2009届各地期末考试数学章节分类试新课标必修二模块理科部分

本部分为《必修二》的第一章《空间几何体》 第二章《点、直线、平面之间的位置关系》
一、选择题
1. 【枣庄市•理科】7.如图几何体的主（正）视图和左（侧）视图都正确的是
（B ）
2. 【枣庄市•理科】9.已知m , n 是不重合的直线,
①若 m _ :•,
,贝V _ :;
②若 m 二 x , n 二:A , m// :, n 〃 ：，则〉// :;
③如果m 二很，n 二，m,n 是异面直线，则n 与二相交; ④若:---二 m, n // m,且 n :- >, n 二-,则 n // ：•,且 n // ：. 其中正确命题的个数是 （B ） A . 1 B . 2
C . 3
D . 4
3.
【烟台•理科】 &一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为
4的两 个全等的等腰十角三角形。

若该几何体的体积为 V ，并且可以用n 个这样的几何体拼成 一个棱
长为4的正方体，则V , n 的值是 （B ）
D . V=16 ,
n=4
A . V =32, n =2
半n=3 3
C .
?
,-是不重合的平面，给出下列命题:
4. 【烟台•理科】4.已知直线I和平面a、3满足I二〉，1二：在I 〃：，1 —〉，二」这三
个关系中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论所构成的命题中，真命题的个数是
5.【临沂一中•理科】5•如下图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（C ）
A迈• 6 C 4/8
C. 丁B .堺
D .8
:主视图左视图
俯视图
6.【临沂高新区理科】9.如图，三棱锥P—ABC中，PA= PB = PC且厶ABC为正三角形，M、N分别是PB、PC的中点若截面AMN丄侧面PBC，则此棱锥侧面PBC与底面ABC所
成二面角的余弦值是D
A. 2n
_2
2
V6
C.
3
J6
D.
6
B
7.【苍山县理科】6.如图是一个空间几何体的主视图（正视图）、
侧视图、
俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这
主捉曲側观对个几何体的体积为（C ）.
1 1
A. 1
B.
C.-
2 3
&【郓城实验中学•理
科】
10.正方体ABCD -人框心心中，P、Q、R分别是AB、AD、
BG的中点.那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（D ）
A .三角形
B .四边形C.五边形 D .六边形
9.【郓城实验中学•理科】14.在120°的二面角〉-I- 3内有一点P, P在平面〉、3内的射影A、B分别落在半平面：•、3内，且PA=3, PB=4，贝U P到I的距离为
10.【苍山诚信中学•理
科】
5.已知直线丨—平面〉，直线m 平面：，给出下列命题
②］.-=1 〃m -
③ I // m=〉-- ④ I _ m= ： // -
11.【苍山诚信中学•理科】 9.如图所示，在正方体ABCD — A i B i C i D i
的侧面AB i 内有一动点P 到直线A i B i 与直线BC 的距离相等，则
动点P 所在曲线的形- 状为
二、填空题
i. ［烟台•理科】i5.已知长方体 ABCD — A i B i C i D i 的外接球的半径为 4,则厶AA i B ,^
ABD , △ AA i D 面积之和的最大值为 ______ 32 ___
2•［临沂高新区 理科】i3.已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为 S ,则圆锥的底面
面积是
3. i6.棱长为i 的正方体在平面 a 内的射影构成的图形面积的取值范围是
4.［苍山诚信中学•理科】 i
5.如图，正三角形 P i P 2P 3，点A 、B 、C 分别为-
边 P i P 2, P 2P 3, P 3P i 的中点，沿 AB 、BC 、CA- 折起，使P i 、P 2、P 3三点重合后为点P ,则折-
i
起后二面角P —AB — C 的余弦值为
.
—3
其中正确命题的序号是 A .①②③
B .②③④
C .②④
( )- D .①③-
拓
ft
尸
. . ■ W M* «|
［谆
(C )-
二、计算题
1.【枣庄市•理科】19.(本小题满分12 分)
如图，已知 AB 丄平面 ACD , DE//AB , △ ACD 是CD 的中点。

(I) 求证：AF//平面BCE ;
(II) 求证：平面 BCE 丄平面 CDE ;
(III )求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小。

【解】(I )解：取CE 中点P ,连结FP 、BP ,
••• F 为CD 的中点，
□ 1
••• FP//DE ，且 FP=— DE.
2 1
又 AB//DE ，且 AB= _ DE 2
• AB//FP ，且 AB=FP ,
• ABPF 为平行四边形，• AF//BP 。

........ 2分 又••• AF 二平面 BCE , BP 二平面 BCE , • AF// 平面 BCE 。

....... 4 分 (11)：公 ACD 为正三角形，• AF 丄CD 。

•/ AB 丄平面 ACD , DE//AB ,
• DE 丄平面 ACD ，又 AF 二平面ACD , • DE 丄 AF 。

又 AF 丄 CD , CD n DE=D , • AF 丄平面CDE 。

............. 6分
又BP//AF , • BP 丄平面 CDE 。

又T BP 平面BCE , •平面BCE 丄平面 CDE 。

......... 8分
(III )由(II ),以F 为坐标原点，FA , FD , FP 所在的直线分别为 x , y , z 轴(如图)， 建立空间直角坐标系 F —xyz.设AC=2 , 则 C (0, — 1, 0) , B(
—V
3,0,1
), E, (0
,1,2
). ............. 9 分
设n =(x, y, z)为平面BCE 的法向量，
F f —
则n CB =0, n CE =0,即」—v3^^^0,令乙=1,则 n= (0,-1,1).
、2y +2z = 0.
显然，m =(0,0,1)为平面ACD 的法向量。

设平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角为:,贝U COS 〉-
| m n |
|m| |n|
:
=45，即平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角为45°。

................
是正三角形，AD=DE=2AB ，且F
12分
2. 【烟台•理科】18.(本题满分12分)
四棱锥 P — ABCD 中，PA 丄面 ABCD , PA=AB=BC=2 , E 为PA 中点，过E 作平行于底 面的面EFGH 分别与另外三条侧棱交于 F , G ， H ，已知底面 ABCD 为直角梯形，AD//BC ，AB 丄 AD ，/ BCD=135 °
(1) 求异面直线AF , BG 所成的角的大小； (2) 设面APB 与面CPD 所成的锐二面角的大 小为0，求COS 0 .
【解】由题意可知，AP 、AD 、AB 两两垂直， 可建立空间
直角坐标系 A — xyz ，由平面几 何知识知：AD=4 , D (0, 4, 0) , B (2, 0, 0),
C (2, 2, 0), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1, 0 , 1), G (1 , 1, 1) ....... 2 分 (1) AF =(1,0,1),BG =(-1,1,1),. AF BG =0
.AF 与BG 所成的角为1. .................. 4分
2
(2)可证明AD 丄平面APB , •••平面APB 的法向量为n 二(0,1,0)
m
-(
1,1,2
). ........... 10 分
cos m , n
6
，即 卩 cos 6
| m | | n | 6
6
3. ［临沂一中•理科】 20.(本小题满分12分)如图，在四棱锥 P —ABCD 中，PA 丄底面
ABCD , / DAB =90 , AB // CD , AD=CD=2AB=2 , E , F 分另 U 是PC , CD 的中点.
(I)证明：CD 丄平面BEF ;
(n)设 PA =k AB,且二面角 E -BD -C 为60 , 求k 的值. 【解】
DF // AB
(I)证明： DF =AB =矩形 ABFD=BF_CD . .................................................................... 2 分
DAB -90
设平面CPD 的法向量为 m= (1,y,z),由』
l m
CD 二 0 PD
12分
S
PA丄平面ABCD , AD丄CD.
5分
PD _CD
n EF 丄 CD .
EF/TPD 一 ••• CD 丄平面 BEF. ............................................................................................ 6分
(H)连结 AC 且交BF 于H ，可知H 是AC 中点，连结EH,
由E 是PC 中点，得EH // PA, PA 丄平面 ABCD. 得EH 丄平面 ABCD ，且EH
....................................................... 8分
2 2 '
作HM 丄BD 于M ，连结 EM ，由三垂线定理可得 EM 丄BD.
故/ EMH 为二面角 E — BD — F 的平面角，故/ EMH=60°. ................................. 10分
E(-1,-1,2),F(-2,1,0)
P(0, 0, k),平面BCD 的一个法向量 AP=(0, 0, k),…7分
BE=(-1, 0, $,BD=(-2,
-1, 0).
2
设平面BDE 的一个法向量n = (x, y, z),有n _ BE,且n _ BD ,
由三垂线定理得
E 是PC 中点|_
F 是CD 中点=
• • Rt △ HBM s Rt △ DBF,
亠
HM
HB
故
DF
BD
ZB HM
1
1
7曰
得1
HM 1
5，
5
在 Rt △ EHM 中，
EH =ta n60 ,
HM
解法2: ( I)证明，以
A 为原点,
建立如图空间直角坐标系 A —xy z .
则 B(0,1,0) , C(-2,2,0) ,D(-2,0,0).
设 PA = k,则 P(0,0, k),
得c —冲—叫),
BF 十2,0,0).
有 CD BE",
CD BF =0,
则｛CDIB ；
©丄平面BEF.
(n )：PA=k(k 0),
k 普
得書-3
12分
10分
」3
n BE =0,
n BD = 0, AP.n
-x 討0,取 xj,得 J*.
k
得
-2x-y =0,
=|
cos ：：
AP n ]= cos60 ,
吵得W "6
. .k 11分
12分
4.【临沂高新区 理科】18.(本小题满分12 分) 如图，在五面体， ABCDF 中，点O 是矩形
ABCD 角形，棱 EF = 1 BC . 2
(1) 证明EO //平面ABF (2) BC 问为何值是，有 CD OF 丄ABE ，试证明 你的结论. 的对角线的交点，面 ABF 是等边三
一 p
【解】(1)证明：取AB 中点M ，连结OM . C
1 在矩形ABCD 中，OM = — BC , 2
又 EF = - BC ，贝y EF = OM ,
2
连结FM ，于是四边形 EFMO 为平行四边
形.•••
6分
又••• EO 二平面 ABF , FM 二平面 ABF ,二 EO //平面 ABF .
(2)解：T OF 丄平面 ABE ，连结EM .
EM 二平面ABE .••• OF 丄EM ，又四边形 OEFM 为平行四边形. ••• □ OEFM 为菱形.
• OM = MF ，设 OM = a , 则 BC = 2a . 在正△ ABF 中, MF =
a ,
• a =
3
AB , • AB = 2
a .
2
.3
10分
BC CD 2
12分
BC _
综上可知，当不「3时，有OF 丄平面ABE .
5•【苍山县 理科】18.(本小题满分12分)已知AA i _平面ABC, AB = BC = AR =CA ,
P 为A ,B 上的点.
-
A p
(2)当二面角P — AC — B 的大小为一时,求 —的值.
3 PB
作 PD // AA 交 AB 于 D ，连 CD .
由AA 1±面ABC ，知PD 丄面ABC ...... .......... 3分 当P 为A 1B 中点时，D 为AB 中点.
•••△ ABC 为正三角形，
二 CD 丄 AB ，二 AB _ 平面 PCD ........... 5 分
••• PC 丄 AB ......... 6 分
(2 )过D 作DE 丄AC 于E ，连结PE ,贝y PE 丄AC , •••/ DEP 为二面角 P — AC — B 的平面角，.DEP=—, 3
tan _ PED = PD = 3 ............... 8 分
DE
■■- 3 .PD 二、-3DE, DE = AD sin 60
AD. 2
■ PD = 3DE =、3 三 AD =? AD. ........................ 10分
2 2 PD//A 1A r PD 二 BD,兰二如 AD 二Z.……12分
PB DB PD 3
6•【郓城实验中学•理科】 19.
如图，直二面角 D — AB — E 中，四边形 ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB , F
(1 )当兰为何值时，AB _ PC ；
PB
【解】(1)当AD =1时• ......... 2分
PB
为CE上的点，且BF丄平面ACE.
(I)求证：AE丄平面BCE ;
(H)求二面角B —AC —E的余弦值；
(川)求点D到平面ACE的距离.
【解】19.解法一：(I) ：BF _ 平面ACE. . BF _ AE. •••二面角D —AB —E为直二面角，且CB _ AB , . CB
CB _ AE. AE _ 平面B CE
(H)连结BD交AC于C,连结FG,
•••正方形ABCD 边长为2,二BG 丄AC , BG=2 ,
■■ BF _ 平面ACE ,
(川)过点E作E0 _ AB交AB于点O. OE=1.
•••二面角 D —AB —E为直二面角，••• E0丄平面
ABCD.
设D到平面ACE的距离为
h, ；V D^CE二V E」CD，
1 1
S ACB h S ACD
3 A 3 -
AE =(1,1,0), AC =(0,2,2).设平面AEC 的一个法向量为n -(x,y,z),
r ■—
AE n =0, 则J -
AC n=
0,
x + y =0,
、2y+2x=0.
y = -x
解得丿
Z = x,
AE _ 平面BCE, . AE _ EC.
1 1
AD DC EO 2 2 1 门 c
2 2 203
h =
EC
•••点D到平面ACE的距离为
3
解法二：(I)同解法一.
(n)以线段AB的中点为原点0, 0E所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过0点平行于AD的直线为z 轴，建立空间直角坐标系
0—xyz,如图.
AE _ 面BCE, BE 面BCE, . AE _ BE ,在Rt AEB中,AB =2,0为AB的中点，
.0E =1. . A(0,-1,0), E(1,0,0),C(0,1,2).
3 1/J 丸ABE
EO.
令X =1,得n =(1, T,1)是平面AEC的一个法向量又平面BAC的一个法向量为m =(1,0,0),
丄=迢.•二面角B — AC — E 的大小为
,3 3
在 Rt △ PAD 中，PD=AD= a ,贝U PA 二、
2a ,
.EO JPA^-^a,
2 2
又 DE 「a,DO
2
_ 2 __r a,
3 2 a cos DEO 二
4
1 2 1 2 a a 2 2
c -3 2
■.
■'6
..6
•••异面直线PA 与DE 的夹角为arccos —.
4
(2)取DC 的中点 M ，AB 的中点N ，连PM 、MN 、PN.
DC//AB,DC 二面 PAB,
• D 到面PAB 的距离等于点 M 到 面PAB 的距离.……7分 过M 作MH 丄PN 于H ，
•/面 PDC 丄面 ABCD ，PM 丄 DC ， • PM 丄面 ABCD ，• PM 丄 AB ， 又••• AB 丄 MN ，PM T MN=M ， • AB 丄面 PMN. •••面 PAB 丄面 PMN
• M H 丄面 PAB ，
则MH 就是点D 到面PAB 的距离.-
DC //面PAB,
<3
arccos ——
(III )T AD//Z 轴,
AD=2 , •- AD =(0,0,2),
•••点D 到平面ACE 的距离
d =|AD| R AD,n 」A
D n|
|n|
叮
3
7.【苍山诚信中学•理科】 如图，四棱锥 P — ABCD 中，底面四边形 ABCD 是正方形，侧面 PDC 是边长为a 的正 三角形，且平面 PDC 丄底面ABCD ，E 为PC 的中点。

(I) 求异面直线PA 与DE 所成的角； (II) 求点D 到面PAB 的距离.
【解】(1)解法一：连结 AC ，BD 交于点O ,连结EO.
•••四边形 ABCD 为正方形，• AO=CO ，又T PE=EC ， •••/ DEO 为异面直线 PA 与DE 所成的角 ............... •/面 PCD 丄面 ABCD ，AD 丄 CD ，• AD 丄面 PCD ，• 20. (本小题满分12分)
• PA // EO , .cos(m, n)
Im| |n|
C
AD
23
在Rt PMN 中,MN 二a,PM a, .PN — a2( ' 3a)2」a, V 2 2
MH
<3 _
MN PM
a V3、21
a. ...................
PN , 7 7
a
2
解法二：如图取DC的中点O,连PO,
•/△ PDC为正三角形，••• PO丄DC.又•••面PDC 丄面ABCD , • PO丄面
ABCD.
如图建立空间直角坐标系O - xyz
V J o o o
则P(0,0/ a),A(a, ,0), B(a匸,0),C(0,二,0),
2 2 2 2
1
D(0,- —,0). .................................... 3 分
a 12分
⑴E为PC中点，E
阴，子）, DE =(0,
3
a,三aLPA^a,〉，-一^),
4 4 2 2
.PA DE =?a (_a)3a (_-^a)=-?a2,
4 2 4 2 4
PA DE
| PA 戶-,-，2a,| DE |=丄，cos ：： PA, DE -
2
|PA |-| DE | >j~2a K—
—a , 6
•••异面直线PA与DE所成的角为arccos .. .......................... 6 分
4
a ■. ■' 3
⑵可求
PA=(a-?-l3a),A^(0,a,0),
设面PAB的一个法向量为n = (x, y, z),
a - 3 c —
n PA = xa y az = 0. ①
2 2
则n_ PA, n_ AB ,
由②得y=0,代入①得
令x = .：3则z=2,. n =( .3,0.2).
7
则D 到面PAB 的距离d 等于DA 在n 上射影的绝对值
d=|DATDA ・n g DAI
® n|
IDA |，| n |
即点D 到面PAB 的距离等于
21 a. .....................................
j \''3a
7
---- a.
7
|DA n | | (a,0,0) ( . 3,0.2) | |n| 一 v7。