1(222222=-+-+⇒⎩⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y
所以
2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+ 得38
21=-λλ
20．解（1）21)1(1+=++n n a a ，取对数得
)1(log 2)1(log 313+=++n n a a 所以1312-=-n n a
（2）43211111=++=
a a
b ，且0>n b ，所以43≥n S 先证明不等式)11(212111n n n n
a a a a -<++-，令)3(,322≥=-n t n 则只需证明11111212222---<++-t t t t 只需证明0141212222>+-⇐--<+t t t t t 当4>t 时显然成立 所以18079218014039)1821801(2140943<<-+<-+++<
n n n a a S
（3）∑=-=n
k k k n T T S 1132
21．解（1）0)1()(22
/≤--=x x x f
所以)(x f 在),0(+∞上单调递减
（2）又0)1(=f
所以当1>x 时，
211ln 0ln 210ln 2122<-<⇒<-⇒<--x x x x x x x x x 当10<<x 时， 211ln 0ln 210ln 2122<-<⇒>-⇒>--x x x x x x x x x
所以211ln 02<-<
x x x
（3）右端不等式只需证明0ln 21ln 21≤--⇐-≤n n n n n n 当1≥n 时成立 左端不等式只需证明n n ln 11-≥
令x
n =1，只需证明x x ln 1≥-显然成立。