广东省深圳市宝安中学高一数学下学期期中考试试题 理

宝安中学2012－2013学年第二学期期中考试
高一数学（理）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为7-20题，共110分。

全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

一．选择题：（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共计40分）
1．sin17sin 223sin 73cos 43+=o
o
o
o
（ ） A ．
12 B ． 1
2
- C
．2-
．2
2.下列命题中错误．．的是 ( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
3. 已知(,0)2
x π
∈-
，4
cos 5
x =
，则=x 2tan （ ） A
247 B 247- C 7
24 D 724-
4．设m ,n 是两条不同的直线，γβα，，是三个不同的平面,下列四个命题中正确命题的序号是 （ ） ①若，，n m αα////则n m //； ②若，，m ，αγββα⊥////则γ⊥m ； ③若αα//，n m ⊥,则n m ⊥ ④若，，γβγα⊥⊥则βα//； (A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D) ①④
5．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的
侧视图可以为 （
）
(正视图)
6．函数sin 2sin 23y x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭
的一个单调递增区间是
（ ） A ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．513,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
7.如图,ABC S -是正三棱锥且侧棱长为a ，两侧棱SC SA ,的夹角为0
30，F E ,分别是SC SA ,上的动点，则三角形BEF 的周长的最小值为 （ ）
A .a 2
B . a 3
C .a 5
D .a 6
8．过球面上三点A 、B 、C 的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB ＝6，BC ＝8， AC ＝10，则球的表面积是 （ ）
A ．π100
B ．π300
C ．
π3100 D ．π3
400
二．填空题：（每小题5分，共计30分） 9．求值
cos351sin 20
=-
10. 如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，
45,1ABC AB AD ︒
∠===, DC BC ⊥,则这个平面图形的面积为_____________
11.设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 132
a b c -=-==+o o o o
o
则,,a b c 的大小关系是(用不等号连接)______________
12．如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为2，则异面直线
BC 1与A 1C 所成的角是
S
A C B
E
F A C
B D
B
B 1
13．已知直二面角βα--l ，点l ，AC A ⊥∈α，C 为垂足，l ，BD B ⊥∈β，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于________
14 如果a ，b 是异面直线，P 是不在a ，b 上的任意一点，下列四个结论：
①过点P 一定可以作直线L 与a ，b 都相交；②过点P 一定可以作直线L 与a ，b 都垂直；
③过点P 一定可以作平面α与a ，b 都平行；④过点P 一定可以作直线L 与a ，b 都平行； 上述结论中正确的是___________
六．解答题（6题，共计80分） 15．(本题满分12分) 已知71)43sin(=+
πα，54)4cos(=-βπ，且4
4π
απ<<-， 4
34
π
βπ
<
<，求)cos(βα-的值。

16. (本题满分12分) 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=
1
2AA 1，D 是棱AA 1的中点
(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC
（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
17. (本题满分14分) 已知函数x x x f 2cos 3)4
(
sin 2)(2
-+=π
，．
（1）若()f x 图象左移θ单位后对应函数为偶函数，求θ值；
（2）若ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，时不等式()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围．
B 1
C B
A
D
C 1
A 1
18．(本题满分14分) 如图，已知平面11BCC B 是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），
BC 是圆柱底面的直径，O 为底面圆心，E 为母线1CC 的中点，已知14AB AC AA ===
（1）求证：1B O ⊥平面AEO ； （2）求二面角1B AE O --的余弦值． （3）求三棱锥1A B OE -的体积.
19. (本题满分14分) 若锐角ABC ∆的三个内角为A,B,C,两向量
(22sin ,cos sin ),P A A A =-+u r (sin cos ,1sin ),q A A A =-+r 且p q u r r
与与是共线向量
(1)求角A 的大小； (2) 求函数2
32sin cos 2
C B
y B -=+的值域.
20. (本题满分14分) 如图，平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，2AB =，2BD =
，
沿BD 将BCD ∆折起，使二面角A BD C --为锐二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ，若AD BC ⊥
（1）求二面角A BD C --的大小． （2）求AC 与平面COD 所成角的正切值
（3）在线段BC 上是否存在一点P ，使得//PD 面AOC ，若存在，求出P 点位置并证明；若不存在，请说明理由
A D C O A B
C D
宝安中学2012－2013学年第二学期期中考试参考答案
高一数学（理）
一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计40分）
二．填空题：（每小题5分，共计30分）
9 10. 2
2
+ 11. a c b
<< 12.
2
π
13.
3
6
14. ②六．解答题（6题，共计80分）
15. 解：因为
4
4
π
α
π
<
<
-，
4
3
4
π
β
π
<
<
所以π
π
α
π
<
+
<
4
3
2
，0
4
2
<
-
<
-β
π
π
，………………2分
又因为
7
1
)
4
3
sin(=
+
π
α，
5
4
)
4
cos(=
-β
π
所以，
7
3
4
)
4
3
cos(-
=
+
π
α，………………4分
5
3
)
4
sin(-
=
-β
π
………………6分
)]
4
(
)
4
3
cos[(
)
cos(
)
cos(β
π
π
α
π
β
α
β
α-
+
+
-
=
+
-
-
=
-………………8分
)
4
sin(
)
4
3
sin(
)
4
cos(
)
4
3
cos(β
π
π
α
β
π
π
α-
+
+
-
+
-
=
)
5
3
(
7
1
5
4
7
3
4
-
⨯
+
⨯
=
35
3
3
16-
=………………12分
16．（1）证明：由题设知BC⊥
1
CC,BC⊥AC，
1
CC AC C
⋂=,∴BC⊥面
11
ACC A,
又∵
1
DC⊂面
11
ACC A，∴
1
DC BC
⊥, ………………2分
由题设知0
11
45
A DC ADC
∠=∠=,∴
1
CDC
∠=0
90,
即
1
DC DC
⊥,
B1
C1
A1
又∵DC BC C ⋂=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ⊂面1BDC ，
∴面BDC ⊥面1BDC ； ………………6分 (2) 设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1， 由题意得，1V =1121132
+⨯
⨯⨯=1
2， ………………8分
由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1， ………………10分
∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1. …………12分
17.解:（I ）()132sin 22cos 32sin 12cos 3)22
cos(1+⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
=-+=-+-=ππx x x x x x f ………………3分
()1322sin 213)(2sin 2+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+=+⎪⎭⎫
⎝
⎛-+=+=πθπθθx x x f y ………………5分 ∵左移θ后对应函数为偶函数 ∴2
32,132sin π
ππθπθ+=-±=⎪⎭⎫
⎝
⎛
-k
∴z k k ∈+=
12
52ππθ………………8分 （II ）∵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,4ππx 时不等式()f x m >恒成立∴()min x f m <………………10分 而
3
23
26
π
π
θπ
≤
-
≤,∴(),2min =x f ………………13分 ∴m 的取值范围是)2,(-∞………………14分
18． 解： 依题意可知， 1AA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，BC =
=，
∴AO =（I ）∵AC ，O 为底面圆心，∴BC⊥AO，又∵B 1B⊥平面ABC ，可证B 1O⊥AO，
因为AB ＝14AA =，则221124,12,36B O EO B E ===,∴222
11B O EO B E +=
∴B 1O⊥EO，
∴1B O ⊥平面AEO ； ……………………5分
（II ）过O 做OM⊥AE 于点M ，连接B 1M ， ∵B 1O⊥平面AEO ，可证B 1M⊥AE， ∴∠B 1MO 为二面角B 1—AE —O 的平面角， C 1C⊥平面ABC ，AO⊥OC，可证EO⊥AO， 在Rt△AEO 中，可求10
OM =
， 在Rt△B 1OM 中，∠B 1OM ＝90°，∴16cos 6
B MO ∠=
∴二面角B 1—AE —O 的余弦值为
6
6
…………10分 （Ⅲ）因为AB=AC ，O 为BC 的中点，所以AO BC ⊥
又平面ABC ⊥平面11BCC B ，且平面ABC I 平面11BCC B BC =，
所以AO ⊥平面11BCC B , 故AO 是三棱锥1A B OE -的高 ∴111111
2223268
332A B OE B AOE AOE V V S B O --∆==
⋅=⨯⨯=
………14分 19.解：(1)由p q u r r
与与是共线向量知：
(22sin )(1sin )(sin cos )(cos sin )A A A A A A -⋅+=-⋅+
化简整理得 2
3
sin 4
A =
………4分 30sin A=2
3
A A π
π
<<
∴=
∴Q ………7分 (2) 由（1）知 23C B π
=
- 22232sin cos 2sin cos(2)
23
2sin cos cos 2sin
sin 23
3
31cos 1sin(2)126
C B y B B B B B B
B B B π
π
π
π
-=+=+-=++=
-+=-+
………………11分
因为ABC ∆是锐角三角形
20,002232C B B ππ
ππ
∴<<
<<
<
-<，
得：5,262666
B B πππππ<<<-<
1sin(2)126B π<-≤ 322y ∴<≤ ∴值域为]2,2
3
(………………14分
20. 解：(1)连接OB ， ∵CO ⊥平面ABD ，AD BC ⊥， ∴AD ⊥平面BOC ， ∴AD OB ⊥， ∴90OBD ADB ∠+∠=︒，
故OBD DAB ∠=∠， ∴Rt ABD Rt BDO ∆∆∽，
∴OD BD
BD AB =
，
∴2212BD OD AB ===，
又 BD CD ⊥，BD OC ⊥ ∴BD ⊥面OCD
CDO ∠即为二面角A BD C --的平面角 在Rt COD ∆中，1
cos 2
OD CDO CD ∠=
=，得60CDO ∠=︒．………………5分 （2）∵CO ⊥面ABD ，∴COD ⊥面面ABD
过A 作AM DO ⊥交DO 延长线于M 点，连CM ，则AM ⊥面COD ∴ACM ∠即为AC 与平面COD 所成角
在CMD ∆中，DM CO ⊥，OM=OD ， ∴CM=CD=2 又AM=BD=2
∴22tan ==
∠CM AM ACM ，即AC 与平面COD 所成角的正切值为2
2
………………9分 （3）取BC 的中点P ，AC 的中点E ，连接PD ，PE ，OE ∵PE 是ABC ∆的中位线，∴AB PE //，12
1
==AB PE ，又AB OD //，OD=1 ∴OD PE //，OD PE =
∴四边形PEOD 为平行四边形，∴//PD OE ，又⊂OE 面AOC ，⊄PD 面AOC ， ∴//PD 面AOC
即存在BC 的中点P ，满足//PD 面AOC ………………14分
B
D。