温州市高三第二次适应性测试

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
2016年温州市高三第二次适应性测试
理科数学
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则U A C B =（ ）
A ．{3}
B ．{1,2,4,5}
C ．{1,2}
D ．{1,3,5}
2.已知实数,x y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，则z x y =-（ ）
A ．最小值为-1，不存在最大值
B ．最小值为2，不存在最大值
C ．最大值为-1，不存在最小值
D ．最大值为2，不存在最小值
3.直线1:10l mx y +-=与直线2:(2)10l m x my -+-=，则“1m =”是“12l l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
4.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ） A ．4 B ．
163 C ．8 D ．323
5.设集合0123{,,,}S A A A A =，在S 上定义运算⊕：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，
,0,1,2,3i j =，若230()m A A A A ⊕⊕=，则m 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7.数列{}n a 是递增数列，且满足1()n n a f a +=，1(0,1)a ∈，则()f x 不可能是（ ） A ．()f x x =
B ．()21x f x =-
C ．2()2f x x x =-
D ．2()log (1)f x x =+
8.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为（ ） A ．22 B ．10 C ．11 D ．23
非选择题部分（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
9.以椭圆2
214
x y +=的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是 ，离心率为 . 10.函数()2sin()(0,||)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
的图象如图所示，则ω= ，ϕ= .
11.已知等差数列{}n a 的公差为-3，且3a 是1a 和4a 的等比中项，则通项n a = ，数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 12.设奇函数cos 3sin ,0
()cos sin ,0
a x x c x f x x
b x
c x ⎧-+≥⎪=⎨
+-<⎪⎩，则a c +的值为 ，不等式()()f x f x >-在
[,]x ππ∈-上的解集为 .
13.若正数,a b 满足25log log lg()a b a b ==+，则
11
a b
+的值为 . 14.若存在0[1,1]x ∈-使得不等式0001
|421|2
x
x
x a +-∙+≤成立，则实数a 的取值范围是 .
15.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，,M N 分别为线段,BC CD 上的点，且满足22
11
1CM CN
+=，若AC x AM y AN =+，则x y +的最小值为 .
三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知AB AC BA BC ∙=∙，
5sin 3
A =
. （1）求sin C 的值；
（2）设D 为AC 的中点，若ABC ∆的面积为85，求BD 的长. 17. （本题满分15分） 如图，矩形ABCD 中，(1)AB
AD
λλ=>，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角C AB E --为直二面角.
（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；
（2）设F 是BE 的中点，二面角E AC F --的平面角的大小为θ，当[2,3]λ∈时，求cos θ的取值范围.
18. （本题满分15分）
已知二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++>的图象过点(1,0).
（1）记函数()f x 在[0,2]上的最大值为M ，若1M ≤，求a 的最大值； （2）若对任意的1[0,2]x ∈，存在2[0,2]x ∈，使得123()()2f x f x a +>，求b
a
的取值范围. 19. （本题满分15分）
已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点为12,F F ，焦距为2，设点(,)P a b 满足12PF F ∆是等腰三角形.
（1）求该椭圆方程；
（2）过x 轴上的一点(,0)M m 作一条斜率为k 的直线l ，与椭圆交于点,A B 两点，问是否存在常数k ，使得2
2
||||MA MB +的值与m 无关？若存在，求出这个k 的值；若不存在，请说明理由.
20. （本题满分15分）
设正项数列{}n a 满足：11a =，且对任意的,n m N +∈，n m >，均有2222
n m n m a a n m +-∙=-成立.
（1）求2a ，3a 的值，并求{}n a 的通项公式； （2）（ⅰ）比较2121n n a a -++与22n a 的大小； （ⅱ）证明：2421321()1
n n n
a a a a a a n ++++>
++++.
2016年温州市高三第二次适应性测试
数学（理科）试题参考答案 2016.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
C
A
A
B
D
C
B
B
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9. 33y x =±
，233 10. 2，6
π 11. 315n -+，30
12. 0，22(,0)(,]33πππ-
13．1 14. 9[0,]2
15. 45
三、解答题：本大题共5小题，共7４分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题14分）解：（Ⅰ）由AB AC BA BC ⋅=⋅得：()0AB AC BC ⋅+=
即22
()()||||0AC BC AC BC AC BC -⋅+=-=
||||AC BC ∴=，………………………………… 2分
（也可以由数量积的几何意义得出||||AC BC =）
,A B ∴=A 与B 都是锐角
22
cos 1sin ,3
A A ∴=-=………………………4分
得：6a b ==………………………………………………………………………9分
3,6CD BC ∴==
又2
1
cos cos(2)cos 2(12sin )9
C A A A π=-=-=--= ……………………11分 △BC
D 中，由余弦定理得：
2222cos BD CD BC CD BC C =+-⋅221
36236419
=+-⋅⋅⋅=
41BD ∴= ……………………………………………………………………14分
17．（本题15分）（Ⅰ） 二面角E AB C --为直二面角，BC AB ⊥
⊥∴BC 平面ABE ……………2分 AE BC ⊥∴
C CE BC CE AE =⋂⊥,
⊥∴AE 平面BCE …………4分
∴平面⊥ACE 平面BCE …………6分
（Ⅱ）解法1：如图，以E 为坐标原点，以AD 长为一个单位长度， 建立如图空间直角坐标系，则
λ=AB )0,0,2
1
(
),0,0,0(),1,0,1(),0,0,1(),0,1,0(22
2---λλλF E C B A ……………8分
则)1,0,1(
),0,1,0(2-==λEC EA
设平面EAC 的法向量为),,(z y x m =
则⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅-=0
102z x y λ，取1=x ，则)1,0,1(2--=λm ………………………………10分
同理设平面FAC 的法向量为)1,1,
2(22---=λλn ………………………………12分
222121
cos 12||||2(1)
m n m n λθλλλ⋅+∴===⋅+⋅⋅+ ………………………………14分
]4
10
,35[
cos ]3,2[∈∴∈θλ …………………………………15分
解法2：过F 作CE FG ⊥于G ，过G 作AC GH ⊥于H ，连FH ，则AC FG ⊥
则二面角F AC E --的平面角为FHG ∠ …………………………………9分
23
)2
1
(
122
2+=
-+==λλCF AF H ∴为AC 的中点
2
2
)2
1
(
)2
3
(
222
2=
+-+=∴λλFH 由BCE CEF
S S ∆∆=2
1
，得λ
λλλ21
2122+=∴-=GH FG …………………………………11分 21
122cos λ
θ+⋅=
∴ …………………………………14分 ]4
10
,35[
cos ]3,2[∈∴∈θλ …………………………………15分 18. （本题15分）解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）
()f x 过点(1,0)，(1)0,f a b c ∴=++=，……1分
2,()c a b f x ax bx a b ∴=--=+--
()f x 是开口向上的抛物线，max{(0),(2)}M f f ∴= …………………………………3分
(0)1
1(2)31
f a b M f a b =--≤⎧∴≤⇔⎨
=+≤⎩ ………………………………………………………………5分 两式相加得1a ≤，即a 的最大值为1 …………………………………………………………6分
解法二： 由(1)(2)42(0)f a b c f a b c f c =++⎧⎪
=++⎨⎪=⎩
解得：(2)2(1)(0)(2)(0)11
1222
f f f f f a -+++=
=≤= ……………………6分
（Ⅱ）由题意，存在2[0,2]x ∈，使min 23
()()2
f x f x a +>
min max 3
()()2
f x f x a ∴+> ……………………8分
0a b c ++= 2()f x ax bx a b ∴=+-- 其对称轴为2b x a
=- ①当02b
a
-
<即0b a >时，()f x 在[0,2]上单调递增 min max 3
()()(0)(2)322
f x f x f f a b a b a a ∴+=+=--++=>
0b
a
∴>均符合题意 ………………………10分 ②当012b a
≤-
<即20b
a -<≤时， ()f x 在[0,]2
b a -上递减，在[,2]2b
a
-上递增且(0)(2)f f <
22
min max ()()()(2)32244b b b f x f x f f a b a b a a a a
∴+=-+=---++=-+
∴由23242b a a a -+> 得：20b
a
-<≤符合题意 ………………………12分 ③当122b
a
≤-
<即42b a -<≤-时，
()f x 在[0,]2b a -上递减，在[,2]2b
a
-上递增且(0)(2)f f ≥
22
min max ()()()(0)22244b b b f x f x f f a b a b a b a a a ∴+=-+=-----=---
∴由232242b a b a a ---> 得：4242b
a
--<<-+
442b
a ∴-<
<-+符合题意 …………………………13分 ④当22b a -≥即4b
a
≤-时，()f x 在[0,2]上单调递减 min max 3
()()(2)(0)322f x f x f f a b a b a a ∴+=+=+--=>
4b
a
∴≤-均符合题意 …………………………14分 综上所述：42b a
∴<-+或2b
a >- …………………………15分
19. （本题15分）解：（Ⅰ）根据题意，有⎩⎨
⎧
=+-=4
)1(222
2b a c ………………4分 解得：⎩
⎨⎧==32b a 故所求椭圆方程为1342
2=+y x ……………………6分 （Ⅱ）联立方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)
(2
2y x m x k y ，整理得：01248)43(2
222=-+-+m mx k x k 在0>∆的情况下有：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=
+=+22
21222143124438k m x x k m k x x ……………………9分 ]7296)1824[()43()1(]2)(22))[(1(])())[(1(||||2
222
222212122122221222+++-++=++--++=-+-+=+k m k k k m x x m x x x x k m x m x k MB MA ……………………………13分
令018242=+-k ，得4
3
2
=
k ，即23±=k
此时7||||2
2
=+MB MA 与m 无关符合题意 ……………………………15分 （若设直线m ty x AB +=:，其中k
t 1
=
，则化简过程相对简捷，可得 ]9672)2418[()
3()1(])0()0)[(1(||||2222
222221222++-++=-+-+=+t m t t t y y t MB MA
20. （本题15分）
解：（Ⅰ）令1=m ，得122121-=-+n a a n n ，从而32
321=a a ，所以33=a ………………2分 令2+=m n ，得442
2222+=⋅+m a a m
从而2
48a a =
，2
612a a =
，又24152
64=-=a a ， ，结果同样可得）
所以222=a ，22=a …………………4分 从而2222+=+m a m 可知当n 为偶数时，n a n =；
令1+=m n ，得1212+=
+m a m ，可知当n 为奇数时，n a n = 综上可得n a n =
)(+∈N n ． …………………6分
（Ⅱ）（i ） 0
21212121 )
212()212(221212<+--++=
--+-+=-++-n n n n n n n n a a a n n n 所以n n n a a a 212122<++- …………………9分
（ii ）即证明)12531(1242++++++>
+++n n n n 由（i ）得2231<+，
4253<+，…，n n n 221212<++-
将上述的n 个式子相加，得
)242(2)121()121231(2n n n n +++<++-++-+++ 所以2
121)12531(242++-+++++>+++n n n 所以，只需证)1231(1
21211231+++++≥++-++++n n n n n 即2
)121)(1(1231+++≥++++n n n ……………………………12分 事实上，当n k ,,2,1,0 =时
0122122121212121221≥++-+-++=
+---+++n k n k k k n k n k （因为n k 2121+≤+，k n 2121-+≤
） 所以12121221++≥-++
+n k n k
从而
)]112()312()123()121[(2
11231++++-++-++++=++++n n n n n )121)(1(2
1+++≥n n ．…………………………………………15分。