2016-2017学年湖南省株洲市茶陵一中高二上学期期中考试理科数学(详细答案版)

2016-2017学年湖南省株洲市茶陵一中高二上学期期中考试
理科数学
一、选择题：共12题
1．是的
A.充分但不必要条件
B.必要但不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】本题考查充要条件.由题意得:是的必要但不充分条件.选B.
2．在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=____.
A.58
B.88
C.143
D.176
【答案】B
【解析】本题考查等差数列的性质及求和公式,意在考查考生对等差数列的性质及求和公式的应用能力.利用等差数列的性质及求和公式求解.因为{a n}是等差数列,所以
a4+a8=2a6=16⇒a6=8,则该数列的前11项和为S11==11a6=88.
3．已知命题，若命题“”与命题“”都是真命题，则
A.为真命题，为假命题
B.为假命题，为真命题
C.，均为真命题
D.，均为假命题
【答案】B
【解析】本题考查命题,逻辑联结词.命题“”是真命题，命题“”为假命题; 命题“”是真命题，所以命题“”是真命题.即为假命题，为真命题.选B.
4．抛物线的焦点到其准线的距离是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查抛物线.由题意得抛物线的焦点(1,0)到其准线的距离d=2.选C.
5．设，且，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查不等关系与不等式.若,则,排除A;若,则,排除B,C;选D.
6．在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为
A.-
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】本题考查正余弦定理.由正弦定理得:a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4;令则;由余弦定理得=-.选A.
【备注】正弦定理:,余弦定理:.
7．已知动点满足，则点的轨迹是A.直线 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆
【答案】A
【解析】本题考查点的轨迹.转化为
;表示点到定点的距离,而点在直线上;而表示点到直线的距离;所以点的轨迹为:过点且垂直直线的直线.选A.
8．已知数列满足，且，则
的值是
A. B. C.5 D.
【答案】B
【解析】本题考查数列,对数函数.,即
,即,即数列为等比数列,公比;因为,所以
==;所以==.选B.
9．下列结论正确的是
A.当且时
B.当时，的最小值为2
C.函数最小值为2
D.当时，无最大值
【答案】C
【解析】本题考查命题,基本不等式.当时,排除A;当时的最小值为2,排除B;当时，单增,有最大值,排除D;选C.
10．在各项均为正数的等比数列{a n}中,(a1+a3)(a5+a7)=4,则下列结论正确的是
A.数列{a n}是递增数列
B.数列{a n}是递减数列
C.数列{a n}是常数列
D.数列{a n}有可能是递增数列也有可能是递减数列
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为q,则(a1+a1q2)(a1q4+a1q6)=4q6,化简可得q4-2q2+1=0,即(q2-1)2=0,解之得q=±1,而q>0,故q=1,因此,数列{a n}是常数列.
11．已知锐角三角形的边长分别为，，，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查余弦定理.因为三角形为锐角三角形,所以每个角的余弦值都大于0,即,解得.即的取值范围是.选B.
12．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线的离心率的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查双曲线的几何性质.令可得双曲线的渐近线;令过且与双曲线的一条渐近线平行的直线为;联立解得,,即,;而点在以线段为直径的圆外，即,即,整理得;即双曲线的离心率.即双曲线的离心率的取值范围为.选D.
二、填空题：共4题
13．若命题P:为假命题,则的范围为 .
【答案】
【解析】本题考查命题,全称量词与特称量词.因为命题P:为假命题,所以任意为真命题,所以,解得.即的范围为.
14．已知双曲线的离心率为2,则的值为 .
【答案】
【解析】本题考查双曲线的几何性质.将双曲线化为标准方程:;即, ,所以;而离心率,所以,解得.
【备注】双曲线,离心率,.
15．在中，三个内角所对的边分别为，若
，则 .
【答案】
【解析】本题考查余弦定理.，即,所以,即.
【备注】余弦定理:.
16．当实数满足时，恒成立，则实数的取值范围
是 .
【答案】
【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域(如图三角形所围的区
域),,B,；而恒成立，所以,解得;即实数的取值范围是.
三、解答题：共6题
17．如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，求AB的长.
【答案】在中，由余弦定理得：
，
在中，由正弦定理得：，.
【解析】本题考查正余弦定理.由余弦定理得,;由正弦定理得
.
18．已知双曲线的离心率，焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线过点与双曲线交于两点，且为的中点，求直线的方程.
【答案】(1)由得. 取右焦点,渐近线,即.
因为焦点到渐近线的距离为2,所以,即,
所以,得到,
故双曲线标准方程为
(2)由题可知,直线斜率存在且不为零,设直线的斜率为;
可得直线的方程为:,设
由，消去得到:.
于是,又为的中点,所以.
所以,解得，
故直线的方程为:.
【解析】本题考查双曲线的方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(1)由得. 焦点到渐近线的距离为2,得,,故双曲线为;(2)联立方程,套用根与系数的关系得,解得，故直线为:.
19．已知为真命题.
(1)求实数取值的集合.
(2)设不等式的解集为,若是的必要不充分条件,求
的取值范围.
【答案】(1)命题为真命题,即不等式在上恒成立.
当时,不等式为恒成立,所以符合题意.
当时,不等式恒成立应有,解得.
故实数的取值的集合为.
(2)因为是的必要不充分条件，所以.
当即时,不等式的解集为
则有，得；
当即时,不等式的解集为
则有，得；
当即时,不等式的解集为，不满足条件.
综上所述：.
【解析】本题考查命题,充要条件.(1)为真命题,即在上恒成立.分类讨论得.(2)因为是的必要不充分条件，所以.分类讨论得
.
20．现在一批货物用轮船从上海洋山港运往青岛，已知该船航行的最大速度为45海里/时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时运输成本由燃料费和其余费用组成.轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用每小时960元.
(1)把全程运输成本(元)表示为速度(海里/时)的函数；
(2)为了使成本最小，轮船应以多大速度航行？
【答案】(1)由题意，每小时燃料费用为，全程所用的时间为小时. 则全程运输成本=.
故所求的函数为;
(2),
当且仅当,即时取等号.
故当轮船速度为40海里/时,所需成本最小.
【解析】本题考查函数模型,基本不等式.(1)由题意;(2)
,时取等号.
21．已知单调递增的等比数列满足,且是的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求成立的正整数的最小值.
【答案】(1),∴,∴,∴,
∴,∴或,
∵为递增数列，∴;
∴;
(2),错位相减得到
∴,,;
即.
【解析】本题考查等差、等比数列，错位相减法求和.(1)由题意得,解得,∴;(2),错位相减得到,∴
,,即.
22．已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(－c,0)，F2(c,0)，Q是椭圆外的
动点，满足||＝2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足·＝0，||≠0.
(1)设x为点P的横坐标，证明:||＝.
(2)求点T的轨迹C的方程；
(3)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S＝b2？若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)设，满足＝1，，
又∵
===. (2)∵2＝0⇒，，||=＝2a,
∴ ,∴T是的中点，连接TO，则TO//,∴TO是的中位线.
,∴T点的轨迹是圆，则T点的轨迹方程为.
(3)设点M的坐标为,∵
若，不存在M点满足条件,
若，则存在点M使得使△F1MF2的面积S＝b2
.
==
=
=,
∵,∴.
【解析】本题考查点的轨迹,椭圆的标准方程.(1)==.(2)∵
＝0⇒，推得,∴T点的轨迹是圆，则T点的轨迹方程为
2
.(3)
=，∵,∴.。