2022年高三数学下期竞赛试卷试卷带解析及答案

2022年高三数学下期竞赛试卷试卷带解析
及答案
填空题
已知正实数、、满足.则的最小值是_________.
【答案】10
【解析】
由.
当且仅当时，上式等号成立.
容易验证，函数在上是减函数.
而，故当时，最小，且最小值为10.
故答案为：10
填空题
设是锐角所在平面内一点（在外），于点.若
则_________（用表示）.
【答案】
【解析】
由，得.
则.
故.
故答案为：
填空题
函数的值域是_________.
【答案】
【解析】
显然，，.
从而，的最小值是0.
下面求的最大值.
注意到
.
当且仅当，即时，上式等号成立.从而，的最大值是.
因此，的值域是.
故答案为：
填空题
已知有限项等差数列的首项，公差为2，其所有项的算
术平均值是2011.若从中删去一项后，该数列剩余各项的算术平均值为整数.则删项的方法有_________种.
【答案】3
【解析】
根据题意得.
解得.
于是，该数列所有项的和为.
设从数列中删去第项后剩余项的算术平均值为整数，即
.
注意到.则上式等价于
.
因为，所以，的取值集合为.
故答案为：3
填空题
如图，梯形（轴，）内接于椭圆
，是对角线与的交点.记，，.则的最大值为_________.
【答案】
【解析】
由对称性，知点在轴上.则点.
设：.
由消去得
. ①
设、.则、是方程①的根，且.
由韦达定理得.
则.
故.
当且仅当，即时，上式等号成立.
故答案为：
填空题
某人练习打靶，开始时，他距靶，此时，进行第一次射击.若此次射击不中，则后退进行第二次射击，一直进行下去.每次射击前都后退，直到命中为止，已知他第一次的命中率为，且命中率与距离的平方成反比.则他能够命中的概率等于_________.
【答案】
【解析】
记事件“第次射击命中”为，其概率为.则.
又第次射击时距离靶，
则.
于是，前次内命中的概率为
.
令，得.
因此，此人能够命中的概率是.
故答案为：
填空题
如图，已知平面上的与分别在直线的两侧，它们与没有公共点，并且关于直线对称.现将平面沿直线折成一个直二面角，则六个点、、、、、可以确定_________个平面（用数字作答）.
【答案】11
【解析】
注意到翻折后，三个四点组、、均四点共面，因此，这六个点共可确定平面（个）.
故答案为：11
填空题
复数列满足，.若，则可以有_________种取值.
【答案】
【解析】
显然，对任意的非负整数均有.
设.则
.
由，得，即.
由，得
.
因此，满足条件的共有（个）.
故答案为：
解答题
已知，方程在上有唯一解.求的值.
【答案】
【解析】
设函数.
则.
令，即.
解得（舍去），.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故在时取到最小值.
由有唯一解知，即.
于是，.
由，知.
当时，函数严格递增，又，从而，
.
由此可解得.
解答题
给定正整数，（即等于进制表示为
的数）.试求的值.
【答案】
【解析】
根据题意知
注意到
.
则
.
故.
于是，有
.
解答题
在椭圆外一直线上取个不同的点，过向椭圆作切线、，切点分别为、.记直线
为.
（1）若存在正整数、（、，），使得点在直线上，证明：点在直线上；
（2）试求直线将椭圆分成的区域的个数.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
设椭圆:，直线：，
.
则点关于椭圆的切点弦的方程为①
（1）直线：，由点在上知.
从而，点也满足方程①，即点也在直线上.
（2）当时，直线：，即. ②
由直线在椭圆外知.
将式②代入式①整理得.
从而，直线恒过定点.
而，故该定点在椭圆内.当时，直线：，即
. ③
联立椭圆与直线的方程并化简得
.
由直线在椭圆外知
.
将式③代入式①整理得.
此时，直线恒过定点.
而，故该定点在椭圆内.
综上，直线交于椭圆内一定点.
故这条直线将椭圆分成个区域.
解答题
如图，内接于圆，是劣弧的中点，圆与圆切于点，与边切于点.过点作圆的切线，切点为.证明：.
【答案】见解析
【解析】
如图，联结、、、.易知，是边的中点，.
过点作，，垂足分别为、.
由西姆松定理知、、三点共线.
由是弧的中点，知平分.
于是，.
从而，，.
又，结合，得≌.
于是，.
则. ①
记与的交点为.则，即点在圆上.
由圆幂定理得.
而在中，由射影定理得.
因此，.
代人式①即得.
解答题
己知正实数、、满足，试求
的最大值和最小值.
【答案】见解析
【解析】
不妨设.则.
故只需寻找的最值.此时，有
，
其中，.
由和，知.
解得.
类似地，、.
这表明，，且
.
由此解得.
而，故的最小值和最大值分别为和，且分别当和时取得.
解答题
证明：存在无穷多组正整数组，满足：
（1），且；
（2）可以有无穷多个取值；
（3）恰存在个正整数使得.
【答案】见解析
【解析】
任取一个奇质数，令.
首先证明：这组数满足题中条件.
显然，满足条件（1）、（2）.
下面证明：这组数满足条件（3）.
由，知.
则.
由，知，即.
从而，，可取，共个可能的数.
其次证明：这个数都符合条件.
当时，
.
又，由，知.
又，则.
因此，满足条件（3）.
故（为任意奇质数）是满足条件的无穷多组正整数.
解答题
某公司印制了一批文化衫，每件文化衫可有红、黄、蓝三种不同的颜色和四种不同的图案.现将这批文化衫分发给名新员工，每名员工恰好分到图案不同的4件.试求的最小值，使得总存在两个人，他们所分到的某两种图案的4件文化衫的颜色全部相同.
【答案】19
【解析】
的最小值为19.
当时，表1所示的答题情形不符合要求.
表1
（1）
（2）
（3）
（4）
【注】表l中（1）、（2）、（3）、（4）为图案，为员工，、、
分别表示红、黄、蓝三种颜色.
下面证明：当时，必存在两个人满足要求.
事实上，把所有人的文化衫的颜色和图案如上制成表格，若存在两个人的某两种图案的4件文化衫的颜色全部相同，则必存在一个矩形子表，这个子表四个角的方格中的字母（颜色）相同.
若对于某个颜色（以红色为例），设分到件红色文化衫.则当
时（约定当时，），必存在四个角都是的矩形.这是因为，考虑每一列两个构成的“对子”，一共只有如表2所示的6种.当时，必有两列会出现相同的对子，从而，必有四个角都是的矩形.
表2
当时，任取其中19个人，他们的所有文化衫的颜色中，至少有
一种颜色出现了不少于（次），不妨设为红色.
设其中分到（为非负整数）件红色文化衫.则.
由调整法易知，当取最小值时，对任意，有.
注意到，则在中有19个1和7个2时，取得最小值.
这表明，当时，必存在四个角都是同一个字母的矩形子表.
综上，所求的最小值为19.。