2020-2021初三数学二次函数的专项培优易错试卷练习题附答案

2020-2021初三数学二次函数的专项培优易错试卷练习题附答案
一、二次函数
1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生
三角形”．已知抛物线2y x =-+“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．
（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；
（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；
（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=；（-2，1,0）；
（2）N 点的坐标为（0，），（0，）；
（3）E （-1，F （0）或E （-1，），F （-4，3） 【解析】
【分析】
（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可
【详解】
（1）∵2y x x =-+a=3
-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为
y=；
联立两解析式求交点2y=y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩
，解得x=-2⎧⎪⎨⎪⎩x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2
，B （1,0）；
（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，
在233
y x x =--+y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2
，
∴
由翻折的性质可知
∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，
∴N 在y 轴上，且AD=2，
在Rt △AND 中，由勾股定理可得
，
∵
OD=
∴
ON=或
ON=，
∴N 点的坐标为（0
，），（0
，）；
（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，
∴∠ ACK=∠ EFH ，
在△ ACK 和△ EFH 中
ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ ACK ≌△ EFH ，
∴FH=CK=1，HE=AK=
∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴ F 点的横坐标为0或-2，
∵点F 在直线AB 上，
∴当F 点的横坐标为0时，则F （0），此时点E 在直线AB 下方，
∴E 到y 轴的距离为EH-OF=，即E 的纵坐标为
∴ E （-1，-3
）； 当F 点的横坐标为-2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去；
②当AC 为平行四边形的对角线时，
∵ C （-3,0），且A （-2，
∴线段AC 的中点坐标为（-2.5，），
设E （-1，t ），F （x ，y ），
则x-1=2×（-2.5），y+t=
∴x= -4，y=，
3×（-4）+3，解得t=-3
，
∴E （-1，），F （-4）；
综上可知存在满足条件的点F ，此时E （-1，0）或E （-1，
），F （-4，3）
【点睛】
本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题
2．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；
（4）5
2
或5．
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；
（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；
（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.
试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得
1640
3
a b
a b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解
得
1
4
a
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．
（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝1
2
×2×3＝3．
（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．
∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S
梯形AHQP
∴6＋1
2
×（m－1）×（3＋m2－4m）＝
1
2
×3×3＋
1
2
×（3＋m－1）（m2－4m）
整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．
（4）5
2
或5．
提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝5
2
；
②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；
③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.
3．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1(a≠0)交x轴于A，B(1，0)两点，交y轴于点C，一次函数y ＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E 的坐标；若没有，请说明理由；
(3)在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为y＝1
3
x2+
2
3
x﹣1；(2)
49
12
，(
1
2
，
7
2
)；(3)点G的坐标为(2，
1)，(﹣，﹣﹣1)，，﹣1)，(﹣4，3)．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m，
1 3m2+
2
3
m﹣1），由此得到EF＝﹣
1
3
m2+
1
3
m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；
（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．
【详解】
解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．
∴点A的坐标为(﹣3，0)．
设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．
∵点C的坐标为(0，﹣1)，
∴﹣3a＝﹣1，得a＝1
3
，
∴抛物线的解析式为y＝1
3
x2+
2
3
x﹣1；
(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，
则点F的坐标为(m，1
3
m2+
2
3
m﹣1)
∴y＝(m+3)﹣( 1
3
m2+
2
3
m﹣1)＝﹣
1
3
m2+
1
3
m+4
即y＝-1
3
(m﹣
1
2
) 2+
49
12
，
此时点E的坐标为(1
2
，
7
2
)；
(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣，﹣﹣1)，，﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．
∴EG垂直平分CD
∴点E的纵坐标y＝
13
2
-+
＝1，
将y＝1带入y＝x+3，得x＝﹣2．
∵EG关于y轴对称，
∴点G的坐标为(2，1)；
②如图2，当四边形CDEG为菱形时，以点D为圆心，DC的长为半径作圆，交AD于点E，可得DC＝DE，构造菱形CDEG
设点E的坐标为(n，n+3)，
点D的坐标为(0，3)
∴DE
∵DE＝DC＝4，
4，解得n1＝﹣，n2＝．
∴点E的坐标为(﹣，﹣+3)或，+3)
将点E向下平移4个单位长度可得点G，
点G的坐标为(﹣，﹣﹣1)(如图2)或，﹣1)(如图3)
③如图4，“四边形CDGE为菱形时，以点C为圆心，以CD的长为半径作圆，交直线AD 于点E，
设点E的坐标为(k，k+3)，点C的坐标为(0，﹣1)．
∴EC
∵EC＝CD＝4，
∴2k2+8k+16＝16，
解得k1＝0(舍去)，k2＝﹣4．
∴点E的坐标为(﹣4，﹣1)
将点E上移1个单位长度得点G．
∴点G的坐标为(﹣4，3)．
综上所述，点G的坐标为(2，1)，(﹣，﹣﹣1)，，﹣1)，(﹣4，3)．
【点睛】
本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
4．如图，直线y ＝-12
x-3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B(2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，DC ．设点D 的横坐标为m ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；
(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．
【答案】(1)y ＝
14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣
154
)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21). 【解析】
【分析】 （1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12
m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．
②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝
32
x+9，解方程组求出函数图像交点坐标.
【详解】 解：(1)在y ＝﹣
12
x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，
将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得： 366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩
，
解得：141
a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
∴抛物线的解析式为：y ＝
14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，
14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12
m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F. ∴DF ＝﹣
12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32
m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC ＝
12DF•AE+12•DF•OE ＝
12DF•OA ＝12×(﹣14m 2﹣32
m)×6 ＝﹣
34m 2﹣92m ＝﹣34
(m+3)2+274， ∵a ＝﹣34
＜0， ∴抛物线开口向下，
∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值
274， 又∵当m ＝﹣3时，
14m 2+m ﹣3＝﹣154， ∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274
； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，
直线AD′的解析式为y ＝32
x+9， 由2392134
y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩， 此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，
综上所述，满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.
5．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x元．（1）写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系；（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣10x+1000；w=﹣10x2+1300x﹣30000
（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．
【解析】
【分析】
（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y＝600﹣10（x﹣40），再利用w= y•（x﹣30）即可表示出w与x之间的关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x＝46时有最大值，代入求值即可解题.
【详解】
解：
（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000
获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：w＝y•（x﹣30）＝（1000﹣
10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000
（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46
w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65
∴当44≤x≤46时，y随x的增大而增大
∴当x＝46时，w
＝8640元
最大值
即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.
6．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．
【答案】（1）2
23y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；
（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐
标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；
()
3设点M 的坐标为()1,m ，则CM =
，
AC ==AM =AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】
解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2
y x bx c =-++中，
得：{
10
3b c c --+==，解得：{
2
3b c ==，
∴抛物线的解析式为223y x x =-++．
()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．
当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，
∴点B 的坐标为()3,0．
抛物线的解析式为2
2
23(1)4y x x x =-++=--+，
∴抛物线的对称轴为直线1x =．
设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{
30
3k d d +==，解得：{
1
3k d =-=，
∴直线BC 的解析式为3y x =-+．
当1x =时，32y x =-+=，
∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．
()3设点M 的坐标为()1,m ，
则CM =，AC ==
AM =
分三种情况考虑：
①当90AMC ∠=时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，
解得：11m =，22m =，
∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；
②当90ACM ∠=时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，
解得：83
m =
， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫
⎪⎝⎭
；
③当90CAM ∠=时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，
解得：23
m =-
， ∴点M 的坐标为21,.3⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
综上所述：当MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫
⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，列出关于m 的方程．
7．如图1，已知抛物线y ＝ax 2+bx+3(a≠0)与x 轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y 轴交于点C ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)如图2，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．
【答案】（1）y ＝﹣x 2
﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P ，其坐标为P （﹣1）或P
（﹣1P（﹣1，6）或P（﹣1，5
3
）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）
63 8，
315
,
24
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
.
【解析】
【分析】
（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：
①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M 的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．
②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．
③当CM＝C P时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；
（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；
（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴
30 9330 a b
a b
++=
⎧
⎨
-+=
⎩
，
解得：
1
2 a
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
．
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如答图1，
∵抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3， ∴其对称轴为x ＝
2
2
-＝﹣1， ∴设P 点坐标为（﹣1，a ），当x ＝0时，y ＝3， ∴C （0，3），M （﹣1，0）
∴当CP ＝PM 时，（﹣1）2+（3﹣a ）2＝a 2，解得a ＝53
， ∴P 点坐标为：P 1（﹣1，
5
3
）；
∴当CM ＝PM 时，（﹣1）2+32＝a 2，解得a ＝，
∴P 点坐标为：P 2（﹣1）或P 3（﹣1）；
∴当CM ＝CP 时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a ）2，解得a ＝6， ∴P 点坐标为：P 4（﹣1，6）．
综上所述存在符合条件的点P ，其坐标为P （﹣1）或P （﹣1）或P （﹣1，6）或P （﹣1，
5
3
）； （3）存在，Q （﹣1，2），理由如下：
如答图2，点C （0，3）关于对称轴x ＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q ．
设直线AC′函数关系式为：y ＝kx+t （k≠0）．
将点A （1，0），C′（﹣2，3）代入，得0
23k t k t +=⎧⎨-+=⎩，
解得1
1k t =-⎧⎨=⎩
，
所以，直线AC′函数关系式为：y ＝﹣x+1． 将x ＝﹣1代入，得y ＝2， 即：Q （﹣1，2）；
（4）过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E （a ，﹣a 2
﹣2a+3）（﹣3＜a ＜0）
∴EF ＝﹣a 2﹣2a+3，BF ＝a+3，OF ＝﹣a ∴S 四边形BOCE ＝12BF•EF+1
2
（OC+EF ）•OF ＝
12（a+3）•（﹣a 2﹣2a+3）+12
（﹣a 2
﹣2a+6）•（﹣a ） ＝﹣
32a 2﹣92a+92＝﹣32（a+32）2+63
8
， ∴当a ＝﹣
32时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为63
8
． 此时，点E 坐标为（﹣32 ，15
4
）． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．
8． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x =1，y =3，y =x +2，y =﹣x +4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A 、C 分别在
x 轴和y 轴上，抛物线21
()4
y x m n =
-+经过B 、C 两点，顶点D 在正方形内部． （1）直接写出点D （m ，n ）所有的特征线；
（2）若点D 有一条特征线是y =x +1，求此抛物线的解析式；
（3）点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A ′的位置，当点A ′在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平
移多少距离，其顶点落在OP 上？
【答案】（1）x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m+n ；（2）21
(2)34
y x =-+；（3）抛物
23
12距离，其顶点落在OP 上． 【解析】
试题分析：（1）根据特征线直接求出点D 的特征线；
（2）由点D 的一条特征线和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式； （2）分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．
试题解析：解：（1）∵点D （m ，n ），∴点D （m ，n ）的特征线是x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m +n ；
（2）点D 有一条特征线是y =x +1，∴n ﹣m =1，∴n =m +1．∵抛物线解析式为
21()4y x m n =-+，∴21
()14
y x m m =-++，∵四边形OABC 是正方形，且D 点为正方
形的对称轴，D （m ，n ），∴B （2m ，2m ），∴21
(2)24
y m m n m =-+=，将n =m +1带入得到m =2，n =3；
∴D （2，3），∴抛物线解析式为21
(2)34
y x =
-+． （3）①如图，当点A ′在平行于y 轴的D 点的特征线时：
根据题意可得，D （2，3），∴OA ′=OA =4，OM =2，∴∠A ′OM =60°，∴∠A ′OP =∠AOP =30°，
∴MN
=3，∴抛物线需要向下平移的距离=33-=93
-． ②如图，当点A ′在平行于x 轴的D 点的特征线时，设A ′（p ，3），则OA ′=OA =4，OE =3，
EA ，∴A ′F =4，设P （4，c ）（c ＞0），，在Rt △A ′FP 中，（4﹣
）2+（3﹣c ）2=c 2
，∴c P （4），∴直线OP 解析式为
y x ，∴N （2=3﹣
=
OP 上．
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D 的坐标．
9．如图1，抛物线2:C y ax bx =+经过点(4,0)A -、(1,3)B -两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180，得到新的抛物线'C ．
（1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标； （2）如图2，直线12
:5
l y kx =-
经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （2m <-），连接DO 并延长，交抛物线'C 于点E ，交直线l 于点M ，
2DE EM =，求m 的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得DEP GAB ∠=∠？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
4y x x =--，顶点为：(2,4)G -；（2）m 的值为﹣3；（3）存在，点
P 的横坐标为：74+-
7
4
． 【解析】 【分析】
（1）运用待定系数法将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，即可求得a 和b 的值和
抛物线C 解析式，再利用配方法将抛物线C 解析式化为顶点式即可求得顶点G 的坐标； （2）根据抛物线C 绕点O 旋转180，可求得新抛物线'C 的解析式，再将(4,0)A -代入
12
5
y kx =-
中，即可求得直线l 解析式，根据对称性可得点E 坐标，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ，由2DE EM =，即可得1
3
ME MD =，再证明MEK ∆∽MDH ∆，即可得3DH EK =，建立方程求解即可； （3）连接BG ，易证ABG ∆是Rt ∆，90ABG ∠=，可得
1
tan tan 3
DEP GAB ∠=∠=，在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH 上截取
1
3
OH OE ==E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为
所求的点；通过建立方程组求解即可． 【详解】
（1）将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，得1640
3
a b a b -=⎧⎨
-=⎩
解得1
4
a b =-⎧⎨
=-⎩
∴抛物线C 解析式为：24y x x =--，
配方，得：2
2
4(2)4y x x x =--=-++，∴顶点为：(2,4)G -； （2）∵抛物线C 绕点O 旋转180，得到新的抛物线'C ． ∴新抛物线'C 的顶点为：'(2,4)G -，二次项系数为：'1a = ∴新抛物线'C 的解析式为：22(2)44y x x x =--=- 将(4,0)A -代入125y kx =-中，得12045k =--，解得35
k =-， ∴直线l 解析式为31255
y x =--， ∵2(,4)D m m m --，
∴直线DO 的解析式为(4)y m x =-+，
由抛物线C 与抛物线'C 关于原点对称，可得点D 、V 关于原点对称， ∴2(,4)E m m m -+
如图2，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ， 则3
12(,)55H m m --
，312(,)55
K m m --， ∴2
23
1217124()5
555
DH m m m m m =-----
=--+，
223121712
4()5555
EK m m m m m =+--=++，
∵2DE EM = ∴
1
3
ME MD =， ∵//DH y 轴，//EK y 轴
∴//DH EK ∴MEK ∆∽MDH ∆
∴
1
3
EK ME DH MD ==，即3DH EK = ∴2
2171217123()5555
m m m m --+=++ 解得：13m =-，22
5
m =-，
∵2m <-
∴m 的值为：﹣3；
（3）由（2）知：3m =-，
∴(3,3)D -，(3,3)E -，OE =
如图3，连接BG ，在ABG ∆中，∵2
2
2
(14)(30)18AB =-++-=，22BG =，
220AG =
∴222AB BG AG +=
∴ABG ∆是直角三角形，90ABG ∠=，
∴1
tan
3
BG GAB AB ∠=
==， ∵DEP GAB ∠=∠ ∴1tan tan 3
DEP GAB ∠=∠=
，
在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH 上截取1
3
OH OE =
= 过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点； ∵(3,3)E -， ∴45EOT ∠= ∵90EOH ∠= ∴45HOT ∠=
∴(1,1)H --，设直线EH 解析式为y px q =+，
则331p q p q +=-⎧⎨-+=-⎩，解得1232p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴直线EH 解析式为1322
y x =--， 解方程组213224y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩
，得1158x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，2258x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ∴点P
的横坐标为：
．
【点睛】
本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．
10．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，将OBC 沿BC 所在的直线翻折，得到DBC △，连接OD ． （1）用含a 的代数式表示点C 的坐标．
（2）如图1，若点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方，求抛物线的解析式． （3）设OBD 的面积为S 1，OAC 的面积为S 2，若1223
S S =，求a 的值．
【答案】（1）(0,3)C a -；
(2)
抛物线的表达式为：2555y x x =-
++；
(3) a =-
a =【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为：()
2(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即可求解；
（2）根据相似三角形的判定证明CPD DQB V V ∽，再根据相似三角形的性质得到
CP PD CD DQ BQ BD
==，即可求解； （3）连接OD 交BC 于点H ，过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，由三角形的面积公式得到1223S S =，29m DM =，11299
m HN DM OC ===，而2
2899m HN ON BN ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，即可求解． 【详解】
（1）抛物线的表达式为：()
2(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即3c a =-，则点(0,3)C a -；
（2）过点B 作y 轴的平行线BQ ，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点P 、交BQ 于点Q ， ∵90CDP PDC ︒∠+∠=，90PDC QDB ︒∠+∠=，
∴QDB DCP ∠=∠，
设：(1,)D n ，点(0,3)C a -，
90CPD BQD ︒∠=∠=，
∴CPD DQB V V ∽， ∴CP PD CD DQ BQ BD
==， 其中：3CP n a =+，312DQ =-=，1PD =，BQ n =，3CD a =-，3BD =，
将以上数值代入比例式并解得：5a =±
， ∵0a <
，故5
a =-，
故抛物线的表达式为：2555
y x x =++； （3）如图2，当点C 在x 轴上方时，连接OD 交BC 于点H ，则DO BC ⊥，
过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，
设：3OC m a ==-，
11322OBD S S OB DM DM ∆==
⨯⨯=， 2112OAC
S S m ∆==⨯⨯，而1223S S =， 则29m DM =，11299
m HN DM OC ===， ∴1193BN BO ==，则18333
ON =-=， 则DO BC ⊥，HN OB ⊥，
则BHN HON ∠=∠，则tan tan BHN HON ∠=∠， 则2
2899m HN ON BN ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭
，
解得：m =±（舍去负值），
|3|CO a =-=，
解得：a =-
故：a =-C 在x
轴下方时，同理可得：a =
a =-
a =【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形的面积计算，其中（3）用几何方法得出：22899m HN ON BN ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭
，是本题解题的关键．
11．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P
个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当12
MQ NQ =时，求t 的值；
（3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．
【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）t 的值为12
；（3）当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或
t ﹣1．
【解析】
【分析】
（1）求直线y=-x+4与x 轴交点B ，与y 轴交点C ，用待定系数法即求得抛物线解析式． （2）根据点B 、C 坐标求得∠OBC=45°，又PE ⊥x 轴于点E ，得到△PEB 是等腰直角三角
形，由PB =
求得BE=PE=t ，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表
示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据MP ∥CN 可证MPQ NCQ ∽，故有12
MP MQ NC NQ ＝＝，把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值． （3）因为不确定等腰△PDM 的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP ，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP ，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME ，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP=DP ，则∠PMD=∠PDM ，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF 进而得CF=CD ．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG ，得等腰直角△CDG ，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF=CD ，解方程即得到t 的值．
【详解】
（1）直线y ＝﹣x +4中，当x ＝0时，y ＝4
∴C （0，4）
当y ＝﹣x +4＝0时，解得：x ＝4
∴B （4，0）
∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点
∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得：34
b c =⎧⎨=⎩
∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+3x +4
（2）∵B （4，0），C （0，4），∠BOC ＝90°
∴OB ＝OC
∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°
∵ME ⊥x 轴于点E ，PB t
∴∠BEP ＝90°
∴Rt △BEP 中，2PE sin PBE PB ∠=＝
∴2
BE PE PB t ＝＝＝， ∴4M P P x x OE OB
BE t y PE t ＝＝＝﹣＝﹣，＝＝ ∵点M 在抛物线上
∴2243445M y t t t t +++＝﹣（﹣
）（﹣）＝﹣， ∴24M
P MP y y t t +＝﹣＝﹣ ， ∵PN ⊥y 轴于点N
∴∠PNO ＝∠NOE ＝∠PEO ＝90°
∴四边形ONPE 是矩形
∴ON ＝PE ＝t
∴NC ＝OC ﹣ON ＝4﹣t
∵MP ∥CN
∴△MPQ ∽△NCQ ∴12
MP MQ NC NQ == ∴24142
t t t -+=- 解得：12142t t ＝，＝（点P 不与点C 重合，故舍去）
∴t 的值为12
（3）∵∠PEB ＝90°，BE ＝PE
∴∠BPE ＝∠PBE ＝45°
∴∠MPD ＝∠BPE ＝45°
①若MD ＝MP ，则∠MDP ＝∠MPD ＝45°
∴∠DMP ＝90°，即DM ∥x 轴，与题意矛盾
②若DM ＝DP ，则∠DMP ＝∠MPD ＝45°
∵∠AEM ＝90°
∴AE ＝ME
∵y ＝﹣x 2+3x +4＝0时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4
∴A （﹣1，0）
∵由（2）得，x M ＝4﹣t ，ME ＝y M ＝﹣t 2+5t
∴AE ＝4﹣t ﹣（﹣1）＝5﹣t
∴5﹣t ＝﹣t 2+5t
解得：t 1＝1，t 2＝5（0＜t ＜4，舍去）
③若MP ＝DP ，则∠PMD ＝∠PDM
如图，记AM 与y 轴交点为F ，过点D 作DG ⊥y 轴于点G
∴∠CFD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠CDF
∴CF ＝CD
∵A （﹣1，0），M （4﹣t ，﹣t 2+5t ），设直线AM 解析式为y ＝ax +m
∴()2045a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩
解得：a t m t =⎧⎨=⎩ ， ∴直线AM ：y tx t +＝
∴F （0，t ）
∴CF ＝OC ﹣OF ＝4﹣t
∵tx +t ＝﹣x +4，解得：41t x t -=
+， ∴41
D x t t DG -=+＝＝， ∵∠CGD ＝90°，∠DCG ＝45°
∴)41t CD t -+＝
，
∴)441
t t t -+﹣
解得：1t
综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或1t ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．
12．如图，抛物线y=﹣（x ﹣1）2+c 与x 轴交于A ，B （A ，B 分别在y 轴的左右两侧）两
点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，已知A （﹣1，0）．
（1）求点B ，C 的坐标；
（2）判断△CDB 的形状并说明理由；
（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ＜3）得到△QPE ．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形；
(Ⅲ)22333(0)221933(3)2
22t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩. 【解析】
【分析】
（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标．
（2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段：
①当0＜t≤
32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当32
＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】
解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()2
1y x c =--+上， ∴()2
011c =---+，得4c =
∴抛物线解析式为：()214y x =--+，
令0x =，得3y =，∴()0,3C ；
令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B .
(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下：
由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4.
如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ， 则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=. 过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=.
在Rt OBC ∆中，由勾股定理得：BC ===
在Rt CND ∆中，由勾股定理得：CD ==
在Rt BMD ∆中，由勾股定理得：BD =
==.
∵222BC CD BD +=，
∴CDB ∆为直角三角形.
(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+，
∵()()3,0,0,3B C ，
∴303k b b +=⎧⎨=⎩
， 解得1,3k b =-=，
∴3y x =-+，
直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，
∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++； 设直线BD 的解析式为y mx n =+，
∵()()3,0,1,4B D ，
∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩
，解得：2,6m n =-=， ∴26y x =-+. 连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫
⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中：
(1)当302
t <≤时，如答图2所示：
设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-. 设QE 与BD 的交点为F ，则：263y x y x t =-+⎧⎨=-++⎩. 解得32x t y t
=-⎧⎨=⎩， ∴()3,2F t t -. 111222QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=
⋅-⋅-⋅ ()221113333232222
t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332
t <<时，如答图3所示：
设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J .
∵CQ t =，
∴KQ t =，3PK PB t ==-.
直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-， ∴(),62J t t -.
1122PBJ PBK S S S PB PJ PB PK ∆∆=-=
⋅-⋅ ()()()211362322
t t t =---- 219322
t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：22333022193332
22t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.
13．已知：二次函数2432y x x a =-++(a 为常数)．
(1)请写出该二次函数图象的三条性质；
(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，求a 的取值范围．
【答案】(1)见解析；(2)
523
a ≤<． 【解析】
【分析】
(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；
(2) 先由二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，即关于x 的一元二次方程26330x x a -++=有两个不相等的实数根，由此可得2a <，再根据二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，也就是说二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出函数
2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，将x=4代入求得a 的取值范围，由此即可求得答案.
【详解】
(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线2x =；③当2x >时，y 随x 的增大而增大；④当2x <时，y 随x 的增大而减小；⑤当2x =时，函数有最小值；
(2)∵二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，
∴243221x x a x -++=-，即26330x x a -++=，
364(33)12240a a ∆=-+=-+>，解得2a <，
∵二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，
∴二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，
画出二次函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，
可知当4x =时，26330x x a -++≥，。