材料力学6梁的应力

FBY
I Z 5.832 105 m4
M EI 1
FS 90kN


x 90kN
x

M
ql 2 / 8 67.5kN m
EI Z 200 109 5.832 10 5 C MC 60 103 194.4m
例：求图示悬臂梁的最大、压应力。已知：l 1 m, q 6kN / m,
61梁的正应力62梁的正应力强度条件及其应用63梁的合理截面形状及变截面梁64矩形截面梁的切应力65工字形截面及其他形状截面的切应力66梁的切应力强度条件回顾与比较内力均匀分布线形分布一纯弯曲梁段cd上只有弯矩没有剪力梁段ac和bd上既有弯矩又有剪力61梁的正应力61梁的正应力纯弯曲横力弯曲fa二纯弯曲梁横截面上的正应力公式一变形几何关系
Fb
max
Fb 62.5 160 32 3 d 2 WzC 0.133 32 （5）结论:轮轴安全 46.4 106 P a 46.4MPa MC
例、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[t]=30 M Pa， [c]=60 M Pa.其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm， I z =763cm4 ，试校核此梁的强度。 解：1)求约束反力 F F1 9kN FAy By F2 4kN
A

y

dA
E

A
ydA
（中性轴Z轴为形心轴）
E
Sz 0 Sz 0
(2)
M y zdA A E
A
y

zdA
E

E
A
yzdA
(3) M z ydA E A
A
y
（y轴为对称轴，自然满足）
A

I yz 0 I yz 0
1


4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径ρ
FBY
解：1. 求支反力
FS 90kN
FAy 90kN
FBy 90kN

M C 90 1 60 1 0.5 60kN m

x 90kN x
bh3 0.12 0.183 IZ 5.832 105 m 4 12 12
根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧的 纵向线缩短区到其凸出一 侧的纵向线伸长区，中间 必有一层纵向无长度改变 的过渡层--------称为中
中间层与横截面 的交线 －－中性轴
性层 。 梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转 动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
4、线应变的变化规律：
注意
（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压;
正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负
及梁的变形状态来 确定。 （6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。
例
q=60kN/m
180
120
1.C 截面上K点正应力
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
2.C 截面上最大正应力
z 3.全梁上最大正应力 y
3
三、正应力公式的推广
工程中常见的平面弯曲是横力弯曲
实验和弹性力学理论的研究都表明： 当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横 力弯曲近似成立。 弯曲正应力公式
My IZ
可推广应用于横力弯曲和小曲率梁 横力弯曲梁上的最大正应力
A 1m
2m
B
IZ WZ y max
圆截面 空心圆截面
IZ
d 4
64
WZ
d 3
32
IZ
D 4
64
(1 4 )
WZ
D 3
32
(1 4 )
矩形截面
bh 3 IZ 12
3
bh 2 WZ 6
3 b h bh 空心矩形截面 I Z 0 0 12 12
b0 h0 bh 3 WZ ( ) /( h0 / 2) 12 12
当
D 2
4

[ D12 (0.8D1 ) 2 ]
4
时, D1 1.67D
z
当
D 2
4
2a12时, a1 2 D
0.8D1 D1
D13 Wz 3 (1- 0.84 ) 2.75Wz1 32
Wz 4
bh 4a 1.67Wz1 6 6
A C 1m B 1m
-4 k N m
D 1m
C
y1 y2 z
FAY 2.5 kN , FBY 10.5kN.
2）画弯矩图
M B 4kNm（上拉、下压）
x
M C 2.5kNm(下 拉 、 上 压 )
2.5 kNm
M
3）求应力 B截面—（上拉下压）
C截面—（下拉上压）
A 1m
F 1 =9kN
A1 B1 AB AB
a
c

( y )d d d
A1 B1 OO1 OO1

y


y

...... (1)
a o A b
b
d c o1 Ｂ d dx
y
（二）物理关系：由纵向线应变的变化 规律→正应力的分布规律。 在弹性范围内，
d

E
Ey
E
材 料 力 学
6.1、梁的正应力
6.2、梁的正应力强度条件及其应用
6.3、梁的合理截面形状及变截面梁
6.4、矩形截面梁的切应力
6.5、工字形截面及其他形状截面的切应力
6.6、梁的切应力强度条件
回顾与比较 内力
应力公式及分布规律
F 均匀分布 A
线形分布
T IP
M
FA
y
FS
? ?
c max 46.2 c
最大拉、压应力不在同一截面上
-4 k N m
M
2.5 kNm
C
y1
y2 z
A1
A3
27.3MPa
结论—— 对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面：
A2 4 28.2MPa A
46.2MPa
M max
对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面： M max ; M max
tCmax
6 M C y2 2.5 8810 28.2MPa 4 763 10 Iz
M
C
y1 y2
A1
A3
27.3MPa
C
c max
M C y1 17.04 MPa Iz
z
A2 4 28.2MPa A
4 ) 强度校核
t max 28.2 t
46.2MPa
x
6.3、梁的合理截面形状及变截面梁
M 强度：正应力： max max Wz
1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 z D z a
Wz1
D 3
32
当
D 2
4
a 2时, a R; ( D / 2)
a
Wz 2
bh2 ( R)3 1.18 Wz1 6 6
截面关于中性轴对称
max max
t
c
M max Wz
截面关于中性轴不对称
6-
max
M max ymax IZ
(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)
注意
（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力， 从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩； （2）必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力， 并确定该点到中性轴的距离，以及该点处应力的符号 （3）特别注意正应力沿高度呈线性分布； （4）中性轴上正应力为零， 而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
⑵、纵向线：由直线变为 曲线，且靠近上部的纤维 缩短，靠近下部的纤维伸 长。 3、假设： M
a
c
b
a
d c
M
b
d
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转 动了一个角度。
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
6.1、梁的正应力 一、纯弯曲
Fs F
F Fa
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力 －－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力 －－横力弯曲
二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式
（一）变形几何关系： 由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。 1、观察实验：
2、变形规律： ⑴、横向线：仍为直线， 只是相对转动了一个角度 且仍与纵向线正交。

M
ql 2 / 8 67.5kN m
180 60 103 ( 30) 10 3 M y 2 K C K IZ 5.832 10 5 61.7 106 Pa 61.7MPa （压应力）
2. C 截面上K点正应力
q=60kN/m
180
3. C 截面最大正应力
M EI Z

ydA

y dA
2
E

Iz M
——弯曲变形计算的基本公式
M EI Z
1
——弯曲变形计算的基本公式
将上式代入式 ( E
Ey
EI z 梁的抗弯刚度。

) 得：
M y A z σ y Z
My Iz
弯曲正应力计算公式。
x
弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。 当M > 0时，下拉上压； 当M < 0时，上拉下压。
z
b
σtmax σcmax
M 3000 3.28 384 MPa c max y2 6 25 .6 10 Iz t max 178 MPa,、梁的正应力强度条件及其应用
max
材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁

M
ql 2 / 8 67.5kN m
q=60kN/m
180
120
4. 全梁最大正应力
30
A
FAY
B
1m
最大弯矩
C
l = 3m
x
K
z y
max
M max 67.5kN m
I z 5.832 105 m 4
M max ymax IZ 180 10 3 2 5.832 10 5

......(2)
Ｏ A１
Ｏ１ Ｂ１
x
y
应力的分布图：
E
M
Ey

σmax
Z
y 中性轴的位置？
1
σmax
为梁弯曲变形后的曲率
M y A z σ
y
E
Z x
Ey
（三）、静力方面： 由横截面上的弯矩和正应 力的关系→正应力的计算公 式。
E

(1)
FN dA A E
最大正应力的确定
⑴

My IZ
截面关于中性轴对称
max
z
maxt maxc
My max IZ M Wz
IZ WZ ymax
Wz ——截面的抗弯截面系数
⑵ 截面关于中性轴不对称
maxt
z
max
c
Mymax Iz
t
Mymax Iz
c
几种常见截面的 IZ 和 WZ
q
y1 y2
y
z
b
解：1）画弯矩图
| M |max 0.5ql2 3 kNm
№10槽钢
2）查型钢表：
M
y1
y2
y
b 4.8cm, I z 25.6cm4 , y1 1.52cm y2 4.8 1.52 3.28cm
3）求应力：
M 3000 1.52 178 MPa t max y1 6 25 .6 10 Iz
弯曲正应力强度条件
M max max Wz
1、强度校核——
max ；
Mmax Wz
Mmax 2、设计截面尺寸—— Wz
3、确定外荷载——
;
d1 160mm d2 130mm, a 0.267m,b 0.16m, F 62.5kN, 材料的许用应力 60MPa.
FBY
FS 90kN


x 90kN

67.5 103

M
ql 2 / 8 67.5kN m
x
104.17 106 Pa 104.17 MPa
q=60kN/m x
180
120
5. C 截面曲率半径ρ
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
K
z y
C 截面弯矩
M C 60kN m
120
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
30
C 截面弯矩
z y
Cmax
M C 60kN m
FBY
I Z 5.832 105 m4
M C ymax IZ
3
FS 90kN


x 90kN x
180 60 10 10 3 2 5.832 10 5 92.55 106 Pa 92.55MPa
C
B
F 2 = 4kN
D
1m
-4 k N m
1m
B截面—（上拉下压）: 6 M y 4 52 10 tBmax B 1 27.2MPa, 4 Iz 76310

B c max

M B y2 Iz
4 88106 46.2MPa 4 76310
x
2.5 kNm
C截面—（下拉上压）:
例 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知
（1）计算简图 解： （2）绘弯矩图 （3）B截面，C截面需校核 （4）强度校核
B截面：
max
Fa 62.5 267 32 3 d1 WzB 0.163 32 41.5 106 Pa 41.5MPa MB
Fa
C截面：