2021-2022学年内蒙古自治区赤峰市市红庙子中学高三数学理月考试题含解析

2021-2022学年内蒙古自治区赤峰市市红庙子中学高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 二次函数的部分图象如右图，则函数的零点所在的区间是
（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
2. 若函数恰有2个零点，则a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
将问题转化为与恰有个交点；利用导数和二次函数性质可得到的图象，通过数形结合可确定或时满足题意，进而求得结果.
【详解】令，则恰有个零点等价于与恰有个交点当时，，则
当时，；当时，
上单调递减，在上单调递增
当时，
在上单调递减，在上单调递增
可得图象如下图所示：
若与有两个交点，则或
又，
即当时，恰有个零点
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于轴的直线与曲线的交点个数的问题，利用数形结合的方式找到临界状态，从而得到满足题意的范围.
3. 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，
，则的值为（）
A． B．1 C． D．
2
参考答案：
B
4. 过抛物线y2=4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|=2|AF|，则直线AB的斜率为（）
A．±1B．C．±2D．
参考答案：
B
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的定义可知：|AC|=2|AF|，则∠ACD=，则∠CAD=，则∠xFB=，直线AB
的斜率k=tan∠xFB=，同理即可求得直线AB的斜率﹣．
【解答】解：抛物线y2=4x焦点F（1，0），准线方程l：x=﹣1，准线l与x轴交于H点，过A和B做AD⊥l，BE⊥l，
由抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AD丨，丨BF丨=丨BE丨，
|AC|=2|AF|，即|AC|=2|AD|，
则∠ACD=，则∠CAD=，
∴∠xFB=，
则直线AB的斜率k=tan∠xFB=，
同理可知：直线AB的斜率﹣，
∴直线AB的斜率±，
故选B．5. 把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（）
A．B．C．
D．
参考答案：
B
由题意可知，硬币的圆心必须落在小正方形中，如图：
该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为，
故选：B
6. 下列函数在其定义域内,既是奇函数又存在零点的是
A．B． C.D．
参考答案：
B
略
7. 设y1=，y2=，y3=，则（）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
参考答案：
B
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题．
【分析】构造函数y=0.5x和，利用两个函数的单调性进行比较即可．
【解答】解：因为y=0.5x为减函数，而，所以y2＜y3，又因为是R上的增函数，且0.4＜0.5，所以y1＜y2，所以y1＜y2＜y3故选B
【点评】本题考查比较大小知识、指数函数和幂函数的单调性等知识，属基本知识的考查．
8. 图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（）A．10 B．11 C．12 D．13
参考答案：
B
【考点】程序框图．
【分析】先求出m除以n的余数，然后利用辗转相除法，将n的值赋给m，将余数赋给n，进行迭代，一直算到余数为零时m的值即可．
【解答】解：当m=209，n=121，m除以n的余数是88
此时m=121，n=88，m除以n的余数是33
此时m=88，n=33，m除以n的余数是22
此时m=33，n=22，m除以n的余数是11，
此时m=22，n=11，m除以n的余数是0，
此时m=11，n=0，
退出程序，输出结果为11，
故选：B．
9. 已知，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
A．，∥ B．，∥
C ． ∥∥ ，，共面
D ．，，共点，，共面
参考答案：
A
10.
若二项式
展开式中含有常数项，则的最小取值是（ ）
A.5
B. 6
C. 7
D. 8 参考答案：
答案：C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知抛物线
的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且
=
.
参考答案：
略
12. 已知向量的夹角为45°，且
▲ .
参考答案：
3
略
13. 在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，则实施程序的编排方法共有 种。

参考答案： 96
14. 在极坐标系
中，
曲线与的交点的极坐标为 .
参考答案：
15. 双曲线
与直线
相交于两个不同的点，则双曲线离心率的取值范
围是 . 参考答案：
16. 已知数列
的前n 项和分别为
，
，且A 1000＝2，B 1000＝1007．记
（n∈N*），则数列{C n }的前1000项的和为 ．
参考答案：
2014 17. 曲线在点处的切线方程为
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）在直三棱柱
中，AC=4,CB=2,AA 1=2，
，E 、F 分别是
的中点．
（1）证明：平面
平面
；
（2）设P 为线段BE 上一点，且
，求三棱锥
的体积．
参考答案：
（1）在，∵AC=2，BC=4,，
∴，∴，
∴.………………………………3分
由已知，，∴. …………………5分
又∵，
即平面平面……7分
（2）取的中点，连结，
则且，由（1），
∴，……10分
∵，
∴. ……14分
19. 已知直线l：x+y=4与椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0）有且只有一个公共点M[2，2]．（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，动点Q满足QB⊥AB，连接AQ交椭圆于点P，求的值．
参考答案：
【考点】圆锥曲线与平面向量；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）直线方程与椭圆方程联立，利用判别式为0，椭圆经过当点，联立求出m，n即可得到椭圆方程．
（2）设Q（4，y0），P（x1，y1），又A（﹣4，0），B（4，0），求出直线AQ的方程为
．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及心理的数量积回家求解即可．
【解答】解：（1）直线l：x+代入椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0）可得：（n+2m）y2﹣16my+32m﹣1=0，
有且只有一个公共点．△=162m2﹣4（n+2m）（32m﹣1）=0，
并且：8m+4n=1，解得m=，n=．
椭圆C的方程为．
（2）设Q（4，y0），P（x1，y1），又A（﹣4，0），B（4，0），
∴．
直线AQ的方程为．
∴．
∴．
==
=．
20. 甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜哥歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首．若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均
猜对，则该小组进入下一轮．该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对
歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是．甲、乙、丙猜对互不影响．
（1）求该小组未能进入第二轮的概率；
（2）记乙猜对歌曲的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）设“该小组未能进入第二轮”为事件A，其对立事件为，则P（A）=1﹣P，即可得出．
（2）利用相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式即可得出．
【解答】解：（1）设“该小组未能进入第二轮”为事件A，其对立事件为，则P（A）=1﹣P=1
﹣=．
（2）由题意可得：ξ的可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）==，P（ξ=1）
=××+××+×=，
P（ξ=3）=×××××=，
P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=．
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=0+1×+3×=．
21. 如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F．（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．
参考答案：
考点：分析法和综合法．
专题：计算题；证明题．
分析：（I）依题意，可证得△BAD≌△CBE，从而得到∠ADB=∠BEC?∠ADF+∠AEF=π，即可证得A，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）取AE的中点G，连接GD，可证得△AGD为正三角形，GA=GE=GD=，即点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．
解答：（Ⅰ）证明：∵AE=AB，
∴BE=AB，
∵在正△ABC中，AD=AC，
∴AD=BE，
又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，
∴△BAD≌△CBE，
∴∠ADB=∠BEC，
即∠ADF+∠AEF=π，所以A，E，F，D四点共圆．…
（Ⅱ）解：如图，
取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE，
∵AE=AB，
∴AG=GE=AB=，
∵AD=AC=，∠DAE=60°，
∴△AGD为正三角形，
∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，
所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．
由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为．…点评：本题考查利用综合法进行证明，着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理能力与分析运算能力的考查，属于难题．
22. 已知函数定义域为(),设.
(Ⅰ)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；
(Ⅱ)求证:；
(Ⅲ)求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数.
参考答案：
解:因为
由；由,所以在上递增,在
上递减…………………………………………………(4分)
欲在上为单调函数,…………………………… …………(5分)
(Ⅱ)证:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值, 又,所以在上的最小值为………(9分)
从而当时,,即…………………………………………(10分)
(Ⅲ)证:因为,所以即为,
令,从而问题转化为证明方程=0
在上有解,并讨论解的个数……………………………………………………(12分)
因为,,所以
①当时,,所以在上有解,且只有一解……(13分)
②当时,,但由于,
所以在上有解,且有两解…………………………………………(14分)
③当时,,所以在上有且只有一解；
当时,,
所以在上也有且只有一解…………………………………………(15分)
综上所述, 对于任意的,总存在,满足,
且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意…………(16分)
(说明:第(Ⅱ)题也可以令,,然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数)。