湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷含答案

2024-2025学年湖南省长沙市百强校(YZ)高一上期中考试数学试题❖
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|21}A x x =-<≤，{|03}B x x =<≤，则A B = （）
A.
(]
2,3- B.
()
2,0- C.
(]0,1 D.(]
1,3
【答案】C 【解析】
【分析】由交集的运算法则求解即可.
【详解】解：{}{}
2103A x x B x x =-<≤=<≤ ，，
{}01A B x x ∴⋂=<≤，
故选：C.
2.函数1
()2
f x x =+
-的定义域为（）
A.2
|2}3
{x x x >≠且 B.2
{|2}3x x x <
>且C.3
{|
2}2
x x ≤≤ D.3
{|2}
2
x x x ≥≠且【答案】D 【解析】
【分析】利用函数有意义，列出不等式组求解即得.
【详解】函数1()2
f x x =
+
-的意义，则230x -≥且20x -≠，解得3
2x ≥且2x ≠，
所以原函数的定义域为3
{|2}2
x x x ≥≠且.故选：D 3.已知()(
)5,6
2,6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则()4f =（
）A.3 B.2
C.1
D.0
【答案】C 【解析】
【分析】根据分段函数解析式列式求解即可.【详解】由题意可得：()()46651f f ==-=.
故选：C.
4.设x ∈R ，则“2x ≤”是“11x -≤”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
【分析】从充分性和必要性两个方面考虑.
【详解】先说充分性：当2x ≤，比如2x =-，此时：12131x -=--=≤不成立，所以“2x ≤”不是“11x -≤”的充分条件；
再说必要性：11x -≤⇒111x -≤-≤⇒02x ≤≤，所以2x ≤成立，所以“2x ≤”是“11x -≤”的必要条件.
故“2x ≤”是“11x -≤”的必要不充分条件.故选：B
5.若不等式210x tx -+<对一切132x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
恒成立，则实数t 的取值范围为（）
A.52
t ≥
B.52
t >
C.2t ≥
D.103
t ≥
【答案】D 【解析】
【分析】首先分离参数，然后结合对勾函数的性质求得函数的最值，从而可确定t 的取值范围．
【详解】因为不等式210x tx -+<对一切132x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，恒成立，所以211
x t x x x
+>=+在区间132⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，由对勾函数的性质可知函数1y x x =+在区间112⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，在区间()13，上单调递增，且当12
x =
时，15222y =+=，当3x =时，110
333y =+=，
所以1103x x +<，故10
3
t ≥，
故选：D
6.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是
A.6
B.
3
C.4
D.
23
【答案】B 【解析】
【分析】根据2
2x y xy +⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
，将等式转化为不等式，求x y +的最大值.
【详解】()2
2211x y xy x y xy ++=⇒+-=,
2
2x y xy +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭，
()
2
2
12x y x y +⎛⎫∴+-≤ ⎪⎝⎭
，
解得
()2
314x y +≤，x y ≤+≤x y ∴+
故选B.
【点睛】本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型.
7.已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，(2)b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（
）A.c b a << B.b a c
<< C.b c a
<< D.a b c
<<【答案】B 【解析】
【分析】根据题意先求出函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数且关于直线1x =对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.
【详解】∵当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，∴当121x x <<时，()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，∴函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，
∵函数(1)f x +是偶函数，即()()11f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫
=-
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫
<<
⎪⎝⎭
，即1(2)(3)2f f f ⎛⎫
<-< ⎪⎝⎭
，∴b a c <<，
故选：B.
8.幂函数()()
22
25
1m m f x m m x
+-=--在区间()0,∞+上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值
（）
A.恒大于0
B.恒小于0
C.等于0
D.无法判断
【答案】A 【解析】
【分析】由已知条件求出m 的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可【详解】由函数()()
2225
1m m f x m m x
+-=--是幂函数，可得211m m --=，解得2m =或1m =-．
当2m =时，()3
f x x =；当1m =-时，()6
f x x -=．因为函数()f x 在()0,∞+上是单调递增函数，故()3
f x x =．
又0a b +>，所以a b >-，
所以()()()f a f b f b >-=-，则()()0f a f b +>．故选：A ．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（）
A.{}0∅∈
B.集合{|2,Z}{|
Z}2
x
x x n n x =∈=∈C.集合{}{}3,44,3= D.集合22{|}{|}
x y x y y x ===【答案】BC 【解析】
【分析】根据集合间的基本关系逐一判定即可.【详解】解：对于A ，{}0∅⊆，故A 错误；对于B ，由
Z 2x ∈，可得x 为偶数，所以集合{|2,Z}{|Z}2
x
x x n n x =∈=∈，故B 正确；对于C ，集合{}{}3,44,3=，故C 正确；
对于D ，集合2{|}R x y x ==，2{|}{|0}y y x y y ==≥，故D 错误.故选：BC.
10.已知20ax bx c ++>的解集是()2,3-，则下列说法正确的是（）
A.>0
B.不等式2
0cx bx a ++<的解集是11,23⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
C.
1234b b ++的最小值是8
3
D.当2c =时，()2
36f x ax bx =+，[]12,x n n ∈的值域是[]3,1-，则21n n -的取值范围是[]
2,4【答案】BCD 【解析】
【分析】对A ，B ，利用一元二次不等式与相应函数和方程的关系求解判断；对C ，利用基本不等式求最值，对D ，利用二次函数图象与性质，进行分析可得结果.
【详解】对于A ，由题意可知：2,3-是关于x 的方程B 2+B +=0的两个根，且0a <，故A 错误；
对于B ，由题意可知：16b
a
c a
⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得,6b a c a =-=-，0a <.
不等式20cx bx a ++<化为：260ax ax a --+<，由0a <可得2610x x +-<，解得11
23x -
<<，所以不等式20cx bx a ++<的解集为1123⎛⎫- ⎪⎝⎭
，，故B 正确；对于C ，因为=-b a ，0b >，可得
()
12121448
3434343333
b b b b +=++-≥-=++，
当且仅当
()12134343b b =++，即2
3b =时，等号成立，
所以
1234b b ++的最小值是8
3
，故C 正确；对于D ，当2c =时，1
3
b a =-=，
则()2
2
2
362(1)1f x ax bx x x x =+=-+=--+，
当=1时，()f x 取到最大值()11f =，由()3f x =-得，=−1或3x =，
()[]212,36f x ax bx x n n =+∈，的值域是[]3,1-，
因()f x 在[]12,n n 上的最小值为3-，最大值为1，从而得121,13n n =-≤≤或1211,3n n -≤≤=，因此2124n n ≤-≤，故D 正确.故选：BCD.
11.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当>0时，()2
1
f x x x =-+，则下列结论正确的是（）
A.()02f =-
B.
()f x 的单调递增区间为()1,0-，()
1,+∞C.当0x <时，()21f x x x
=+
-D.()0xf x <的解集为()()1,00,1-⋃【答案】BCD 【解析】
【分析】由奇函数()f x 在=0处有定义，可得()00f =，可判断A ；由>0的函数的解析式，结合奇函数的定义可得0x <时的函数解析式，可判断C ；判断>0时的()f x 的单调性，可得0x <时的()f x 的单调性，不等式()0xf x <等价为>0且()0f x <，0x <且()0f x >，结合()()110f f -==，解不等式可判断D ；由()y f x =的图象与=op 的图象特点，结合单调性可判断B.【详解】对于A ，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()00f =，故A 错误；
对于C ，当>0时，()21f x x x =-
+，设0x <，则0x ->，()21f x x x
-=---，又−=−，所以0x <时，()2
1f x x x
=+-，故C 正确；
对于D ，由>0时，()2
1
f x x x =-+，可得1=0，
又y x =和2
1
y x =-+在()0,∞+递增，可得()f x 在()0,∞+递增，
由奇函数的图象关于原点对称，可得()f x 在(),0∞-递增，且()10f -=，所以()0xf x <等价为
>0op <0=o1)或<0
op >0=o −1)
，
解得01x <<或10x -<<，故D 正确；
对于B ，因为()f x 在(),0∞-和()0,∞+上递增，且()()110f f =-=，由()y f x =的图象可看做=op 的图象位于x 轴上方的图象不变，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到，
所以()y f x =的递增区间为()1,0-，1,+∞，故B 正确.故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知a =
，b =，则a ______b ．(填“>”或“<”)【答案】<【解析】
【分析】对,a b 进行分子有理化，然后通过比较分母的大小，从而可得结果.
【详解】
a ==
b ==
，
>0+>，
<
<
所以a b <.
故答案为：<
13.已知()5
3
1
1f x ax bx cx x
=-++
+，且()35f -=-，则()3f =__________.【答案】7【解析】
【分析】根据题意，由函数的解析式可得()()2f x f x -+=，结合()35f -=-即可求解.
【详解】()5
3
1
1f x ax bx cx x
=-++
+，则()()5
3
1()()1f x a x b x c x x ⎛⎫
-=---+-+-
+ ⎪⎝⎭
5311ax bx cx x ⎛
⎫=--+++ ⎪⎝
⎭
则有()()2f x f x -+=，
若()35f -=-，则()()3257.f =--=故答案为：7.14.定义{},min ,=,>a a b a b b a b
≤⎧⎨
⎩，若函数(){}2
min 33,33f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[],m n 上的
值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[],m n 长度的最大值为________.
【答案】74
.
【解析】
【分析】根据定义作出函数()=y f x 的图像,根据函数值域,求出对应点的坐标,利用数形结合进行判断即可.【详解】根据定义作出函数()=y f x 的图像如图:(实线部分的曲线).
其中()()1,13,3A B 、,即2
3|3|,13
()=3+3,1<<3x x x f x x x x --≤≥-⎧⎨⎩
或.当()34f x =
时,当1x ≤或3x ≥时,由3334x --=,解得：34C x =或21
4G x =;当()74f x =时,当13x <<时,由2
7334x x -+=解得：52
E x =.
由图像知,若函数()f x 在区间[],m n 上的值域为37,44⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，则区间[],m n 长度的最大值为
537244E C x x -=
-=.故答案为：
7
4四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(1)
计算：111
224127()10()()20024-+⨯⨯（2）已知
112
2
3x x
-+=，求2212
2x x x x --+-+-的值.
【答案】（1）25；（2）9.【解析】
【分析】（1）（2）利用指数性质、运算法则直接求解.【详解】（1
）原式131
144
221103(1)151025.2
++=+⨯⨯-=+-+=（2）由
1
12
2
3x x
-+=，得129x x -++=，则17x x -+=，22
47x x -+=，
所以221
24729272
x x x x --+--==+--.16.若关于x 的不等式2310ax x +->的解集是112A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭
.
（1）求a 的值；
（2）设集合=2<<1−，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）−2（2）0m ≤【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用根与系数的关系，即可求得答案；
（2）由题意可得A B ⊆，由此列不等式求解，即得答案.【小问1详解】
因为关于x 的不等式2310ax x +->的解集是112x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
，故2310ax x +-=的两根为1
,12
，且0a <，故
11
122a a
⨯=-⇒=-；【小问2详解】
由题意集合{}
21B x m x m =<<-，“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，故A B ⊆，由于112A x
x ⎧⎫
=<<⎨⎬⎩⎭
，故B 不为空集，则1221121m m m m ⎧
≤⎪⎪
-≥⎨⎪<-⎪⎩
，解得0m ≤.17.函数()2
9x x ax f b
--=
是定义在区间()3,3-上的奇函数，且()11.4
f =（1）确定()f x 的解析式，并用定义证明()f x 在区间()3,3-上的单调性;（2）解关于t 的不等式()()10.f t f t -+<【答案】（1）()2
29x
f x x =-；证明见解析（2）12,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭
【解析】
【分析】（1）利用函数在()3,3-上有定义且为奇函数，则()00f =，求出b 的值，再由()1
14
f =求出a 的值，即可确定()f x 的解析式；直接利用定义法证明函数()f x 在()3,3-上的单调性；
（2）由奇函数的性质知()()1f t f t -<-，由函数单调性得313331t t t t -<-<⎧⎪
-<<⎨⎪-<-⎩
，求解即可.
【小问1详解】
根据题意，函数()2
9ax b
f x x -=-是定义在()3,3-上的奇函数，则()009b
f -=
=，解可得0b =；又由()114f =，则有()1184a f ==，解可得2a =，则()2
29x
f x x
=-，又()()
()2
2
2299x x
f x f x x x --==-
=----，符合题意，
故()2
29x
f x x
=
-.设1233x x -<<<，
则()()()()
()()
2
2122112
122222
1212
2929229999x x x x x x f x f x x x x x ----=-=----()()
(
)()
121222
12
2999x x x x x x +-=
--，
又由1233x x -<<<，
则1290x x +>，120x x -<，2190x ->，2
290x ->，
则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，则函数()f x 在()3,3-上为增函数；【小问2详解】
由（1）知()f x 为奇函数且在()3,3-上为增函数.
则()()()()101f t f t f t f t -+<⇒-<-()()1f t f t ⇒-<-，
故313
331t t t t
-<-<⎧⎪
-<<⎨⎪-<-⎩
，解可得：122t -<<，
即不等式的解集为12,
2⎛⎫- ⎪⎝
⎭
.18.某机床厂今年年初用100万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用.已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和t （单位：万元）与使用时间x （*,20x x ∈≤N ，单位：年）之间满足函数关系式为：228.t x x =+该机床每年的生产总收入为50万元.设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）.
（1）写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）？
（3）该机床使用过程中，已知年平均折旧率为4%（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）.现对该机床的处理方案有两种：
第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出.研究一下哪种处理方案较为合理?请说明理由.
（参考数据：70.960.751≈，80.960.721≈，90.960.693≈，100.960.665≈）【答案】（1）2242100y x x =-+-，(
)
*
,20x x ∈≤N （2）第3年（3）选第一方案较为合理，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，得到y 与x 之间的函数关系式；（2）令0y >，解一元二次不等式即可；
（3）利用二次函数求最值，求出第一方案总获利，由100100242422y x x x x x ⎛
⎫=-+-=-+ ⎪⎝
⎭，利用函数单调性求出第二方案总获利，再比较即可.【小问1详解】
由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和t 与使用时间x 之间的函数关系式为228t x x =+，且该机床每年的生产总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元，
可得y 与x 之间的函数关系式()
225028100242100y x x x x x =-+-=-+-，()
*
,20x x ∈≤N ；
【小问2详解】
由（1）知：2242100y x x =-+-，(
)
*
,20x x ∈≤N ，令0y >，可得22421000x x -+->，解得
2124121241
22
x -+<<
，
因为1516<<，所以
521322-<<，2137
18.22
+<<因为*x ∈N ，所以318x ≤≤且*x ∈N ，故从第3年开始盈利.
【小问3详解】
由（1）知2242100y x x =-+-，(
)
*
,20x x ∈≤N ，因为2
2212412421002()22
y x x x =-+-=--
+，所以当10x =或11x =时，营利额达到最大值为120万元，使用10年后机床剩余价值为：10100(14%)66.5-≈（万元），所以按第一方案处理，总获利为12066.5186.5+=（万元）；又由
100100242422y x x x x x ⎛
⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭
，令()100422h x x x ⎛
⎫
=-+
⎪⎝
⎭
，()020x <≤，12020x x ∀<<≤，则()()()()12121212121250100100222x x x x h x h x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫
-=-+++=- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭，
当120x x <<<时，12120,500x x x x -<-<，则()()120h x h x -<，即()()12h x h x <，因此可得ℎ
在(
上单调递增；
1220x x <<≤时，12120,500x x x x -<->，则()()120h x h x ->，即()()12h x h x >，因此可得ℎ
20⎤⎦上单调递减；
又78<<，当7x =时，年平均盈利为
967万元，当8x =时，年平均盈利为27
2
万元，又
9627
72
>，所以当第7年时，年平均盈利额达到最大值，此时机床剩余价值为：7100(14%)75.1-≈（万元），所以按第二方案处理，总获利为
96
775.1171.17
⨯+=（万元）.由于186.5171.1>，则选第一方案较为合理.【点睛】方法点睛：解答函数应用题的一般步骤：
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
19.定义：对于定义在区间I 上的函数()f x 和正数(01)αα<≤，若存在正数M ，使不等式
()()1212|f x f x M x x |α-≤-对任意1x ，2x I ∈恒成立，则称函数()f x 在区间I 上满足α阶李普希兹条
件.
（1）判断函数y x =，3y x =在R 上是否满足1阶李普希兹条件;
（2）证明函数y =
在区间[)1,+∞上满足
1
2
阶李普希兹条件，并求出M 的取值范围;
（3）若函数y =
[)1,+∞上满足α阶李普希兹条件，求α的范围.
【答案】（1）y x =满足1阶李普希兹条件，3y x =不满足1阶李普希兹条件.（2）证明见解析，1M ≥（3）
1
12
α≤≤.【解析】
【分析】（1）结合题意根据1阶李普希兹条件的含义即可求解；（2）结合已知条件以及题干定义即可求解.
（3）分情况讨论α的取值范围结合定义从而即可求解.【小问1详解】
y x =满足1阶李普希兹条件，3y x =不满足1阶李普希兹条件.
理由：对于y x =，
1212||||x x M x x -≤-，只需1M ≥，
所以存在正数1M ≥，对任意1x ，2R x ∈使()()1212f x f x M x x -≤-成立，所以y x =满足1阶李普希兹条件；对于3y x =，
33
1212||||x x M x x -≤-，不妨设12x x >，则≥1
2
+12+2
2
=1+2
2
−12>()2
1234
x x +，
()[)2
12304
y x x ∞=
+∈+，
，即不存在正数M ，使不等式()()1212f x f x M x x -≤-对任意1x ，2x I ∈恒成立，
所以3y x =不满足1阶李普希兹条件.【小问2详解】
证明：不妨设121x x >≥，()(
)12f x f x ∴-=
()()
(
)
(
)
()1212
2
12120,1f x f x x x x x -∴
=
--，
故1M ≥时，对1x ∀，[)21,x ∈+∞，均有()()1
21212()f x f x M x
x -≤-，
故函数y =
在区间[)1,+∞上满足
1
2
阶李普希兹条件，1M ≥；【小问3详解】①首先证明1
02
α<<时不成立，假设函数y =在区间[)1+∞，
上满足1
(02αα<<阶李普希兹条件，
12()M x x α≤-，令1
24x x =
，则有22(4)M x x α-
≤-，
即1
22221.3
M x α-≥>=取()2
12231x M α
-=+，则1221133
x M α-=+，则13M M >+，矛盾，所以假设不成立.
②然后证明
1
12
α≤≤时成立，不妨设12121(x x x x >≥=时显然成立)，令2
12(1)x k x k =>，
(
)(
)(121f x f x k ∴-==-()
22122221x x k x x k x ∴-
=-=-；
要证函数y =
在区间[
)1,∞+上满足112αα⎛⎫
≤≤
⎪⎝⎭
阶李普希兹条件，只需证存在正数M
12()M x x α≤
-成立，
即证(2
2
1(1)k M k x α
α
--，又122
2211(1)(1)k k x k k ααα
---
≤--，当(
k ∈时，22
(1)1k k α-≥-，所以2
2111
1(1)11
k k k k k α--≤=<
--+；当)
2k ∈
时，1222(1)(1)k k α-
≥-
，所以211(1)k k α-≤=<-；当[)2,k ∞∈+时，12
1(1)(1)1(1)(1)(1)
k k k k k k αα
ααα
----=≤<-++，
故取1
M≥，不等式即可成立.
综上，α的取值范围为1 1. 2
α
≤≤
【点睛】难点点睛：本题考查函数新定义问题，难度大.解答时要根据题目所给α阶李普希兹条件的定义分析所给函数的结合不等式分析可解答.。