《勾股定理》PPT课件(第1课时)-人教版八年级数学下册PPT课件

解:当高AD在△ABC内部时，如图①． 在Rt△ABD中, 由勾股定理, 得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162, ∴BD＝16 ． 在Rt△ACD中, 由勾股定理, 得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81, ∴CD＝9． ∴BC＝BD＋CD＝25, ∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60．
AB C
等腰三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方, 即
一直角边2 + 另一直角边2 = 斜边2
问题3:在网格中的一般的直角三角形, 如下图, 以它的三边为边长的三个 正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系?观察下边两幅图(每个小正方形 的面积为单位1):
C A
B
C A
B
这两幅图中小正方 A，B的面积都容 易求, 那么该怎 样求正方形C的面 积呢?
a b
ac b
b ca
cb a
证明: ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab，
S大正方形= 4S直角三角形+ S小正方形 =4× 1 ab+c2 2 =c2+2ab，
∴a2+b2+2ab=c2+2ab,
∴a2 +b2 =c2．
证法3: 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”．
如图, 图中的三个三角形都是直角三角形, 求证:a2 + b2 = c2． a
(2)据勾股定理得
b c2 a2 22 1＝4, AC＝3, 求BC的长．
解:本题斜边不确定, 需分类讨论:
当AB为斜边时, 如图, BC 42 32 7;
当BC为斜边时, 如图,
B 4
3 C 图 A
BC 42 32 5. B
4
A
3 图
C
归纳:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时, 其中一较长边可能是直角边, 也可能是斜边, 这种情况下一
为
．
8 cm
10 cm
4．在△ABC中, ∠C=90°．
（1）若a=15, b=8, 则c= 17
．
（2）若c=13, b=12, 则a= 5
．
（3）若BC=11, AB=61, 则AC=6_0______.
5．在△ABC中, ∠C=90°, ∠A, ∠B, ∠C的对边分 别为a, b, c, 若c﹣a=4, b=12, 求a, c.
SC
4
1 2
4 3
11
25
你还有其他 办法求C的 面积吗?
根据前面求出的C的面积直接填出下表:
C A
B
C A
B
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
SA+SB=SC
思考： 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎 样的特殊关系?
由前面的探索可以发现:对于任意的直角三角形, 如果它的两条直角 边分别为a、b, 斜边为c, 那么一定有 a2+b2=c2．
随堂训练
1.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ C ）
A.12
B.7＋ 7
C.12或7+ 7
D.以上都不对
2．三角形的两边长为6和8, 要使这个三角形为直角三角形, 则
第三边长为(D )
A．9
B．10
C．2 或9
D．2 或
10
3．图中阴影部分是一个正方形, 则此正方形的面积 36 cm²
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方．
B
几何语言:
∵在Rt△ABC中 , ∠C=90°, ∴a2+b2=c2（勾股定理）．
a
c
∟
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关 系．
Cb A
赵爽弦图
c b
a b-a
证明: S大正方形＝c2,
S小正方形＝(b-a)2,
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形,
解:在△ABC中, ∠C=90°, ∴a2+b2=c2 ． ∵c﹣a=4, b=12, ∴c=a+4, ∴a2+122=（a+4）2 ． ∴a=16, ∴c=20, 即a=16, c=20．
6． 在△ABC中, AB＝20, AC＝15, AD为BC边上的高, 且 AD＝12, 求△ABC的周长.
第 十七章 勾股定理
第十七章 勾股定理
17．1勾股定理
第一课时
学习目标
1 能说出勾股定理的内容, 会用面积法来证明勾股定理． （重点） 2 会用勾股定理进行简单的计算． (难点）
新课导入
问题引入
问题: 国际数学大会是最高水平的全球性数学学科学术会议, 被誉 为数学界的“奥运会”．2002年在北京召开了第24界国际数学家大 会．下图就是大会会徽的图案．你见过这个图案吗?它由哪些我们 学过的基本图形组成?这个图案有什么特别的含义?
即 c2=4×12 ab+(b-a)2, c2=2ab+a2-2ab+b2，
所以 a2+b2=c2.
温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法.
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明 才智, 它是我国古代数学的骄傲．因为, 这个图案被选为 2002年在北京召开的国际数学大会的会徽．
证法2 : 毕达哥拉斯证法, 将四个全等的直角三角形按图示 进行拼图, 然后分析其面积关系后证明．
方法1:补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上 的正方形）:
C A
B
C A
B
左图: 右图:
SC
55
4
1 2
2
3
13
SC
77
4
1 2
4 3
25
方法2:分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积 的三角形和四边形）:
C A
B
C A
B
左图: 右图:
SC
4
1 2
2 3
11 13
定要进行分类讨论, 否则容易丢解．
例3 已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4． 求CD的长．
解:由勾股定理可得,
A
AB2=AC2+BC2=25,
即 AB=5．
D 3
根据三角形面积公式,
∴ ∴
1
C2DA=C1×52B．C=
1 2
AB×CD．
C
4
B
方法总结: 由直角三角形的面积公式可知直角三角形两直角边 的积等于斜边与斜边上高的积．
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 ab 2
1 ab 2
1 c2, 2
c a
∴a2 + b2 = c2．
b
★ 利用勾股定理进行计算
例1 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°．
（1）若a=b=5，求c；
B
（2）若a=1，c=2，求b．
解： (1)据勾股定理得
C
A
c a2 b2 52 52 50 5 2;
知识讲解
★ 勾股定理的认识及验证
相传2500多年前, 毕达哥拉斯有一次在朋友家做客, 发现他 朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）:
问题1: 正方形A、B、C的面积有什么关系?
小正方形A、B的面积之和等于大正方形C的 面积, 即
S正方形A S正方形B S正方形C
AB C
问题2 : 图中由正方形A、B、C的边长构成的等腰直角三角形 三边之间有怎样的特殊关系?