数学北师大版高中选修2-2导数在实际生活中的应用

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例3 饮料瓶大小对饮料公司 利润的影响 1 你是否注意过,市场上等量的小包装的 物品 一般比大包装的贵些 ? 你想从数学上知道它的 道理吗? 2是不是饮料瓶越大 , 饮料公司的利润越大 ? 背景知识 某制造商制造并出售球形瓶 装的 某种饮料 .瓶子的制造成本是 0.8πr 2分, 其中r 是 瓶子的半径,单位是厘米 .已知每出售 1 mL 的饮 料,制造商可获利 0.2分,且制造商能制作的瓶子 最大半径为6cm. 问题 1 瓶子半径多大时 ,能使每瓶饮料的利 润最大? 2019/2/23 17 2 瓶子半径多大时 , 每瓶饮料利润最小 ?
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
最值是相对函数定义域整体而言的.
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值的步骤: (1)求f(x)在区间[a,b]内极值； (极大值或极小值) (2) 将 y=f(x) 的各极值与 f(a) 、 f(b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的
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1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC ， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 0 1 2 3 3 60 h 2b)h ( h b)h ① ∴ S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
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解：⑴P(x) = R(x) – C(x) = – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x2 + 60x +3275 (其中 xN 且 x[1, 20]). ⑵∵ P( x ) = – 30x2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) ∴当 1< x < 12 时, P( x ) > 0, P(x)单调递增, 当 12 <x < 20 时, P( x ) < 0 , P ( x ) 单调递减. ∴ x = 12 时, P(x)取最大值,即年建造 12 艘船时, 公司 造船的年利润最大. ⑶由 MP(x ) = – 30( x – 1) 2 + 3305 (xN 且 x[1, 20]). ∴当 1< x ≤ 20 时，MP (x)单调递减. MP (x)是减函数说明:随着产量的增加,每艘利润与前一 台比较,利润在减少.
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
60 x 解法一：设箱底边长为xcm，则箱高 h cm， 2 2 3 60 x x (0 x 60) V ( x) x 2 h 2
令 V ( x) 60 x 并求得
3x 得箱子容积 V ( x) 60 x 2 2

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训练 4: A 、 B 两村距输电线（直线）分别为 1km 和 1.5km （如图） ， CD 长 3 km . . 现两村合用一台变压器供电 . 问变压器设在 何处,输电线总长 AE BE 最小. 解 设 x 如图，并设输电线总长为 L( x) .
则有 L( x ) AE EB x 2 1 (3 x )2 1.52 , 0 ≤ x ≤ 3.
② 半径为6cm时,利润最大 .
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y 换一个角度 : 如果 我 们不用导 数工具 ,直接 从函数的图象 (图 r3 2 1.4 4)上观察,你有什么发现 ? f r 0.8π 3 r 从 图象上容 易看出 ,当 r 3 时, f 3 0, 即瓶子半径是 3cm 时, 2 3 o r 饮料的利润与饮料瓶的 成本恰 好相等;当r 3 时,利润才为正值 . 当r 0,2时, f r 是减函数 ,你能 图1.4 4 解释它的实际意义吗 ? 通过此问题的解决 , 我们很容易回答开始时 的问 题.请同学们自己作出回答 .
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练习 3.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在 确定断面尺寸时， 希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时，使得湿周 l= AB+ BC+ CD 最小，这样可使水流 阻力小，渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b.
E A
D 600
分析:设法把湿周l 求出来,这是关键
B
h b C
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知识回顾：
1、最值的概念(最大值与最小值) 如果在函数定义域I内存在x0,使得对任 意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函 数f(x)在定义域上的最大值； 如果在函数定义域I内存在x0,使得对任 意的x∈I,总有f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函 数f(x)在定义域上的最小值.


即半径越大 ,利润越高 ;半径r 2时, f ' r 0,它表 示f r 单调递减 ,即半径越大 ,利润越低 . ①半径为2cm时, 利润最小 , 这时 f 2 0, 表示此种 瓶内饮料的利润还不够 瓶子成本 ,此时利润是负值 .
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当r 0,2时, f ' r 0;当r 2,6时, f ' r 0. ' 因此,当半径 r 2时, f r 0,它表示 f r 单调递增 ,
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练习：5 某造船公司年最高造船量是 20 艘. 已知造船 x 艘的产值函数 2 3 R( x)=3700x + 45x –10x (单位：万元), 成本函数为 C( x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数 f(x) 的边 际函数 Mf (x) 定义为: Mf (x) = f ( x+1) – f ( x). 求: （提示：利润 = 产值 – 成本） (1)利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP( x); (2)年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大? (3) 边际利润函数 MP( x) 的单调递减区间, 并说明单调递减 在本题中的实际意义是什么？
L( x ) x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 (3 x )2 1.52 x2 1 0,
x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 , 1.25 x 2 6 x 9 0. 解得 x 1.2 和 x 6 (舍去). 答： ……
一个为最小值． 注意：若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大
值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数
f(x) 在区间 [a,b] 内的最大值 ( 或最小值 ) ． 2019/2/23
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
新课引入:
导数在实际生活中有着广泛的应 用,利用导数求最值的方法,可以求出 实际生活中的某些最值问题. 1.几何方面的应用(面积和体积等的最值) 2.物理方面的应用. (功和功率等最值) 3.经济学方面的应用 (利润方面最值)
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导数在实际生活中的应用
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
例：在边长为60 cm的正方形铁片的 四角切去相等的正方形，再把它的边 沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的 方底箱子，箱底的边长是多少时，箱 子的容积最大？最大容积是多少？
x
x
60
x
x
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3 (16 12x x3 ) 2
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
求导数
3 2 V `(x) (12 3x ) 2
令V`（x）=0 解得 x=-2 (不合题意,舍去),x=2 当 1＜x＜2 时 V`（x）＞ 0 ，V（x）为增函数 当 2＜x＜4 时 V`（x）＜0 V（x） 为减函数 所以 当 x=2时V（x）最大 答：当OO1为2m时帐篷的体积最大
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训练 4: A 、 B 两村距输电线（直线）分别为 1km 和 1.5km （如图） ， CD 长 3 km . . 现两村合用一台变压器供电 . 问变压器设在 何处,输电线总长 AE BE 最小.
分析:
法一:这是一个几 何最值问题,本题 A 可用对称性技巧获 得解决. 法二:只要能把 AE+BE代数化,问题就易解决
由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）
3 ( x 1) 8 2 x x
2 2
2
于是底面正六形的面积为（单位：m2）
帐篷的体积为（单位：m3）
3 3 3 2 2 2 6 ( 8 2x x ) (8 2 x x ) 4 2
1 33 3 3 2 2 (8 2 x x ) 1 (8 2 x x ) ( x 1) V（ x ） = 2 3 2
高考链接（２００６年江苏卷）
请你设计一个帐篷，它的下部的形状是
高为１m的正六棱柱，上部的形状是侧 棱长为３m的正六棱锥，试问：当帐篷 的顶点O到底面中心O1的距离为多少时， O 帐篷的体积最大？
O1
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
解:设OO1为x m，则1＜x＜4
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已知:某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为
C 100 4q
, 价格p与产量q的函数关系式为
1 p 25 q 8 求产量 q 为何值时，利润 L 最大？ 1 解：利润L pq C (25 q)q (100 4q) 8
1 2 q 21q 100 8 1 L &4 4
我行 我能 我要成功 我能成功
例：圆柱形金属饮料罐的容积一定时， 它的高与底的半径应怎样选取，才能 使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则 表面积 S=2π Rh+2π R2
V 由V=π ，则 h 2 R V 2V 2 2 S ( R) 2 R 2 R 2 R 2 R R 2V V 3 R ，从而 令 S '( R) 2 4 R 0 解得， 2 R 2019/2/23
当r 2时, f ' r 0.
解 由于瓶子的半径为 r, 所以每瓶饮料的利润是 3 4 3 r 2 y f r 0.2 πr 0.8πr 0.8π r 2 , 3 3 0 r 6. 令f ' r 0.8π r 2 2r 0.
当L ' 0时,q 84, 当L ' 0时,q 84,
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当产量q为84时，利润L最大
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1 另解：利润L pq C (25 q )q (100 4q ) 8
1 2 q 21q 100 8
b 21 当q 84时，L的值最大 2a 1 4
3x 0 ，解得 2
2
x=0（舍去），x=40，
V(40)=16000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时 ，箱子容积很小，因此，16000是最大值。 答 ： 当 x=40cm 时 ， 箱 子 容 积 最 大 ， 最 大 容 积 是 16 000cm3
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课题：导数的应用
4 3 S 3 S S 3 h h 3h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h h 3
l′ = 3
S S S S =0, ∴ h = , 当 h < 时， l ′ <0, h > 时，l′>0. 2 4 4 4 h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= S. 3 3
R2h，得
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
V h 2 R
V V 2 3 ( ) 2
3
4V
V V 2 2 3 2
3
即
h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功