2019_2020学年高中数学质量检测1北师大版必修2

13．如图，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 1，则四棱锥 A1－BB1D1D 的体积为________．
[解析] 连接 A1C1，交 B1D1 于点 O，很明显 A1C1⊥平面 BDD1B1，则 A1O 是四棱锥的高，且 1 A1O＝ A1C1 2
1 ＝
12＋12＝
2
2
2
S 四边形 BDD B ＝BD×DD1＝ 2×1＝ 2 11
11
21
结合四棱锥体积公式可得其体积为：V＝ Sh＝ × 2× ＝ .
33
23
1 [答案]
3
14．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN 等于________．
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[解析] 因为 C1B1⊥平面 ABB1A1，MN平面 ABB1A1，所以 C1B1⊥MN. 又因为 MN⊥MB1，MB1，C1B1平面 C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以 MN⊥平面 C1MB1 所以 MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°. [答案] 90°
[解析] 如图，连接 OA，OB.
由 SA＝AC，SB＝BC，SC 为球 O 的直径，知 OA⊥SC，OB⊥SC. 由平面 SCA⊥平面 SCB，平面 SCA∩平面 SCB＝SC，OA⊥SC，知 OA⊥平面 SCB. 设球 O 的半径为 r，则 OA＝OB＝r，SC＝2r
6
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1
1 SC·OB
125 3π
28π
A．8π B.
C．9π D.
54
3
[解析] 因为正三棱柱 ABC－DEF 的主视图是边长为 3的正方形，所以正三棱柱的高是
4
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3，底面正三角形的高也是 3.设它的外接球的球心为 O，半径为 R，底面△ABC 的中心为 G，
3
2
所以△OGA 是直角三角形，OG 是高的一半，所以 OG＝ ，GA 是正三角形 ABC 的高的 ，所
求证：(1)MN∥平面 CC1D1D； (2)平面 MNP∥平面 CC1D1D. [证明] (1)如图，连接 AC，CD1.
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因为 ABCD 为正方形，N 为 BD 的中点，所以 N 为 AC 的中点． 又 M 为 AD1 的中点，所以 MN∥CD1. 因为 MN⊄ 平面 CC1D1D，CD1平面 CC1D1D， 所以 MN∥平面 CC1D1D. (2)连接 BC1，C1D， 因为 B1BCC1 为正方形，P 为 B1C 的中点，所以 P 为 BC1 的中点． 又 N 为 BD 的中点，所以 PN∥C1D. 因为 PN ⊆/ 平面 CC1D1D，C1D平面 CC1D1D， 所以 PN∥平面 CC1D1D. 由(1)知 MN∥平面 CC1D1D，且 MN∩PN＝N， 所以平面 MNP∥平面 CC1D1D. 20. (本小题满分 12 分)如图，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB ＝BC＝2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点．
a2－1a2＝
6 a，∴正四面体的体积为
33
V＝1Sh＝1× 3a2× 6a＝ 2a3，故答案为 3a2， 2a3.
3 3 4 3 12
12
[答案]
3a2 2a3 12
16．已知三棱锥 S－ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径．若平面 SCA
⊥平面 SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥 S－ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为________．
r3
∴三棱锥 S－ABC 的体积 V＝ × 2
·OA＝
r3 即 ＝9，∴r＝3，∴S
球表＝4πr2
3
33
＝36π.
[答案] 36π
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径
2
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[答案] D 8．如图所示，将等腰直角△ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成一个二面角，此时∠B′AC＝ 60°，那么这个二面角大小是( )
A．90° B．60° C．45° D．30° [解析] 如图，连接 B′C，则△AB′C 为等边三角形，设 AD＝a，
则 B′D＝DC＝a，B′C＝AC＝ 2a，所以∠B′DC＝90°. [答案] A 9．已知互相垂直的平面α、β交于直线 l.若直线 m、n 满足 m∥α，n⊥β，则( ) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n [解析] 选项 A，只有当 m∥β或 mβ时，m∥l；选项 B，只有当 m⊥β时，m∥n；选 项 C，由于 lβ，∴n⊥l；选项 D，只有当 m∥β或 mβ时，m⊥n，故选 C. [答案] C 10．已知 A，B，C，D 是空间不共面的四个点，且 AB⊥CD，AD⊥BC，则直线 BD 与 AC( ) A．垂直 B．平行
果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
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[解] 因为 V 半球＝1×4πR3＝1×4×π×43≈134(cm3)
23
23
V 圆锥＝1πr2h＝1π×42×12≈201(cm3)
3
3
134<201，所以 V 半球<V 圆锥 所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．
19．(本小题满分 12 分) 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N，P 分别是 AD1，BD， B1C 的中点.
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质量检测(一)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的)
3
精品文档，欢迎下载！ C．相交 D．位置关系不确定 [解析] 过点 A 作 AO⊥平面 BCD，垂足为 O，连接 BO
∵AB⊥CD，由三垂线定理可得 BO⊥CD. 同理 DO⊥BC，∴O 为△ABC 的垂心 所以 CO⊥BD，BD⊥AO，CO∩AO＝O，∴BD⊥平面 ADC，所以 BD⊥AC.故选 A. [答案] A 11．设 a，b 是异面直线，则以下四个结论：①存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相垂 直的平面；②存在分别经过直线 a 和 b 的两个平行平面；③经过直线 a 有且只有一个平面垂 直于直线 b；④经过直线 a 有且只有一个平面平行于直线 b.其中正确的个数有( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析] 对于①，可在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时， 可判断①正确；对于②，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可 判断②正确；对于③，当这两条直线不垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误； 对于④，假设过直线 a 有两个平面α，β与直线 b 平行，则面α，β相交于直线 a，过直线 b 做一平面γ与面α，β相交于两条直线 m，n 都与直线 b 平行，可得 a 与 b 平行，所以假 设不成立，所以④正确，故选 C. [答案] C 12．如图，一个正三棱柱的主视图是边长为 3的正方形，则它的外接球的体积等于 ()
所以 DE⊥平面 ABC
1
1
所以三棱锥 E－BCD 的体积 V＝ BD·DC·DE＝ .
6
3
21. (本小题满分 12 分)如图所示，有一块扇形铁皮 OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，
要剪下来一个扇形环 ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形 OCD 内剪下一块与其相
(1)求证：PA⊥BD； (2)求证：平面 BDE⊥平面 PAC； (3)当 PA∥平面 BDE 时，求三棱锥 E－BCD 的体积． [解] (1)证明：因为 PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以 PA⊥平面 ABC.
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又因为 BD平面 ABC
所以 PA⊥BD.
(2)证明：因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点，所以 BD⊥AC.
为 2，求球的体积．
[解] 如图所示，作出轴截面
1 因为△ABC 是正三角形，所以 CD＝ AC＝2
2
3 所以 AC＝4，AD＝ ×4＝2 3
2
23 所以 R＝ .
3
23
所以 V 球＝4πR3＝4π·
3
3＝32
3π .
3
3
27
32 3π
所以球的体积等于
.
27
18. (本小题满分 12 分)如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )
A．60 B．30 C．20 D．10 [解析] 由三视图画出如图所示的三棱锥 P－ACD，过点 P 作 PB⊥平面 ACD 于点 B，连 接 BA，BD，BC，根据三视图可知底面 ABCD 是矩形，AD＝5，CD＝3，PB＝4，所以 V 三棱锥 P－ACD 11 ＝ × ×3×5×4＝10.故选 D. 32
1 Sh
[解析] V1∶V2＝(Sh)∶ 3 ＝3∶1. [答案] D 6.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积为( )
A．6
B．3 2
C．6 2
D．12
1 [解析] △OAB 是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠AOB＝90°，∴S△OAB＝ ×6×4＝12.
2
[答案] D
2
3
2 以 GA＝
3 .在△OAG
中由勾股定理得
R2＝OG2＋GA2，解得
R2＝25.
3
12
5
4 所以球的体积为 V＝ ×π× 2
3 3＝125
3π .故选 B.
3
54
[答案] B
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)
由(1)知，PA⊥BD，PA∩AC＝A，
所以 BD⊥平面 PAC，又 BD平面 BDE，
所以平面 BDE⊥平面 PAC.
(3)因为 PA∥平面 BDE，平面 PAC∩平面 BDE＝DE
所以 PA∥DE.
因为 D 为 AC 的中点
1 所以 DE＝ PA＝1，BD＝DC＝ 2.
2
由(1)知，PA⊥平面 ABC
1
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C 项，若 m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则 m∥β，故错误； D 项，假设 m、n 垂直于同一平面，则必有 m∥n，所以原命题正确，故 D 项正确． [答案] D 5．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 V1和 V2，则 V1∶V2＝( ) A．1∶3 B．1∶1 C．2∶1 D．3∶1
Байду номын сангаас
15．棱长为 a 的正四面体的全面积为________，体积为________.
[解析]
因为正四面体的棱长为 a，所以正四面体的底面积为 S＝1a2×
3 ＝
3a2，正四
2 24
面体的表面积为 S＝4×
3a2＝
3a2，正四面体的底面外接圆半径为 r＝
32 a× ＝
3 a，∴正
4
2 33
四面体的高为 h＝ a2－r2＝
1．以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧 面积等于( )
A．2π B．π C．2 D．1 [解析] 所得旋转体是底面半径为 1，高为 1 的圆柱，其侧面积 S 侧＝2πRh＝2π×1×1 ＝2π. [答案] A 2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线 () A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 [解析] 当直尺垂直于地面时，A 不对；当直尺平行于地面时，C 不对；当直尺位于地 面上时，D 不对． [答案] B 3．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是 ( ) A．1∶1 B．2∶1 C．3∶2 D．4∶3 [解析] ∵圆柱的底面直径与高都等于球的直径，设球的直径为 2R，则圆柱的全面积 S1＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，球的表面积 S2＝4πR2，∴S1＝3.
S2 2 [答案] C 4．已知 m、n 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若 m、n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C．若α、β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若 m、n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 [解析] A 项，α、β可能相交，故错误； B 项，直线 m、n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；