初三暑假思维训练3——新定义

图1
图2
图3
①请分别在图 2，图 3 中用阴影标出一个面积为 M2，P2 的图形；
②借助图形可知当 a，b 都是正数时，M，N，P 的大小关系是：
（把
M，N，P 从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．
1
2. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于两点 A，B，给出如下定义：以线段 AB
y
6
5D
C
为边的正方形称为点 A，B 的“确定正方形”．如图 1 为点 A，B 的“确定
暑假思维训练 3——新定义
姓名_____________ 班级_________
1．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过 网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数 a，b， M = a + b 称为 a，b 这两个数的算术平均数， 2 N = ab 称为 a，b 这两个数的几何平均数，
的式子表示）；
6
7．定义：对于给定的一次函数
y
=
ax
+
b
（a
≠
0），把形如
y y
= =
上一动点，当点 O，M 的“确定正方形”的面积最小，且最 小面积为 1 时，求 b 的值．
y
6 5 4 3 2 1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 6 x –1 –2 –3 –4
（3）已知点 E 在以边长为 2 的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交
点为 P（m，0），点 F 在直线 y = −x − 2 上，若要使所有点 E，F 的“确定正方形”的
4
5．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 (x1,y1) ，点 Q 的坐标为 (x2,y2 ) ，且 x1 x2,y1 y2 ．给出如下定义：如果线段 PQ 是某个周长为 t 的矩形的一条对角 线，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，那么称点 P 和点 Q 互为“t 阶矩形点”． 如图，点 P（1，1）和点 Q（3，2）互为“6 阶矩形点”．
P = a2 + b2 称为 a，b 这两个数的平方平均数． 2
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： （1）若 a = -1，b = -2，则 M = ，N = ，P = ； （2）小聪发现当 a，b 两数异号时，在实数范围内 N 没有意义，所以决定只研究当 a，b
都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选 择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为 a+b 的正方形和它的两条对角线，则图 1 中阴影部分的面积可以 表示 N2．
面积都不小于 2，直接写出 m 的取值范围．
2
3． 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P，如果点 Q 满足条件：以线段 PQ 为对角线的正方
形，且正方形的边分别与 x 轴，y 轴平行，那么称点 Q 为点 P 的“和谐点”，如图所示． 已知点 D（-1，2），E（1，2），F（-1，-2）． （1）已知点 A 的坐标是（2，1）．
（1）在点 A（1，3），B（2，-2），C（3，2）中，与点 O 互为“8 阶矩形点”的点是 _________；
（2）若第一象限内有一点 N 与点 O 互为“8 阶矩形点”，求线段 ON 长度的最小值； （3）若点 M 在直线 y = x 上，且与点 M 互为“10 阶矩形点”的点中恰有 2 个点与点 O
4
3
正方形”的示意图．
2
1A
B
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 6 7 x –1
–2
–3
–4
图1
（1）如果点 C 的坐标为（0，1），点 D 的坐标为（2，1），画出
点 C，D 的一个“确定正方形”，这个正方形的面积是
；
（2）已知点 O 的坐标为（0，0），点 M 为直线 y = x + b （b >0）
线段 PQ 的“ P − 等长点”.
如图 1，已知点 A(1，0) ， B (0，2) .
（1）在点 R1 (2，0) ， R2 (−1，0) ， R3 (1，-1) 中，线段 AO 的“ A − 等长点”为
；
（2）若直线 y = x + b 上存在线段 BO 的“ B − 等长点”，求 b 的取值范围；
互为“8 阶矩形点”，记点 M 的横坐标为 m，请直接写出 m 的取值范围．
5
6. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M 和点 P，给出如下定义：将图形 M 绕点 P 顺时针 旋转 90°得到图形 N，图形 N 称为图形 M 关于点 P 的“垂直图形”.例如，图 1 中点 D 为点 C 关于点 P 的“垂直图形”．
图1
备用图
（1）点 A 关于原点 O 的“垂直图形”为点 B． ①若点 A 的坐标为（0，2），则点 B 的坐标为________； ②若点 B 的坐标为（2，1），则点 A 的坐标为________．
（2）E（-3，3），F（a，0）．点 E 关于点 F 的“垂直图形”记为 E ，求点 E 的坐标（用含 a
①在 D，E，F 中，是点 A 的“和谐点”的是
．
②已知点 B 的坐标为（0，b），如果点 B 为点 A 的“和谐点”，求 b 的值；
（2）已知点 C（m，0），如果线段 DE 上存在一个点 M，使得点 M 是点 C 的“和谐点”，直
接写出 m 的取值范围．
y Q
P
O
x
3
4．对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 PQ 与点 R，给出如下定义：若 PR = PQ ，则称点 R 为
2B
1
–4 –3 –2 –1 O
–1
A 1 2 3 4x
1
–4 –3 –2 –1 O
–1
A 1 2 3 4x
–2
–2
–3
–3
–4
–4
图1
y
4
3
2B
1
–4 –3 –2 –1 O
–1
A 1 2 3 4x
–2
–3
–4
备用图
y
4
3
2B
1
–4 –3 –2 –1 O
–1
A 1 2 3 4x
–2
–3
–4
备用图
备用图
（3）连Байду номын сангаас AB，
①若第一象限内的点 R 是线段 BA 的“ B − 等长点”，且△ABR 是直角三角形，
则点 R 的坐标为
；
②矩形 CDEF 中，DE=2， C (t,1) ， D(t +1,1) ，若矩形 CDEF 上存在线段 BA
的“ B − 等长点”，直接写出 t 的取值范围．
y
y
4
4
3
3
2B