2018年高三数学模拟试题理科

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2018高考理科数学模拟试题.doc

2018 学年高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题, 每小题5 分, 共60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A= 0，1，2，3 ，B= x x 2a 1，a A ，则A B=( )A. 1，2B. 1，3C. 0，1D. 1，32．已知i 是虚数单位，复数z 满足1 i z 2i ，则z 的虚部是（）A. iB. iC. 1D. 13．在等比数列a n 中，a1 a3 a5 21，a2 a4 a6 42 ，则数列a n 的前9 项的和S9 （）A. 255B. 256C. 511D. 512x4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线x 1以及曲线y e 1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（）A. 1e B. e 2e 11C. D.e 1 11e5．在 2 )5(x x y 的展开式中，含x的项的系数是（）5 y25 y2A. 10B. 20C. 30D. 606．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为( )A. 3 6B. 6 6C. 3 12D. 12x7．已知函数 f x log( 2 a ) 在( ,1) 上单调递减，则 a 的取值范围是( )A. 1 a 1B. 0 a 1或1 a 2C. 0 a 1D. 0 a 1或a 28．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数的可能取值的集合是（）A. 2，3，4，5B. 1，2，3，，4 ，5 6C. 1，2，3，，4 5D. 2，3，4，，5 69．R上的偶函数 f x 满足f x 1 f x 1 ，当0x 1时， 2f x x ，则y f x log x 的零点个数为（）5A. 4B. 8C. 5D. 1010．如图，已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，直线l 过F且依次交抛物线及圆 2 2 1x 1 y 于点A, B, C,D 四点，则AB 4 CD4的最小值为（）A. 172B.152C.132D.11211．已知函数 2 2xf x 4sin x sin 2sin x 0 在区间2 42,2 3上是增函数，且在区间0, 上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（）A. 0,1B. 0, 34C. 1,D.1 3,2 412．已知数列{a } 中，a1 =1，且对任意的n*m,n N , 都有a m n a m a n mn, 则201811ai i（）A．20182019B ．20172018C． 2 D ．4036 2019第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分20 分.vv13．已知平面向量 a 2,1 ,b 2,xv vv v，且a 2b a b，则x __________.x y 214．若变量x, y满足{2 x 3y 6 ，且x 2y a 恒成立，则 a 的最大值为______________.x 015．若双曲线2 2x y2 2 1 a 0,b 0a b上存在一点P 满足以OP 为边长的正方形的面积等于2ab（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是__________．16．若曲线 2 xC1 : y ax (a0) 与曲线C2 : y e 存在公共切线，则a的取值范围为__________．三、解答题：本大题共 6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知向量v v3v va (sin x , 3sin x ,b sinx ,cosx , f x a b .2 2（1）求f x 的最大值及 f x 取最大值时x 的取值集合M ；（2）在△ABC中，a,b,c 是角A,B,C 的对边, 若C2 4M 且c 1，求△ABC的周长的取值范围.18．如图，已知四棱锥P ABCD 的底面为直角梯形，AB / /DC ，DAB 90 ，PA 底面ABCD ，且1PA AD DC ，AB 1，M 是PB 的中点。

2018年高考第三次模拟考试理科数学试卷含答案

**2017—2018学年度高三年级第三次模拟考试**理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}13,0M x x N x x =-≤<=<，则集合{}03xx ≤<=（）A ．MN⋂ B ．MN⋃ C.()R MC N⋂ D ．()R C M N⋂2.复数z 满足()234i z i --=+（i 为虚数单位），则z=（）A ．2i -+B ．2i - C. 2i -- D ．2i + 3.已知ta n 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ta n 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2-．2+C. 2--．2-+4.已知命题:p 在A B C ∆中，若sin sin A B=，则A B=；命题():0,q x π∀∈，1sin 2sin x x+>.则下列命题为真命题的是（） A ．pq∧ B ．()pq ∨⌝ C.()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q⌝∨5.已知双曲线()2222:10,0x y Ea b ab-=>>的两条渐近线分别为12,l l ，若E 的一个焦点F 关于1l 的对称点F '在2l 上，则E 的离心率为（）A B ．326.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．6B ．7 C. 152D ．2337.已知函数()()s in 203f x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相切，则()f π=（）A ．32-B ．12-12- D ．12--8.已知P 是抛物线24y x=上任意一点，Q 是圆()2241xy-+=上任意一点，则P Q 的最小值为（）A ．52B ．1D．19.利用随机模拟的方法可以估计圆周率π的值，为此设计如图所示的程序框图，其中()ra n d 表示产生区间[]0,1上的均匀随机数（实数)，若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（）A ．3.134B ．3.141 C.3.144 D ．3.147 10.在A BC ∆中，点G 满足0G A G BG C ++=.若存在点O ，使得16O GB C=，且O Am O B n O C=+，则m n -=（）A ．2B ．2- C. 1 D ．1- 11.若异面直线,m n 所成的角是60︒，则以下三个命题: ①存在直线l ，满足l 与,m n 的夹角都是60︒； ②存在平面α，满足mα⊂，n 与α所成角为60︒；③存在平面,αβ，满足,mn αβ⊂⊂，α与β所成锐二面角为60︒.其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1 C. 2 D ．3 12.已知()0,xxxea fx e a>=+，若()f x 的最小值为1-，则a=（）A ．21eB ．1eC. e D ．2e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量,x y 满足约束条件10,1,250,x y y x y -+≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则zx y=+的最大值为．14.某种袋装大米的质量X （单位：k g ）服从正态分布()50,0.01N ，任意选一袋这种大米，质量在49.850.1kg的概率为． 15.设函数()2,0,0,x x f x x ⎧<⎪=≥则使得()()f x fx >-成立的x 得取值范围是．16.A B C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，角A 的内角平分线交B C 于点D ，若111,2a bc=+=，则A D 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，111,2a b ==，22337,13a b a b +=+=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若,,n nn a n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n S .18. 某球迷为了解,A B 两支球队的攻击能力，从本赛季常规赛中随机调查了20场与这两支球队有关的比赛.两队所得分数分别如下：A球队：122 110 105 105 109 101 107 129 115 100114 118 118 104 93 120 96 102 105 83B球队：114 114 110 108 103 117 93 124 75 10691 81 107 112 107 101 106 120 107 79（1）根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图，并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）根据球队所得分数，将球队的攻击能力从低到高分为三个等级：记事件:C “A 球队的攻击能力等级高于B 球队的攻击能力等级”.假设两支球队的攻击能力相互独立. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率. 19.如图，四棱锥PA B C D-的底面A B C D 是平行四边形，90B A CP A D P C D ∠=∠=∠=︒.（1）求证：平面P A B ⊥平面A B C D ；（2）若3AB AC PA ===，E 为B C 的中点，F 为棱P B 上的点，//P D平面A E F ，求二面角A D F E--的余弦值.20.已知点()2,0A -，点()1,0B -，点()1,0C ，动圆O '与x 轴相切于点A ，过点B 的直线1l 与圆O '相切于点D ，过点C 的直线2l 与圆O '相切于点E （,D E 均不同于点A ），且1l 与2l 交于点P ，设点P 的轨迹为曲线Γ. （1）证明：P B P C+为定值，并求Γ的方程；（2）设直线1l 与Γ的另一个交点为Q ，直线C D 与Γ交于,M N两点，当,,O D C '三点共线时，求四边形M P N Q 的面积. 21.已知0a>，函数()24ln 2a f x x x a=+-+.（1）记()()2g a fa =，求()g a 的最小值；（2）若()yfx =有三个不同的零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知点A 在椭圆22:24Cx y+=上，将射线O A 绕原点O 逆时针旋转2π，所得射线O B 交直线:2l y =于点B .以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求椭圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）证明：:R t O A B ∆中，斜边A B 上的高h 为定值，并求该定值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()123f x x x =---.（1）求不等式()0f x ≥的解集；（2）设()()()g x fx fx =+-，求()g x 的最大值.试卷答案一、选择题1-5: CADBB 6-10: BBDCD 11、12：DA 二、填空题13. 4 14.0.8185 15.()(),10,1?∞-⋃- 16.2⎫⎪⎪⎣⎭三、解答题 17.解：（1）设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，依题意有，⎩⎨⎧1＋d ＋2q ＝7，1＋2d ＋2q 2＝13，解得d ＝2，q ＝2，故a n ＝2n －1，b n ＝2n，（2）由已知c 2n －1＝a 2n －1＝4n －3，c 2n ＝b 2n ＝4n，所以数列{c n }的前2n 项和为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…b 2n )＝n(1＋4n －3)2＋4(1－4n)1－4＝2n 2－n ＋ 4 3(4n －1)．18．解：（1）两队所得分数的茎叶图如下3 6 9 3 15 2 4 0 7 1 9 5 5 10 8 367 7 1 6 78 8 4 5 0 11 4 4 0 7 20 9 2 12 4 0通过茎叶图可以看出，A 球队所得分数的平均值高于B 球队所得分数的平均值； A 球队所得分数比较集中，B 球队所得分数比较分散．（2）记C A1表示事件：“A 球队攻击能力等级为较强”， C A2表示事件：“A 球队攻击能力等级为很强”； C B1表示事件：“B 球队攻击能力等级为较弱”， C B2表示事件：“B 球队攻击能力等级为较弱或较强”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C A1与C A2互斥，C ＝(C A1C B1)∪(C A2C B2)． P (C)＝P (C A1C B1)+ P (C A2C B2)＝P (C A1)P (C B1)＋P (C A2)P (C B2)．由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为1420，320，520，1820，故P (C A1)＝1420，P (C A2)＝320，P (C B1)＝520，P (C B2)＝1820，P (C)＝1420×520＋320×1820＝0.31．19．解：（1）∵AB ∥CD ，PC ⊥CD ，∴AB ⊥PC ， ∵AB ⊥AC ，AC ∩PC ＝C ，∴AB ⊥平面PAC ， ∴AB ⊥PA ，又∵PA ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ， ∴PA ⊥平面ABCD ，PA 平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面ABCD ．（2）连接BD 交AE 于点O ，连接OF ， ∵E 为BC 的中点，BC ∥AD ， ∴ BO OD ＝ BE AD ＝ 1 2， ∵PD ∥平面AEF ，PD 平面PBD ，平面AEF ∩平面PBD ＝OF ， ∴PD ∥OF ，∴ BF FP ＝ BO OD ＝ 1 2，以AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，3，0)，D(－3，3，0)， P(0，0，3)，E ( 3 2， 32，0)，F(2，0，1)，设平面ADF 的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AF →＝(2，0，1)，AD →＝(－3，3，0)，由AF →·m ＝0，AD →·m ＝0得⎩⎨⎧2x 1＋z 1＝0，－3x 1＋3y 1＝0，取m ＝(1，1，－2)．设平面DEF 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)，∵DE →＝( 9 2，－ 3 2，0)，EF →＝( 1 2，－ 32，1)，由DE →·n ＝0，EF →·n ＝0得⎩⎨⎧ 9 2x 2－ 32y 2＝0， 1 2x 2－ 32y 2＋z 2＝0，取n ＝(1，3，4)． cos m ，n＝m ·n |m ||n |＝－23939， ∵二面角A-DF-E 为钝二面角，∴二面角A-DF-E 的余弦值为－23939．20．解：（1）由已知可得|PD|＝|PE|，|BA|＝|BD|，|CE|＝|CA|，所以|PB|＋|PC|＝|PD|＋|DB|＋|PC| ＝|PE|＋|PC|＋|AB| ＝|CE|＋|AB|＝|AC|＋|AB|＝4＞|BC| 所以点P 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（去掉与x 轴的交点），可求的方程为x 24＋y23＝1(y ≠0)．（2）由O ，D ，C 三点共线及圆的几何性质，可知PB ⊥CD ，又由直线CE ，CA 为圆O 的切线，可知CE ＝CA ，O A ＝O E ，所以△OAC ≌△O EC ，进而有∠ACO ＝∠ECO ，所以|PC|＝|BC|＝2，又由椭圆的定义，|PB|＋|PC|＝4，得|PB|＝2，所以△PBC 为等边三角形，即点P 在y 轴上，点P 的坐标为(0，±3)(i)当点P 的坐标为(0，3)时，∠PBC ＝60，∠BCD ＝30，此时直线l 1的方程为y ＝3(x ＋1)，直线CD 的方程为y ＝－33(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3(x ＋1)整理得5x 2＋8x ＝0，得Q (－ 8 5，－335)，所以|PQ|＝165，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y23＝1，y ＝－33(x －1)整理得13x 2－8x －32＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝813，x 1x 2＝－3213，|MN|＝1＋ 1 3|x 1－x 2|＝4813，所以四边形MPNQ 的面积S ＝1 2|PQ|·|MN|＝38465．(ii)当点P 的坐标为(0，－3)时，由椭圆的对称性，四边形MPNQ 的面积为38465．综上，四边形MPNQ 的面积为38465．21．解：（1）g (a)＝ln a 2＋4a a 2＋a 2－2＝2(ln a ＋ 1 a －1)，g(a)＝2(1a － 1 a )＝2(a －1)a，所以0＜a ＜1时，g (a)＜0，g (a)单调递减；a ＞1时，g(a)＞0，g (a)单调递增，所以g (a)的最小值为g (1)＝0．（2）f(x)＝ 1x －4a (x ＋a 2)2＝x 2＋(2a 2－4a)x ＋a 4x(x ＋a 2)2，x ＞0．因为y ＝f (x)有三个不同的零点，所以f (x)至少有三个单调区间，而方程x 2＋(2a 2－4a)x ＋a 4＝0至多有两个不同正根，所以，有⎩⎨⎧2a 2－4a ＜0，Δ＝16a 2(1－a)＞0，解得，0＜a ＜1．由（1）得，当x ≠1时，g (x)＞0，即ln x ＋1x－1＞0，所以ln x ＞－ 1x，则x ＞e －1x (x ＞0)，令x ＝a 22，得a 22＞e － 2 a 2．因为f (e － 2a 2)＜－ 2 a 2＋ 4 a －2＝－2(a －1)2a2＜0，f (a 2)＞0，f (1)＝4a 1＋a 2－2＝－2(a －1)21＋a 2＜0，f (e 2)＝4a e 2＋a2＞0，所以y ＝f (x)在(e － 2a 2，a 2)，(a 2，1)，(1，e 2)内各有一个零点，故所求a 的范围是0＜a ＜1．22．解：（1）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得椭圆C 极坐标方程为ρ2(cos 2θ＋2sin 2θ)＝4，即ρ2＝41＋sin 2θ；直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝2，即ρ＝ 2sin θ．（2）证明：设A(ρA ，θ)，B (ρB ，θ＋2)，－2＜θ＜ 2．由（1）得|OA|2＝ρ2A ＝41＋sin 2θ，|OB|2＝ρ2B ＝ 4sin 2(θ＋2)＝4cos 2θ，由S △OAB ＝ 1 2×|OA|×|OB|＝ 12×|AB|×h 可得，h 2＝|OA|2×|OB|2|AB|2＝|OA|2×|OB|2|OA|2＋|OB|2＝2．故h 为定值，且h ＝2．23．解：（1）由题意得|x －1|≥|2x －3|, 所以|x －1|2≥|2x －3|2整理可得3x 2－10x ＋8≤0，解得 4 3≤x ≤2，故原不等式的解集为{x | 43≤x ≤2}．（2）显然g (x)＝f (x)＋f (－x)为偶函数，所以只研究x≥0时g (x)的最大值．g (x)＝f (x)＋f (－x)＝|x －1|－|2x －3|＋|x ＋1|－|2x ＋3|，所以x≥0时，g (x)＝|x －1|－|2x －3|－x －2 ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4， 0≤x ≤1，2x －6，1＜x ＜ 3 2，－2x ， x ≥ 32，所以当x ＝ 32时，g (x)取得最大值－3，故x ＝± 32时，g (x)取得最大值－3．。

2018年全国普通高等学校高考高三数学模拟试卷及解析高三理科数学(一)

2018年全国普通高等学校高考数学模拟理科数学试题及解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|﹣x2＋4x≥0},,C＝{x|x＝2n,n∈N},则(A∪B)∩C＝()A.{2,4}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{x|x＝2n,n∈N}2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x＋yi的共轭复数是()A.2﹣iB.﹣2﹣iC.2＋iD.﹣2＋i3.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,则下列命题正确的是()A.a5是常数B.S5是常数C.a10是常数D.S10是常数4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.5.(5分)已知点F为双曲线C：(a＞0,b＞0)的右焦点,直线x＝a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.6.(5分)已知函数则()A.2＋πB.C.D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A. B. C. D.8.(5分)已知函数(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象()A.可由函数g(x)＝cos4x的图象向左平移个单位而得B.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得C.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得D.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为()A.﹣73B.﹣61C.﹣55D.﹣6310.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是()A. B. C. D.11.(5分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.20C.24D.3212.(5分)若函数y＝f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)＝f(x＋T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y＝f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知向量,,且,则＝.14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为.15.(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设b n＝a2n﹣1﹣a2n,n∈N*,则数列{b n}的前2n项和为.16.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,,点E是线段CD 上异于点C,D的动点,EF⊥AD于点F,将△DEF沿EF折起到△PEF的位置,并使PF ⊥AF,则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边a,b,c分别满足c＝2b＝2,2bcosA＋acosC ＋ccosA＝0,又点D满足.(1)求a及角A的大小；(2)求的值.B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠18.(12分)在四棱柱ABCD﹣AA1AB＝∠A1AD＝60°.(1)求证：BD⊥CC1；(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若,则P(μ﹣σ＜Z≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ﹣2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.9544.20.(12分)已知椭圆C：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和k AD＋k BD为定值？若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由.21.(12分)已知函数f(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)＝0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a 是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2)分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|2x＋1|.(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集；(2)若正数m,n满足m＋2n＝mn,求证：f(m)＋f(﹣2n)≥16.2018年全国普通高等学校高考数学模拟理科数学试题及解析(一)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|﹣x2＋4x≥0},,C＝{x|x＝2n,n∈N},则(A∪B)∩C＝()A.{2,4}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{x|x＝2n,n∈N}【试题解答】解：A＝{x|﹣x2＋4x≥0}＝{x|0≤x≤4},＝{x|3﹣4＜3x＜33}＝{x|﹣4＜x＜3},则A∪B＝{x|﹣4＜x≤4},C＝{x|x＝2n,n∈N},可得(A∪B)∩C＝{0,2,4},故选C.2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x＋yi的共轭复数是()A.2﹣iB.﹣2﹣iC.2＋iD.﹣2＋i【试题解答】解：由,得x＋yi＝＝2＋i,∴复数x＋yi的共轭复数是2﹣i.故选：A.3.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,则下列命题正确的是()A.a5是常数B.S5是常数C.a10是常数D.S10是常数【试题解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,∴a4＋a5＋a6＋a7＝2(a1＋a10)＝18,∴a1＋a10＝9,∴＝45.故选：D.4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.【试题解答】解：设AB＝2,则BC＝CD＝DE＝EF＝1,∴S＝××＝,△BCIS平行四边形EFGH＝2S△BCI＝2×＝,∴所求的概率为P＝＝＝.故选：A.5.(5分)已知点F为双曲线C：(a＞0,b＞0)的右焦点,直线x＝a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.【试题解答】解：设双曲线C：的右焦点F(c,0),双曲线的渐近线方程为y＝x,由x＝a代入渐近线方程可得y＝b,则A(a,b),可得AF的中点为(,b),代入双曲线的方程可得﹣＝1,可得4a2﹣2ac﹣c2＝0,由e＝,可得e2＋2e﹣4＝0,解得e＝﹣1(﹣1﹣舍去),故选：D.6.(5分)已知函数则()A.2＋πB.C.D.【试题解答】解：∵,＝∫cos2tdt＝＝＝,∴＝()＋(﹣cosx)＝﹣2.故选：D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A. B. C. D.【试题解答】解：第1次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝2；第2次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝3；第3次循环后,S＝＝2,不满足退出循环的条件,k＝4；…第n次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝n＋1；…第2018次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝2019第2019次循环后,S＝＝2,满足退出循环的条件,故输出的S值为2,故选：C8.(5分)已知函数(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象()A.可由函数g(x)＝cos4x的图象向左平移个单位而得B.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得C.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得D.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得【试题解答】解：函数＝sin(2ωx)﹣•＋＝sin(2ωx﹣)(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,∴•＝,∴ω＝2,f(x)＝sin(4x﹣)＝cos[(4x﹣)﹣]＝cos(4x﹣).故把函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位,可得f(x)的图象,故选：B.9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为()A.﹣73B.﹣61C.﹣55D.﹣63【试题解答】解：展开式中所有各项系数和为(2﹣3)(1＋1)6＝﹣64；＝(2x﹣3)(1＋＋＋…),其展开式中的常数项为﹣3＋12＝9,∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为﹣64﹣9＝﹣73.故选：A.10.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是()A. B. C. D.【试题解答】解：如图,可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF,底面是正六边形,有一PAF侧面垂直底面,且P在底面的投影为AF中点,过底面中心N作底面垂线,过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线,两垂线的交点即为球心O,设△PAF的外接圆半径为r,,解得r＝,∴,则该几何体的外接球的半径R＝,∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S＝4πR2＝.故选：C.11.(5分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.20C.24D.32【试题解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0),设直线l1：y＝k1(x﹣1),直线l2：y＝k2(x﹣1),由题意可知,则,联立,整理得：k12x2﹣(2k12＋4)x＋k12＝0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋x2＝,设D(x3,y3),E(x4,y4),同理可得：x3＋x4＝2＋,由抛物线的性质可得：丨AB丨＝x1＋x2＋p＝4＋,丨DE丨＝x3＋x4＋p＝4＋,∴|AB|＋|DE|＝8＋＝＝,当且仅当＝时,上式“＝”成立.∴|AB|＋|DE|的最小值24,故选：C.12.(5分)若函数y＝f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)＝f(x＋T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y＝f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.【试题解答】解：根据题意,对于函数f(x),当x∈[0,2)时,,分析可得：当0≤x≤1时,f(x)＝﹣2x2,有最大值f(0)＝,最小值f(1)＝﹣,当1＜x＜2时,f(x)＝f(2﹣x),函数f(x)的图象关于直线x＝1对称,则此时有﹣＜f(x)＜,又由函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2；则在∈[6,8)上,f(x)＝23•f(x﹣6),则有﹣12≤f(x)≤4,则f(8)＝2f(6)＝4f(4)＝8f(2)＝16f(0)＝8,则函数f(x)在区间[6,8]上的最大值为8,最小值为﹣12；对于函数,有g′(x)＝﹣＋x＋1＝＝,分析可得：在(0,1)上,g′(x)＜0,函数g(x)为减函数,在(1,＋∞)上,g′(x)＞0,函数g(x)为增函数,则函数g(x)在(0,＋∞)上,由最小值f(1)＝＋m,若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,必有g(x)min≤f(x)max,即＋m≤8,解可得m≤,即m的取值范围为(﹣∞,]；故选：B.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知向量,,且,则＝.【试题解答】解：根据题意,向量,,若,则•＝2sinα﹣cosα＝0,则有tanα＝,又由sin2α＋cos2α＝1,则有或,则＝(,)或(﹣,﹣),则||＝,则＝2＋2﹣2•＝；故答案为：14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为.【试题解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(2,4),＝,令t＝5x﹣3y,化为y＝,由图可知,当直线y＝过A时,直线在y轴上的截距最大,t有最小值为﹣2.∴目标函数的最小值为.故答案为：.15.(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设b n＝a2n﹣1﹣a2n,n∈N*,则数列{b n}的前2n项和为.【试题解答】解：等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设首项为a1,公比为q,则：,整理得：,解得：.则：,﹣a2n＝＝﹣22n﹣4,所以：b n＝a2n﹣1则：T 2n ＝＝.故答案为：.16.(5分)如图,在直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC,AD ∥BC,,点E 是线段CD上异于点C,D 的动点,EF ⊥AD 于点F,将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置,并使PF ⊥AF,则五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的取值范围为 (0,) .【试题解答】解：∵PF ⊥AF,PF ⊥EF,AF ∩EF ＝F, ∴PF ⊥平面ABCD.设PF ＝x,则0＜x ＜1,且EF ＝DF ＝x.∴五边形ABCEF 的面积为S ＝S 梯形ABCD ﹣S △DEF ＝×(1＋2)×1﹣x 2＝(3﹣x 2).∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积V ＝(3﹣x 2)x ＝(3x ﹣x 3),设f(x)＝(3x ﹣x 3),则f′(x)＝(3﹣3x 2)＝(1﹣x 2), ∴当0＜x ＜1时,f′(x)＞0,∴f(x)在(0,1)上单调递增,又f(0)＝0,f(1)＝. ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的范围是(0,). 故答案为：.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边a,b,c 分别满足c ＝2b ＝2,2bcosA ＋acosC＋ccosA＝0,又点D满足.(1)求a及角A的大小；(2)求的值.【试题解答】解：(1)由2bcosA＋acosC＋ccosA＝0及正弦定理得﹣2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC,即﹣2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB,在△ABC中,sinB＞0,所以.又A∈(0,π),所以.在△ABC中,c＝2b＝2,由余弦定理得a2＝b2＋c2﹣2bccosA＝b2＋c2＋bc＝7,所以.(2)由,得＝,所以.18.(12分)在四棱柱ABCD﹣AB1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠A1AB＝∠A1AD＝60°.(1)求证：BD⊥CC1；(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.【试题解答】解：(1)连接A1B,A1D,AC,因为AB＝AA1＝AD,∠A1AB＝∠A1AD＝60°,所以△A1AB和△A1AD均为正三角形,于是A1B＝A1D.设AC与BD的交点为O,连接A1O,则A1O⊥BD,又四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,而A1O∩AC＝O,所以BD⊥平面A1AC.又AA1⊂平面A1AC,所以BD⊥AA1,又CC1∥AA1,所以BD⊥CC1.(2)由,及,知A 1B⊥A1D,于是,从而A1O⊥AO,结合A1O⊥BD,AO∩AC＝O,得A1O⊥底面ABCD,所以OA、OB、OA1两两垂直.如图,以点O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz,则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,﹣1,0),A1(0,0,1),C(﹣1,0,0),,,,由,得D1(﹣1,﹣1,1).设(λ∈[0,1]),则(x E＋1,y E＋1,z E﹣1)＝λ(﹣1,1,0),即E(﹣λ﹣1,λ﹣1,1),所以.设平面B 1BD的一个法向量为,由得令x＝1,得,设直线DE与平面BDB1所成角为θ,则,解得或(舍去),所以当E为D1C1的中点时,直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若,则P(μ﹣σ＜Z≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ﹣2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.9544.【试题解答】解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为.(2)①∵Z 服从正态分布N(μ,σ2),且μ＝26.5,σ≈11.95,∴P(14.55＜Z ＜38.45)＝P(26.5﹣11.95＜Z ＜26.5＋11.95)＝0.6826, ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826.②根据题意得X ～B(4,),；；；；.∴X 的分布列为∴.20.(12分)已知椭圆C ：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 相交于A,B 两点,在y 轴上是否存在点D,使直线AD 与BD 的斜率之和k AD ＋k BD 为定值？若存在,求出点D 坐标及该定值,若不存在,试说明理由.【试题解答】解：(1)由已知可得解得a2＝2,b2＝c2＝1,所求椭圆方程为.(2)由得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0,则△＝64k2﹣24(1＋2k2)＝16k2﹣24＞0,解得或.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,设存在点D(0,m),则,,所以＝＝.要使k AD＋k BD为定值,只需6k﹣4k(2﹣m)＝6k﹣8k＋4mk＝2(2m﹣1),k与参数k无关,故2m﹣1＝0,解得,当时,k AD＋k BD＝0.综上所述,存在点,使得k AD＋k BD为定值,且定值为0.21.(12分)已知函数f(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)＝0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.【试题解答】解：(1)根据题意,函数f(x)＝e2﹣2(a﹣1)x﹣b,其导数为f'(x)＝e x﹣2(a﹣1),当函数f(x)在区间[0,1]上单调递增时,f'(x)＝e x﹣2(a﹣1)≥0在区间[0,1]上恒成立,∴2(a﹣1)≤(e x)min＝1(其中x∈[0,1]),解得；当函数f(x)在区间[0,1]单调递减时,f'(x)＝e x﹣2(a﹣1)≤0在区间[0,1]上恒成立,∴2(a﹣1)≥(e x)max＝e(其中x∈[0,1]),解得.综上所述,实数a的取值范围是.(2)函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,则g'(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,分析可得f(x)＝g'(x).由g(0)＝g(1)＝0,知g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,设该零点为x0,则g(x)在区间(0,x0)内不单调,所以f(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,同理,f(x)在区间(x0,1)内存在零点x2,所以f(x)在区间(0,1)内恰有两个零点.由(1)知,当时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,故f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,不合题意.当时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,故f(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意；所以.令f'(x)＝0,得x＝ln(2a﹣2)∈(0,1),所以函数f(x)在区间[0,ln(2a﹣2)]上单调递减,在区间(ln(2a﹣2),1]上单调递增.记f(x)的两个零点为x1,x2(x1＜x2),因此x1∈(0,ln(2a﹣2)],x2∈(ln(2a﹣2),1),必有f(0)＝1﹣b＞0,f(1)＝e﹣2a＋2﹣b＞0.由g(1)＝0,得a＋b＝e,所以,又f(0)＝a﹣e＋1＞0,f(1)＝2﹣a＞0,所以e﹣1＜a＜2.综上所述,实数a的取值范围为(e﹣1,2).请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a 是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2)分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.【试题解答】解：(1)圆C1：(θ是参数)消去参数θ,得其普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2,将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ代入上式并化简,得圆C1的极坐标方程,由圆C2的极坐标方程,得ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ.将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,x2＋y2＝ρ2代入上式,得圆C2的直角坐标方程为(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝2.(2)由(1)知圆C1的圆心C1(﹣1,﹣1),半径r1＝a；圆C 2的圆心C2(1,1),半径,,∵圆C1与圆C2外切,∴,解得,即圆C1的极坐标方程为.将代入C1,得,得；将代入C2,得,得；故.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|2x＋1|.(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集；(2)若正数m,n满足m＋2n＝mn,求证：f(m)＋f(﹣2n)≥16.【试题解答】解：(1)此不等式等价于或或解得或或3＜x≤4.即不等式的解集为.(2)证明：∵m＞0,n＞0,m＋2n＝mn,,即m＋2n≥8,当且仅当即时取等号.∴f(m)＋f(﹣2n)＝|2m＋1|＋|﹣4n＋1|≥|(2m＋1)﹣(﹣4n＋1)|＝|2m＋4n|＝2(m＋2n)≥16,当且仅当﹣4n＋1≤0,即时,取等号.∴f(m)＋f(﹣2n)≥16.。

2018年高考数学模拟试卷(理科)带答案精讲

2018年高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．（5分）已知复数z1=2+i，z2=a﹣i，z1•z2是实数，则实数a=（）A．2 B．3 C．4 D．52．（5分）若集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，则集合B的元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（）A．B．C．D．4．（5分）从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A．480 B．481 C．482 D．4835．（5分）函数f（x）的导函数f′（x）的图象是如图所示的一条直线l，l与x轴交点的坐标为（1，0），则f（0）和f（3）的大小关系为（）A．f（0）＜f（3）B．f（0）＞f（3）C．f（0）=f（3）D．不能确定6．（5分）一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项7．（5分）当0＜x＜1时，f（x）=，则下列大小关系正确的是（）A．f2（x）＜f（x）＜f（x2）B．f（x2）＜f2（x）＜f（x）C．f（x）＜f（x2）＜f2（x）D．f2（x）＜f（x2）＜f（x）8．（5分）如图所示计算机程序的打印结果为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．D．10．（5分）已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，a、b、c分为△ABC的边且3a2+3b2﹣c2=4ab，则一定成立的是（）A．f（sinA）≤f（cosB）B．f（sinA）≥f（cosB）C．f（sinA）≥f（sinB）D．f（cosA）≤f（cosB）二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.）（一）必做题（11-14题）11．（5分）某天上午要排物理，化学，生物和两节自习课共5节，如果第一节不排自习课，那么不同的排法共有种（用数字作答）．12．（5分）已知点P（t，2）在不等式组所表示的平面区域内运动，l 为过点P和坐标原点O的直线，则l的斜率的最大值为．13．（5分）某一物体在某种介质中作直线运动，已知t时刻，它的速度为v，位移为s，且它在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，若已知s=t2，则该物体由位移s=0移动到位移s=a时克服阻力所作的功为．（注：变力F做功W=∫F（s）ds，结果用k，a表示）14．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0），P（x，y），Q（x′，y′）是椭圆上异于顶点的两点，有下列四个不等式①a2+b2≥（x+y）2；②+≥（+）2；③4（）2≤（）2；④+≤1．其中不等式恒成立的序号是．（填所有正确命题的序号）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D 为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．16．设直线l1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系得另一直线l2的方程为ρsinθ﹣3ρcosθ+4=0，若直线l1与l2间的距离为，则实数a的值为．三、解答题（本大题共6小题，前4题每题12分，21题13分，22题14分）17．（12分）已知向量=（，sinx），=（cos2x，﹣cosx），x∈R，设函数f （x）=•（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及在区间[0，π]上的单调区间；（Ⅱ）若f（θ）=1，求cos2（﹣θ）+sinθcosθ的值．18．（12分）已知函数f（x）=4x，数列{a n}中，2a n+1﹣2a n+a n+1a n=0，a1=1且a n ≠0，若数列{b n}中，b1=2且b n=f（）（n≥2）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．19．（12分）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E、F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．（1）求证：AF∥平面CBD；（2）求平面CBD与平面DAE所成锐角的余弦值．20．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（3）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．21．（13分）若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=﹣12x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．22．（14分）已知函数f（x）=x﹣xlnx，g（x）=f（x）﹣xf′（a），其中f′（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数．（1）求g（x）的单调区间；（2）对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，证明：（x2﹣x1）f′（x2）＜f（x2）﹣f （x1）＜（x2﹣x1）f′（x1）；（3）对任意的n∈N*，且n≥2，证明：．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．（5分）已知复数z1=2+i，z2=a﹣i，z1•z2是实数，则实数a=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件即可得出．【解答】解：∵z1•z2=（2+i）（a﹣i）=2a+1+（a﹣2）i为实数，∴a﹣2=0，解得a=2．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则和复数为实数的充要条件，属于基础题．2．（5分）若集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，则集合B的元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据已知中集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，逐一分析集合A中的元素是否满足B中元素的条件，进而得到答案．【解答】解：∵集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，当x=0时，不满足B中元素的条件；当x=1时，不满足B中元素的条件；当x=2时，满足B中元素的条件；当x=3时，满足B中元素的条件；故B={2，3}，则集合B的元素的个数为2，故选：B．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，正确理解集合B={x|x ∈A且1﹣x∉A}中元素所满足的条件，是解答的关键．3．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（）A．B．C．D．【分析】四个图形的高均可取1，A可以是三棱柱，B可是三分之一圆柱，C可以是正方体，D从俯视图看出正方体去掉四分之一圆锥后的几何体．【解答】解：A中几何体的侧视图是左侧面在过里面侧棱和中心高线确定面上的正投影，能满足和正视图侧视图为边长为1的正方形；满足题目的要求，正确；B的俯视图是一扇形，是三分之一圆柱，从正视图与侧视图的高为1的线段，正视图的长度大于1，不满足要求．C可以是正方体，以其正视图和侧视图也可是边长为1的正方形．满足题目的要求，正确；选项D从俯视图看出正方体去掉四分之一圆锥后的几何体．故其正视图与侧视图是边长为1的正方形．满足题目的要求，正确；故选：B．【点评】本题考查三视图的理解与应用，解决三视图问题，要掌握视图原则，关键是图形在与目光视线垂直面上的正投影．4．（5分）从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A．480 B．481 C．482 D．483【分析】根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论．【解答】解：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32﹣07=25，则样本容量为，则对应的号码数x=7+25（n﹣1），当n=20时，x取得最大值为x=7+25×19=482，故选：C．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）函数f（x）的导函数f′（x）的图象是如图所示的一条直线l，l与x轴交点的坐标为（1，0），则f（0）和f（3）的大小关系为（）A．f（0）＜f（3）B．f（0）＞f（3）C．f（0）=f（3）D．不能确定【分析】根据导函数的图象，写出函数f（x）的单调区间，由导函数图象是一条直线知原函数是二次函数，对称轴是x=1，从而将f（0），f（3）转换到单调区间，就能比较大小了．【解答】解：由导函数f′（x）的图象可知：函数f（x）的增区间为（﹣∞，1），减区间为（1，+∞），又导函数f′（x）的图象是一条直线l，∴原函数是二次项系数小于0的二次函数，其图象的对称轴是x=1．∴f（x）=f（2﹣x），∴f（0）=f（2），由函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，得f（2）＞f（3），即f（0）＞f（3）．故选B．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质：单调性，进而比较两数大小，解题时应注意导函数的图象与原函数的关系是解决问题的关键．6．（5分）一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项【分析】先设数列的通项公式为a1q n﹣1，则前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得即a12q n﹣1=2，又根据所有项的积为64，进而求出n．【解答】解析：设数列的通项公式为a1q n﹣1则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1q n﹣3，a1q n﹣2，a1q n﹣1．∴前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得：a16q3（n﹣1）=8，即a12q n﹣1=2又a1•a1q•a1q2…a1q n﹣1=64，∴=64，即（a12q n﹣1）n=642，∴2n=642，∴n=12故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．7．（5分）当0＜x＜1时，f（x）=，则下列大小关系正确的是（）A．f2（x）＜f（x）＜f（x2）B．f（x2）＜f2（x）＜f（x）C．f（x）＜f（x2）＜f2（x）D．f2（x）＜f（x2）＜f（x）【分析】根据不等式的性质，以及函数单调性和导致之间的关系判断函数f（x）的单调性即可得到结论．【解答】解：根据三角函数线的定义知|sinx|≤|x|，∴≤1，∵0＜x＜1，∴0＜＜1成立，即0＜f（x）＜1，则f2（x）＜f（x），∵f（x）=，∴f′（x）=，设g（x）=xcosx﹣sinx，则g′（x）=﹣xsinx＜0，（0＜x＜1），∴g（x）在0＜x＜1上单调递减，则g（x）＜g（0）=0，∴f′（x）=＜0，即在0＜x＜1上f（x）单调递减，∵此时x＞x2，∴f2（x）＜f（x）＜f（x2），故选：A．【点评】本题主要考查函数的值的大小比较，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．8．（5分）如图所示计算机程序的打印结果为（）A．B．C．D．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件z≤30，计算输出的值．【解答】解：由程序框图知：x=1，y=1，z=2，第一次循环x=1，y=2，z=1+2=3；第二次循环x=2，y=3，z=2+3=5；第三次循环x=3，y=5，z=3+5=8；第四次循环x=5，y=8，z=5+8=13；第五次循环x=8，y=13，z=8+13=21；第六次循环x=13，y=21，z=34．不满足条件z≤30，跳出循环体，输出=．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．9．（5分）如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．D．【分析】由|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF1|﹣|PF2|=2，结合|F1F2|=4，即可得出结论．【解答】解：由题意，∵|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，∴根据切线长定理可得AM=AN，F1M=F1Q，PN=PQ，∵|AF1|=|AF2|，∴AM+F1M=AN+PN+NF2，∴F1M=PN+NF2=PQ+PF2∴|PF1|﹣|PF2|=F1Q+PQ﹣PF2=F1M+PQ﹣PF2=PQ+PF2+PQ﹣PF2=2PQ=2，∵|F1F2|=4，∴双曲线的离心率是e==2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，a、b、c分为△ABC的边且3a2+3b2﹣c2=4ab，则一定成立的是（）A．f（sinA）≤f（cosB）B．f（sinA）≥f（cosB）C．f（sinA）≥f（sinB）D．f（cosA）≤f（cosB）【分析】根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f（x）在（0，+∞）上是增函数，然后判定sinA与cosB的大小，根据单调性的定义进行判定即可．【解答】解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f（x）在（0，+∞）上是增函数，又当3a2+3b2﹣c2=4ab时，cosC==，∴C≥90°，∴A+B≤90°，∴A≤90°﹣B，∴sinA≤sin（90°﹣B）=cosB，从而f（sinA）≤f（cosB）故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，以及导函数图象与原函数的性质的关系，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.）（一）必做题（11-14题）11．（5分）某天上午要排物理，化学，生物和两节自习课共5节，如果第一节不排自习课，那么不同的排法共有36种（用数字作答）．【分析】分两步进行，先排第一节课，再排其它四节，注意两节自习课只有一种顺序，进而由分步乘法公式计算可得答案【解答】解：先排第一节，从物理，化学，生物任选一科，有，剩下的四节从剩下的科目中任意排，有，而两节自习课只有一种顺序，不同的排法共有=36种．故答案为：36．【点评】本题考查分步计数原理的运用，要优先处理特殊的元素，即有特殊要求或受到限制的元素．12．（5分）已知点P（t，2）在不等式组所表示的平面区域内运动，l 为过点P和坐标原点O的直线，则l的斜率的最大值为2．【分析】由不等式组可得所表示的可行域，即可得到：当取点P（1，2）时，直线l的斜率取得最大值．【解答】解：由不等式组可得所表示的可行域，由图可知：当取点P（1，2）时，直线l的斜率的取得最大值，k==2．故答案为：2．【点评】本题考查了线性规划的可行域、斜率的计算公式，属于中档题．13．（5分）某一物体在某种介质中作直线运动，已知t时刻，它的速度为v，位移为s，且它在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，若已知s=t2，则该物体由位移s=0移动到位移s=a时克服阻力所作的功为ka2．（注：变力F做功W=∫F（s）ds，结果用k，a表示）【分析】将变力F用s表示出来，根据变力F做功的公式进行计算即可得到结论．【解答】解：∵在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，∴F=kv2，∵t时刻，它的速度为v，位移为s，∴s=t2，s′（t）=t，即v=s′（t）=t，∴s=t2=v2，即v2=2s，即F=kv2=2ks，则由W=∫F（s）ds得W=∫=ks2|=ka2，故答案为：ka2【点评】本题主要考查积分的物理意义，要求熟练掌握积分的公式．14．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0），P（x，y），Q（x′，y′）是椭圆上异于顶点的两点，有下列四个不等式①a2+b2≥（x+y）2；②+≥（+）2；③4（）2≤（）2；④+≤1．其中不等式恒成立的序号是①②③④．（填所有正确命题的序号）【分析】利用三角换元，即可得出结论．【解答】解：设x=asinα，y=bcosα，则x+y=sin（α+θ），∴a2+b2≥（x+y）2，即①正确；（+）a2b2=（+）a2b2=（sin2α+cos2α）（+）≥（a+b）2，∴+≥（+）2，即②正确；=4b2sin2αcos2α=b2sin22α≤b2，即③正确；设x′=acosβ，y′=bsinβ，∴+=sin（α+β）≤1，即④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查椭圆方程，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．【分析】延长BO交⊙O与点C，我们根据已知中⊙O的半径为2，∠AOB=90°，D为OB的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段DE的长．【解答】解：延长BO交⊙O与点C，由题设知：，又由相交弦定理知AD•DE=BD•DC，得故答案为：【点评】本题考查的知识是与圆有关的比例线段，其中延长B0交圆于另一点C，从而构造相交弦的模型是解答本题的关键．16．设直线l1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系得另一直线l2的方程为ρsinθ﹣3ρcosθ+4=0，若直线l1与l2间的距离为，则实数a的值为a=9或a=﹣11．【分析】先利用直线l1的参数方程化为普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，进行代换将直线l2的方程化为直角坐标方程．最后利用两平行线的距离公式即可求得实数a的值．【解答】解：将直线l1的方程化为普通方程得3x﹣y+a﹣3=0，将直线l2的方程化为直角坐标方程得3x﹣y﹣4=0，由两平行线的距离公式得⇒a=9或a=﹣11．故答案为：a=9或a=﹣11．【点评】本题考查直线的参数方程、直线的极坐标和直角坐标的互化、两平行线的距离公式等知识，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．三、解答题（本大题共6小题，前4题每题12分，21题13分，22题14分）17．（12分）已知向量=（，sinx），=（cos2x，﹣cosx），x∈R，设函数f （x）=•（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及在区间[0，π]上的单调区间；（Ⅱ）若f（θ）=1，求cos2（﹣θ）+sinθcosθ的值．【分析】（Ⅰ）利用向量积的知识，求得f（x）的解析式，进而化简，利用三角函数的图象和性质求得函数的最小正周期T和在区间[0，π]上的单调区间．（Ⅱ）通过f（θ）=1，求得cos（2θ+）的值，代入原式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=cos2x﹣sinxcosx=cos2x﹣sin2x=cos（2x+），∴T==π，当，即时，函数单调增，∵x∈[0，π]∴f（x）在区间[0，π]上的单调减区间为，单调增区间为．（Ⅱ）∵f（θ）=1，∴∴=．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．18．（12分）已知函数f（x）=4x，数列{a n}中，2a n+1﹣2a n+a n+1a n=0，a1=1且a n ≠0，若数列{b n}中，b1=2且b n=f（）（n≥2）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（Ⅰ）由2a n +1﹣2a n +a n +1a n =0，得，，由此能证明数列{}是首项为1，公差为的等差数列，从而能求出．（Ⅱ）b 1=2，当n ≥2时，==2n ，从而得到，由此利用错位相减法能求出数列{}的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）由2a n +1﹣2a n +a n +1a n =0，两边同时除以2a n +1a n ，得，，∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，（3分）∴， ∴．（6分）（Ⅱ）b 1=2，当n ≥2时==2n当n=1时b 1=2也符合 ∴b n =2n （n ∈N *） ∴（8分）+4×22+…+（n +1）×2n ﹣1①2T n =2×21+3×22+…+n ×2n ﹣1+（n +1）×2n ②（10分） ①﹣②得∴（12分）【点评】本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19．（12分）如图1，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，E 、F 分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．（1）求证：AF∥平面CBD；（2）求平面CBD与平面DAE所成锐角的余弦值．【分析】（1）取DE的中点G，连结FG，AG，CG，由已知条件推导出FG∥CD，AG∥BC，从而得到平面AFG∥平面CBD，由此能证明AF∥平面CBD．（2）如图以AE中点为原点，AE为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面CBD与面DAE所面角的余弦值．【解答】（1）证明：取DE的中点G，连结FG，AG，CG，∵翻折前E、F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，∴翻折后AD=AE=2CF，∴CF DG，CG AB，∴FG∥CD，AG∥BC，∴平面AFG∥平面CBD，∴AF∥平面CBD．（2）如图以AE中点为原点，AE为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意知A（﹣1，0，0），D（0，0，），B（﹣1，﹣2，0），E（1，0，0），∴DE的中点坐标为（），∵，∴C（），∵是平面ADE的一个法向量，即，设平面BCD的一个法向量为，∵，，∴，令x=2，则y=2，z=﹣2，∴，∴cos＜＞==，∴面CBD与面DAE所面角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（3）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）根据15名乘客中候车时间少于10分钟频数和为6，可估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）利用对立事件的概率公式，可求至少有一人来自第二组的概率；（3）X的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可求出求X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）候车时间少于10分钟的人数为人；…（3分）（2）设“至少有一人来自第二组为事件A”…（7分）（3）X的可能值为1，2，3，，…（10分）所以X的分布列为…（13分）【点评】本题考查的知识点是频率分布直方表，古典概型概率公式，考查随机变量的分布列及数学期望，正确求概率是关键．21．（13分）若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=﹣12x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k 的值．【分析】（1）先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长，即可写出椭圆的标准方程；（2）用坐标表示出|MQ|2，利用配方法可得结论；（3）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出|PA|2+|PB|2，根据|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，可得等式，从而可求k的值．【解答】解：（1）由题意可得：抛物线y2=﹣12x的焦点（﹣3，0），∵=，∴a=5，∴=4∴椭圆C的方程为；（2）设Q（x，y），﹣5≤x≤5∴|MQ|2=（x﹣2）2+y2=∵对称轴为x=＞5，∴x=5时，|MQ|2取得最小值∴当|MQ|最小时，点Q的坐标为（5，0）；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y=k（x﹣m）直线代入椭圆方程，消去y可得（25k2+16）x2﹣50mk2x+25m2k2﹣400=0∴x1+x2=，x1x2=∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2km=﹣，y1y2=∴|PA|2+|PB|2=+=（k2+1）•∵|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，∴512﹣800k2=0，解得k=．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查配方法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．22．（14分）已知函数f（x）=x﹣xlnx，g（x）=f（x）﹣xf′（a），其中f′（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数．（1）求g（x）的单调区间；（2）对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，证明：（x2﹣x1）f′（x2）＜f（x2）﹣f （x1）＜（x2﹣x1）f′（x1）；（3）对任意的n∈N*，且n≥2，证明：．【分析】（1）求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间；（2）先证明f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f'（x1），f（x2）﹣f（x1）＞（x2﹣x1）f'（x2），即可得（x2﹣x1）f'（x2）＜f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f'（x1）；（3）构造函数φ（x）=，确定φ（x）在（1，+∞）上单调递减，从而可得，即ln2lnn≤ln（2+k）ln（n﹣k），再利用放缩法，即可证得结论．【解答】（1）解：f'（x）=﹣lnx，g（x）=x﹣xlnx+xlna，g'（x）=f'（x）﹣f'（a）=﹣lnx+lna=ln．所以，x∈（0，a）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；x∈（a，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．所以，g（x）的单调递增区间为（0，a]，单调递减区间为[a，+∞）．（2）证明：∵f′（x）=﹣lnx，∴f′（x）在（0，+∞）上是一个减函数，对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，由拉格朗日中值定理，可知，存在b∈（x1，x2），使得，∴x1＜b＜x2，又f′（x）在（0，+∞）上是一个减函数，∴f′（x2）＜f′（b）＜f′（x1），∴f′（x2）＜＜f′（x1），∴（x2﹣x1）f′（x2）＜f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f′（x1）．（3）证明：对k=1，2，…，n﹣2，令φ（x）=，则φ′（x）=，显然1＜x＜x+k，0＜lnx＜ln（x+k），所以xlnx＜（x+k）ln（x+k），所以φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上单调递减．由n﹣k≥2，得φ（n﹣k）≤φ（2），即．所以ln2lnn≤ln（2+k）ln（n﹣k），k=1，2，…，n﹣2．所以=≤=2又由（2）知f（n+1）﹣f（n）＜f′（n）=﹣lnn，所以lnn＜f（n）﹣f（n+1）．∴ln1+ln2+…+lnn＜f（1）﹣f（2）+f（2）﹣f（3）+…+f（n）﹣f（n+1）=f（1）﹣f（n+1）=1﹣f（n+1）．所以，．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，综合性强，难度较大．。

山东省济南市2018届高三第二次模拟考试理数试题word含答案

山东省济南市2018届高三第二次模拟考试理数试题word含答案山东省济南市2018届高三第二次模拟（5月）考试理科数学参考公式：锥体的体积公式：V=1/3Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

21.设全集U=R，集合A={x|x-1≤0}，集合B={x|x-x-6<0}，则下图中阴影部分表示的集合为（）小幅度改写：已知全集U=R，集合A={x|x-1≤0}，集合B={x|x-x-6<0}，则下图中阴影部分为集合A和集合B的交集。

2.设复数z满足z(1-i)=2（其中i为虚数单位），则下列说法正确的是（）小幅度改写：已知复数z满足z(1-i)=2（其中i为虚数单位），则下列说法正确的是z=-1+i。

3.已知角α的终边经过点(m,-2m)（其中m≠0），则sinα+cosα等于（）小幅度改写：已知角α的终边经过点(m,-2m)（其中m≠0），则sinα+cosα=±3/5.4.已知F1、F2分别为双曲线2-2/b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2=30°，且虚轴长为2b2，则双曲线的标准方程为（）小幅度改写：已知F1、F2分别为双曲线2-2/b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2=30°，且虚轴长为2b2，则双曲线的标准方程为x2/b2-y2/a2=1.5.某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中，任意取出两球，若取出的两球颜色相同则中奖，否则不中奖。

则中奖的概率为（）小幅度改写：某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中，任意取出两球，若取出的两球颜色相同则中奖，否则不中奖。

2018年高三一模考试理科数学试卷及答案

. 第 17～ 21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答 . 第（ 22）、（ 23）题为选考题，考生根据要求作答 .
（一）必考题：共 60 分 .
17. 已知数列 { a n } 为单调递增数列，
S n 为其前
n 项和，
2S n
a2 n
n.
（ 1）求 { a n } 的通项公式；
（ 2）若 b n
PQ
的平行线交抛物线于点 M ，直线 Q M 交 y 轴于点 N ，则
．
NO
16. 在 A B C 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， A B 边上的高为 h ，若 c 2 h ，
则a
b
的取值范围是．
ba
三、解答题：共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6
D．向左平移个单位长度
3
9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（
）
5
A． 5 4 2 B． 9 C． 6 5 2 D．
3
2
2
10. 已知 F 为双曲线 C ： x 2
y
2
1 ( a 0 , b 0 ) 的右焦点，过点 F 向 C 的一条渐近线引垂
ab
线，垂足为 A ，交另一条渐近线于点 B . 若 O F F B ，则 C 的离心率是（
12. 已知 P ， A ， B ， C 是半径为 2 的球面上的点， P A P B P C 2 ， A B C 9 0 ，点
B 在 A C 上的射影为 D ，则三棱锥 P A B D 体积的最大值是（
）
A． 3 3 B． 3 3
4
8
C． 1 D． 3

2018年高考数学(理科)模拟试卷一附答案解析

2018 年高考数学 (理科 )模拟试卷 (一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟 )第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，满分60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．(2016 年四川)设会合A＝ {x|1≤x≤ 5}，Z 为整数集，则会合A∩Z 中元素的个数是() A． 6 B. 5C． 4D． 3分析：由题意，A∩Z＝ {1,2,3,4,5} ，故此中的元素的个数为 5.应选 B.2． (2016 年山东 )若复数 z 知足 2z＋ z ＝3－2i, 此中 i 为虚数单位，则z＝ ()A． 1＋ 2i B． 1－ 2iC．－ 1＋ 2i D．－ 1－ 2i2．B 分析：设 z＝ a＋ bi(a ，b∈ R)，则 2z＋ z ＝3a＋ bi＝ 3－ 2i，故 a＝ 1，b＝－ 2，则z ＝1 －2i.应选 B.3． (2015 年北京 )某四棱锥的三视图如图M1-1 ，该四棱锥最长棱的棱长为()图 M1-1A．1D．23． C 分析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC⊥平面 ABCD， SA 是四棱锥最长的棱， SA＝22＝222＝ 3.应选 C. SC＋AC SC＋ AB ＋ BC图 D1884．曲线 y＝ x3－ 2x＋4 在点 (1,3)处的切线的倾斜角为()π4． C分析：f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为4.5．设 x∈ R， [x]表示不超出x 的最大整数 . 若存在实数t，使得 [t]＝1， [t 2]＝ 2，， [t n]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是 ()A．3 B．4 C．5 D．65．B分析：由于[x]表示不超出x 的最大整数．由[t ]＝ 1，得 1≤t<2，由 [t 2]＝ 2，得 2≤t2<3.由[t3 ]＝3，得 3≤t3<4.由 [t4]＝4，得 4≤t4<5.所以 2≤t2< 5.所以 6≤t5<4 5.由 [t5]＝ 5，得 5≤t5<6，与 6≤t5 <4 5矛盾，故正整数n 的最大值是 4.6．(2016 年北京 )履行如图M1-2 所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的k 值为()图 M1-2A ．1B ．2C ．3D ．46． B 分析：输入 a ＝ 1，则 k ＝ 0， b ＝ 1；进入循环体， a ＝－ 1，否， k ＝1， a ＝－ 2，否， k ＝ 2， a ＝ 1，2此时 a ＝b ＝1，输出 k ，则 k ＝ 2.应选 B.7．某市要点中学奥数培训班共有14 人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小构成绩的茎叶图如图 M1-3 ，此中甲组学生成绩的均匀数是 88，乙组学生成绩的中位数是89，则m ＋ n 的值是 ()图 M1-3A． 10 B． 11 C． 12D． 1378＋ 88＋ 84＋ 86＋92＋ 90＋ m＋ 957．C分析：由题意，得＝88，n＝9.所以m＋n＝12.应选 C.8． (2015 年陕西 )某公司生产甲、乙两种产品均需用吨甲、乙产品需原料及每日原料的可用限额如表所示，A， B假如生产两种原料．已知分别生产1 吨甲、乙产品可获收益分1别为 3 万元、 4 万元，则该公司每日可获取最大收益为()项目甲乙原料限额A/ 吨3212B/ 吨128万元B．16 万元C． 17万元D． 18万元8． D分析：设该公司每日生产甲、乙两种产品分别为x 吨、 y 吨，则收益z＝ 3x＋ 4y.3x＋ 2y≤ 12，x＋ 2y≤8，由题意可得其表示如图D189 暗影部分地区：x≥0，y≥ 0.图 D189当直线 3x ＋ 4y － z ＝ 0 过点 A(2,3) 时， z 获得最大值，所以 z max ＝ 3×2＋ 4×3＝ 18.应选 D.9． (2016 年新课标Ⅲ )定义 “规范 01 数列 ”{a n }以下： {a n }共有 2m 项，此中 m 项为 0 ，m项为 1，且对随意 k ≤2m ，a 1，a 2，，a k 中 0 的个数许多于 1 的个数．若 m ＝ 4，则不一样的“规范 01数列”共有()A ．18 个B ．16 个C ． 14 个D ．12 个9． C 分析：由题意，必有a 1＝ 0， a 8＝ 1，则详细的排法列表以下：10． (2016 年天津 )已知函数 f(x)＝sin2ωx 1 1 2＋ sin ωx－ (ω>0)， x ∈R.若 f(x)在区间 ( π， 2π)22内没有零点，则 ω的取值范围是 ()5∪8，11 5∪4，8分析： f(x)＝1－ cos ωx sin ωx 12sinωx－π， f(x)＝ 0sin ωx－π＝ 0，2＋2－＝2442π所以 x＝kπ＋4( π， 2π)，(k∈Z)．ω所以ω1，1∪5，5 ∪9，9∪ ＝1，1∪5，＋∞ ω∈ 0，1∪1，5.应选 D.84848484884811．四棱锥P-ABCD的底面 ABCD为正方形， PA⊥底面 ABCD， AB＝ 2，若该四棱锥的所243 π)有极点都在体积为的同一球面上，则 PA＝ (16A． 3C． 2311． B分析：如图D190，连结 AC，BD 交于点 E，取 PC的中点 O，连结 OE，则 OE∥11 PA，所以 OE⊥底面 ABCD，则 O 到四棱锥的全部极点的距离相等，即O 为球心，2PC＝21 4 1243 π7PA2＋AC2＝2 PA2＋ 8，所以由球的体积可得3π2PA2＋8 3＝16，解得 PA＝2.应选 B.图 D1902→ →12．已知 F 为抛物线 y ＝ x 的焦点，点 A、B 在该抛物线上且位于 x 轴双侧，若 OA·OB＝6(O 为坐标原点 )，则△ ABO 与△ AOF 面积之和的最小值为 ()A． 413,2)2,4)12． B分析：设直线 AB 的方程为 x＝ ty＋ m，点 A(x1，y1)， B(x2， y2)，直线 AB 与 x 轴的交点为 M(m,0)，将直线方程与抛物线方程联立，可得 y2－ ty－ m＝0，依据韦达定理有y1·y2＝－ m，由于→ →位于 x 轴的双侧，OA·OB＝6，所以 x1·x2＋ y1·y2＝ 6，进而 (y1·y2 )2＋ y1·y2－ 6＝ 0，由于点 A， B1所以 y 1·y 2＝－ 3，故 m ＝ 3，不如令点 A 在 x 轴上方，则 y 1>0，又 F 4， 0 ，所以 S △ ABO ＋ S △1 1 1 13 y 1＋ 9 ≥213 9 1 ＝ 3 13 ，当且仅当 13y 1 9，即 y 1 ＝ AFO ＝ × 3×(y 1－ y 2)＋ 2 × y 1 ＝ 8 2y 8 ·y 1·· 2 8 ＝ 2y 1 1 16 13时取等号，故其最小值为3 13 .应选 B. 132第Ⅱ卷 (非选择题满分 90 分)本卷包含必考题和选考题两部分．第13～ 21 题为必考题，每个试题考生一定作答．第22～ 23 题为选考题，考生依据要求作答．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分．13．平面向量 a ＝ (1,2)， b ＝ (4,2)， c ＝ ma ＋ b(m ∈ R)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m ＝ ________.13．2 分析： a ＝(1,2) ，b ＝ (4,2)，则 c ＝ma ＋ b ＝ (m ＋ 4,2m ＋ 2)，| a| ＝ 5，| b| ＝2 5，c ·a c ·b5m ＋ 8 a ·c ＝ 5m ＋8，b ·c ＝ 8m ＋20.∵ c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，∴ |c| |a|· ＝ |c| |b|· .∴58m ＋ 20＝.解得 m ＝ 2.2 5x 2 y 214．设 F 是双曲线 C ： a 2－ b 2 ＝1 的一个焦点，若 C 上存在点 P ，使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 __________．分析：依据双曲线的对称性，不如设F(c,0)，虚轴端点为 (0， b)，进而可知点 (－c,2b)c 2 4b 2在双曲线上，有 a 2－ b 2 ＝ 1，则 e 2＝ 5， e ＝ 5.15． (2016 年北京 )在(1－ 2x)6 的睁开式中， x 2 的系数为 ________． (用数字作答 )r ＋ 1 r r r2 的系数为 22 ＝15．60 分析：依据二项睁开的通项公式6可知， xC 6(－ 2)T ＝ C ·(－ 2) x60，故填 60.16．在区间 [0， π]上随机地取一个数1x ，则事件 “ sinx ≤”发生的概率为 ________．2 分析：由正弦函数的图象与性质知，当x ∈π 5π 1 0， ∪ ， π时， sin x ≤6 6 2. π ＋ π－ 5π－ 0 66 1 .所以所求概率为 π ＝3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17． (本小题满分12 分 )已知 {a n}是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a1＝b1＝ 1， b2＋ b3＝ 2a3， a5－ 3b2＝7.(1)求{a n}和 {b n}的通项公式；(2)设 c n＝ a n b n， n∈ N*，求数列 {c n}的前 n 项和．17．解：(1)设 {a n}的公比为q，{b n}的公差为d，由题意知q>0.由已知，有消去 d，得 q4－ 2q2－ 8＝ 0.解得 q＝ 2， d＝ 2.所以 {a n}的通项公式为a n＝ 2n－1，n ∈N*，n n*.{b }的通项公式为b＝2n－ 1， n∈ N(2)由(1)有 c n＝(2n－ 1)2n－ 1，设{cn}的前n项和为S n，则 S n01n－1，＋ 3×2＋ 5×2＋＋(2n－ 1) ×2＝ 1×21＋3×2＋3n5×2＋＋ (2n －1) ×22S n＝1×2.23n n n 两式相减，得－ S n＝ 1＋2 ＋2＋＋ 2 －(2n－ 1)×2＝－ (2n－ 3)×2－ 3.n*所以 S n＝ (2n－3) 2·＋3， n∈ N .2q2－ 3d＝2，q 4－ 3d＝ 10.18．(本小题满分12 分 )(2014 年纲领 )设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设施的概率分别为，， ,，各人能否需使用设施互相独立．(1)求同一工作日起码 3 人需使用设施的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设施的人数，求X 的数学希望．18．解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设施，i＝0,1,2.B 表示事件：甲需使用设施．C表示事件：丁需使用设施．D 表示事件：同一工作日起码 3 人需使用设施．(1)由于 P(B)＝， P(C)＝， P(A i )＝C i2×， i＝ 0,1,2 ，所以 P(D)＝ P(A1·B·C＋ A2·B＋ A2·B ·C)＝ P(A1·B·C)＋ P(A2·B)＋ P(A2·B ·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋ P(A2)P(B)＋ P(A2)P( B )P(C)＝ .(2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ，其散布列为P(X＝ 0)＝ P( B ·A0·C )＝P( B )P(A0)P( C )＝(1－××－(1＝，P(X＝ 1)＝ P(B·A0·C ＋ B ·A0·C＋ B ·A1·C )＝P(B)P(A0 )P( C )＋ P( B )P(A0)P(C)＋ P( B )P(A1)P( C )＝××－(1＋ (1－××＋ (1－×2××－(1＝，P(X＝ 4)＝ P(A2·B·C)＝ P(A2)P(B)P(C)＝××＝，P(X＝ 3)＝ P(D)－ P(X＝ 4)＝，P(X＝ 2)＝1－ P(X＝ 0)－ P(X＝1)－ P(X＝ 3)－P(X＝ 4)＝ 1－－－－＝，所以 E(X)＝ 0×P(X＝0)＋ 1×P(X＝ 1)＋ 2×P(X＝ 2)＋3×P(X＝ 3)＋ 4×P(X＝4)＝＋ 2×＋ 3×＋ 4×＝2.19．(本小题满分12 分 )(2016 年四川 )如图 M1-4 ，在四棱锥P-ABCD中， AD∥ BC，∠ ADC＝∠1PAB＝ 90°， BC＝ CD＝2AD， E 为边 AD 的中点，异面直线PA 与 CD 所成的角为90°.(1)在平面 PAB内找一点M，使得直线CM∥平面 PBE，并说明原因；(2)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA与平面 PCE所成角的正弦值．图 M1-419．解： (1)在梯形 ABCD中， AB 与 CD 不平行．延伸 AB， DC，订交于点M(M∈平面 PAB)，点 M 即为所求的一个点．原因以下：由已知， BC∥ ED，且 BC＝ ED，所以四边形BCDE是平行四边形．所以 CD∥ EB.进而 CM∥ EB.又 EB平面 PBE， CM 平面 PBE，所以 CM∥平面 PBE.MN上随意一点) (说明：延伸AP 至点 N，使得 AP＝ PN，则所找的点能够是直线(2)方法一，由已知，CD⊥PA，CD⊥ AD， PA∩AD＝ A，所以 CD⊥平面 PAD.进而 CD⊥ PD.所以∠ PDA是二面角P-CD-A 的平面角．所以∠ PDA＝ 45°.设 BC＝1，则在 Rt△ PAD中， PA＝ AD＝2.如图 D191，过点 A 作 AH⊥ CE，交 CE的延伸线于点H，连结 PH.易知 PA⊥平面 ABCD，进而 PA⊥ CE.于是 CE⊥平面 PAH.所以平面 PCE⊥平面 PAH.过 A 作 AQ⊥ PH 于 Q，则 AQ⊥平面 PCE.所以∠ APH 是 PA 与平面 PCE所成的角．在 Rt△AEH 中，∠ AEH＝ 45°， AE＝1，2所以AH＝2.在 Rt△ PAH中， PH＝ PA2＋AH2＝322，AH 1所以 sin∠APH＝PH＝3.图 D191图D192方法二，由已知，CD⊥ PA， CD⊥AD， PA∩AD＝ A，所以 CD⊥平面 PAD.于是 CD⊥ PD.进而∠ PDA是二面角P-CD-A 的平面角．所以∠ PDA＝ 45°.由 PA⊥ AB，可得 PA⊥平面 ABCD.设 BC＝1，则在 Rt△ PAD中， PA＝ AD＝2.→→x 轴，z 轴的正方向，成立如图 D192作 Ay⊥ AD，以 A 为原点，以 AD ，AP的方向分别为所示的空间直角坐标系Axyz，则 A(0,0,0)， P(0,0,2)， C(2,1,0) ， E(1,0,0) ，→→→所以 PE＝ (1,0，－ 2)， EC＝(1,1,0)，AP＝(0,0,2)设平面 PCE的法向量为n＝ (x，y， z)，→＝ 0，x－ 2z＝ 0，n·PE由得→＝ 0，x＋ y＝ 0.n·EC设 x＝2，解得 n＝ (2，－ 2,1)．设直线 PA 与平面 PCE所成角为α，→＝1则 sin α＝| n ·AP|＝2→2×22＋－ 22＋ 12 3 .| n| ·|AP|所以直线 PA 与平面 PCE所成角的正弦值为13.20． (本小题满分12 分 )(2016 年新课标Ⅲ )设函数 f(x)＝ln x－ x＋ 1.(1)议论 f(x)的单一性；x－ 1(2)证明当 x∈(1，＋∞)时， 1< ln x <x；(3)设 c>1，证明当x∈ (0,1) 时， 1＋ (c－ 1)x>c x.20．解： (1)由题设， f(x)的定义域为 (0，＋∞)， f′(x)＝1x－ 1，令 f′(x)＝ 0，解得 x＝1.当 0<x<1 时， f ′(x)>0， f(x)单一递加；当 x>1 时， f ′(x)<0，f(x)单一递减．(2)由(1)知， f(x)在 x＝ 1 处获得最大值，最大值为f(1)＝ 0.所以当 x≠1时， ln x<x－1.故当 x∈ (1，＋∞)时， ln x<x－ 1， ln 1 1x－ 1< －1，即 1<<x. x x ln x(3)由题设 c>1，设 g(x)＝ 1＋ (c－ 1)x－ c x，则 g′(x)＝ c－ 1－ c x ln c.c－1lnln c令 g′(x)＝ 0，解得 x0＝ln c .当x<x0时，g′(x)>0，g(x)单一递加；当 x>x0时， g′(x)<0，g(x)单一递减．c－ 1由 (2)知， 1< ln c <c，故 0<x0<1.又 g(0)＝ g(1)＝ 0，故当 0<x<1 时， g(x)>0.所以 x∈ (0,1)时， 1＋ (c－ 1)x>c x.21． (本小题满分 12分 )(2016 年广东广州综合测试一 )已知椭圆 C 的中心在座标原点，焦点在 x 轴上，左极点为A，左焦点为 F1(－2, 0)，点 B(2， 2)在椭圆 C 上，直线 y＝ kx(k≠ 0)与椭圆 C 交于 E， F 两点，直线AE， AF 分别与 y 轴交于点M， N.(1)求椭圆 C的方程；(2)以 MN 为直径的圆能否经过定点若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明原因．2221．解： (1)设椭圆 C 的方程为 x 2 ＋ y2＝ 1(a>b>0)，a b由于椭圆的左焦点为F 1(－ 2,0)，所以 a 2－ b 2＝ 4.① 4 2 由于点 B(2， 2)在椭圆 C 上，所以 a 2＋ b 2＝ 1.②由①②，解得 a ＝2 2，b ＝2.所以椭圆 C 的方程为x 2＋ y 2＝1.8 4(2)由于椭圆 C 的左极点为 A ，则点 A 的坐标为 (－ 22， 0)．2 2由于直线 y ＝ kx(k ≠0)与椭圆 x＋ y＝ 1 交于两点 E ， F ，84设点 E(x 0， y 0)(不如设 x 0>0)，则点 F(－ x 0，－ y 0)．y ＝ kx ，8联立方程组x 2 y 2 消去 y ，得 x 2＝1＋ 2.8＋ 4＝12k所以 x 0＝22 ，则 y 0＝ 2 2k.1＋ 2k 21 ＋2k 2所以直线 AE 的方程为y ＝k1＋ 1＋ 2k 2(x ＋22)．由于直线 AE ， AF 分别与 y 轴交于点 M ， N ，令 x ＝0 得 y ＝22kM 0，2 2k，即点 1＋ 1＋ 2k 2.1＋ 1＋ 2k 2同理可得点 N 0， 2 2k2 .1＋1－ 2k2 2k 22k2所以|MN| ＝－＝ 221＋ 2k .1＋ 1＋ 2k 2 1－ 1＋ 2k 2| k| 设 MN 的中点为 P ，则点 P 的坐标为 P2.0，－ k22 2 21＋ 2k 22222 2则以 MN 为直径的圆的方程为 x ＋y ＋ k ＝ | k|，即 x ＋ y ＋k y ＝ 4.令 y ＝ 0，得 x 2＝ 4，即 x ＝ 2 或 x ＝－ 2. 故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1 2 (2,0) ，P (－2,0)，请考生在第 (22)(23) 两题中任选一题作答．注意：只好作答在所选定的题目上．假如多做，则按所做的第一个题目计分．22． (本小题满分 10 分 )选修 4-4：极坐标与参数方程x ＝ 2cos θ，(θ为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴已知曲线 C 的参数方程是y ＝ sin θ为极轴成立极坐标系，A 、B 的极坐标分别为 A(2， π)、 B 2， 4π.3(1)求直线 AB 的直角坐标方程；(2)设 M 为曲线 C 上的动点，求点 M 到直线 AB 距离的最大值．22．解： (1)将 A 、 B 化为直角坐标为 A(2cos π， 2sin π)，B 2cos 4π 4π，即 A ，B， 2sin 33 的直角坐标分别为 A(－2,0)， B(－ 1，－ 3)，－ 3 －0k AB ＝－ 1＋2 ＝－3，∴直线 AB 的方程为 y － 0＝－ 3(x ＋ 2)，即直线 AB 的方程为3x ＋ y ＋ 23＝ 0.(2)设 M (2cos θ， sin θ)，它到直线 AB 的距离d ＝ |2 3cos θ＋ sin θ＋ 2 3| ＝ |13sin θ＋ φ＋ 2 3| ，2 2∴ d max ＝13＋2 32.23． (本小题满分 10 分 )选修 4-5：不等式选讲已知函数 f(x)＝ | x － 2| － |2 x － a| ， a ∈ R.(1)当 a ＝ 3 时，解不等式 f(x)>0；(2)当 x ∈ (－∞， 2)时， f(x)<0 恒成立，求 a 的取值范围．23．解： (1)当 a ＝3 时， f(x)>0，即 | x －2| －|2 x － 3|>0 ，33<x<2，x ≥2，x ≤ ，或2等价于2或x － 1>0，－ x ＋ 1>0.－ 3x ＋ 5>0，3 35解得 1<x ≤ ，或 2 <x< .2 35 .所以原不等式的解集为x 1<x<3(2)f(x)＝ 2－ x － |2 x － a| ，所以 f(x)<0 可化为 |2 x － a|>2 － x ，①即 2x －a>2－ x ，或 2x － a<x －2. ①式恒成立等价于 (3x － 2)min >a 或 (x ＋ 2)max <a ，∵ x ∈(－ ∞， 2)，∴ a ≥4.。

2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷理科一参考答案与试题解析

2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}2．（5分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）A．a5是常数B．S5是常数C．a10是常数D．S10是常数4．（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数则（）A．2+πB．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得9．（5分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A．﹣73 B．﹣61 C．﹣55 D．﹣6310．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．20 C．24 D．3212．（5分）若函数y=f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0，2）时，函数．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，且，则=．14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为．15．（5分）在等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设b n=a2n ﹣a2n，n∈N*，则数列{b n}的前2n项和为．﹣116．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF 的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足．（1）求a及角A的大小；（2）求的值．18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB=∠A1AD=60°．（1）求证：BD⊥CC1；（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（，）内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，其中e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；（2）分别记直线l：，ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|．（1）求不等式f（x）≤10﹣|x﹣3|的解集；（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥16．2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}【解答】解：A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，={x|3﹣4＜3x＜33}={x|﹣4＜x＜3}，则A∪B={x|﹣4＜x≤4}，C={x|x=2n，n∈N}，可得（A∪B）∩C={0，2，4}，故选C．2．（5分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i【解答】解：由，得x+yi==2+i，∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i．故选：A．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）A．a5是常数B．S5是常数C．a10是常数D．S10是常数【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，∴a4+a5+a6+a7=2（a1+a10）=18，∴a1+a10=9，∴=45．故选：D．4．（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设AB=2，则BC=CD=DE=EF=1，∴S=××=，△BCIS平行四边形EFGH=2S△BCI=2×=，∴所求的概率为P===．故选：A．5．（5分）已知点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x=a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线C：的右焦点F（c，0），双曲线的渐近线方程为y=x，由x=a代入渐近线方程可得y=b，则A（a，b），可得AF的中点为（，b），代入双曲线的方程可得﹣=1，可得4a2﹣2ac﹣c2=0，由e=，可得e2+2e﹣4=0，解得e=﹣1（﹣1﹣舍去），故选：D．6．（5分）已知函数则（）A．2+πB．C．D．【解答】解：∵，=∫cos2tdt===，∴=（）+（﹣cosx）=﹣2．故选：D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：第1次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2；第2次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=3；第3次循环后，S==2，不满足退出循环的条件，k=4；…第n次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=n+1；…第2018次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2019第2019次循环后，S==2，满足退出循环的条件，故输出的S值为2，故选：C8．（5分）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得【解答】解：函数=sin（2ωx）﹣•+=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，∴•=，∴ω=2，f（x）=sin（4x﹣）=cos[（4x﹣）﹣]=cos（4x﹣）．故把函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位，可得f（x）的图象，故选：B．9．（5分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A．﹣73 B．﹣61 C．﹣55 D．﹣63【解答】解：展开式中所有各项系数和为（2﹣3）（1+1）6=﹣64；=（2x﹣3）（1+++…），其展开式中的常数项为﹣3+12=9，∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为﹣64﹣9=﹣73．故选：A．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF，底面是正六边形，有一PAF侧面垂直底面，且P在底面的投影为AF中点，过底面中心N作底面垂线，过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线，两垂线的交点即为球心O，设△PAF的外接圆半径为r，，解得r=，∴，则该几何体的外接球的半径R=，∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S=4πR2=．故选：C．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．20 C．24 D．32【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），设直线l1：y=k1（x﹣1），直线l2：y=k2（x﹣1），由题意可知，则，联立，整理得：k12x2﹣（2k12+4）x+k12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，设D（x3，y3），E（x4，y4），同理可得：x3+x4=2+，由抛物线的性质可得：丨AB丨=x1+x2+p=4+，丨DE丨=x3+x4+p=4+，∴|AB|+|DE|=8+==，当且仅当=时，上式“=”成立．∴|AB|+|DE|的最小值24，故选：C．12．（5分）若函数y=f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0，2）时，函数．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜f（x）＜，又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；则在∈[6，8）上，f（x）=23•f（x﹣6），则有﹣12≤f（x）≤4，则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；对于函数，有g′（x）=﹣+x+1==，分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值f（1）=+m，若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤8，解可得m≤，即m的取值范围为（﹣∞，]；故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，且，则=．【解答】解：根据题意，向量，，若，则•=2sinα﹣cosα=0，则有tanα=，又由sin2α+cos2α=1，则有或，则=（，）或（﹣，﹣），则||=，则=2+2﹣2•=；故答案为：14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），=，令t=5x﹣3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最小值为﹣2．∴目标函数的最小值为．故答案为：．15．（5分）在等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设b n=a2n ﹣a2n，n∈N*，则数列{b n}的前2n项和为．﹣1【解答】解：等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设首项为a1，公比为q，则：，整理得：，解得：．则：，所以：b n=a2n﹣1﹣a2n==﹣22n﹣4，则：T 2n ==．故答案为：．16．（5分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF ⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF ⊥AF ，则五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的取值范围为（0，）．【解答】解：∵PF ⊥AF ，PF ⊥EF ，AF ∩EF=F ， ∴PF ⊥平面ABCD ．设PF=x ，则0＜x ＜1，且EF=DF=x ．∴五边形ABCEF 的面积为S=S 梯形ABCD ﹣S △DEF =×（1+2）×1﹣x 2=（3﹣x 2）． ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积V=（3﹣x 2）x=（3x ﹣x 3），设f （x ）=（3x ﹣x 3），则f′（x ）=（3﹣3x 2）=（1﹣x 2）， ∴当0＜x ＜1时，f′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，1）上单调递增，又f （0）=0，f （1）=． ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的范围是（0，）．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足．（1）求a及角A的大小；（2）求的值．【解答】解：（1）由2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得﹣2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，即﹣2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，在△ABC中，sinB＞0，所以．又A∈（0，π），所以．在△ABC中，c=2b=2，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=7，所以．（2）由，得=，所以．18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB=∠A1AD=60°．（1）求证：BD⊥CC1；（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．【解答】解：（1）连接A1B，A1D，AC，因为AB=AA1=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，于是A1B=A1D．设AC与BD的交点为O，连接A1O，则A1O⊥BD，又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC．又AA1⊂平面A1AC，所以BD⊥AA1，又CC1∥AA1，所以BD⊥CC1．（2）由，及，知A 1B⊥A1D，于是，从而A1O⊥AO，结合A1O⊥BD，AO∩AC=O，得A1O⊥底面ABCD，所以OA、OB、OA1两两垂直．如图，以点O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系O ﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），C（﹣1，0，0），，，，由，得D1（﹣1，﹣1，1）．设（λ∈[0，1]），则（x E+1，y E+1，z E﹣1）=λ（﹣1，1，0），即E（﹣λ﹣1，λ﹣1，1），所以．设平面B1BD的一个法向量为，由得令x=1，得，设直线DE与平面BDB1所成角为θ，则，解得或（舍去），所以当E为D1C1的中点时，直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（，）内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=．【解答】解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．（2）①∵Z服从正态分布N（μ，σ2），且μ=，σ≈，∴P（＜Z＜）=P（﹣＜Z＜+）=，∴Z落在（，）内的概率是．②根据题意得X～B（4，），；；；；．∴X的分布列为X01234P∴．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）由已知可得解得a2=2，b2=c2=1，所求椭圆方程为．（2）由得（1+2k2）x2+8kx+6=0，则△=64k2﹣24（1+2k2）=16k2﹣24＞0，解得或．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，设存在点D（0，m），则，，所以==．要使k AD+k BD为定值，只需6k﹣4k（2﹣m）=6k﹣8k+4mk=2（2m﹣1），k与参数k无关，故2m﹣1=0，解得，当时，k AD+k BD=0．综上所述，存在点，使得k AD+k BD为定值，且定值为0．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，其中e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=e2﹣2（a﹣1）x﹣b，其导数为f'（x）=e x﹣2（a﹣1），当函数f（x）在区间[0，1]上单调递增时，f'（x）=e x﹣2（a﹣1）≥0在区间[0，1]上恒成立，∴2（a﹣1）≤（e x）min=1（其中x∈[0，1]），解得；当函数f（x）在区间[0，1]单调递减时，f'（x）=e x﹣2（a﹣1）≤0在区间[0，1]上恒成立，∴2（a﹣1）≥（e x）max=e（其中x∈[0，1]），解得．综上所述，实数a的取值范围是．（2）函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，则g'（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，分析可得f（x）=g'（x）．由g（0）=g（1）=0，知g（x）在区间（0，1）内恰有一个零点，设该零点为x0，则g（x）在区间（0，x0）内不单调，所以f（x）在区间（0，x0）内存在零点x1，同理，f（x）在区间（x0，1）内存在零点x2，所以f（x）在区间（0，1）内恰有两个零点．由（1）知，当时，f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f（x）在区间（0，1）内至多有一个零点，不合题意．当时，f（x）在区间[0，1]上单调递减，故f（x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意；所以．令f'（x）=0，得x=ln（2a﹣2）∈（0，1），所以函数f（x）在区间[0，ln（2a﹣2）]上单调递减，在区间（ln（2a﹣2），1]上单调递增．记f（x）的两个零点为x1，x2（x1＜x2），因此x1∈（0，ln（2a﹣2）]，x2∈（ln（2a﹣2），1），必有f（0）=1﹣b＞0，f （1）=e﹣2a+2﹣b＞0．由g（1）=0，得a+b=e，所以，又f（0）=a﹣e+1＞0，f（1）=2﹣a＞0，所以e﹣1＜a＜2．综上所述，实数a的取值范围为（e﹣1，2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；（2）分别记直线l：，ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．【解答】解：（1）圆C1：（θ是参数）消去参数θ，得其普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式并化简，得圆C1的极坐标方程，由圆C2的极坐标方程，得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2代入上式，得圆C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（2）由（1）知圆C1的圆心C1（﹣1，﹣1），半径r1=a；圆C 2的圆心C2（1，1），半径，，∵圆C1与圆C2外切，∴，解得，即圆C1的极坐标方程为．将代入C1，得，得；将代入C2，得，得；故．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|．（1）求不等式f（x）≤10﹣|x﹣3|的解集；（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥16．【解答】解：（1）此不等式等价于或或解得或或3＜x≤4．即不等式的解集为．（2）证明：∵m＞0，n＞0，m+2n=mn，，即m+2n ≥8，当且仅当即时取等号．∴f（m）+f（﹣2n）=|2m+1|+|﹣4n+1|≥|（2m+1）﹣（﹣4n+1）|=|2m+4n|=2（m+2n）≥16，当且仅当﹣4n+1≤0，即时，取等号．∴f（m）+f（﹣2n）≥16．。

高三数学全真模拟考试试题(一)理(含解析)

荆州中学2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(模拟一)选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合,则Ａ、 B、C、 D、【答案】D【解析】【分析】分别求出集合,,再利用交集定义就可求出结果【详解】则故选【点睛】本题主要考查了集合的交集及其运算,属于基础题、2、欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里特别重要,被誉为“数学中的天桥"、依照欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的A、第一象限 B。

第二象限 C、第三象限 D、第四象限【答案】Ｂ【解析】【分析】由欧拉公式(为虚数单位)可得:,再利用诱导公式化简,即可得到答案【详解】由欧拉公式(为虚数单位)可得:表示的复数对应的点为,此点位于第二象限故选【点睛】本题主要考查的是欧拉公式的应用,诱导公式,复数与平面内的点的一一对应关系,考查了学生的运算能力,转化能力。

3、要得到函数的图象,只需将函数的图象Ａ。

向左平移个周期Ｂ、向右平移个周期Ｃ、向左平移个周期D、向右平移个周期【答案】D【解析】【分析】利用函数的图象变换规律,三角函数的周期性,得出结果【详解】将函数的图象向右平移个单位,可得的图象,即向右平移个周期故选【点睛】本题考查了三角函数图像的平移,运用诱导公式进行化简成同名函数,然后运用图形平移求出结果,本题较为基础。

4。

某地区空气质量监测表明,一天的空气质量为优良的概率是,连续两天为优良的概率是,已知某天的空气质量为优良,则随后一天空气质量为优良的概率是A。

B。

C、 D、【答案】A【解析】试题分析:记“一天的空气质量为优良”,“第二天空气质量也为优良”,由题意可知,因此,故选Ａ、考点:条件概率。

视频5、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体各面中直角三角形的个数是A、 2 B。

2018年理科数学高考模拟试卷

高考模拟数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}252140A x x x =-+-<，{}36B x Z x =∈-<<，则()U C A B I 的元素的个数为（） A.3B.4C.5D.62.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知() 12az bi a b R i=+∈-，为“理想复数”，则（） A.350a b +=B.350a b -=C.50a b +=D.50a b -=3.已知角α的终边经过点(3 m m ，，若73πα=，则m 的值为（） A.27B.127C.9D.194.已知()f x 为奇函数，当0x <时，()()2log f x a x x =++-，其中()4 5a ∈-，，则()40f >的概率为（）A.13B.49C.59D.235.若直线22py x =+与抛物线()220x py p =>相交于 A B ，两点，则AB 等于（） A.5pB.10pC.11pD.12p6.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦现有周长为225ABC △满足))sin :sin :sin 21521A B C =，试用以上给出的公式求得ABC △的面积为（） 33 5 5 7.某程序框图如图所示，其中t Z ∈，该程序运行后输出的2k =，则t 的最大值为（）A.11B.2057C.2058D.20598.已知函数()sin432sin23xf xxππ⎛⎫+⎪⎝⎭=⎛⎫+⎪⎝⎭的图象与()g x的图象关于直线12xπ=对称，则()g x的图象的一个对称中心可以为（）A. 06π⎛⎫⎪⎝⎭， B. 03π⎛⎫⎪⎝⎭， C. 04π⎛⎫⎪⎝⎭， D. 02π⎛⎫⎪⎝⎭，9.设0a>，若关于x y，的不等式组202020ax yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域与圆()2229x y-+=存在公共点，则2z x y=+的最大值的取值范围为（）A.[]8 10， B.()6 +∞， C.(]6 8， D.[)8 +∞，10.过双曲线()2222:10 0x yC a ba b-=>>，的右焦点F作x轴的垂直，交双曲线C于M N，两点.A为左顶点，设MANθ∠=，双曲线C的离心率为()fθ，则233f fππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（）A.23B.3C.3D.611.某几何体的三视图如图所示，已知三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的体积为（）A.203πB.12πC.443πD.16π12.若函数()()12ln x f x a x e x x=-++在()0 2，上存在两个极值点，则a 的取值范围是（）A.21 4e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，B.()21 1 4e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭U ，，C.1 e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，D.2111 4e e e ⎛⎫⎛⎫-∞--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在()()54123x x ---的展开式中，常数项为．14.某设备的使用年数x 与所支出的维修总费用y 的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程为$1.3y x a =+.若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用年．15.设向量 a b r r ，满足3a b +=r r ，2a b -=r r，则aa b⋅r r r 的取值范围为． 16.在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，120BAD ∠=︒，点E 为棱PB 的中点，点F 在棱AD 上，平面CEF 与PA 交于点K ，且3PA AB ==，2AF =，则点K 到平面PBD 的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，且233 5a a ==，.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.以下是新兵训练时，某炮兵连8周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：（1）计算该炮兵连这8周中总的命中频率0p ，并确定第几周的命中频率最高；（2）以（1）中的0p 作为该炮兵连炮兵甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发射3次，记命中的次数为X ，求X 的数学期望；（3）以（1）中的0p 作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99？（取lg0.40.398=-） 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PAB △为正三角形，AB AD ⊥，CD AD ⊥，点E ，M 分别为线段BC 、AD 的中点，F 、G 分别为线段PA 、AE 上一点，且2AB AD ==，2PF FA =.（1）确定点G 的位置，使得FG ∥平面PCD ；（2）试问：直线CD 上是否存在一点Q ，使得平面PAB 与平面PMQ 所成锐二面角的大小为30︒，若存在，求DQ 的长；若不存在，请说明理由.20.已知焦距为2的椭圆()2222:10x y W a b a b +=>>的左、右顶点分别为12 A A ，，上、下顶点分别为12 B B ，.点()00 M x y ，为椭圆W 上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线1212 MA MA MB MB ，，，的斜率之积为14.（1）求椭圆W 的标准方程；（2）如图所示，点 A D ，是椭圆W 上两点，点A 与点B 关于原点对称，AD AB ⊥，点C 在x 轴上，且AC 与x 轴垂直，求证： B C D ，，三点共线.21.已知函数221284x m f x x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，()()22112cos 2g x x mx a x x x m =-++++-.（1）若曲线()y f x =仅在两个不同的点()()11 A x f x ，，()()22 B x f x ，处的切线都经过点()2 t ，，求证：38t m =-，或2212273t m m m =-+-；（2）当[]0 1x ∈，时，若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为23815y x x =+-+-（1）写出曲线C 的一个参数方程；（2）在曲线C 上取一点P ，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 A B ，，求矩形OAPB 的周长的取值范围.23.已知函数()252f x x x x =+--+. （1）求不等式()0f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()f x m ≤的整数解仅有11个，求m 的取值范围.高三数学试卷参考答案（理科）一、选择题1.C ∵()(){}()14150 5 4A x x x ⎛⎫=--<=-∞+∞ ⎪⎝⎭U ，，，∴1 54R C A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，∴(){}1 2 3 4 5R C A B =I ，，，，. 2.A ∵()12212555a i a a a z bi bi b i i +⎛⎫=+=+=++ ⎪-⎝⎭，∴2055a a b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，∴350a b +=. 3.B∵1113267tan 3m m π--===，16m -=，∴6127m -==，∴127m =. 4.D ∵()244log 42f a a -=-+=-，∴()()44202f f a a =--=->⇒<，故由几何概型可知所求概率为()()242543--=--. 5.B 联立22py x =+与22x py =得2240x px p --=，设()11 A x y ，，()22 B x y ，，则124x x p +=，∴12249y y p p p +=⨯+=，又直线22py x =+过抛物线的焦点，∴1210AB y y p p =++=. 6.A因为))sin :sin :sin 11A B C =，所以由正弦定理得))::11a b c =+，又a b c ++=所以1a =，b =1c =，则211ac =-=，222651c a b +-=-=，故S ==.7.C 10k =，1S =，8k =；3S =，6k =；11S =，4k =，2059S =，2k =，由于输出的2k =，故计算结束，所以t 的最大值为2058.8.C ∵()sin 4sin 4332sin 2 662sin 2cos 2626x x k f x x x k Z x x ππππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭===+≠+∈ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∴()2sin 22cos 2 6662k g x f x x x x k Z ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=≠-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，的图象的一个对称中心为 04π⎛⎫⎪⎝⎭，.9.D 作出不等式组大致表示的可行域，当直线20ax y-+=经过点()2 3，时，12a=，数形结合可得12a≥，当直线2z x y=+经过点()2 22A a+，时，z取得最大值46a+，∵12a≥，∴8z≥.10.A ∵22bMNa=，AF c a=+，∴()()22212tan12MN b c a c aeAF a c a a c a aθ--=====-++，∴()tan12e fθθ==+，∴232331133f fππ⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11.B 由三视图可知，该几何体由半径为2的球的34及两个14圆柱组成，它的直观图如图所示，故其体积32341222212434Vπππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.12.D ()()()2211'11x xxf x a x e x aex x-⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，令()'0f x=，得1x=或21xax e=-，设()21xg xx e=-，则()()()2222'xxe x xg xx e+=，当0x>时，()'0g x>，∴()g x在()0 2，上递增，当0x→时，()g x∞→-，又()2124ge=-，∴()214g xe⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭，，∴214ae<-，又()1a g≠，∴1ae≠-，∴21114ae e e⎛⎫⎛⎫∈-∞---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U，，.二、填空题13.27-，因为()523x -的展开式中4x 的系数为()3353270C -=-，所以()()54123x x ---的展开式中常数项为()5270327024327---=-+=-.14.9，∵ 4 5x y ==，，∴$5 1.34a =⨯+，∴$0.2a=-，∴$ 1.30.2y x =-，由$12y ≤得5913x ≤. 15.2 25⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，∵224945a b a b a b +--=⋅=-=r r r r r r ，∴54a b ⋅=r r .∵[][]23 2 32 1 5a a b a b =++-∈-+=r r r r r ，，，∴15 22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦r ，，∴2 25a a b ⎡⎤∈⎢⎥⋅⎣⎦r r r ，. 16.95，延长CF 交BA 的延长线于点Q ，连接QE 交PA 于点K ，设QA x =，由AD BC ∥得QBC QAF △∽△，则233x x =+，∴6x =，取AB 的中点M ，则PA EM ∥，∴QAK QME △∽△，则323662AK =+，∴65AK =，∴633535PK PA -==，设BD AC O =I ，连接PO ，过A 作AH PO ⊥于H ，易证AH ⊥平面PBD ，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，3AB =，则32AO =，故2233352332AH ⨯==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴点K 到平面PBD 的距离为3955AH =.三、解答题17.解：（1）∵32132S S -=， ∵11353132a a +++-=，∴11a =， ()111nS n n n=+-⨯=，∴2n S n =，∴()1212n n n a S S n n -=-=-≥，∵11a =，∴21n a n =-. （2）∵()213n n b n =-⋅，∴()21333213n n T n =⨯+⨯++-⋅…， ∴()23131333213n n T n +=⨯+⨯++-⋅…，∴()()231332333213n n n n T T n +-=+⨯+++--⋅…，即()()()2111133323221336123223613n n n n n n T n n n ++++-⨯-=+⨯--⋅=-+-⋅=-⋅--，故()1133n n T n +=-⋅+.18.解：（1）这8周总命中炮数为4045464947495352381+++++++=，总未命中炮数为3234303235333028254+++++++＝， ∴03810.6381254p ==+.∵52532830>，∴根据表中数据易知第8周的命中频率最高. （2）由题意可知()3 0.6X B ～，，则X 的数学期望为()30.6 1.8E X =⨯=.（3）由()0110.99np -->即10.40.99n ->得0.40.01n <， ∴0.4lg0.0122log 0.01 5.025lg0.4lg0.40.398n >==-=≈，故至少要用6枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99. 19.解：（1）G 为线段AE 的靠近E 的三等分点.在线段AD 上取一点N ，使得2DN AN =，因为2PF FA =，∴FN PD ∥，因为M 为AD 中点，∴23AN AM =，当G 为线段AE 靠近E 的三等分点时，即23AG AE =，NG AE ∥，又易知ME CD ∥，∴NG CD ∥.又FN NG N =I ，所以平面FNG ∥平面PCD ，因为FG ⊂平面FNG ，所以FG ∥平面PCD .（2）取AB中点O，连接PO，因为PAB△为正三角形，所以PO AB⊥，又侧面PAB⊥底面ABCD，所以PO⊥底面ABCD，以OA为x轴，AB的中垂线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系O xyz-，如图所示，则(0 0 3P，，，()1 1 0M，，，设()2 0Q t，，，则(1 1 3PM=u u u u r，，，( 2 3PQ t=u u u r，，，设平面PMQ的法向量为()n x y z=r，，，则0PM n PQ n⋅=⋅=u u u u r r u u u r r，即3230x y z tx y z+=+=，令3x=PMQ的一个法向量为))3 31 2n t t=--r，，.易得平面PAB的一个法向量为()0 1 0m=u r，，，所以()()22313cos cos303312tm nt t-<>==︒=+-+-u r r，，解得3t=，故存在点Q，且312DQ=-=.20.解：（1）由题可得22c=，∴1c=，∴221a b-=，∵点()00M x y，为椭圆W上不在坐标轴上任意一点，∴2200221x ya b+=，∴()2222002by a xa=-，()2222002ax b yb=-，∴1212222000000222000000MA MA MB MBy y y b y b y y bk k k kx a x a x x x a x-+-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+--()()222222202022222200214b a x y b b a a x a a b y b -⎛⎫-=⋅== ⎪-⎝⎭-，∴222a b =. 又221a b -=，∴22a =，21b =，故椭圆W 的标准方程为2212x y +=.（2）证明：设()11 A x y ，，()22 D x y ，，则()11 B x y --，，()1 0C x ，， ∵A ，D 都在M 上，∴221122222222x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， ∴()()()()1212121220x x x x y y y y -++-+=，即()121212122y y x xx x y y -+=--+，又AB AD ⊥，∴1AB AD k k ⋅=-，即1121121y y y x x x -⋅=--，∴()11211212y x xx y y +⋅=+， ∴()1211122y y y x x x +=+，又1211212121121202BD BC y y y y y y y k k x x x x x x x +++-=-=-=+++，∴BD BC k k =，∴ B C D ，，三点共线.21.（1）证明：∵321284x m f x x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，∴()32f x x mx m =-+-，∴()2'32f x x mx =-+，则曲线()y f x =在 A B ，两点处的切线的方程分别为：()()()3221111132y x mx m x mx x x --+-=-+-， ()()()3222222232y x mx m x mx x x --+-=-+-.将()2 t ，代入两条切线方程，得 ()()()32211111322t x mx m x mx x --+-=-+-， ()()()32222222322t x mx m x mx x --+-=-+-.由题可得方程()()()322322t x mx m x mx x --+-=-+-即()32264t x m x mx m =-++-有且仅有两个不相等的两个实根.设()()32264h x x m x mx m =-++-，()()()()2'6264232h x x m x m x m x =-++=--.①当6m =时，()()2'620h x x =-≥，∴()h x 单调递增，显然不成立. ②当6m ≠时，()'0h x =，解得2x =或3m x =. ∴()h x 的极值分别为()238h m =-，32123273m h m m m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.要使得关于x 的方程()32264t x m x mx m =-++-有且仅有两个不相等的实根，则38t m =-或3212273t m m m =-+-. （2）解：()()()312cos 2x f x g x a x x x -=-+--212cos 2x x a x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，设()22cos 2x G x x =+，则()'2sin G x x x =-，记()2sin H x x x =-，则()'12cos H x x =-，当[]0 1x ∈，时，()'0H x <，于是()'G x 在[]0 1，上是减函数，从而当[]0 1x ∈，时，()()''00G x G ≤=，故()G x 在[]0 1，上是减函数，于是()()02G x G ≤=，从而()13a G x a ++≤+，所以当30a +≤时，()()0f x g x -≥. 所以，当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[]0 1，上恒成立，因此，a 的取值范围是(] 3-∞-，.22.解：（1）由3y =()()()223143y x y -=--≥，即()()()224313x y y -+-=≥，故曲线C 的一个参数方程为4cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，且[]0 θπ∈，）. （2）由（1）可知点P 的坐标为()4cos 3sin θθ++，，[]0 θπ∈，，则矩形OAPB 的周长为()24cos 3sin 144C πθθθ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，∵[]0 θπ∈，，∴5 444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴sin 14πθ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，，∴12 C ⎡∈⎣，.23.解：（1）()2223 02 3 057 5x x f x x x x x x ⎧-≤⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，，，，由不等式()0f x <，得2300x x ⎧-<⎨≤⎩或223005x x x ⎧+-<⎨<<⎩或2705x x ⎧+<⎨≥⎩，即0x ≤或01x <<或x ∈∅，故不等式()0f x <的解集为()1，.（2）由（1）知()22222 3 3 02 3 012 3 157 5x x x x f x x x x x x x x x ⎧-≤⎪-<≤⎪⎪=--+<<⎨⎪+-≤<⎪⎪+≥⎩，，，，，，当()532m f ==时，不等式()f x m ≤的整数解为5-，4-，…，4，5共有11个，当33m =时，不等式()f x m ≤的整数解为6-，5-，…，4，5共有12个，故[)32 33m ∈，.。

2018年高考数学(理科)模拟试卷及答案

注意事项: 201年高三数学试卷1 •本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分2•本试卷分试题卷和答题卷，第I卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第I卷第I卷（选择题共60 分）选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目1 .已知集合A—>1 \ , B = {x(x +2)( x —1)>0}L x J则A n B等于()A . (0 ,2)B .(1, 2)C . (—2,2)D .(, _2 ) U(0要求的.2. 设(1 • 2i)x =x yi，其中x, y是实数，则上+i =()xA. 1B. ■. 2C. 、3 D . ■,53. 下面框图的S的输出值为 ()A. 5B. 6C. 8D. 134.已知随机变量X服从正态分布 2N (2,二)且P (x _ 4) = 0.8 8 ，贝U P (0 ：：: x ：：: 4)=(A . 0.8 8B . 0.7 6C . 0.2 4D . 0.1 25 .在各项不为零的等差数列"n f中，2日2017 - a：018 ■ 2日2019 = 0，数列｛b n｝是等比数列，且b2 0 18 = a 20 1 8，贝U lO g2 ( b2 01 7b2 01 9 )的值为( )C. 4D. 86.下列命题正确的个数是（）（1）函数y = cos' ax _sin ' ax的最小正周期为二"的充分不必要条件是 a = 11（2）设a三｛4! ,3- ，则使函数y =x°的定义域为R且为奇函数的所有a的值为_1,1, 3 .2A. 1 B . 2 C . 3 D . 04•屮 4 47.已知向量 a =（x2,x - 2）, b =（—3 -1）, c =（1,巧）, 若a // b，则a与c夹角为（）A n r 71- 2兀 5 二A.— B .— C .- D .-6336（3）已知函数f （x）=2x • a In x在定义域上为增函数，则 a _ 0 .&如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线所画出的是某几何体的三视图，则该几何体的■ TT rr r rr rT T n m"rr r r T -T nT T 1 一L厂厂ITTT r i inr rrr FT THT T 1-1r r i-i-LL各条棱中最长的棱长为A. 2 , 5B. 4 2C. 6D. 4 -. 329.若关于x的不等式（a a - 6） x ::: sin a无解，则a = （）A.「3B. -2C.2D. 3210.若A 1,2 ,B x1,y1,C x2, y2是抛物线y =4x上不同的点，且AB _ BC，则y?的取值范围是（）B . （-：：,- 6 ]_.（ 8, +：：）D . （-：：,- 5] _. [ 10, +：：）|2 x 亠y ：：： 411.已知动点P（x,y）满足：x 一°，则x2• y2+4y的最小值为（）2x■ 3y_2C. -1■ Xe12. 已知函数f (x) = e，x一0，( e为自然对数的底数)，则函数y = f (f (x)) 一f(X)2x +5x 亠4, x ::: 0.的零点的个数为()A . 2B . 3 C. 4 D . 5第II卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分.1 1 313. ____________________________________________ (x • )(2x_ )的展开式中的常数项为.x x14 .已知F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF 1交y 轴于点C,若AC丄BF1,则双曲线的离心率为______________ .15.已知矩形ABCD 的两边长分别为AB =3 , BC =4, O是对角线BD的中点,囹15題E是AD边上一点，沿BE将.■:ABE折起，使得A点在平面BDC上的投影恰为O (如右图所示)，则此时三棱锥A —BCD的外接球的表面积是_________________ .sin A 1 —b cos A16.在.'ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c , b ,a =2sin C cos B1则有如下结论：(1) c =1 ; ( 2) S -ABC的最大值为;4(3)当S .，ABC取最大值时,则上述说法正确的结论的序号为____________三、解答题：共70分。

2018学年度高三第三次模拟考试理科数学试题及答案精品

x2
5．已知实数 x、y 满足约束条件 y 2 ，则 z 2 x 4y 的最大值为（
）．
xy6
A．24
B
．20
C
．16
D
． 12
6．已知向量 | a | 10,| b | 12 , 且 a b 60 ，则向量 a 与 b 的夹角为（
）
A． 600
B
． 1200
C
．1350
D
．150 0
7．下列命题错误的是（
17. （本小题满分 14 分）
18. （本小题满分 14 分） 1
P
E
D C
O
A
B
19. （本小题满分 14 分）
20. （本小题满分 14 分）
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试 ( 理科 ) 数学试题参考答案
一、选择题 : （本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．） 1．D本题主要考察互为共轭复数的概念及复数的乘法运算．
20．（本小题满分 14 分）设 { an} 是等差数列， {bn} 是各项都为正数的等比数列，且 a1 b1 1 ，a3 b5 21 ，
a5 b3 13
（Ⅰ）求 { an} ， { bn} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列
an bn
的前 n 项和 Sn ．
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试
）
A．命题“若 m 0 ，则方程 x2 x m 0 有实根”的逆否命题为： “若方程
x2 x m 0 无实根，则 m 0 ”。
B．“ x 1 ”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件。
C．命题“若 xy 0 ，则 x, y 中至少有一个为零”的否定是： “若 xy 0，则 x, y 都不为零”。 D．对于命题 p : x R ，使得 x2 x 1 0 ；则 p 是 : x R ，均有 x2 x 1≥ 0 。

2018年高三年级摸底考试数学试卷(理科)

江西省赣州市2018年高三年级摸底考试理科数学2018年3月本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合A ＝{x |xx －1＜0}，B ＝{x |x －2＜2}，则“m ∈A ”是“m ∈B ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.z ∈C ，若|z |－z －＝1－2i ，则4＋3i z的值是A.－2B.－2iC.2D.2i3.已知(x －ax)8展开式中的常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和为A.28B.38C.1或38D.1或284.在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项之和S 9等于 A.66 B.99 C.144 D.2975.设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，△ABC 的三个顶点都在此抛物线上，且F A ＋FB ＋FC ＝0，则|F A |＋|FB |＋|FC |等于A.9B.6C.4D.36.已知a ，b 为空间两条异面直线，A 是直线a ，b 外一点，则经过A 点与两条异面直线a ，b 都相交的直线的可能情况为A.至多有一条B.至少有一条C.有且仅有一条D.有无数条7.已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，则g (x )＝f (x 2)的最大值为 A.1 B.3 C.5 D.9 8.有下列命题：①函数f (x )＝sin x ＋2sin x(x ∈(0，π))的最小值是22；②在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形；③如果正实数a ，b ，c 满足a ＋b ＞c ，则a 1＋a ＋b 1＋b ＞c1＋c；④如果y ＝f (x )是可导函数，则f ′(x 0)＝0是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要不充分条件. 其中正确的命题是A.①②③④B.①④C.②③④D.②③ 9.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝x ＋y ＋2x ＋3的最小值为A.13B.136C.4D.－2310.方程2sin θ＝cos θ在区间[0,2π)上解的个数是 A.0个 B.1个 C.2个 D.4个11.设函数f (x )＝∑10n ＝1|nx －1|≥m 恒成立(记∑ni ＝1a i ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )，则m 的取值范围是 A.(－∞，5] B.(－∞，256]C.(－∞，277]D.(－∞，318]12.已知C为线段AB上的一点，P为直线AB外一点，满足|P A|－|PB|＝2，|P A－PB|＝25，P A·PC |P A|＝PB·PC|PB|，I为PC上一点，且BI＝BA＋λ(AC|AC|＋AP|AP|)(λ＞0)，则BI·BA|BA|的值为A.1B.2C. 5D.5－1第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案填写在题中横线上.13.设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，且P(|ξ|＜b)＝a(0＜a＜1，b＞0)，则P(ξ≥b)的值是(用a表示).14.已知集合{1，12，14，…，12n－1}，它的所有的三个元素的子集的所有元素之和是S n，则limn→∞2S nn2＝.15.已知棱长为26的正四面体内切一球，然后在它四个顶点的空隙处各放一个小球，则这些球的最大半径为.16.五个同学传一个球，球从小王同学手中首先传出，第五次传球后，球回到小王手中的概率是.三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知△ABC 三个内角为A 、B 、C ，若cos A cos B cos C ＞0，且p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )是共线向量. (1)求∠A 的值；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2的最大值.甲、乙两个人射击，甲射击一次中靶概率是p 1，乙射击一次中靶概率是p 2，已知1p 1、1p 2是方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，若两人各射击5次，甲的方差是54.(1)求p 1、p 2的值；(2)两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？已知函数f (x )＝－14x 4＋23x 3＋ax 2－2x －2在区间[－1,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增.(1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f (2|x |－1)＝m (x ≠0)有六个不同的实数解，求实数m 的取值范围.如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，DC⊥平面ABC，DC＝4，G为△ABC的重心.(1)若M为GD的中点，求异面直线CG与MB所成角的大小；(2)若M为线段GD上的动点，求(AM＋BM＋CM)·MD的最大值.已知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2，记点P 的轨迹为S ，若直线l 过点F 2且与轨迹S 交于P 、Q 两点.(1)求轨迹S 的方程；(2)无论直线l 绕点F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点M (m,0)，使MP ⊥MQ 恒成立，求实数m 的值；(3)过P 、Q 作直线x ＝12的垂线P A 、QB ，垂足分别为A 、B ，设PM 交AB 于E ，QM 交AB 于F ，λ＝|AE |·|BF |.求证：当λ取最小值时，△PMQ 的面积为9.设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n ＝32(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对数列{2n ln a n }，是否存在等差数列{c n }，使得c 1C 1n ＋c 2C 2n ＋…＋c n C n n ＝2nln a n 对一切正整数n ∈N *都成立？若存在，求出数列{c n }的通项公式，若不存在，说明理由.高三摸底数学(理科)答案第页(共3页)赣州市2018年高三年级摸底考试理科数学参考答案2018年3月1.A2.D3.C4.B5.B6.A7.B8.C9.A 10.C 11.C 12.D 13.12(1－a ) 14.2 15.12 16.51256 17.解：(1)∵p ，q 共线，∴(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，1分∴sin 2A ＝34.2分∵cos A cos B cos C ＞0，∴A 为锐角.3分∴sin A ＝32，∴A ＝π3.5分(2)y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2＝2sin 2B ＋cos (π－π3－B )－3B26分＝2sin 2B ＋cos(π3－2B )＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B 8分＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin(2B －π6)＋1.10分 ∵B ∈(0，π2)，∴2B －π6∈(－π6，5π6).11分∴当2B －π6＝π2时，即B ＝π3时，y max ＝2.12分18.解：(1)由题意可知ξ甲～B (5，p 1)，∴Dξ甲＝5p 1(1－p 1)＝541分⇒p 21－p 1＋14＝03分 ⇒p 1＝12.4分又1p 1·1p 2＝6，∴p 2＝13.6分 (2)分两类情况：①共击中3次概率C 22(12)2(12)6·C 12(13)(23)＋C 1212·12·C 22(13)2＝16.9分 ②共击中4次概率C 22(12)2·C 22(13)2＝136.11分所求概率为16＋136＝736.12分19.解：(1)由函数f (x )＝－14x 4＋23x 3＋ax 2－2x －2在区间[－1,1]上是单调递减，在区间[1,2]上单调递增，所以x ＝1取得极小值.1分∴f ′(1)＝0，∴－1＋2＋2a －2＝0，3分∴a ＝12.4分(2)由(1)知f (x )＝－14x 4＋23x 3＋12x 2－2x －2，∴f ′(x )＝－x 3＋2x 2＋x －2.5分令f ′(x )＝0，得x ＝－1，x ＝1，x ＝2.6分∴函数f (x )有极大值f (－1)＝－512，f (2)＝－83，极小值f (1)＝－3712.8分关于x 的方程f (2|x |－1)＝m (x ≠0)有六个不同的实数解，令2|x |－1＝t (t ＞0)，即关于t 的方程f (t )＝m 在t ∈(0，＋∞)上有三个不同的实数解.9分在t ∈(0，＋∞)上函数f (t )的图象与直线y ＝m 的图象在t ∈(0，＋∞)上有三个不同的交点，而f (t )的图象与f (x )的图象一致.11分又f (0)＝－2，由数形结合可知，－3712＜m ＜－83.12分20.解：(1)延长CG 交AB 于N ，∵G 是△ABC 的重心，∴N 是AB 的中点.1分∵∠ACB ＝90°，∴CN ＝12AB ＝6，∴CG ＝23CN ＝4.2分作ME ∥GC 交DC 于E ，∴∠EMB 是异面直线GC 与BM 所成的角或补角.3分∵M 是DG 的中点，ME ＝12GC ＝2，BE ＝EC 2＋BC 2＝(12DC )2＋62＝210.4分过M 作MH ⊥GC 于H ，MH ⊥平面ABC ，∴MH ＝2， ∴MB 2＝MH 2＋HB 2＝4＋4＋36－2·2·6·cos 60°＝32，∴cos ∠EMB ＝ME 2＋MB 2－BE 22ME ·MB ＝－28.5分∴异面直线GC 与BM 所成的角为arccos 28.6分(2)AM ＋BM ＋CM ＝－(MA ＋MB ＋MC )， ∵G 是△ABC 的重心，∴MA ＋MB ＋MC ＝3MG .7分∴(AM ＋BM ＋CM )·MD ＝－3MG ·MD .8分 △DGC 是等腰直角三角形，DG ＝2CD ＝4 2.9分设MG ＝x ，则MD ＝42－x ，∴－3MG ·MD ＝－3|MG ||MD |cos 180°＝3·x ·(42－x )10分 ≤3(x ＋42－x 2)2＝24.11分∴(AM ＋BM ＋CM )·MD 的最大值是24.(当且仅当M 为GD 的中点时取得).12分(备注：以上各小题都可以通过建立空间直角坐标系求解，建议参照给分) 21.解：(1)由|PF 1|－|PF 2|＝2＜|F 1F 2|知，点P 的轨迹S 是以F 1、F 2为焦点的双曲线右支.1分由c ＝2,2a ＝2，∴b 2＝3.2分故轨迹S 的方程为x 2－y 23＝1(x ≥1).4分 (2)当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)与双曲线方程联立消y 得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3≠0，Δ＞0，x 1＋x 2＝4k 2k 2－3＞0，x 1·x 2＝4k 2＋3k 2－3＞0，解得k 2＞3.5分∵MP ·MQ ＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2 ＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋m 2＋4k 2 ＝3－(4m ＋5)k 2k 2－3＋m 2.6分试卷∵MP ⊥MQ ，∴MP ·MQ ＝0，故得3(1－m 2)＋k 2(m 2－4m －5)＝0对任意的k 2＞3恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m 2＝0，m 2－4m －5＝0，解得m ＝－1.7分当m ＝－1时，MP ⊥MQ ，当直线l 的斜率不存在时，由P (2,3)，Q (2，－3)及M (－1,0)知结论也成立. 综上，当m ＝－1时，MP ⊥MQ .8分(3)由(1)知，存在M (－1,0)使得MP ⊥MQ ，∴∠AEP ＝∠MEF ＝∠BQF ，∴△P AE ～△FBE ，∴|AP ||FB |＝|AE ||BQ |.9分 |AE |·|FB |＝|AP |·|BQ |＝|PF 2|e ·|QF 2|e ＝14|PF 2|·|OF 2|， |PF 2|＝ex 1－a ＝2x 1－1，|PF 2|＝ex 2－a ＝2x 2－1，∴|AE ||FB |＝14(2x 1－1)(2x 2－1)10分＝14[4x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋1]＝x 1x 2－x 1＋x 22＋14＝4k 2＋3k 2－3－2k 2k 2－3＋14＝2k 2＋3k 2－3＋14＝94＋9k 2－3＞94. 当斜率不存在时|AE |·|AF |＝94，∴λ的最小值为94.11分此时，|PQ |＝6，|MF |＝3，S △PMQ ＝12|MQ |·|PQ |＝9.12分 22.解：(1)由A n ＝32(a n －1)，A n ＋1＝32(a n ＋1－1)，1分 ∴a n ＋1＝32(a n ＋1－a n )，即a n ＋1a n＝3，2分且a 1＝A 1＝32(a 1－1)，得a 1＝3.3分∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列.4分通项公式为a n ＝3n .5分(2)∵2n ln a n ＝2n ln 3n ＝(n ln 3)·2n＝2n ln 3·2n －1＝2n ln 3(1＋1)n －16分＝2n ln 3(C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1)7分＝2n ln 3(n C 1－1n －1＋n C 2－1n －1＋n C 3－1n －1＋…＋n C n －1n －1)8分＝2n ln 3(C 1n ＋2C 2n ＋…＋k C k n ＋…n C n n )9分＝(2ln 3)C 1n ＋(2ln 3)·2C 2n ＋…＋(2ln 3)·k C k n ＋…＋(2ln 3)·n C n n .12分故存在等差数列{c n }，c n ＝(2ln 3)·n 对一切正整数n ∈N *，c 1C 1n ＋c 2C 2n ＋…＋c n C n n ＝2n ln a n 都成立.14分。

2018年高三数学模拟试题理科(四)含答案

6.在等差数列an 中，a1 a5 16,则 S5 =A . 80B . 40 C. 31D . -317.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为A . 16 nB. 16 4nC. 8 nD. 8 4 n8.二项式(xx的展开式中，常数项为 A . 64B . 30 C. 1519.函数f(X )In x3 的零点所在的区间是xA . (1,2)B . (2,e)C. (e,3)D . (3,)10.执行右边的程序框图，若 p 0.9，则输出的黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科(四)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1•已知集合 A1 ,0,1,2，B xx 2，则 AI BA. 第一象限B.第二象限 C 第三象限 D.第四象限3•下列函数中，是偶函数且在区间(0,+①上单调递减的函数是A . y2x B . y V x C. y |x | D . y x 2 1n n4•函数y=coW(x + 4 )— sin F (x + 4 )的最小正周期为nn A. 2nB. nC. —D. ~5.以下说法错误的是A. 命题若/-3x+2=0，则x=1 ”勺逆否命题为若x 工则X 2-3X +2丰0”B.“ 是“X -3x+2=0 '的充分不必要条件C. 若命题P ：存在X 0 € R 使得x 0 -x 0+1<0，则「p:对任意x € R 都有x 2-x+1 >01,1,2B .1,2C1,2 D. 2A .2•复数Z 1 i ,则z 对应的点所在的象限为 D .若p 且q 为假命题，则p,q 均为假命题 D . 1:：12—1 g主视图 2左视图俯视图11. 若抛物线y 2 = 2px (p>0)上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是则p 的值为x 1_12.已知函数f x x R 满足f x 2 f x ，若函数y与y f x 图像的交点xm为 X 1，y 1 ， X 2，y 2 ,， X m ，y m ，贝Vx y ( ) i 1第口卷(非选择题，共90分)、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为 3 : 5 : 7,现用分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本，其中甲种产品有 18件，则样本容量n =215.已知随机变量X 服从正态分布N(4,)，且.P(2 X 6)0.98,则P(X 2)_____ . x 2y 20,16.设不等式组x 4,表示的平面区域为错误!未指定书签。