高考数学模拟试卷复习试题第一学期调研考试高三数学理科试题卷
高三年级第一学年度考试数学模拟试卷(理科)
高三年级第一学年度考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{}2log 1P x x =<-，{}1Q x x =<，则P Q = （ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭2. 已知i 为虚数单位，复数z满足()2311i z =-，则z 为（ ）A ．12BC．4D3. 如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ） A ．8B ．12C ．18D ．244. 已知命题p ：方程2210x ax --=有两个实数根；命题q ：函数()4f x x x=+的最小值为4．给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∨⌝．则其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．45.由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4C ．163D ．66. 函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ．B ．CD ．7. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．1321B ．2113C ．813D ．1388. 定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()e e 3x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞9. 若实数a ，b ，c ，d 满足()()2223ln 20b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为（ ）AB ．2C．D ．810. 已知()21,01,3log ,1,2x x f x x x +≤<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩存在210x x >≥，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围为（ ）A ．3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭11. 设函数()32133f x x x x =+-，若方程()()210f x t f x ++=有12个不同的根，则实数t 的取值范围为（ ）A ．10,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(),2-∞-C ．34,215⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,2- 12. 设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()3,+∞C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设1m >，变量x ，y 在约束条件,,1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值为2，则m =_________．14. 函数e xy mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________．15. 已知函数()3223f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n +=_________． 16. 定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x x -+=，当0x <时，()f x x '<，则不等式()()112f x f x x +≥-+的解集为_________． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且cos 2cos 3cos a b cA B C==． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积为3，求a 的值． 18.（本小题满分12分）函数21()ln 22f x x ax x =--． （1）当3a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()1,a ∀∈-+∞，()1,e x ∃∈，有()0f x b -<，求实数b 的取值范围． 19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且4sin b A =．（1）求sin B 的值；（2）若a ，b ，c 成等差数列，且公差大于0，求cos cos A C -的值． 20.（本小题满分12分）已知函数()242ln f x ax bx a x =-+（,a b ∈R ）．（1）若函数()y f x =存在极大值和极小值，求ba的取值范围；（2）设m ，n 分别为()f x的极大值和极小值，若存在实数2e 1,2e b a ⎫+∈⎪⎭，使得1m n -=，求a 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，()e xxg x =． （1）记()()()F x f x g x =-，判断()F x 在区间()1,2内的零点个数并说明理由；（2）记()F x 在()1,2内的零点为0x ，()()(){}min ,m x f x g x =，若()m x n =（n ∈R ）在()1,+∞内有两个不等实根1x ，2x （12x x <），判断12x x +与02x 的大小，并给出对应的证明． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD OE ⊥于D ，割线EC 交圆O 于B ，C 两点．（1）证明：O ，D ，B ，C 四点共圆；（2）设50DBC ∠=︒，30ODC ∠=︒，求OEC ∠的大小． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为10,x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24sin 20ρρθ-+=． （1）把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 向右平移h 个单位，所得直线l '与圆C 相切，求h ． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+，a ∈R ，()21g x x =-． （1）若当()5g x ≤时，恒有()6f x ≤，求a 的最大值；（2）若当x ∈R 时，恒有()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．。
高考数学(理科)模拟考试卷(附参考答案与解析)
高考数学（理科）模拟考试卷(附参考答案与解析)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若复数z满足iz=4+3i，则复数z在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}和B={(x,y)|y=x}，则A∩B中元素的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 03. 已知向量a⃗，b⃗⃗满足|a⃗|=1，|b⃗⃗|=√ 3和|a⃗⃗−2b⃗⃗|=3，则a⃗⃗⋅(a⃗⃗+b⃗⃗)=( )A. −2B. −1C. 1D. 24. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如16=3+13.在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是( )A. 15B. 215C. 115D. 255. 的展开式中x3y3的系数为40，则实数a的值为( )A. 4B. 2C. 1D. 126. 设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率为√ 22，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为2，则a=( )A. 1B. 2C. √ 2D. 47. 在△ABC中cosC=23，AC=4和BC=3则cos A2=( )A. √ 306B. √ 33C. 13D. 568. 如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB//ED和AB=ED=2FB=2，则三棱锥F−ACE 的体积为( )A. 23B. 43C. 2D. √ 39. 在正方体AC1中，点M为平面ABB1A1内的一动点，d1是点M到平面ADD1A1的距离，d2是点M到直线BC的距离，且d1=λd2(λ>0)(λ为常数)，则点M的轨迹不可能是( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称.若f(1)=3，则f(2)+f(3)+⋯+f(50)=( )A. 3B. 2C. 0D. 5011. 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，AB=AC=2√ 3和BC=6，则三棱锥D−ABC 体积的最大值为( )A. 3√ 3B. 6√ 3C. 12√ 3D. 18√ 312. 已知a∈R，设函数若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立则a 的取值范围为( )A. [0,e2] B. [0,2] C. [0,1] D. [0,e]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等差数列{a n}前9项的和为27，且a10=8，则a15=______ ．14.15. 在直线l：y=−2上取一点D作抛物线C：x2=4y的切线，切点分别为A，B，直线AB与圆E：x2+ y2−4x−2018=0交于M，N两点，当|MN|最小时，则D的横坐标是______ ．16. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，下述四个结论：①若φ=π5，且f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，则f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②若φ=π4，且f(x)在[0,2π]有且仅有4个零点，则f(x)在[0,2π]有且仅有2个极大值点； ③若φ=π5，且f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，则f(x)在(0,π10)上单调递增； ④若φ=π3，且f(x)在(0,π)有且仅有2个零点和3个极值点，则ω的范围是(136,83)． 其中所有正确结论的编号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。
高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学试卷理科
高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学试卷（理科）一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（）A．3 B．4 C．18 D．402．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB=（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10 B．6 C．14 D．184．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3 C．D．6．（5分）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f （log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为．12．（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为．14．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F 分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为．三.解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．16．（13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E 的长．18．（13分）已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{an}的通项公式；（2）设bn=，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=nx﹣xn，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2．天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（）A．3 B．4 C．18 D．40【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+6y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（0，3）将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．2．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB=（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，∴∁UB={2，5，8}，则A∩∁UB={2，5}．故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10 B．6 C．14 D．18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=14不满足条件i＞5，i=8，S=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．4．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．5．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3 C．D．【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．【解答】解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，∴2×4=AM•2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，∴3×NE=4×2，∴NE=．故选：A．【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．6．（5分）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：B．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f （log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|﹣1，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f （0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．故选：C．【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为﹣2．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【解答】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，得，解得：a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；∴该几何体的体积为V几何体=2×π•12×1+π•12•2=π．故答案为：π．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．11．（5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是．故答案为：．【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．12．（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为Tr+1=•（x）6﹣r•（﹣）r=（﹣）r••x6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x2的系数为×=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为8．【分析】由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=．利用S△ABC==，化为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．∵S△ABC==bc=，化为bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．故答案为：8．【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为．【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值．【解答】解：由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=（）•（）=（）•（）==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°=1++﹣≥+=（当且仅当时等号成立）；故答案为：．【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．三.解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=﹣sin（2x﹣），由周期公式可得；（Ⅱ）由x∈[﹣，]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）=（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]=（1﹣cos2x﹣1+cos2x+sin2x）=（﹣cos2x+sin2x）=sin（2x﹣）∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，]，∴f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值分别为，﹣【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．16．（13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望．【解答】解：（Ⅰ）由已知，有P（A）=，∴事件A发生的概率为；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．P（X=k）=（k=1，2，3，4）．∴随机变量X的分布列为：X 1 2 3 4P随机变量X的数学期望E（X）=．【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题．17．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E 的长．【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论；（Ⅱ）通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；（Ⅲ）通过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z 轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；（Ⅱ）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，1，1），设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，﹣2，1），∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；（Ⅲ）解：由题意可设=λ，其中λ∈[0，1]，∴E=（0，λ，2），=（﹣1，λ+2，1），又∵=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，∴cos＜，＞===，整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=﹣2或﹣2﹣（舍），∴线段A1E的长为﹣2．【点评】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（13分）已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{an}的通项公式；（2）设bn=，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．【分析】（1）通过an+2=qan、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知bn=，n∈N*，写出数列{bn}的前n项和Tn、2Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）∵an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，∴a3=q，a5=q2，a4=2q，又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，∴2×3q=2+3q+q2，即q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍），∴an=；（2）由（1）知bn===，n∈N*，记数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn=1+2•+3•+4•+…+（n﹣1）•+n•，∴2Tn=2+2+3•+4•+5•+…+（n﹣1）•+n•，两式相减，得Tn=3++++…+﹣n•=3+﹣n•=3+1﹣﹣n•=4﹣．【点评】本题考查求数列的通项与前n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过离心率为，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线FM的方程为y=k （x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；（Ⅱ）通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M（c，c），利用|FM|=计算即可；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x∈（﹣，﹣1）与x∈（﹣1，0）两种情况讨论即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵离心率为，∴==，∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，∴d2+=，即（）2+=，解得k=，即直线FM的斜率为；（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=（x+c），联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c，∵点M在第一象限，∴M（c，c），∵|FM|=，∴=，解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，即椭圆的方程为+=1；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，∵F（﹣1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又∵直线FP的斜率大于，∴＞，6﹣2x2＞6（x+1）2，整理得：x（2x+3）＜0且x≠﹣1，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），联立方程组，消去y并整理，得m2=﹣．①当x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，∴m=，∴m∈（，）；②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，∴m=﹣，∴m∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=nx﹣xn，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2．【分析】（Ⅰ）由f（x）=nx﹣xn，可得f′（x），分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性．（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，0），则可求x0=n，f′（x0）=n﹣n2，可求g（x）=f′（x0）（x﹣x0），F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．由f′（x）=﹣nxn﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，可求F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，即可得证．（Ⅲ）设x1≤x2，设方程g（x）=a的根为，由（Ⅱ）可得x2≤．设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，设方程h（x）=a的根为，可得＜x1，从而可得：x2﹣x1＜﹣=，由n≥2，即2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，推得：2=x0，即可得证．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由f（x）=nx﹣xn，可得f′（x）=n﹣nxn﹣1=n（1﹣xn﹣1），其中n∈N•，且n≥2．下面分两种情况讨论：（1）当n为奇数时，令f′（x）=0，解得x=1，或x=﹣1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）（﹣1，1）（1，+∞）f′（x）﹣+ ﹣f（x）所以，f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）单调递增．（2）当n为偶数时，当f′（x）＞0，即x＜1时，函数 f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数 f（x）单调递减；所以，f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（Ⅱ）证明：设点P的坐标为（x0，0），则x0=n，f′（x0）=n﹣n2，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．由于f′（x）=﹣nxn﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，故F′（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为F′（x0）=0，所以当x∈（0，x0）时，F′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，所以F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以对应任意的正实数x，都有F（x）≤F（x0）=0，即对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）．（Ⅲ）证明：不妨设x1≤x2，由（Ⅱ）知g（x）=（n﹣n2）（x﹣x0），设方程g（x）=a的根为，可得=，由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（），可得x2≤．类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，当x∈（0，+∞），f（x）﹣h（x）=﹣xn＜0，即对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＜h（x），设方程h（x）=a的根为，可得=，因为h（x）=nx在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（）=a=f（x1）＜h（x1），因此＜x1，由此可得：x2﹣x1＜﹣=，因为n≥2，所以2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，故：2=x0．所以：|x2﹣x1|＜+2．【点评】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力．高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
高三数学模拟第一次测试试卷 理含解析 试题
2021届高考模拟第一次测试创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学〔理科〕试题第一卷一、选择题.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.假设复数，那么其虚部为〔〕A. B. C. -2 D. 2【答案】D【解析】【分析】先化简复数z，即可得出虚部.【详解】,应选D.【点睛】本道题考察了复数的四那么运算，根底题.2.假设集合，，那么中元素的个数为〔〕A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法，得到集合B，然后结合集合交集运算性质，即可。
【详解】化简B集合，得到，因此，应选A。
【点睛】本道题考察了集合的交集运算性质，较容易。
3.函数的图像的大致形状是〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得，又由可得函数图象选B。
4.向量满足，，，那么〔〕A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意明确•，进而求出的值.【详解】根据题意得，〔〕222﹣2•又〔〕22+2•2＝1+4+2•6∴2•1，∴〔〕2＝1+4﹣1＝4，∴2．应选：A．【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.5.假设都是锐角，且，，那么〔〕A. B. C. 或者 D. 或者【答案】A【解析】【分析】先计算出，再利用余弦的和与差公式，即可.【详解】因为都是锐角，且，所以又，所以，所以，，应选A.【点睛】本道题考察了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大。
6.假设变量满足约束条件，那么的最大值为〔〕A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】试题分析：此题主要考察线性约束条件下的最值问题，的最大值就是直线纵截距的最小值，必在可行域的端点〔即围成可行域的几条直线的交点〕处获得，由不等式组可知端点为，直线过时所对应的纵截距依次为，所以的最大值为，故此题的正确选项为C.考点：线性约束条件.【方法点睛】求解关于满足线性约束条件的最值时，可以现根据约束条件在直角坐标系中画出可行域，再将所求函数写作一次函数〔直线〕的形式，将直线在可行域中进展平行〔旋转〕，然后确定纵截距〔斜率〕的最值，由这些最值便可确定待求量的最值；也可直接求得可行域边界处的端点，即两条直线的交点，而直线的纵截距〔斜率〕的最值必定会在这些端点处获得，所以将这些端点值代入直线方程便可求得待求量的值，从中选择最大〔小〕值即可. 7.?九章算术?是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解?九章算术?时，发现当圆内接正多边行的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率准确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率，如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，假设完毕程序时，那么输出的为〔〕〔，，〕A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】C【解析】【分析】列出循环过程中s与n的数值，满足判断框的条件即可完毕循环．【详解】模拟执行程序，可得：n＝3，S3×sin120°，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝6，S6×sin60°，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝12，S12×sin30°＝3，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝24，S24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S＞3，退出循环，输出n的值是24．应选：C．【点睛】此题考察循环框图的应用，考察了计算才能，注意判断框的条件的应用，属于根底题．8.如下图，在正方体中，假设点为的中点，点为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本道题结合空间坐标系，计算各点坐标，结合空间向量数量积，计算夹角余弦值，即可。
高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学高考数学试卷理科001
高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学高考数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．172．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（）A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}3．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．2 B．4 C．6 D．85．（5分）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}二、填空题9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为．10．（5分）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为（用数字作答）11．（5分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为m312．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为．13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是．14．（5分）设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为．三、计算题15．（13分）已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．16．（13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．18．（13分）已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，bn是an 和an+1的等比中项．（1）设cn=bn+12﹣bn2，n∈N+，求证：数列{cn}是等差数列；（2）设a1=d，Tn=（﹣1）kbk2，n∈N*，求证：＜．19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．17【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：2x+5y=0，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．【解答】解：作出不等式组表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．故选：B．【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及二元一次不等式组表示的平面区域，关键是准确作出不等式组表示的平面区域．2．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（）A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，4}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．故选：A．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．4．（5分）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可．【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4，第二次判断不满足条件n＞3：第三次判断满足条件：S＞6，此时计算S=8﹣6=2，n=3，第四次判断n＞3不满足条件，第五次判断S＞6不满足条件，S=4．n=4，第六次判断满足条件n＞3，故输出S=4，故选：B．【点评】本题主要考查程序框图的识别和运行，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．（5分）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可．【解答】解：{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立，例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+（﹣1）=1＞0，+（﹣）=＞0；而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件，故选：C．【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．6．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论．【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，设A（x，x），则∵四边形ABCD的面积为2b，∴2x•bx=2b，∴x=±1将A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，∴b2=12，∴双曲线的方程为﹣=1，故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围．【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故选：C．【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题．二、填空题9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为 2 ．【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案．【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R，∴，解得：，∴=2，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不大，属于基础题．10．（5分）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为﹣56 （用数字作答）【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：Tr+1==x16﹣3r，令16﹣3r=7，解得r=3．∴（x2﹣）8的展开式中x7的系数为=﹣56．故答案为：﹣56．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为2 m3【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2m2，棱锥的高h=3m，故体积V==2m3，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为．【分析】由BD=ED，可得△BDE为等腰三角形，过D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE．【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，∵BE=2AE=2，BD=ED，∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，∴DH2=AH•BH=2，则DH=，在Rt△DHE中，则，由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB，∴．故答案为：．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题．13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（，）．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则f（2|a﹣1|）＞f（﹣），等价为f（2|a﹣1|）＞f（），即﹣＜2|a﹣1|＜，则|a﹣1|＜，即＜a＜，故答案为：（，）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．14．（5分）设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为．【分析】化简参数方程为普通方程，求出F与l的方程，然后求解A的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可．【解答】解：抛物线（t为参数，p＞0）的普通方程为：y2=2px焦点为F（，0），如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．|CF|=2|AF|，|CF|=3p，|AB|=|AF|=p，A（p，），△ACE的面积为3，，可得=S△ACE．即：=3，解得p=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的参数方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．三、计算题15．（13分）已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．（2）利用三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）∵f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，则f（x）=4tanxcosx•（cosx+sinx）﹣=4sinx（cosx+sinx）﹣=2sinxcosx+2sin2x﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），则函数的周期T=；（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，当k=0时，增区间为[﹣，]，k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，]，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，当k=﹣1时，减区间为[﹣，﹣]，k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣]，即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣]，增区间为[﹣，]．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．16．（13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（ I）由相互独立事件的概率计算公式求出事件A发生的概率；（Ⅱ）根据题意知随机变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．【解答】解：（ I）由已知得：，所以，事件A发生的概率为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）计算，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以，随机变量X的分布列为X 0 1 2P随机变量X的数学期望为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．17．（13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF；（2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）求出=（﹣，，），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E （0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．【点评】本题考查证明线面平行的判定定理，考查二面角O﹣EF﹣C的正弦值，直线BH和平面CEF所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（13分）已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，bn是an 和an+1的等比中项．（1）设cn=bn+12﹣bn2，n∈N+，求证：数列{cn}是等差数列；（2）设a1=d，Tn=（﹣1）kbk2，n∈N*，求证：＜．【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列{cn}的通项公式，结合等差数列的定义进行证明即可．（2）求出Tn=（﹣1）kbk2的表达式，利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的证明即可．【解答】证明：（1）∵{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，bn 是an和an+1的等比中项．∴cn=b﹣b=an+1an+2﹣anan+1=2dan+1，∴cn+1﹣cn=2d（an+2﹣an+1）=2d2为定值；∴数列{cn}是等差数列；（2）Tn=（﹣1）kbk2=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=2d （a2+a4+…+a2n）=2d=2d2n（n+1），∴==（1﹣…+﹣）=（1﹣）．即不等式成立．【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列与不等式的综合，根据等比数列和等差数列的性质分别求出对应的通项公式以及利用裂项法进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA≤∠MAO，得到x0≥1，转化为关于k的不等式求得k的范围．【解答】解：（1）由+=，得，即，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．∴椭圆方程为；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），∵∠MOA≤∠MAO，∴x0≥1，再设H（0，yH），联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．由根与系数的关系得，∴，，MH所在直线方程为，令x=0，得，∵BF⊥HF，∴，即1﹣x1+y1yH=，整理得：，即8k2≥3．∴或．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，分别计算f（x0），f（3﹣2x0），化简整理即可得证；（3）要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，即证在[0，2]上存在x1，x2，使得f （x1）﹣f（x2）≥．讨论当a≥3时，当0＜a＜3时，运用单调性和极值，化简整理即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b的导数为f′（x）=3（x﹣1）2﹣a，当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，当x＞1+或x＜1﹣时，f′（x）＞0，当1﹣＜x＜1+，f′（x）＜0，可得f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞），减区间为（1﹣，1+）；（2）证明：f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，由f（x0）=（x0﹣1）3﹣3x0（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，f（3﹣2x0）=（2﹣2x0）3﹣3（3﹣2x0）（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（8﹣8x0﹣9+6x0）﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，即为f（3﹣2x0）=f（x0）=f（x1），即有3﹣2x0=x1，即为x1+2x0=3；（3）证明：要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，只需证在[0，2]上存在x1，x2，使得f（x1）﹣f（x2）≥．当a≥3时，f（x）在[0，2]递减，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，f（0）﹣f（2）=2a﹣2≥4＞，递减，成立；当0＜a＜3时，f（1﹣）=（﹣）3﹣a（1﹣）﹣b=﹣﹣a+a﹣b=﹣a﹣b，f（1+）=（）3﹣a（1+）﹣b=﹣a﹣a﹣b=﹣﹣a﹣b，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，f（2）﹣f（0）=2﹣2a，若0＜a≤时，f（2）﹣f（0）=2﹣2a≥成立；若a＞时，f（1﹣）﹣f（1+）=＞成立．综上可得，g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，考查不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法的证明，以及化简整理的运算能力，属于难题．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
依次为1，2，…，7 ）建立投资额 y 与时间 t 的线性回归模型 yˆ 99 17.5t ，根据该模型预测该地区 2019 的
环境基础设施投资额为 256.5 亿元.
6．已知直线 x π 是函数 f (x) sin(2x ) (| | π) 图象的一条对称轴，为了得到函数 y f (x) 的图
19．解：（Ⅰ）依题意，平面 PAD 平面 ABCD ， AB AD …………………1 分 AB 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD ，…………………2 分
AB 平面 PAD ，又 PD 平面 PAD ……………4 分 AB PD…………5 分 （Ⅱ）在△PAD 中，取 AD 中点 O ，连接 PO ， PA AD,PO AD,PO 平面 ABCD ，以 O 为
所以按调整起征点前应缴纳个税为：15003% x 500010% 295 ，
解得 x 7500 …………2 分
按调整起征点后应缴纳个税为： 7500 50003% 75
调整后小李的实际收入是 7500 75 7425（元）…………4 分 （Ⅱ）（ⅰ）由柱状图知，中位数落在第二组，不妨设中位数为 x 千元，
2 ,1, 2
2 2
，
PB (
2, 2,
2), BC (2
2, 0, 0),Байду номын сангаасAQ
2 , 1, 2
2 2
………………………8
分
设平面 PBC 的法向量为 n (x, y, z) ，
z
P
DQ
C
页
6第
O A
y
B
x
则
n
）
A. 从 2000 年至 2016 年，该地区环境基础
高考数学高三模拟试卷复习试题高三年级调研考试007
高三数学（理科）试题 第1页（共5页）高三数学（理科）试题 第3页（共5页）高考数学高三模拟试卷复习试题高三年级调研考试高三数学（理科）试题1月 （考试时间120分钟. 共150分）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.复数2i1i--的共轭复数是 A.3i 2+ B.1i 2- C.3i 2- D.3i 2--2.{}2|450A x x x =--≤，{}|||2B x x =≤，则()R AB =A.[]2,5B.(2,5]C.[]1,2-D.[)1,2- 3.等比数列 {}n a 中，242,8S S ==，则6S = A.32- B.32C.26- D.264.已知命题13:1,log 0p x x ∀<<都有，命题:q x ∃∈R ，使得22xx ≥成立，则下列命题是真命题的是A.p q ∨B.()()p q ⌝∧⌝C.()p q ∨⌝D.p q ∧5.从3个英语教师和5个语文教师中选取4名教师参加外事活动，其中至少要有一名英语教师，则不同的选法共有A.132231353535A A A A A A ++B.132231353535C C C C C C ++C.1337C C D.()13223143535354C C C C C C A ++6.变量,x y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.57.若,,l m n 是不相同的空间直线，,αβ是不重合的两个平面，则下列命题正确的是A.,,l m l m αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥B.l ∥m ，m l α⊆⇒∥αC.l α⊆，m α⊆，l ∥β，m ∥βα⇒∥βD.,l n m n l ⊥⊥⇒∥m 8.将函数2sin()(0)3y x ωωπ=+>的图像分别向左、向右各平移π3个单位后，所得的两个图像的对称轴重合，则ω的最小值为 A.3B.43C.6D.329.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的方程为2y x =-，则该双曲线的离心率为 A.3263310.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为3655，则空白处应填入的条件是 A.9i ≤ B.6i ≤ C.9i ≥ D.8i ≤11.已知圆O 的半径为2，,A B 是圆O 上任意两点，且120AOB ∠=，PQ 是圆O 的一条直径，若点C 满足()()331OC OA OB λλλ=+-∈R ,则CP CQ ⋅A. B.4 C.5D.612.已知函数2()ln (,)g x x mx nx m n =--∈R 在2x =处取得极大值，则m 的取值范围为 A.()1(,0)0,8-+∞ B.1(,)8-+∞ C.()1,0(0,)8-∞ D.()0,+∞ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()()1012x x -+)的展开式中3x 的系数为______.14.已知对任意n *∈N ，点2221111(,(2))22n n n n a n a a a n ++--+ 在直线y x =上,若11a =，0n a >则n a =_________.15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是. 结束i =i +11(2)s s i i =++输出si =1,s =0开始否 是高三数学（理科）试题 第3页（共5页）高三数学（理科）试题 第4页（共5页）N B CO DTMA174211086565432099885421999877191817161516.已知()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间[]2,2-上，2,-20()2,021mx x f x nx x x +≤<⎧⎪=-⎨≤≤⎪+⎩，其中,m n ∈R ，若()()13f f =，则1431()mx n dx -+=⎰.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数()233()sin 3cos 0222x f x x ωωω=++<< （1）若函数()f x 图像的一条对称轴是直线π4x =，求函数()f x 的最小正周期 （2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足23A f ω⎛⎫=⎪⎝⎭，12a =，4C π=求b 的值 18．（本小题满分12分）为了解某地脐橙种植情况，调研小组在该地某脐橙种植园中随机抽出30棵，每棵挂果情况 编成如图所示的茎叶图（单位：个）：若挂果 在175个以上（包括175）定义为“高产”， 挂果在175个以下（不包括175）定义为“非高产”．（1）如果用分层抽样的方法从“高产”和“非高产”中抽取5棵，再从这5棵中选2棵，那么至少有一棵是“高产”的概率是多少?（2）用样本估计总体，若从该地所有脐橙果树（有较多果树）中选3棵，用ξ表示所选3棵中“高产”的个数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．19.（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，ABCD 面为矩形，PA ABCD ⊥面，12PA AD AB ==，M 为PB 的中点，N 、S 分别为AB CD 、上的点，且14AN CS AB ==. （1）证明：DM SN ⊥；（2）求SN 与平面DMN 所成角的余弦值．20.(本小题满分12分)从抛物线C ：22(0)x py p =>外一点P 作该抛物线的两条切线PA PB 、（切点分别为A B 、），分别与x 轴相交于C D 、，若AB 与y 轴相交于点Q ，点()0,4M x 在抛物线C 上，且6MF =（F 为抛物线的焦点）. （1）求抛物线C 的方程；（2）求证：四边形PCQD 是平行四边形. 21.(本小题满分12分)已知函数()ln f x x x =-（1）求函数()()2g x f x x =--的图像在1x =处的切线方程 （2）证明：()ln 12x f x x >+ （3）设0m n >>，比较()()1f m f n m n -+-与22mm n +的大小，并说明理由请考生在第（22）、（23）、（24）两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22.（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD OB =，直线MD 与圆O 相交于点,M T （不与,A B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结（1）求证：DT DCDO DM=； （2）若40BMC ∠=,，试求DOT ∠的大小． 23.（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是2π4cos()103ρρθ---=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是cos ()sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数 （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且||AB =，求直线的倾斜角α的值．24.（本小题满分10分）已知a b 、为正实数，若对任意()0,x ∈+∞，不等式()21a b x x +-≤ 恒成立.（1）求11a b+的最小值； （2）试判断点()1,1P -与椭圆22221x y a b+=的位置关系，并说明理由.高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
高考数学(理科)模拟试卷及答案3套
x2
x1
1
.
x2
选考题：请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. （选修 4-4 ：坐标系与参数方程） （10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是
x 1 2 cos
（ 为参数），以该直角坐标系的原点
y 2 sin
O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 3 sin
76516
70436
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形
势一定是（
）
A．计算机行业好于化工行业
B ．建筑行业好于物流行业
C．机械行业就业最困难
D．营销行业比贸易行业就业困难
9. 右图是某三棱锥的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为
1，则该三棱锥的体积
60o ？若存在，求出
CP
的值；若不存在，请说明理由
.
CB
21. （ 12 分）已知函数 f ( x) 1 ax2 x 2a2 ln x (a 0) . 2
（ 1）讨论 f ( x) 的单调性；
（ 2）当 a
1
时，设 f (x) 的两个极值点为
3
x1 ， x2 ，证明 :
f ( x1 ) x1
f ( x2 ) ＜ 1
uuur uuur 2ED ，则 AE BE
（
） A． 4
9
2
B
．
9
2 C ．9
D ．4 9
6. 数列 an 满足 an 1
2n 2 an
N
， a1
3 ，则 a2019
（
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一时间：120分钟 分值：150分―、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数312z i=-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（ ） A.3655i + B. 3655i - C. 1255i - D. 1255i +2．（错题再现）下列命题正确的是( )A ．123x x +--≥B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．2213x x ++-≤3.函数()=sin 3f x x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A. 3B.2C. 4D. 54.从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是（ ） A.25B.15C. 103D. 355.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 213log 32+ B. 2log 3C. 2D. 36.若x ，y 满足不等式组1010330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则232z x y =-+的最小值为（ ）A. -5B. -4C. -3D. -27.已知函数22,1()log ,1a x ax x f x x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 13a <≤B. 2a ≥C. 23a ≤≤D. 02a <≤或3a ≥8.设P ，Q 分别为22(6)2x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A. 52B. 246+C. 27+D. 269.已知() f x 为定义在R 上的奇函数, ()()g x f x x =-,且当(],0x ∈-∞时, ()g x 单调递增,则不等式()()2123f x f x x --+≥-的解集为( )A. ()3,+∞B. [)3,+∞C. (,3]-∞D. (,3)-∞ 10.已知球O 的半径为4，矩形ABCD 的顶点都在球O 的球面上，球心O 到平面ABCD 的距离为2，则此矩形的最大面积为（） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 11.已知正数,a b 满足221a b ab +=+，则()312a b -+的最大值为（）A. 22B. 2C. 2D. 112.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，11n n n a S S ++=-，则使22110n nnS S +取得最大值时n 的值为（ ） A. 2 B. 5 C. 4 D. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上。
高考模拟复习试卷试题模拟卷第一学期期末试卷高三数学理科
高考模拟复习试卷试题模拟卷第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，2{|5}B x x =≤，那么A B =（A ）{0,2,4} （B ）{2,0,2}- （C ）{0,2}（D ）{2,2}-2．在等比数列{}n a 中，若32a =，58a =，则7a = （A ）10（B ）16（C ）24（D ）323．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为 （A（B（C）（D4．在极坐标系中，点(2,)2P π到直线cos 1ρθ=-的距离等于（A ）1（B ）2（C ）3（D ）25. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，点B 在圆224xy +=上，则||OA OB -的最大值为（A ）3（B ）1（C ）2+（D ）46. 设,0M N >，01a <<，则“log log a b M N >”是“1M N <+”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 已知函数()sin πf x x =，2()2g x x x =-+，则 （A ）曲线()()y f x g x =+不是轴对称图形（B ）曲线()()y f x g x =-是中心对称图形侧(左)视图正(主)视俯视图国际象棋棋盘（C ）函数()()y f x g x =是周期函数（D ）函数()()f x y g x =最大值为478. 一个国际象棋棋盘（由88⨯个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）. “L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示. 现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（A ）至多能剪成19块“L”形骨牌 （B ）至多能剪成20块“L”形骨牌 （C ）一定能剪成21块“L”形骨牌 （D ）前三个答案都不对第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数z 满足方程1i i z -⋅=，则z =____．10．已知角α的终边经过点(3,4)-，则tan α=____；cos(π)α+=____． 11．执行如图所示的程序框图，若输入的1m =，则输出数据的总个数为____．12．设x ，y 满足约束条件230,3,20,x y x y x y -+--+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤0≥则3z x y =+13. 能说明“若定义在R 上的函数()f x 满足(0)f f 点”为假命题的一个函数是____．14．设双曲线22: 13y C x -=的左焦点为F 同的点P 使得=PF PA λ⋅成立，则实数λ三、解答题：本大题共6小题，共80骤．15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，3a =，b =2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）试比较B ∠与C ∠的大小． 16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11B BCC 为正方形，M ，N 分别是11A B ，AC 的中点，AB ⊥平面BCM ．（Ⅰ）求证：平面11B BCC ⊥平面11A ABB ； （Ⅱ）求证：1//A N 平面BCM ；（Ⅲ）若11A ABB 是边长为2的菱形，求直线1A N 与平面1MCC 所成角的正弦值．B 1AMBA 1CC 1N17．（本小题满分13分）为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下：根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（图表如下,其中0a>）.甲企业乙企业（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元.一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X元，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较. 18．（本小题满分13分）已知函数()lnf x x x a=-+，其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线()y f x=与x轴相切，求a的值；（Ⅱ）如果函数2()()=f xg xx在区间(1,e)上不是单调函数，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2221(2x yC aa+=：，左、右顶点分别为,A B，点M是椭圆C上异于,A B的一点，直线AM与y轴交于点P.（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线A M的斜率的取值范围；0.080（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且//AQ BM ，求证：PFQ ∠为定值. 20．（本小题满分13分）设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N >：满足i j a a <，其中1i j N <≤≤. 如果存在{2,3,,}k N ∈，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称A 为“k 阶平衡数列”.（Ⅰ）判断数列2, 4, 6, 8, 10和数列1, 5, 9, 13, 17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈.（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈，数列A 均为“k 阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值.高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
2020-2021学年高三数学(理科)高三第一次调研考试及答案解析
最新高三年级第一次调研考试数学（理科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{A x y =，2{log 1}B x x =≤，则A B =I （ ） A ．{31}x x -≤≤ B ．{01}x x <≤ C ．{32}x x -≤≤ D ．{2}x x ≤ 【答案】B【解析】{31}A x x =-≤≤，∴{02}B x x =<≤，A B =I {01}x x <≤．2．设i 为虚数单位，复数z 满足i 34i z ⋅=+，则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】34i43i iz +==-，故选D ． 3．已知平面向量a ，b 满足2=a ，1=b ，a 与b 的夹角为120o ，且()(2)λ+⊥-a b a b ，则实数λ的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．2D ．3 【答案】D【解析】∵()(2)λ+⊥-a b a b ，∴22()(2)2(21)λλλ+⋅-=-+-⋅a b a b a b a b ， 8(21)930λλλ=---=-=， ∴3λ=．4．若变量,x y 满足约束条件220,330,0.x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（ ）A ．3-B ．1C ．2-D ．2 【答案】C5．公差为1的等差数列{}n a 中，136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．65 B ．80 C ．85 D ．170 【答案】C【解析】∵2316a a a =⋅，∴2111(2)(5)a d a a d +=⋅+， ∴2111(2)(5)a a a +=⋅+，即14a =．∴101094101852S ⨯=⨯+⨯=． 6．若函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图像过点(,1)6π，则该函数图像的一条对称轴方程是（ ） A ．12x π=B ．512x π=C ．6x π=D ．3x π=【答案】D【解析】∵()2sin()163f ππϕ=+=，∴1sin()32πϕ+=．∵2πϕ<，5636πππϕ-<+<，∴36ππϕ+=，∴6πϕ=-，()2sin(2)6f x x π=-∵()23f π=，故选D ．7．261(2)()x x x+-的展开式中常数项为（ ）A ．40-B ．25-C ．25D ．55 【答案】B【解析】61()x x-的通项662166(1)(1)r r r r r r rr T C x x C x ---+=-=-，令622r -=-，得4r =；令620r -=，得3r =．∴常数项为443366(1)2(1)25C C -+⋅-=-．8．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ） A ．42 B ．25 C ．6 D ．43【答案】D【解析】该几何体为边长为4的正方体的部分，如图，最长的边为43PC =．9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（ ） A ．49 B ．427 C ．964 D ．364【答案】A【解析】∵23434439C A P ==． CD AB P10．点S 、A 、B 、C的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为12，AB BC CA === 则点S 与ABC ∆中心的距离为（ ）ABC ．1D ．12【答案】B【解析】设球心为O ,ABC ∆中心为1O ，ABC ∆外接圆半径13r ==， 依题意，1OO ⊥平面ABC ，∴11OO ==．作21SO OO ⊥，垂足为2O ，则1212O O =， ∴2O 为1OO的中点，∴1SO SO R ==．11．过点(0,2)b 的直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率为取值范围是（ ） A ．(1,2] B ．(2,)+∞ C ．(1,2) D．【答案】A【解析】直线l 的方程为2by x b a=+， ∵双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，直线l 和直线by x a =b ≥，∴2()14b a+≤，∴2223c a a -≤，∴12e <≤． 12．函数2()ln f x x ax x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ． (0,1)B ．(,1)-∞C ．21(,)e e +-∞D ．21(0,)ee + 【答案】A【解析】2()ln 0f x x ax x =-+=，得2ln 1x a x x =+， 令2ln 1()x g x x x =+，则 24212ln 1()x x xx g x x x⋅-'=-312ln x x x --=， 令()12ln h x x x =--，则2()10h x x'=--<，∴()12ln h x x x =--在(0,)+∞上为单调减函数，∵(1)0h =，∴(0,1)x ∈时，()0h x >，(1,)x ∈+∞时，()0h x <， ∴(0,1)x ∈时，()0g x '>，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值， ∵(1)1g =，∴1a <．O 2AC BSOO 1∵1x e=时，2()0g x e e =-+<， x →+∞时，()0g x >，∴0a >， 综上，(0,1)a ∈．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知(),()f x g x 分别是定义域为R 的奇函数和偶函数，且()()3xf xg x +=，则(1)f 的值为______． 【答案】43【解析】∵()(),()()f x f x g x g x -=--=，∵()()3xf xg x +=，∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，∴1343(1)23f -==． 14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为______． （参考数据：sin150.2588=o ，sin 7.50.1305=o ）【答案】24【解析】由程序框图可知：15．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，则p 等于______． 【答案】45【解析】直线AB 的方程为2p y x =-，由222(0)p y x y px p ⎧=-⎪⎨⎪=>⎩，得2220y py p --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)x y ，则1202y y y p +==，00322p x y p =+=，∴弦AB 的垂直平分线方程为3()2y p x p -=--，∵弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，∴322p p -=，∴45p =．16．数列{}n a 满足221211,,(2)2,.n n n n n a n a n a a n ---⎧ <⎪=≥⎨≥⎪⎩，若{}n a 为等比数列，则1a 的取值范围是______． 【答案】9[,)2+∞【解析】当212a <时，2224a ==，∵2243a =<，∴2339a ==．∵2394a =<，∴24416a ==．若{}n a 为等比数列，则2324a a a =，即29416=⨯，显然不成立，∴14a ≥．当212a =时，2128a a ==， ∵2283a =<，∴2339a ==．若{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即2849=⨯，显然不成立，∴14a ≠．当212a >时，212a a =． ①当2123a <时，2339a ==，若{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即211(2)9a a =，194a =与14a >矛盾，故192a ≥． ②当2123a ≥时，312a a =，满足2213a a a =．∴1a 的取值范围是9[,)2+∞．三、解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，60C =o，D 是BC 上一点，31,20,21AB BD AD ===．（1）求cos B 的值；（2）求sin BAC ∠的值和边BC 的长．DBCA【解析】（1）在ABD ∆中，31,20,21AB BD AD ===，根据余弦定理，有222cos 2AB BD AD B AB BD +-=⋅222312021232312031+-==⨯⨯．222cos 2AB BD AD B AB BD+-=⋅（2）∵0B π<<，∴223123sin 1()3131B =-=．∴sin sin[180(600)]sin(60)BAC B B ∠=-+=+o o osin 60cos cos60sin B B =+o o3231123353312=⨯+⨯=． 在ABC ∆中，根据正弦定理，有sin sin BC ABBAC C =∠∠, ∴35331sin 6235sin 32AB BAC BC C ⨯∠===∠．18．（本小题满分12分）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X （单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响 （1）求未来三年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A 企业影响如下：当[23,27)X ∈时，不会造成影响；当[27,31)X ∈时，损失10000元；当[31,35)X ∈时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案： 方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元； 方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元； 方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由．【解析】（1）由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为：031213333127()()()44432P C C =+=． ∴在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为2732． （2）由题意可知(2327)0.74P X ≤<=，(2731)0.25P X ≤<=，(3135)0.01P X ≤<=，用123,,X X X 分别表示采取方案1,2,3的损失，由题意知13800X =，X 的分布列如下：20.012600⨯=．X 的分布列如下：30.013100⨯=．因为采取方案2的平均损失最小，所以采取方案2较好． 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=o ，PA PB ⊥，2PC =． （1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若PA PB =，求二面角A PC D --的余弦值.【解析】（1）取AB 中点O ，连接AC 、CO 、PO ， ∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∴2AB BC ==． ∵60ABC ∠=o ，∴ABC ∆是等边三角形． ∴CO AB ⊥，OC =∵PA PB ⊥，∴112PO AB ==．∵2PC =，∴222OP OC PC +=．∴CO PO ⊥． ∵AB PO O =I ，∴CO ⊥平面PAB ．∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．（2）∵22222211OP OA PA +=+==，∴PO AO ⊥． 由（1）知，平面PAB ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面∴直线,,OC OB OP 两两垂直．∴以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -,如图，则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),2,0),(0,0,1)O A B C D P --．∴(0,1,1),1),(0,2,0)AP PC DC ==-=u u u r u u u r u u u r． 设平面APC 的法向量为(,,)x y z =，由00AP PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rm m ，得00y z z +=⎧⎪-=，取1x =，得(1,=m ， PADCBD设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，由00PC DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n，得020z y -==⎪⎩，取1x =，得=n ，∴cos ,7⋅<>==⋅m n m n m n ，由图可知二面角A PC D --为锐二面角， ∴二面角A PC D --．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，直线0x y ++=与椭圆E 仅有一个公共点（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 被圆22:3O x y +=截得的弦长为3，且与椭圆E 交于,A B 两点，求ABO ∆面积的最大值． 【解析】（1）∵2c e a ===，∴222a b =．∴故E 方程可化为222212x y b b +=，由2222012x y x y bb ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，得223620x b ++-=，∴2212(62)0b ∆=--=，解得21b =． ∴椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）记O 到直线l 的距离为d ，由垂径定理可得223()32d +=，解得d =当直线l 与y 轴平行，由题意可得直线l的方程为x =±．由22212x x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4y =±，∴2AB =．∴128ABO S AB d ∆=⋅=． 当直线l 与y 轴不平行，设直线l 的方程为y kx m =+，∴d ==223(1)4m k =+．由2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2221()2102k x kmx m +++-=． ∴222222151(2)4()(1)4220222k km k m k m ∆=-+-=-+=+>， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++．∴221212(1)[()4]AB k x x x x =++-2222(22)(51)(21)k k k ++=+424210122441k k k k ++=++24212522441k k k -=+++， 令2122t k =-，则12t ≥-． 2555269922293332444t t t AB t t t t t t=+=+≤+=+++++⋅，当且仅当32t =时，等号成立， ∵2652>，∴当32t =时，即1k =±时，max 12632()232ABO S h ∆=⨯⋅=．∵303282<，∴1k =±时，max 32()2ABO S ∆=．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)xf x x e =+和函数2()()(1)xg x e a x =--（e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）判断函数()g x 的极值点的个数，并说明理由； （3）若函数()g x 存在极值为22a ，求a 的值.【解析】（1）()(2)xf x x e '=+，令()0f x '>，解得2x >-．∴()f x 的单调增区间为(2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-．（2）()(1)[(1)2)(1)[()2)xg x x x e a x f x a '=-+-=--，当(,1)x ∈-∞-，()(1)0xf x x e =+≤．①当0a e <<时，由（1）知，()f x 在(1,)-+∞单调增，且(1)20,(1)2220f a f a e a --<-=->， ∴∃唯一的0(1,1)x ∈-，使得0()0f x =．当0(,)x x ∈-∞时，()20f x a -<，故()0g x '>．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F ．（1）证明：,,,C E F D 四点共圆；（2）若D 为BC 的中点，且3AF =，1FD =，求AE 的长．【解析】（1）连结EF 、BE ，则ABE AFE ∠=∠， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AE BE ⊥． ∵AB BC ⊥，∴ABE C ∠=∠， ∴AFE C ∠=∠，即180EFD C ∠+∠=o， ∴,,,C E F D 四点共圆．（2）∵AB BC ⊥，AB 是⊙O 的直径，∴BC 是 O 的切线，24DB DF DA =⋅=，即2BD =．∴AB ==∵D 为BC 的中点，∴4BC =，AC ==∵,,,C E F D 四点共圆，∴AE AC ⋅=∴12=,即7AE =．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)απ<<，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos pp ρθ=>-．（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11OA OB+的值． 【解析】（1）由cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，得当2πα=时，直线为0x =，其极坐标方程为2πθ=和32πθ=；当2πα≠时，消去参数t 得tan y x α=⋅，又0απ<<，∴直线l 是过原点且倾斜角为α的直线， ∴直线l 的极坐标方程为θα=和θαπ=+综上所述，直线l 的极坐标方程为θα=和(0)θαπαπ=+<<．由1cos pρθ=-，得cos p ρρθ-=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，∴222()x y x p +=+，整理得22()2py p x =+．（2）设1122(,),(,)A B ρθρθ，由1cos p θαρθ=⎧⎪⎨=⎪-⎩，11cos p ρθ=-，即1cos p OA θ=-, 由1cos p θαπρθ=+⎧⎪⎨=⎪-⎩，21cos p ρθ=+，即1cos p OB θ=+, ∴111cos 1cos 2OA OB p p pθθ-++=+=． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3()f x x a x a R =++-∈． （1）当1a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集； （2）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值． 【解析】（1）当1a =时，不等式()8f x x ≥+ 可化为138x x x ++-≥+，∴1228x x x <-⎧⎨-≥+⎩，或1348x x -≤<⎧⎨≥+⎩，或3228x x x ≥⎧⎨-≥+⎩，解得2x ≤-，或10x ≥，∴原不等式的解集为(,2][10,)-∞-+∞U ．（2）∵()3f x x a x =++-()(3)3x a x a ≥+--=+，令35a +=，解得2a =，或8a =-．。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷3套模拟试卷一第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合，则中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．4 2、已知复数满足:i i z +=-1)1(2（i 为虚数单位），则z为（ ）A ．21B ．22C ．2D ．13、下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，且a ＞c ，则“ab 2＞cb 2”B ．命题“对任意x ∈R，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R，有x 2≤0” C ．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件 D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β4、已知函数()()()210cos 0x x f x x x ⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩，则下列结论正确的是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在(),-∞+∞上是增函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 的值域为[1,)-+∞ 5、能够把圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“等分函数”，下列函数不是圆的“等分函数”的是 A ．f (x )＝3x B ．C ．D ．6、如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线3x －y ＋3＝0平行，则双曲线的离心率为 A ．3B ．2C ． 3D ． 27、已知函数f (x )＝23sin(π－x )·cos x ＋2cos 2x －1，其中x ∈R，则下列结论中正确的是A ．f (x )是最小正周期为π的奇函数;B ．f (x )的一条对称轴是x ＝π2C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π6上单调递增D ．将函数y ＝2sin 2x 的图象左移π6个单位得到函数f (x )的图象 8、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为A ．4B ．3C ． 5D ．29、在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线A 1O ，下列说法正确的是A ．A 1O ∥D 1CB ．A 1O ⊥BCC ．A 1O ∥平面B 1CD 1D ．A 1O ⊥平面AB 1D 110、2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子： ①a 1＋c 1＝a 2＋c 2； ②a 1－c 1＝a 2－c 2； ③c 1a 2>a 1c 2. ④c 1a 1<c 2a 2其中正确式子的序号是 A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④11、已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,则球的半径为A ．B ．C ．D ．12、设 ()ln f x x =，若函数 ()()g x f x ax =-在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.13、已知函数f (x )＝log a (x －2)＋4(a >0且a ≠1)，其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________. 14、等差数列{}n a 中，3a ，7a 是函数f （x ）=x 2﹣4x+3的两个零点，则{}n a 的前9项和等于 .15、已知向量a ＝(x ，-1)，b ＝(y ，x 2+4)且a ⊥b ，，则实数y 的取值范围是 .16、已知椭圆192522=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2内切圆的半径为 .三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.17、(本题满分12分)已知锐角ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2cos cos a b Bc C-=. （1）求角C 的大小；（2）求函数sin sin y A B =+的值域.18.（本小题满分12分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且532a =, 6347S S a -=， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE折起到1∆A BE 的位置，如图2． （1）证明：CD ⊥平面A 1OC ；（2）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为21，短轴的一个端点到右焦点的距离为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()01G ,作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点A 关于原点O 的对称点为D ，求ABD △ 的面积S 的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈.（1）讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，()(0,),2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的最大值.22、（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 312+=,直线l 的参数方程为 为参数）(42222-1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t t y t x (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)求曲线C 上的点M 到直线l 的最大距离。
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高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．2．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．5．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．7．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．9．已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．10．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为．11．（4分）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=（元）．13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为．14．在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则•=．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．17．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根18．（5分）设Pn（xn，yn）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1 B．﹣C．1 D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．20．（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．21．（14分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．22．（16分）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；（2）设{an}的第n0项是最大项，即a≥an（n∈N*），求证：数列{bn}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．23．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u0+T为方程cosf （x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．2．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ={1，4}．【分析】本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．【解答】解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁UB）={x|x＞3或x＜2}，∴A∩（∁UB）={1，4}，故答案为：{1，4}．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．5．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=2．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．7．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x ﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．9．已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．【分析】设C1的方程为y2﹣3x2=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C2的渐近线方程．【解答】解：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，设Q（x，y），则P（x，2y），代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ，∴C2的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为4．【分析】由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f﹣1（x）在[]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f﹣1（x）的最大值．【解答】解：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[]，可得y=f﹣1（x）在[]上为增函数，因此y=f（x）+f﹣1（x）在[]上为增函数，∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（2）+f﹣1（2）=1+1+2=4．故答案为：4．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．11．（4分）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为45（结果用数值表示）．【分析】先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x2项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．【解答】解：∵（1+x+）10 =，∴仅在第一部分中出现x2项的系数．再由，令r=2，可得，x2项的系数为．故答案为：45．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=0.2（元）．【分析】分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．【解答】解：赌金的分布列为ξ1 1 2 3 4 5P所以Eξ1=（1+2+3+4+5）=3，奖金的分布列为：若两张卡片上数字之差的绝对值为1，则有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4种，若两张卡片上数字之差的绝对值为2，则有（1，3），（2，4），（3，5），3种，若两张卡片上数字之差的绝对值为3，则有（1，4），（2，5），2种，若两张卡片上数字之差的绝对值为4，则有（1，5），1种，则P（ξ2=1.4）==，P（ξ2=2.8）==，P（ξ2=4.2）==，P（ξ2=5.6）==ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6P所以Eξ2=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，则Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元．故答案为：0.2【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键．13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为8．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解：∵y=sinx对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f （x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f （xm）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f （x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题．14．在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则•=﹣．【分析】由题意画出图形，结合面积求出cosA=，，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，，可得，，∴．又tanA=，∴，联立sin2A+cos2A=1，得，cosA=．由，得．则．∴•==．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立，若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时，则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．16．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点 A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．17．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根【分析】根据方程根与判别式△之间的关系求出a12≥4，a22＜8，结合a1，a2，a3成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论．【解答】解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，即a3=，则a32=（）2=，即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B．【点评】本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．18．（5分）设Pn（xn，yn）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1 B．﹣C．1 D．2【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点Pn（xn，yn）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．【分析】利用长方体的几何关系建立直角坐标系．利用向量方法求空间角．【解答】解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，所以A1、C1、F、E四点共面．以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，易求得，设平面A1C1EF的法向量为则，所以，即，z=1，得x=1，y=1，所以，所以=，所以直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小arcsin．【点评】本题主要考查利用空间直角坐标系求出空间角的方法，属高考常考题型．20．（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．【分析】（1）由题意可得t1==h，由余弦定理可得f（t1）=PC=，代值计算可得；（2）当t1≤t≤时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=，当＜t≤1时，f（t）=PB=5﹣5t，综合可得当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，可得结论．【解答】解：（1）由题意可得t1==h，设此时甲运动到点P，则AP=v甲t1=5×=千米，∴f（t1）=PC===千米；（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，∴f（t）=PQ===，当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t∴f（t）=∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，故f（t）的最大值没有超过3千米．【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题．21．（14分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C 到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，可得直线l1与l2的方程，联立方程组，可求得x1、x2、y1、y2，继而可求得答案．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C 到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，设直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，所以x1x2=﹣2y1y2，∴=4=﹣2x1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即﹣4x1x2y1y2+2（+）=1，所以（x1y2﹣x2y1）2=，即|x1y2﹣x2y1|=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．22．（16分）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；（2）设{an}的第n0项是最大项，即a≥an（n∈N*），求证：数列{bn}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．【分析】（1）把bn=3n+5代入已知递推式可得an+1﹣an=6，由此得到{an}是等差数列，则an可求；（2）由an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到an=2bn+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得an的最大值M和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），bn=3n+5，∴an+1﹣an=2（bn+1﹣bn）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{an}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则an=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（bn﹣bn﹣1）+2（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2bn+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{bn}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=λ，∴∈（﹣2，2），∴λ∈，∴．②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．23．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u0+T为方程cosf （x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．【分析】（1）根据余弦函数的周期定义，判断cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可；（2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x0，使得f（x0）=c，而根据f（x）在R上单调递增即可说明x0∈[a，b]，从而完成证明；（3）只需证明u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解得出u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T），可讨论x=0，x=T，x∈（0，T）三种情况：x=0时是显然成立的；x=T时，可得出cosf（2T）=1，从而得到f（2T）=2k1π，k1∈Z，根据f （x）单调递增便能得到k1＞2，然后根据f（x）的单调性及方程cosf（x）=1在[T，2T]和它在[0，T]上解的个数的情况说明k1=3，和k1≥5是不存在的，而k1=4时结论成立，这便说明x=T时结论成立；而对于x∈（0，T）时，通过考查cosf（x）=c的解得到f（x+T）=f （x）+f（T），综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【解答】解：（1）g（x）=x+sin；∴==cosg（x）∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；（2）∵f（x）的值域为R；∴存在x0，使f（x0）=c；又c∈[f（a），f（b）]；∴f（a）≤f（x0）≤f（b），而f（x）为增函数；∴a≤x0≤b；即存在x0∈[a，b]，使f（x0）=c；（3）证明：若u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解；则：cosf（u0+T）=1，T≤u0+T≤2T；∴cosf（u0）=1，且0≤u0≤T；∴u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；∴“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）：①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；②当x=T时，cosf（2T）=cosf（T）=1；∴f（2T）=2k1π，（k1∈Z），f（T）=4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2；1）若k1=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x0∈（0，T），使f（x0）=2π；cosf（x0+T）=cosf（x0）=1⇒f（x0+T）=2k2π，k2∈Z；∴f（T）＜f（x0+T）＜f（2T）；∴4π＜2k2π＜6π；∴2＜k2＜3，无解；2）若k1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x1＜x2＜2T，使得f（x1）=6π，f（x2）=8π；则T，x1，x2，2T为cosf（x）=1在[T，2T]上的4个解；但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；3）当k1=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解；设其解为f（x1），f（x2），…，f（xn），（x1＜x2＜…＜xn）；则f（x1+T），f（x2+T），…，f（xn+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；又f（x+T）∈（4π，8π）；而f（x1）+4π，f（x2）+4π，…，f（xn）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；∴f（xi+T）=f（xi）+4π=f（xi）+f（T）；∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．【点评】考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由cosf（x）=1能得出f（x）=2kx，k∈Z，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.102.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.36.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.28.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数=.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.10【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}.故选：A.【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得。
高三数学试卷理科一模
高三数学试卷理科一模一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确选项的字母填在题后的括号内。
）1. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(1)的值为（）A. 3B. 1C. -3D. -12. 已知集合A={x|-3≤x≤2}，B={x|-2<x<4}，则A∩B=（）A. {x|-2<x≤2}B. {x|-3≤x<2}C. {x|-3≤x<4}D. {x|-2≤x≤2}3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，d=2，则S5=（）A. 15B. 25C. 30D. 354. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)=（）A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3D. x^2 + 3x5. 若直线y=2x+1与曲线y=x^3-3x^2+2x+1相切，则切点的横坐标为（）A. 0B. 1C. 2D. 36. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则角C的余弦值为（）A. 1/3B. 1/4C. 1/5D. 1/67. 已知复数z=1+i，则|z|=（）A. √2B. 2C. √3D. 38. 已知向量a=(3,-4)，b=(2,1)，则a·b=（）A. -2B. 2C. 10D. -109. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)≥0，则x的取值范围为（）A. (-∞,1]∪[3,+∞)B. (-∞,1)∪(3,+∞)C. [-1,3]D. [1,3]10. 若sinθ=3/5，且θ为锐角，则cosθ=（）A. 4/5B. √7/5C. -√7/5D. -4/5二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分。
请将答案填在题后的横线上。
）11. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，q=3，则S3=______。
高考模拟复习试卷试题模拟卷第一学期期末考试试卷高三理科数学
高考模拟复习试卷试题模拟卷第一学期期末考试试卷（高三理科数学）一：选择题: (每小题5分,共计60分)1、若复数iia 213++i R a ,(∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为( ) A. 6-; B. 13; C. 23D.132．如图是2008年在滁州举行的全国农歌会附属赛歌会上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）．A. 84， 4.84B. 84，1.6C. 85，1.6D. 85，43．若函数f(x)=x3+x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3+x22x2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A 、1.2B 、1.3C 、1.4D 、1.54．如图所示，一个空间几何体的主观图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，农那么这个几何体的全面积为：A.π2B.;π23C. π3D. π4 5.下列命题：①2x x x ∀∈,≥R ；②2x x x ∃∈,≥R ；③43≥；④“21x ≠”的充要条件是“1x ≠,或1x ≠-”. 中,其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1C. 2D. 36．.若542sin ,532cos-==θθ,则角θ的终边一定落在直线D A. 0247=+y xB. 0247=-y xC. 0724=+y xD.0724=-y x7．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +成等差数列，则公比q 为（ ）A ．2q =-B ．2q =或1q =-C ．2q =-或1q =D ．1q =8．将直线20x y λ-+=沿)0,1(-=→a 平移后，所得直线与圆22240x y x y ++-= 相切，则实数λ的值为7 8 9 9 4 4 6 4 7 3 第2题图主视图 侧视图俯视图A ．0或10B ．－2或8C ．－3或7D ．1或11 9．若函数xxaa k x f ---=)1()90(>a 且)1≠a 在R 上既是奇函数，又是偶函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是（ A ）A B C D10．定义：设M 是非空实数集，若∃M a ∈，使得对于M x ∈∀，都有a x ≤)(a x ≥，则称a 是M 的最大（小）值，若A 是一个不含零的非空实数集，且0a 是A 的最大值，则（）A. 当00>a 时，10-a 是集合}|{1A x x ∈-的最小值； B. 当00>a 时，10-a 是集合}|{1A x x ∈-的最大值；C. 当00<a 时，10--a 是集合}|{1A x x ∈--的最小值； D. 当00<a 时，10--a 是集合}|{1A x x ∈--的最大值；二：填空题(每小题4分 ,共16分) 11．函数)2lg(1x x y -++=的定义域__________；12. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+-0001y y x y x 表示的平面区域的面积是_______；13．已知向量)4,3(-=→OA ，)3,6(-=→OB ，)3,5(m m OC ---=→，若点A 、B 、C 三点能构成三角形，则实数m 应满足的条件是__________ ； 14．如图，是一个程序框图，则输出结果为____________ 15 .设)1,0(,∈b a ，则关于x 的方程022=++b ax x 在),(+∞-∞上有两个零点的概率为_______ ;16.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题第一学期期末高三调研测试试题理 科 数学
高考数学高三模拟考试试卷压轴题第一学期期末高三调研测试试题理 科 数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}1,R y y x x A ==-∈，{}2x x B =≥，则下列结论正确的是（ ） A ．3-∈A B ．3∉B C ．AB =B D ．A B =B2、若命题“0R x ∃∈，使得200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,6B ．[]6,2--C ．()2,6D ．()6,2--3、若复数z 满足()12z i z -=+，则z 在复平面所对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4、已知函数()[](]23,1,23,2,5x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则方程()1f x =的解是（ ）A ．2或2B ．2或4C ．2±或2D ．2±或45、执行如图所示的程序框图，运行的结果为3S =，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ） A ．6k >?B ．6k <? C ．5k >?D ．5k <?6、抛物线24y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当F ∆PM 为等边三角形时，其面积为（ ） A ．23B ．4C ．6D ．437、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4255S a +=，则一定有（ ） A ．6a 是常数 B ．7S 是常数 C ．13a 是常数 D ．13S 是常数8、一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为23的正三角形及其内切圆，则侧视图的面积为（ ） A ．6π+B ．43π+ C ．64π+D ．434π+9、已知三棱锥C S -AB 的四个顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，S O ⊥底面C AB ，C 2r A =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10、已知不等式组3410043x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线且切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos ∠APB =（ ）A ．3B ．12C ．3-D ．12- 11、已知函数()sin cos f x a x b x =+（R x ∈），若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 2x =，则点(),a b 所在的直线为（ ）A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y +=12、设函数()sin xf x e x =+，()2g x x =-，设()()11,x f x P ，()()22Q ,x g x （10x ≥，20x >），若直线Q//P x 轴，则P ，Q 两点间最短距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、已知1a =，2b =，3a b +=，则a 与b 的夹角为． 14、如图所示，在矩形C OAB 内任取一点P ，则点P 恰落在图中阴影部分中的概率为．15、若正数a ，b 满足1a b +=，则11a ba b +++的最大值为． 16、已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线C A ，C B 的斜率分别为1k ，2k ，当12122ln ln k k k k ++最小时，双曲线离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）设C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且3cos C sin 3a b c =+B ． ()1求B ；()2若1c =，3a =，C A 的中点为D ，求D B 的长．18、（本小题满分12分）如图，已知四棱锥CD P -AB ，底面CD AB 为菱形，PA ⊥平面CD AB ，C 60∠AB =，E ，F 分别是C B ，C P 的中点． ()1证明：D AE ⊥P ；()2若2AB =，2PA =，求二面角F C E -A -的余弦值．19、（本小题满分12分）2014年11月10日C APE 会议在北京召开，某服务部需从大学生中招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试两部分，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[)75,80，第2组[)80,85，第3组[)85,90，第4组[)90,95，第5组[)95,100，得到的频率分布直方图如图所示：()1分别求出成绩在第3，4，5组的人数；()2现决定在笔试成绩较高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6人进行面试．①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D 的面试，设第4组中有X 名学生被考官D 面试，求X 的分布列和数学期望．20、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项13a ≠，13nn n a S +=+（n *∈N ）．()1求证：{}3n n S -是等比数列；()2若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围．21、（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）过点()2,1M ，焦距为26．()1求椭圆E 的方程；()2若直线l 平行于OM ，且与椭圆E 交于A 、B 两个不同的点（与M 不重合），连接MA 、MB ，MA 、MB 所在直线分别与x 轴交于P 、Q 两点，设P 、Q 两点的横坐标分别为s ，t ，探求s t +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22、（本小题满分12分）设函数()2ln f x x bx a x =+-．()1若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是函数()f x 的两个不同零点，且()0,1x n n ∈+，n ∈N ，求n ；()2若对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈（e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围．运城市～第一学期期末高三调研测试试题理 科 数学 参 考 答 案高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
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高考数学模拟试卷复习试题第一学期调研考试高三数学（理科）试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集R U =，集合{}0322≤--=x x x M ，{}12+-==x y y N ，则=)(N C M U （ ） A ．{}11≤≤-x x B ．{}11<≤-x x C ．{}31≤≤x x D ．{}31≤<x x 2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的体积是（ ） A ．34 B ．2 C ．38D ．4 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，32a S =，且k a a a ,,21成等比数列，则=k （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.对于命题,:0R x p ∈∃使0202sin 4sin x x +最小值为4；命题R x q ∈∀:，都有012>++x x ，给出下列结论正确的是（ ）A ．命题“q p ∧”是真命题B ．命题“q p ∧⌝”是真命题C ．命题“q p ⌝∧”是真命题D ．命题“q p ⌝∨⌝”是假命题5.已知抛物线)0(2:2>=p px y C ，O 为坐标原点，F 为其焦点，准线与x 轴交点为E ，P 为抛物线上任意一点，则PEPF ( )A ．有最小值22B ．有最小值1C ．无最小值D ．最小值与p 有关6.“%”运算使]4,2)%[3,1(]4,2()5,4)%(5,2(=，则{}{}{}=6,4,2%5,3,1%5,4,3,2,1（ ） A ．{}6,5,4,3,2,1 B ．∅ C ．{}4,2 D ．{}5,3,1 7.设函数)(x f y =定义域为D ，且对任意D a ∈，都有唯一的实数b 满足b a f b f -=)(2)(.则该函数可能是（ ）A ．xx f 1)(=B ．x x f =)(C ．xx f 2)(= D ．x x x f 1)(+=8.在四面体ABCD 中，已知BC AD ⊥，6=AD ，2=BC ，且2==CDACBD AB ，则ABCD V 四边形的最大值为（ ）A ．6B ．112C ．152D ．8第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.将答案填在答题纸上）9.已知双曲线14522=-y x 的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线右支上一点，则=-21PF PF _____；离心率=e _____.10.已知函数⎩⎨⎧>-≤-=1),1(1,13)(x x f x x f x ，则=))2((f f _____，值域为______.11.将函数x y 2sin =的图象向右平移ϕ个单位长度后所得图象的解析式为)62sin(π-=x y ，则=ϕ___)20(πϕ<<，再将函数)62sin(π-=x y 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象的解析式为_______.12.若34=a，则=+3log 3log 82____.（用a 表示） 13.实数y x ,满足不等式组⎩⎨⎧≤≤≥-+--,20,0)52)(1(x y x y x 则1++=x y x t 的取值范围是_____.14.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，动点M 在线段11D C 上，E 、F 分别为AD 、AB 的中点.设异面直线ME 与DF 所成的角为θ，则θsin 的最小值为_____. 15.已知ABC ∆的外心为O ，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,的对边，且0236=⋅+⋅+⋅，则c b a ,,的关系为_____，B ∠的取值范围为______.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分15分）在锐角ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且21=a ，C B A c b a sin sin sin ++=++. （1）求角A 的大小； （2）求ABC ∆周长的最大值. 17.（本题满分15分）如图，在矩形ABCD 中，已知4,2==AD AB ，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且1=AE ，3=BF ，将四边形AEFB 沿EF 折起，使点B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上. （1）求证：BE CD ⊥； （2）求线段BH 的长度；（3）求直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值. 19.（本题满分15分）椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的上、下顶点分别为B A ,，右焦点为F ，点)13392,13132(P 在椭圆C 上，且AF OP ⊥. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不经过顶点B A ,的直线l 与椭圆交于两个不同的点),(),,(2211y x N y x M ，且21121=+x x ，求椭圆右顶点D 到直线l 距离的取值范围. 20.（本题14分）已知数列{}n a 满足11=a ，)(121*-∈+=N n a a a nn n . （1）证明：当1≥n ，*∈N n 时，122≤≤+n a n ； （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：)(12*∈-≤N n n S n .金华十校第一学期调研考试 高三数学（理科）卷参考答案一、选择题1.D2.A3.D4.B5.A6.B7.C8.C 二、填空题9.553,52 10.]2,1(,2- 11.)6sin(,12ππ-=x y 12.38a 13.]5,0[ 14.521 15.30,2222π≤<=+B b c a三、解答题16.解：（1）设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则)sin sin (sin 2C B A R c b a ++=++，)sin(3221)sin()231(41212ϕϕ+++=++++=B B ， 故ABC ∆周长的最大值3221++（或2621++）. 17.解：（1）由于⊥BH 平面CDEF ，∴CD BH ⊥，又由于DE CD ⊥，H DE BH = ， ∴E B D CD 平面⊥，∴BE CD ⊥.法一：（2）设h BH =，k EH =，过F 作FG 垂直ED 于点G ，因为线段BE ，BF 在翻折过程中长度不变，根据勾股定理：⎩⎨⎧-++=+=⇒⎩⎨⎧++=+=+=22222222222222)2(295k h k h GH FG BH FH BH BF EH BH BE ，可解得⎩⎨⎧==12k h ， ∴线段BH 的长度为2.（2）延长BA 交EF 于点M ，因为3:1::==MB MA BF AE ，∴点A 到平面EFCD 的距离为点B 到平面EFCD 距离的31，∴点A 到平面EFCD 的距离为32，而13=AF ，直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值为39132. 法二：（2）如图，过点E 作DC ER ∥，过点E 作⊥ES 平面EFCD ，分别以ER 、ED 、ES 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点)0,0)(,,0(>>z y z y B ，由于)0,2,2(F ，5=BE ，3=BF ，∴⎩⎨⎧=+-+=+9)2(4,52222z y z y 解得⎩⎨⎧==,2,1z y 于是)2,1,0(B ，所以线段BH 的长度为2. （3）从而)2,1,2(--=，故)32,31,32(31--==FB EA ，)32,37,38(--=+=EA FE FA ， 设平面EFCD 的一个法向量为)1,0,0(=，设直线AF 与平面EFCD 所成角的大小为θ，则39132sin ==θ. 18.解：（1）8)1(8)1(-=>+=-a f a f ，216)4(≥=aa f ，①当40≤<a 时，即a41≤，则8)1()(max +=-=a f x f ； ②当84≤<a 时，8)1()(max +=-=a f x f 或aa f 16)4(=，当aa 168=+时，424-=a ，所以当424->a 时，8)1()(max +=-=a f x f .综上，8)(max +=a x f .（2）282)(2--=-=x ax x f y ，对称轴ax 4=， ①8≥a 时，要使函数2)(-=x f y 在区间],0[b 上单调递减， 则]4,0[],0[a b ⊆，即a b 4≤，又因为2140≤<a ，所以21≤b ； ②当80<<a 时，aax 21642--=，要使函数2)(-=x f y 在区间],0[b 上单调递减，则]2164,0[],0[a a b --⊆，即aa ab 216422164-+=--≤， 又因为42160<-<a ，∴821644<-+<a ，∴212164241<-+<a ，即21<b . 综上，21max =b . 19.解：（1）因为点)13392,13132(P ，所以3=OP k ，又因为OP AF ⊥，13-=⨯-cb， ∴b c 3=，∴224b a =.又点)13392,13132(P 在椭圆上，∴1131313124134131213422222==+=+b b b b a ， 解之得42=a ，12=b ，故椭圆方程为1422=+y x . （2）①当直线l 的斜率不存在时，方程为：1=x ，此时1=d . ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：)1(±≠+=m m kx y联立椭圆方程得：0)1(48)14(222=-+++m kmx x k ，设点),(),,(2211y x N y x M ，由韦达定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+14)1(41482221221k m x x k km x x ，014022>+-⇒>∆m k （1） 由14)1(421482)(211222212121+-=+-⇒=+⇒=+k m k km x x x x x x ， 即：)0(112≠-=⇒-=m mk m km （2） 把（2）式代入（1）式得：342>m 或102<<m ，椭圆右顶点)0,2(D 到直线l 的距离1211212242222+--=-+-=++=m m m m mm mk m k d1)1(311442422424+---=+-+-=m m m m m m m ， 令),31()0,1(12+∞-∈=- t m ，则)2,1()1,0[11311312∈++-=++-=tt t t t d ， 由①②可知：)2,0[∈d .20.解：（1）由已知条件易知：0>n a ，且n nn a a a +=+111，（*） ∴0111>>+nn a a ，因此n n a a <+1，即数列{}n a 是递减数列，故11=≤a a n . 当*∈≥N n n ,2时，212=≤a a n . 又由（*）知，)2(211111≥+≤+=+n a a a a n n n n ， 利用累加可得：121)2(21112+=-+≤n n a a n ，即*∈≥+≥N n n n a n ,2,22， 经验证：当1=n 时，3221211=+≥=a 也成立.因此当*∈≥N n n ,1时，122≤≤+n a n . （2）将（*）式平方可得：2112221++=+n nn a a a ， 累加可得：)2(,2)1(22)1(211212221212≥=-+≥-++⋅⋅⋅+++=-n n n n a a a a a n n ， ∴)1(21222--=-+≤≤n n n n n a n . 因此当*∈≥N n n ,2时，212)12312(2121-+=--+⋅⋅⋅+-+-+≤+⋅⋅⋅++=n n n a a a S n n ，只需证：12212-≤-+n n ，即证21212+-≤+n n ,两边平方整理得：1222122212-++≤++n n n n ，即12-≤n n ，再次两边平方即证：1≥n ，显然成立. 经验证：当1=n 时，111211=-⨯≤=S 也成立.故)(12*∈-≤N n n S n .高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。